Versuch 27: Messungen zum Wiedemann-Franzschen Gesetz

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1 Versuch 27: Messungen zum Wiedemann-Franzschen Gesetz Es soll die Temperaturverteilung an Metallstäben in ihrer zeitlichen Entwicklung untersucht werden. Damit kann die zeitliche und räumliche Abhängigkeit des Wärmetransports studiert werden. Weiterhin wird die Methode von van der Pauw zur Messung der elektrischen Leitfähigkeit von dünnen Filmen vorgestellt. Der Vergleich von Meßergebnissen aus beiden Versuchsteilen soll zum Wiedemann-Franzschen Gesetz führen. Vorkenntnisse Wärme und Temperatur Mechanismen des Wärmetransports Umwandlung von elektrischer Energie in Wärme Wärmeleitung und Stromtransport in Metallen Kontinuitätsgleichung Temperaturabhängikeit des elektrischen Widerstandes Ohmsches Gesetz Meßmethoden der elektrischen Leitfähigkeit Physikalische Grundlagen Die folgenden Abschnitte behandeln gewisse versuchsrelevante Zusammenhänge. Sie können eine ergänzende Hilfestellung für die Vorbereitung geben; der Tet reicht für eine Vorbereitung aber nicht aus. Für die Einarbeitung kann die im Anhang aufgelistete Literatur herangezogen werden. Für diesen Versuch sind unter anderen insbesondere folgende Quellen geeignet: Feynman Lectures, Bd.. Gerthsen, Physik, Kap. 5.4., Kap Bergmann-Schäfer, Bd. 2. Das Wiedemann-Franzsche Gesetz Sowohl die Wärmeleitfähigkeit λ als auch die elektrische Leitfähigkeit σ wird in (reinen) Metallen beinahe ausschließlich von den freien Ladungsträgern getragen. Unter dieser Voraussetzung ist das Verhältnis beider Größen zueinander konstant und der absoluten Temperatur T proportional (Wiedemann-Franzsches Gesetz). Im Rahmen eines rein klassischen Modells wurde die Proportionalitätskonstante L von L. Lorentz 872 berechnet zu: λ k 2 σ = L T = 3 T also L V 2 e K 2 () Betreffs einer Ableitung dieser Beziehung sei auf die Literatur verwiesen, so z.b. Bergmann Schäfer, Bd. 2.

2 Versuch 27: Messungen zum Wiedemann-Franzschen Gesetz 2 Leitfähigkeitsmessung nach van der Pauw Die (hier als skalar angenommene) spezifische elektrische Leitfähigkeit σ und der elektrische Widerstand ρ el = /σ sind definiert über das Ohmsche Gesetz: ȷ el = σ E (2) Eine interessante Methode zur Messung des elektrischen Widerstandes hat van der Pauw angegeben. Im Gegensatz zu den sonst üblichen eindimensionalen Verfahren wird dazu eine zweidimensionale Probe in Form einer Folie oder einer flachen Scheibe mit konstanter Dicke d und beliebig geformtem Rand benutzt (siehe dazu die Abb. ). Die Probe muß einfach zusammenhängend sein, d.h. sie darf keine Löcher aufweisen. A D Abb. : Schema zur Bestimmung des Widerstandes nach van der Pauw. C B Auf dem Probenrand sind insgesamt vier Kontakte (A, B, C und D) möglichst geringer Ausdehnung mehr oder weniger willkürlich angeordnet, von denen zunächst A und B zur Stromeinspeisung und C und D zur Spannungsmessung verwendet werden. Das Verhältnis von Spannung zu Strom werde als Widerstand R AB,CD definiert. Einen zweiten Widerstand R BC,DA erhält man analog, wenn die Kontakte zyklisch getauscht werden. Mit den so gewonnenen Widerstandswerten ergibt sich der hier gesuchte spezifische Widerstand nach folgender Gleichung: ρ el = πd 2 ln 2 (R RAB,CD AB,CD + R BC,DA ) f R BC,DA (3) f[r(ab,cd)/r(bc,da)] R(AB,CD)/R(BC,DA) Abb. 2: Funktionsverlauf von f RAB,CD R BC,DA RAB,CD Die Funktion f R BC,DA wurde von van der Pauw berechnet und ist für die praktische Anwendung in Abb. 2 wiedergegeben. Herleitung Van der Pauw hat selbst eine Herleitung obiger Gleichung angegeben (Philips Res. Repts. 3, (958)). Er zeigt hier die allgemeine Gültigkeit der Beziehung ep πr AB,CDd/ρ el + ep πr BC,DAd/ρ el = (4)

