Netzwerke und Schaltungen I und II Prof. Dr. G. Andersson Prof. Dr. J. Kolar Zusammenfassung

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1 Netzwerke und Schaltungen I und II Prof. Dr. G. Andersson Prof. Dr. J. Kolar Zusammenfassung Jonas Huber Rev. 68 bis 89,

2 1 Netzwerke und Schaltungen I 1.1 Einleitung [Vgl. Einheitentabelle im Skript] 1.2 Elektrische Ladung und Felder Der Begriff der elektrischen Ladung Die Ladung Q ist an Elementarteilchen gekoppelt und quantisiert: Q = n e; Elementarladung e = C. [Q] = 1 C = 1 As. Gesetz von Coulomb: Elektrsch geladene Körper üben eine Kraftwirkung aufeinander aus. F 12 = 1 4πɛ 0 Q1Q 2 r 2 e 12 (1.1) F 12 ist die Kraft, welche Q 1 auf Q 2 ausübt. F 21 ist betragsmässig gleich aber zeigt in die entgegengesetzte Richtung. ɛ 0 = As Vm : Permittivität des Vakuums. Permittivität einer Materie ɛ = ɛ 0 ɛ r ; ɛ r : relative Permittivität Das elektrische Feld Elektrische Feldstärke: Das elektrische Feld ist ein Vektorfeld. Der Feldvektor in einem Punkt addiert sich aus den durch die verschiedenen Ladungen hervorgerufenen Feldkomponenten. E = F q q : Probeladung (1.2) Das Feld ist bezüglich der Ladung Q kugelsymmetrisch. Feld einer Punktladung: E = Q r 4πɛ 0 r 3 mit r = r, E 1 = Q r 1 4πɛ 0 (r1 2 + r2 2 + etc. (1.3) r2 3 )3/2 Auch bei einer kugelförmigen Ladung ausserhalbt der Kugel Arbeit im elektrischen Feld Bewegt man eine Ladung auf dem Weg s durch das elektrische Feld, so wird je nach Vorzeichen der Kraftkomponenten entweder mechanische Energie frei oder aufgewendet. 2 W 12 = q E d s W 21 = W 12 (1.4) 1 2

3 Die Arbeit W ist unabhängig vom Weg s! Im homogenen Feld gilt: W 12 = E d q (1.5) Eletrische Spannung und elektrisches Potential, Maschenregel Die elektrische Spannung oder Potentialdifferenz ist wie folgt definiert: U 12 = W 12 q = ϕ 1 ϕ 2 U 12 = U 21 (1.6) Eine genaue Angabe der Bezugspunkte ist Wichtig (Spannungspfeil). [U] = 1 Nm C = 1 V. Maschenregel (KVL): Betrachtet man n Punkte mit den Potentialen ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n, so ist die Summe aller Spannungen über einem geschlossenen Umlauf: U 12 + U U n 1,n + U n,1 0 (1.7) Die Summe aller Spannungen in einer geschlossenen Masche verschwindet. 1.3 Der elektrische Strom Bewegte Ladungsträger als Strom I = dq dt [I] = 1 C s = 1 A (1.8) Der Strom I hat eine bestimmte Richtung, übereinstimmend mit der Bewegungsrichtung der positiven Ladungsträger (technische Stromrichtung). Stromdichte: Die Bewegung der Ladungsträger wird durch die Stromdichte S charakterisiert, welche ein Vektorfeld bildet. Die Stromdichte S ist der auf die Bezugsfläche A bezogene Strom I mit der Einheit 1 A/m 2. In drahtförmigen Leitern fliesst der Strom üblicherweise parallel zur Drahtasche und es gilt: I = S A Knotenregel (KCL) Die Summe aller in einen Knoten ein- und austretenden Ströme muss verschwinden. I 1 + I 2 + I I n = 0 (1.9) Hier muss mindestens einer der Ströme ein negatives Vorzeichen haben (oder alle Ströme Null sein)! 3

4 1.4 Der elektrische Widerstand Stromdichtevektor und die Elektrische Feldstärke sind in einem Leiter gleichgerichtet und proportional: S = E ϱ (1.10) Spezifischer elektrischer Widerstand: Symbol ϱ. Ist material- und temperaturabhängig. Es gilt: ϱ ϑ = ϱ 20 [1 + α(ϑ 20)]; [ϱ] = 1 Ωm. Tabelle im FuT, S Der elektrische Widerstand U = ϱ l A I R = ϱ l A (1.11) Ohmsches Gesetz: U = R I. [R] = 1 V 1 A = 1 Ω. Alternative Schreibweise: U RI = 0. Elektrische Leitfähigkeit: κ = 1 ϱ. Leitwert: G = 1 R ; [G] = 1 1 Ω = 1 S Spannungs- und Stromquellen Ideale Spannungs- und Stromquellen: Spannung bzw. Strom sind konstant und unabhängig von der Last. Ideale Spannungsquellen dürfen nicht parallel geschaltet werden; ideale Stromquellen nicht in Serie, ausserdem müssen letztere eine Mindestlast haben, da sont die Spannung unendlich würde. Ideale Spannungsquelle: Ideale Stromquelle: Reale Spannungsquelle: Hier wird auch im Kurzschlussfall der Strom nicht unendlich, da sie einen Innenwiderstand besitzt. Es gilt: U = U q I R i (1.12) Bei hinreichend kleinem Strom I kann die Spannungsquelle als ideal angesehen werden. Wird die reale Quelle mit dem Widerstand R belastet, gilt: U = U q R R + R i (1.13) Der Wert des Innenwiderstandes R i kann theoretisch über den Kurzschlussstrom gefunden werden: R i = U 1 I k. In der Praxis misst man die Spannung U bei verschiedenen Strömen, beim Leerlauf I = 0 ist U = U 1. R i ist die Steigung der Belastungskennlinie; man braucht also zwei Messungen von Strom und Spannung, z.b. bei Leerlauf und bei I max. Dann gilt: R i = Uq U min I max. 4

5 Reale Stromquellen haben ebenfalls einen Innenwiderstand, allerdings liegt dieser parallel zur idealen Stromquelle. Reale Spannungsquelle: Reale Stromquelle: Quellenumwandlung Umwandlung einer Strom- in eine Spannungsquelle: U q = I q R i. Umwandlung einer Spannungs- in eine Stromquelle: I q = Uq R i Pfeilrichtungen beachten! 1.5 Arbeit und Leistung Berechnung aus Spannung, Strom und Zeit P = U I [P ] = 1 VA = 1 W = 1 Nm C C s = 1 Nm s (1.14) W = t2 t 1 P dt = t2 t 1 U Idt [W ] = 1 Ws = 1 Nm = 1 J (1.15) Für zeitlich konstante Werte von Strom und Spannung gilt: W = U 0 I 0 t. Eine gebräuchliche Einheit für die elektrische Arbeit ist die Kilowattstunde: 1 kwh = Ws Leistung eines Widerstandes P = U I = U 2 R = I2 R (1.16) Je nach dem, was bekannt ist, kann man eine der Formeln wählen. Anders geschrieben gilt auch: P = G U 2 = I2 G Leistung einer realen Quelle Bei der Berechnung der abgegebenen Leistung einer realen Spannungsquelle muss nicht nur die am Belastungswiderstand umgesetzte Leistung sondern auch jene am Innenwiderstand berücksichtigt werden: P q = U q I = (P i + P v ). 5

6 1.5.4 Leistungsanpassung Mit welchem Verbraucherwiderstand R v muss eine Quelle belastet werden, damit die Leistung am Widerstand maximal wird? R v = R i P v,max = 1 4 U 2 q R i (1.17) Man findet dies durch Ableiten von P v (R v ) nach R v und dann gleich Null setzen. Leistungsanpassung bei Sinusstrom Analoge überlegung, allerdings sind die Anpassungsbedingungen komplizierter: Z a = Z i. Falls Z = R + jx gilt komponentenweise: R a = R i und X a = X i. Die übetragene Wirkleistung ist gleich wie im reellen. 1.6 Gleichstromnetzwerke Einfache, lineare Gleichstromnetzwerke Reihen- und Parallelschaltung von Widerständen: R E,Serie = R 1 + R R n 1 R E,P arallel = 1 R R R n (1.18) Unbelasteter Spannungsteiler: [Schaltplan] I = U R 1 + R 2 U 1 = I R 1 = U R 1 R 1 + R 2 U 2 = U R 2 R 1 + R 2 (1.19) Potentiometerschaltung: [Schaltplan] U 1 = U x U 2 = U (1 x) (1.20) Belasteter Spannungsteiler: [Schaltplan] R 1 U 1 = U R 2 + R 1 R v R 1 +R 2 R v = U R 1 +R 2 R 1 R v R 1 R 2 + R 1 R v + R 2 R v (1.21) Belastete Potentiometerschaltung: [Schaltplan] U 1 = U R 0 x R v R 2 0 x(1 x) + R vr 0 (1.22) Stromteiler: I 1 = R 2 R 1 + R 2 I I 2 = R 1 R 1 + R 2 I (1.23) 6