3 Versuch 27: Messungen zum Wiedemann-Franzschen Gesetz 3 für die oben angegebene Geometrie, indem er zunächst von einer halbunendlichen Probe mit den Kontakten P, Q, R und S auf deren Rand (in dieser Reihenfolge) ausgeht und den Spannungsabfall V S V R bei Einspeisung des Stromes I in P und Q berechnet. Dann zeigt er, daß (4) auch für beliebig geformte, einfach zusammenhängende Proben mit konstanter Dicke ihre Gültigkeit beibehält. Dies gelingt mit der Theorie der konformen Abbildungen. Faßt man die Probe als obere Hälfte der kompleen z-ebene auf, so läßt sich nach einem wohlbekannten Theorem eine Transformation in Form einer analytischen Funktion t(z) angeben, die die Halbebene mit den Kontakten P, Q, R und S auf das der tatsächlichen Probenform entsprechende Gebiet in der t- Ebene mit den Kontakten A, B, C und D konform abbildet. Eine solche Abbildung ist winkeltreu und überführt Feldlinien in Feldlinien und Äquipotentiallinien in Äquipotentiallinien, so daß die Potentialdifferenzen V S V R und V D V C invariant gegenüber konformen Abbildungen und somit gleich sind. Die obigen Gleichungen bleiben daher unverändert bestehen, wenn man die Bezeichnungen der Kontakte auswechselt. Damit ist die Gültigkeit von Gleichung (4) für alle Proben mit der genannten Geometrie gezeigt. Die Beziehung (3) zur Bestimmung von ρ el wird durch Umformung aus Gleichung (4) erhalten. Hierzu wird die oben erwähnte Funktion f verwendet. Sie wirkt auf das Verhältnis R AB,CD R BC,DA der Widerstände. Sie ist definiert durch: R AB,CD R BC,DA R AB,CD + R BC,DA = f ln 2 arcosh { } ep(ln 2/f) Zur Berechnung von f ist es leider nicht möglich, diese Gleichung eplizit nach f aufzulösen. f ist eben nur durch diese sogenannte implizite Darstellung verfügbar. Daher wird in Abbildung 2 der graphische Verlauf von f mitgeliefert. Wärmeleitung:. und 2. Ficksches Gesetz Die Definition der (hier als skalar angenommenen) Wärmeleitfähigkeit λ ergibt sich aus dem. Fickschen Gesetz, welches die Proportionalität der Wärmestromdichte ȷ w zum vorhandenen Temperaturgradienten ausdrückt: ȷ w = λ grad r T (6) Für die Wärmestromdichte ȷ w ergibt sich andererseits aus der Kontinuitätsgleichung: div r ȷ w + q t 2 (5) = W (7) Hierbei ist W die Wärmeleistungsdichte und q die im Volumenelement enthaltene Wärme, also dq = ρ c p dt (8) mit der Massendichte ρ und der spezifischen Wärme bei konstantem Druck c p. Durch Einsetzen von (6) und (8) in die Kontinuitätsgleichung (7) erhält man die Temperaturleitungsgleichung: r T = ρ c p λ T t W λ (9) Für den Quotienten aus der Wärmeleitfähigkeit λ und der spezifischen Wärme pro Volumen ρ c p führt man die Temperaturleitfähigkeit α ein und erhält schließlich die Temperaturleitungsgleichung in ihrer endgültigen Form (2. Ficksches Gesetz): T t = α r T + α λ W mit α = λ ρ c p (0)

4 Versuch 27: Messungen zum Wiedemann-Franzschen Gesetz 4 Man erkennt, daß sowohl eine positive Krümmung des Temperaturprofils als auch die direkte Freisetzung von Wärme zu einem Temperaturanstieg führen. Als Spezialfall betrachten wir den Fall konstanter Wärmezufuhr (W (t) = const). Hier stellt sich nach hinreichend langer Zeit ein sogenannter stationärer Zustand ein. Die Temperaturverteilung wird dann zeitunabhängig ( T t = 0). Gleichung (0) erhält dann dir Form einer Potentialgleichung: Eperiment Aufbau zur Messung der Wärmeleitfähigkeit r T = λ W () 0 2 Cu R 0 2 Al WB R 2.0 Th Abb. 3: Schematische Skizze des Versuchsaufbaus. Zur Messung der Wärmeleitfähigkeit werden zwei wärmeisolierte Metallstäbe aus Kupfer und Aluminium verwendet, die an ihrem oberen Ende bei 0 mit einem Heizwiderstand R versehen sind. Der Heizstrom wird von einem Netzteil geliefert, wobei Strom und Spannung zur Bestimmung der Heizleistung mit Hilfe zweier Digitalvoltmeter und/oder direkt am Gerät gemessen werden können. Zwei Digitalmultimeter werden für die Temperaturmessung in Verbindung mit zwei Platin-PTC-Widerständen benötigt. Die Sensoren sind im Abstand von 00 mm voneinander in den Stäben bei und 2 integriert. In der folgenden Tabelle sind die Kalibrierdaten für die Widerstände aufgeführt. Die entsprechende Kalibrierfunktion ist aus diesen Daten zu berechnen (Auftragung der Widerstandswerte über der Temperatur und Berechnung der Ausgleichsgeraden). Temperatur ( C) Widerstand (Ω) Temperatur ( C) Widerstand (Ω) 0 000, , , , , ,0 30 6, , , , , , , , , ,0 Um einen Wärmerückstau zu vermeiden, sind die Stäbe mit ihrem unteren Ende an ein Temperaturbad gekoppelt. Dieses Bad ist durch eine dicke Aluminiumplatte realisiert. Aufbau zur Bestimmung des spezifischen Widerstandes Für die Messung des spezifischen Widerstandes steht jeweils eine bereits mit Kontakten versehene Folie aus Kupfer bzw. Aluminium zur Verfügung. Die Dicke dieser Folien ist am Meßplatz angegeben. Zur Durchführung der Messung werden ferner ein Netzteil und zwei Digitalmultimeter (Strom- und Spannungsmessung) benötigt.