7 1.6.2 Netzwerke mit begrenzt gültigen linearen Spannungs-Strom-Beziehungen Lichtbogenkennlinie: Abschnittweise linearisieren. Vgl. Skript Seiten Beachte, dass der Ersatzwiderstand einen negativen Wert erhält! Beispiele linearer Netzwerke mit abschnittweise linearen Kennlinien Diode In Durchlassrichtung geringe Durchlassspannung U D 1..2 V und in Sperrrichtung nur einen kleinen Leckstrom. [Schaltbild] [Kennlinie] Arbeitspunkt: Der Arbeitspunkt als Schnittpunkt zwischen Verbraucher- und Quellenkennlinie ist nur dann Stabil, wenn gilt: dia du a (Quelle) < dia du a (V erbraucher) Ideale Diode: [Kennlinie] Verlustleistung der idealen Diode: P V = U D I D. Shockley-Modell einer realen Diode: I D 0 U D = 0 (1.24) U D 0 I D = 0 (1.25) U D I D = I s (e UT 1) (1.26) Mit: I s : Sperrstrom; k = VAs/K: Boltzmann-Konstante; e: Elementarladung; T : absolute Temperatur und U T = kt e. Zener-Diode: Sind für den Betrieb in Sperrichtung ausgelegt. Sie geht im Punkt D in den kontrollierten Spannungsdurchbruch über, die Spannung ist in diesem Bereich konstant (Spannungsstabilisierung). U Z 0 bestimmt man, indem man wie im Bild die lineare Kennlinie bis zur Ordinatenachse verlängert. [Schaltbild] [Kennlinie] [Ersatzschaltbild] Metalloxid-Ableiter (Varistor) R Z = U Z(I Zmax ) U Z0 I Zmax (1.27) Aufgabe: Bei Normalbetrieb möglichst gut isolieren und im Falle einer Überspannung kontinuierlich in den leitenden Zustand übergehen und somit die Spannung auf ein (für die Last) erträgliches Mass zu senken. [Kennlinie] ist achsensymmetrisch. 7

8 Bipolartransistor Im linearen Bereich gilt: I c = ( 1 U ) CE U Early B I B (1.28) Falls U Early U CE ist, gilt I C B I B. (Kennliniensteigung). Schleusenspan- Stromquelle I C0 (I B ) = B I B. Leitwert G CE (I B ) = B nung U T 1..2 V. B: (Grosssignal-)Stromverstärkung. Emitterschaltung: I B U Early Die Spannungsquelle U S legt den Basisstrom im Arbeitspunkt fest und diesem wird die Signalspannung U S überlagert und erzeugt am Ausgangswiderstand eine entsprechende Spannungsänderung U a, die um U a0 schwankt. U a = R a B (U S + U S ) U BE R S + R B (1.29) Die Emitterschaltung zeichnet sich durch eine grossse Leistungsverstärkung aus, da Strom und Spannung verstärkt werden. Kollektorschaltung: Potential des Kollektors ist für den Eingangs- und für den Ausgangskreis das Bezugspotential. Die Spannungsquelle U S legt den Basisstrom im Arbeitspunkt fest. Die Signalspannungsquelle U S wird dem Strom überlagert udn erzeugt am Ausgangswiderstand eine entsprechende Spannungsänderung 8

9 U a. U A + U A = R A(1 + B)(U S U T ) R S + R B + R A (1 + B) + R A (1 + B) U S R S + R B + R A (1 + B) (1.30) Falls U BE U B was meinstens der Fall ist, dann vereinfacht sich obige Gleichung zu: U A = UB. Die Liestungsverstärkung ist im Vergleich zur Emitterschaltung klein, die Spannungsverstärkung kleiner als Eins. Diese Schaltung findet vor allem Anwendung als Impedanzwandler Gesteuerte Quellen [Vgl. Skript Seite 86f.] Der Kondensator Die Spannung kann am Kondensator nicht springen: i c (t) = C du c(t) d (Ladestrom) bzw. u c (t) = 1 C i c (t)dt Energieinhalt: W = 1 2 CU 2 1 Serieschaltung: C E = 1 C C C n, wobei alle Kondensatoren die selbe Ladung tragen. Parallelschaltung: C E = C 1 + C C n Sind zwei Kondensatoren über einen Widerstand verbunden; z. B. der einge geladen und der andere nicht, so lässt sich die Ladungserhaltung anwenden! RC-Aufladung Zeitkonstante: T = R C. Spannungsverlauf: U c = U q U q e t T Stromverlauf: ableiten: I c = Uq R e t T Die Spule Der Strom in einer Spule kann nicht springen: u L = L di L(t) dt Energieinhalt: W = 1 2 LI2 Serieschaltung: L E = L 1 + L L n 1 Parallelschaltung: L E = 1 L L L n bzw. i L (t) = 1 L u L (t)dt RL-Kreis Zeitkonstante: T = L R. Spannungsverlauf: U L = U q e t T. Stromverlauf: I L = Uq R Uq R e t T 1.7 Schwingkreise Allgemeines Vorgehen bei Schwingkreisberechnungen im Zeitbereich Aufstellen der Elementgleichungen: i C = C u C, u R = R i R und u L = L i L. 9

10 Maschen- und Knotengleichungen aufstellen. Aufstellen der Differentialgleichung. Durch geeignete Substitutionen in den Maschen- und Knotengleichungen auf gewünschte Form bringen (nur noch i oder u). Lösen der DGL: Homogene Gl lösen. Partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung bestimmen. Freie Paramter mit Hilfe von Anfangsbedingungen berechnen. Es gibt drei Fälle für die Lösung, zu deren Bestimmung det(chp(λ)) interessant ist, also der Teil unter der Wurzel bei den Nullstellen des charakteristischen Polynoms: det(chp(λ)) > 0 Aperiodischer Fall: i(t) = Ae λ1t + Be λ 2t det(chp(λ)) = 0 Aperiodischer Grenzfall, λ 1 = λ 2 : i(t) = (A + Bt)e λ 1t det(chp(λ)) < 0 Periodischer Fall, λ 1,2 C: Resultat in trigonometrischer Form schreiben. Kenngrössen: Eigenkreisfrequenz des ungedämpften Kreises: ω 0 = 1 C L LC Dämpfungskonstante: D = R 1 2 (seriell) und D = L 2R C (parallel) Gütefaktor: Q = 1 2D Kreisfrequenz des gedämpften Kreises: ω = ω 0 1 D 2 Also allg. im periodischen Fall: i(t) = (A cos ωt + B sin ωt)e ω0dt. 1.8 Aktive Netzwerke, Operationsverstärker Die Anschlüsse für positive und negative Speisespannung sowie GND können auch eingezeichnet werden. Spannungsverstärkung: v = Ua U e, wobei U e = U ep U en, Eingangsspannung. Vorsicht: U A U q, man spricht von Sättigungsspannung; in der Realität gilt auch: U q U ep und U en U q. (U q : Speisespannung, auch U S ). 10