5 Versuch 27: Messungen zum Wiedemann-Franzschen Gesetz 5 Versuchsaufgaben. Wärmeleitfähigkeit von Kupfer und Aluminium Messen Sie den zeitlichen Verlauf der Temperaturverteilung in einem Cu Stab und Al Stab, wie er sich nach Einschalten einer an einem Ende angebrachten Heizung ergibt. Stellen Sie die Abhängigkeit der Temperatur von der Entfernung zum Heizwiderstand dar, die sich zum Ende des Versuchs eingestellt hat, und bestimmen Sie die Wärmeleitfähigkeit von Kupfer und Aluminium. Es werden gleichzeitig mit dem Einschalten des Heizstromes die Widerstandswerte der zwei Thermowiderstände etwa 30 Min. aufgezeichnet. Nach dieser Zeit hat sich, unabhängig von der verwendeten Heizleistung, ein nahezu stationärer Zustand eingestellt. Die Widerstandswerte werden direkt in ein Diagramm R(t) eingezeichnet. T ergibt sich durch Umrechnung von R = R( ) R( 2 ). Zeigen sie anhand des zeitlichen Verlaufs Ihrer Daten, dass trotz leichter Drift der Widerstände ein stationärer Zustand der Wärmeleitung erreicht ist. Wie kann die weitere Drift erklärt werden? Die Messung von T /2 (t) bzw. R /2 (t) ist mit beiden Stäben durchzuführen. Die Messung der Temperaturleitfähigkeit erfolgt nach Gleichung (6) mit Hilfe eines konstanten Wärmestromes, der zwischen den beiden Meßpunkten und 2 einen Temperaturabfall verursacht (analog einem Spannungsabfall über einen elektrischen Widerstand). Die elektrische Energie wird im Heizwiderstand vollständig in Joulesche Wärme umgewandelt. Daher kann die sich einstellende Wärmestromdichte ȷ w leicht aus dem Heizstrom, der Heizspannung und der Querschnittsfläche des Stabes mit dem Radius r berechnet werden: ȷ w = πr 2 P el = πr 2 U I (2) Die Stabdurchmesser werden mit Hilfe einer Schieblehre gemessen: Man berechne Durchschnitt und Standardabweichung von mindestens fünf Messungen. Voraussetzung für sinnvolle Ergebnisse ist die hinreichende Stationarität. Daher ist es angebracht, für die Berechnung der Wärmestromdichte nur Werte gegen Ende der Messung zu verwenden wenn T const. gilt. Man achte darauf, daß die Maimalleistung des Widerstandes nicht überschritten wird! Für beide Metalle sind die gewonnenen Daten mit den Literaturwerten zu vergleichen. 2. Spezifischen Widerstandes von Kupfer und Aluminium Bestimmen Sie den spezifischen Widerstand von Aluminium und Kupfer nach der Methode von van der Pauw. Der Strom wird über je zwei der vier vorhandenen Kontakte eingespeist. Dabei ist die Stromstärke am dazu in Serie geschalteten Multimeter abzulesen, während das zweite Multimeter zur Spannungsmessung an den anderen beiden Kontakten anzuschließen ist. Man führe die Messung zunächst für Kupfer bei unterschiedlichen Einstellungen der Stromstärke durch und bilde daraus die Mittelwerte der Widerstände R AB,CD und (nach zyklischem Vertauschen der Anschlüsse) R BC,DA. Die Berechnung des spezifischen Widerstandes erfolgt nach Gleichung (3). Anschließend sind die Messungen für Aluminium zu wiederholen. Geben Sie für beide Metalle auch die elektrische Leitfähigkeit an und vergleichen Sie diese mit den Literaturwerten!

6 Versuch 27: Messungen zum Wiedemann-Franzschen Gesetz 6 3. Bestimmung der Lorentzkonstante Berechnen Sie mit den gewonnenen Daten die Lorentzkonstante L und vergleichen Sie das Ergebnis mit dem Theoriewert. Um aus der Temperaturleitfähigkeit (Vergleich mit Literaturwerten!) die Wärmeleitfähigkeit berechnen zu können, seien die Dichte ρ und die spezifische Wärmekapazität c p in folgender Tabelle mit aufgeführt (Literaturwerte): Material λ in W m K α in m2 s σ in Ωm ρ in kg m 3 c p in J kg K L in V 2 K 2 Al Cu

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