11 1.8.1 Idealer OPV Für viele Anwendungen reicht es, vom idealen OPV auszugehen. Beim idealen OPV gilt der Grenzfall: v =, ausserdem ist die Eingangsspannung und damit auch der Eingangsstrom gleich Null: U e = 0 und I e = Realer OPV Hier werden diese Vereinfachungen nicht gemacht und v ist als endlich zu betrachten. Die Offset-Spannungsquelle U eo und die Offset-Stromquellen I ep und I en bewirken je nach Beschaltung eine Änderung der Aussgansspannung, sie sind temperaturabhängig Operationsverstärkerschaltungen Invertierender Verstärker Gegenkopplung über R K. U A = R K R E U E Spannungsfolger/Impedanzwandler Direkte Gegenkopplung. Der Spannungsfolger belastet die Quelle nicht: I E = I e = 0. U A = U E Also bestens als Messverstärker bei schwachen Signalen geeignet. Hohe Eingangsimpedanz, kleine Ausgangsimpedanz. Addierer Kann man durch geeignete Wahl der Widerstände R Ei als D/A-Wandler verwenden. ( RK U A = U E1 + + R ) K R E1 R E n U En Ev. noch Widerstand zw. nichtinv. Ein. und Masse als Offsetkorrektur; R = R E1 R E2... R En. Differenzverstärker Potential der Verstärker-Eingangsklemmen wird durch den Spannungsteiler aus R E2 und R 0 festgelegt. Falls R 0 R E2 U A = R K RK R E1 R E1 1 + R E2 = R K R E1 = V, gilt U A = V (U E2 U E1 ). R 0 U E2 und für die Aus- du Integrierer Für die Gegenkopplung gilt: I K = C A K dt gangsspannung: U A = 1 t U E dt + U A (0) R E C K 0 11

12 Vorsicht: U A kann nicht grösser als U q werden, man spricht von der Sättigung. Induktivität anstelle von C K ergibt einen Differenzierer. Diode anstelle von C K ergibt Logarithmierer, Diode bei R und Widerstand bei C K gibt e-funktion. Nichtinvertierender Verstärker NuS II. 1.9 Netzwerkanalyse Zweipole und Quellen Verbraucherzählpfeilsystem Im VZS muss die verbrauchte Leistung positiv und die erzeugte Leistung negativ sein. D. h. bei Verbrauchern zeichnet man die Pfeile so ein, dass Strom und Spannung in die gleiche Richtung zeigen und so die Leistung positiv wird. Wichtig ist, dass die Pfeile nur eine Zählrichtung vorgeben. Den tatsächlichen, vorzeichenbehafteten, Wert erhält man erst durch Rechnung; ist der Wert negativ, so hat man halt die Pfeilrichtung falsch gewählt. Nach der Annahme einer Stromrichtung in einem Zweig muss die Spannungsrichtung der passiven Zweigelemente in dieselbe Richtung gehen wie die Zweigstromrichtung! Berechnungsverfahren für lineare Netzwerke Topologische Kennzeichnung Graph Der Zusammenhang der passiven Elemente (auch der Quelleninnenwiderstände!) kann als Graph dargestellt werden. Dabei erhält jeder Knoten und jeder Zweig eine Nummer. Ideale Spannungsquellen werden zu einem Kurzschluss, ideale Stromquellen zu einem Leerlauf. Baum In dem die Knoten des Graphen so verbunden werden, dass keine Maschen mehr vorhanden sind, erhält man den Baum, der das Netzwerk repräsentiert. Die verbleibenden Verbindungen zwischen den Knoten heissen Äste und jene, durch deren Hinzufügen wieder der Graph entstehen würde Sehnen. Es gelten: Maschen = Zweige Knoten + 1, Aeste = Knoten 1, Maschen = Zweige (Knoten 1) und Maschen = Zweige Aeste = Sehnen Knoten-Zweig-Inzidenzmatrix A kz Zeilen: Knoten; Spalten: Zweige. Sie enthält nur Elemente { 1, 0, 1}. Vom Graphen (!) ausgehend wird für jeden Zweig beim Anfangsknoten eine 1 und beim Endknoten eine 1 eingetragen, die restlichen Elemente sind 0. Anfangs- und Endknoten werden durch die eingezeichnete Stromrichtung in einem Zweig bestimmt. Beachte, dass später bei den passiven Elementen der Spannungspfeil in die selbe Richtung eingezeichnet werden muss! Die Quellen des Netzwerks Die Innenwiderstände wurden bereits als normale Widerstände berücksichtigt, es bleiben also noch die idealen Quellen zu behandeln. Eine ideale Stromquelle befindet sich meist im Zuge eines Zweiges (Reihenschaltung). Die Richtung des Spannungspfeils muss nicht mit der Stromrichtung im Zweig übereinstimmen (im Gegensatz zu Widerständen). Ideale Stromquellen greifen an zwei Knoten an, welche nicht mit einem passiven Element verbunden sein müssen (nicht benachbart). 12

13 Ideale Quellen ohne Innenwiderstände Zur systematischen Berechnung muss eine ideale Spannungsquelle im Zuge eines Zweiges und eine ideale Stromquelle parallel zu einem Zweig angeschlossen sein. Gibt es im Originalnetz nun Quellen ohne Innenwiderstand (seriell bzw. parallel) führt man das entsprechende Element R i ein und führt am Ende der Rechnung den Grenzübergang R i 0 durch Überlagerungssatz Der additive Beitrag einer unabhängigen idealen Quelle zu den Zweigspannungen und -strömen lässt sich in einem linearen Netzwerk unabhängig von jenen der anderen Quellen berechnen. Die anderen Quellen werden wie folg ersetzt: Ideale Spannungsquelle Kurzschluss; ideale Stromquelle Leerlauf. Die Quelleninnenwiderstände sowie gesteuerte Quellen werden im Netz belassen! Bei Ausgleichsvorgängen können Anfangswerte (z. B. Kondensatorspannung) als ideale Quelle in Reihe mit dem idealen Element (hier: Kondensator) angenommen werden. Dies wird für jede vorhandene Quelle gemacht. Abschliessend werden die Teilspannungen und -ströme jeweils vorzeichenrichtig (!) addiert Zweigströme und -spannungen Thévenin-Norton-Theorm für lineare Netzwerke Jedes lineare Netzwerk (auch Teilnetzwerk), bestehend aus beliebigen Kombinationen von Widerständen, gesteuerten und ungesteuerten Quellen kann bezüglich zweier Klemmen (Tor, Anschlusspaar) auf eine ideale Spannungsquelle plus Serienwiderstand (Thévenin) oder einen ideale Stromquelle plus Parallelwiderstand (Norton) reduziert werden. Es gibt drei Grössen, die so zusammenhängen: U L = R T I K, es reicht also, zwei zu berechnen. Leerlaufspannung U L am Anschlusspaar: Nur die Elemente des betrachteten Teilnetzes einbeziehen. Kurzschlussstrom I K : Strom, der durch Kurzschlussverbindung des Klemmenpaares fliessen würde, wenn nur die Elemente des betrachteten Teilnetzes einbezogen werden. Ersatzwiderstand R T des Teilnetzes: Alle Quellen des Teilnetzes auf Null setzen (Spannungsquelle Kurzschluss; Stromquelle Leerlauf), dann Widerstände normal zusammenfassen. Je nach Aufgabenstellung kann nun eine Ersatzspannungsquelle (mit U L ) oder eine Ersatzstromquelle (mit I K ) sowie jeweils dem Innenwiderstand R T gezeichnet werden, die bezüglich des betrachteten Klemmenpaares jeweils das identische Verhalten wie das ursprüngliche Netzwerk zeigen Maschenstromverfahren Gegeben: Netzwerk mit bekannter Topologie, Impedanzen und Quellen. Gesucht: Zweigströme und -spannungen. 1. Alle Stromquellen in Spannungsquellen umwandeln, Leitwerte in Widerstände (Admittanzen in Impedanzen). 2. Festlegen eines Bauems und der Sehnen, so dass die unabhängigen Maschen ermittelt werden können (Kontrolle: m = z k + 1). 3. Zweige Nummerieren, vorteilhafterweise zuerste die Sehnenzweige. Zweigströme mit Zählpfeilen im Graphen eintragen. 13

14 4. Diagonalmatrix Z z aufstellen. Sie enthält als Diagonalelemente die Zweigimpedanzen in der Reihenfolge der Nummerierung aus dem Schritt vorhin. 5. Maschen mit den Sehnenströmen als Maschenströme und Umflausinn gemäss Sehnenstrom einzeichnen. Jede Masche umfasst eine Sehne und die entsprechenden Äste. Wenn Baum korrekt: Nur eine Möglichkeit für jede Maschen bei gegebenen Sehnen. 6. Aufstellen der Zweig-Sehnen-Inzidenzmatrix A zs, welche die Zweigströme (I z ) durch die Maschenströme (I m ) ausdrückt: I z = A zs I m I z, I m : Spaltenvektoren Zeilen: Zweig, Spalte: Sehne. In der Spalte steht eine 1, wenn der entsprechende Zweigstrom im Umlaufsinn der Masche positiv gezählt wird, sonst eine 1; falls der Zweig gar nicht zur Masche gehört eine Bildung der Maschenimpedanzmatrix Z m durch die Zweigimpedanz-Diagonalmatrix Z z : Z m = A T zsz z A zs 8. Bildung der eingeprägten Maschenspannungen utner Verwendung der vorzeichenrichtig eingesetzten Zweigspannungsquellen U qz (Spaltenvektor: i-tes Element ist Summer der Spannungsquellen in Zweig i; diese werden positiv gezählt, falls Pfeil in gleiche Richtung wie Zweigstrom, sonst negativ). U qm = A T zsu qz 9. Bestimmung der Maschenströme durch Lösen des LGS Z m I m = U qm : I m = Z 1 m U qm 10. Rückrechnen auf die Zweigströme I z und die (totalen!) Zweigspannungen U ztotal (d. h. inkl. der ev. vorhandenen Zweigspannungsquellen). I z = A zs I m U ztotal = Z z I z + U qz Falls im Originalnetzwerk Stromquellen verhanden gewesen sind, müssen diese nun wieder aus den Spannungsquellen zurückgewandelt werden. Der Strom im Zweig mit paralleler Stromquelle I zi berechnet sich wie folgt: I zi = U z total Z zi Dabei ist U ztotal die totale Zweigspannung und Z zi die Zweigimpedanz im ursprünglichen Zweig mit paralleler Stromquelle. Kurzes Maschenstromverfahren Für kleinere, einfachere Netze können die Maschengleichungen direkt aufgestellt werden, indem man beim Maschenumflauf die Zweigspannungen direkt durch die Maschenströme ausdrückt. 1. Umwandlung von Stromquellen in Spannungsquellen, Bestimmung des Baumes, der Sehnen und der Maschen mit Stromrichtungen. 14

15 2. Bestimmen der Maschenimpedanzmatrix a) Diagonalelemente Z m (i, i) = Summe aller in der Masche i liegenden Impedanzen. b) Nebendiagonalelemente i j : Z m (i, j) = Summe derjenigen Zweigimpedanzen, welche gemeinsam von Masche i und Masche j durchlaufen werden. Beim summieren eine Impedanz positiv zählen, falls sie von beiden Maschen im gleichen Sinn durchlaufen wird, negativ zählen sonst. Umlaufrichtung der Masche ist durch den jeweiligen Sehnenstrom gegeben. 3. Bestimmen der Maschenspannungen U qm (i) = Summe aller in der Masche i liegenden Spannungsquellen, wobei eine Spannungsquelle positiv in die Summe einfliesst, wenn die Spannungsquellenrichtung in Gegenrichtung (!) zum Maschenstrom liegt, sonst negativ. 4. Analog wie oben die Maschenströme und dann die Zweigströme bilden, entweder mit der Zweig-Sehnen-Inzidenzmatrix oder über die zugrundeliegende Überlegung, der Knotenregel, insbesondere, wenn nur einzelne Ströme gefragt sind Knotenpotentialverfahren Hier berechnet man die Potentiale aller Knoten in Bezug auf einen der Knoten, der willkürlich als Träger des Bezugspotentials ausgewählt wird. Dieser Bezugsknoten taucht während der Rechnung nicht in den Matrizen auf! 1. Umrechnung aller Spannungsquellen in Stromquellen sowie allfälliger Widerstände in Leitwerte. 2. Auswahl des Bezugsknotens und Einführung der Knotenpotentiale sowie Festlegen der Zählpfeilrichtungen. Alle Knoten und Zweige nummerieren (Bezugsknoten: 0), sowie für normale Zweige eine Zählrichtung wählen. Jene Zweige, die nur eine ideale Stromquelle enthalten, haben eine durch die Quelle vorgegebene Richtung. 3. Aufstellen der N = n 1 Knotengleichungen unter Verwendung der U-I-Relationen der Zweige. Ströme, die aus einem Knoten heraus fliessen, werden positiv gezhält, jene, die hinein fliessen negativ. Systematisch: Aufstellen der Knoteninzidenzmatrix A k gemäss der Regel A k I = I kq, wobei I und I kq Spaltenvektoren sind, ersterer mit allen Zweigströmen und letzterer mit den vorzeichenrichtigen (rein: pos.; raus: neg.) (!)Summen der in den jeweiligen Knoten einfliessenden Quellenströme: Anz. Elem. von I k q ist gleich Anz. Knoten. Bei der Matrix A k entspricht jede Zeile einem Knoten (Reihenfolge gemäss Nummerierung); die Spalten entsprechen den Zweigen. Fliesst ein Zweigstrom in einen Knoten, wird eine 1 eingetragen; fliesst er heraus eine 1; ist der Zweig nicht an den Knoten angeschlossen eine 0. Oder anders betrachtet: In jeder Spalte (die ja einen Zweig repräsentiert) erscheint beim Startknoten eine 1 und beim Endknoten eine 1. Beachte, dass ein Zweig, dessen eines Ende beim Bezugsknoten ist, nur einen Eintrag in seiner Spalte hat, da ja der Bezugsknoten nicht aufgeführt wird! 4. Admittanzmatrix G aufstellen: Die Leitwerte G i befinden sich auf der Diagonalen, Reihenfolge gemäss Nummerierung. 15

16 5. Knotenadmittanzmatrix berechnen: Y = A k GA T k 6. Lösen des Gleichungssystems Y V = I kq wobei der Spaltenvektor V als Einträge die Knotenpotentiale hat, Reihenfolge ebenfalls gemäss Nummerierung; Anz. Elem. = Anz. Knoten. Für die Knotenpotentiale gilt also: V = Y 1 I kq 7. Berechung der gesuchten Grössen (Zweigspannungen oder -ströme). Nun können die Zweigspannungen aus den Differenzen der Knotenpotentiale und die Zweigströme aus dem Ohm schen Gesetz wie folgt berechnet werden: U z = A T k V (Zweigspannungen) I = G U z (Zweigströme) Schnelles Knotenpotentialverfahren Der Hauptaufwand im Knotenpotentialverfahren ist die Berechnung der Knotenadmittanzmatrix Y. Diese lässt sich unter Umständen direkt aufstellen: Vorbereiten des Netzwerks wie oben (nur Stromquellen, Zählpfeile, Nummerieren, etc.). Die Dimension der Matrix Y ist (k 1) (k 1), wobei k die Knotenzahl inklusive dem Bezugsknoten ist. Jede Zeile entspricht einem Knoten i (ohne Bezugsknoten). Das jeweilige Diagonalelement y ii ist die Summe der Zweig-Admittanzen G ij der von diesem Knoten ausgehenden Zweigen inkl. jenem zum Bezugsknoten. In den übrigen Positionen j der Zeile i (i j) ist ein Element nur dann ungleich Null, wenn zum Knoten j, der durch die Spaltennummer j gekennzeichnet ist, ein Zweig vorhanden ist. Dann ist das Element y ij gleich der negativen Zweigadmittanz (y ij = G i ) dieses Zweiges. Besteht das Netzwerk nur aus passiven Elementen und idealen Stromquellen, dann ist die Matrix Y symmetrisch. Lösen des GLS und berechnen der gesuchten Werte wie oben (ab Schritt 6) Tellegen-Theorem Grundlegende Aussage: Das Produkt der Zweigströme mit den Zweigspannungen, aufsummiert über alle Zweige, ist gleich Null. Details siehe Skript, Seite 192f. Anwendung: Überprüfen von Ergebnissen. Wenn man zwei Netzwerke N und N betrachtet, die denselben Graphen haben, sich aber hinsichtlich der Bauelemente unterscheiden können und U z, I z und U z, I z die zugehörigen Zweigspannungen und Zweigströme sind, wobei erstere die Maschenund letztere die Knotengleichungen in den jeweiligen Netzwerken erfüllen, dann gilt: U T z I z = U T z I z = 0 16

17 2 Netzwerke und Schaltungen II 2.1 Einführung Dezibel Das Dezibel ist definiert als Logarithmus (zur Basis 10) des Quotienten von Eingangs- und Ausgangsleistung: ( ) P1 p = 10 log 10 db P 2 Ein Leistungsverhältnis von 2 : 1 entspricht ungefähr 3 db. Da die Leistung proportional zum Quadrat der wirkenden Effektivwerte ist, also z. B. P u 2, kann ein Pegel auch über jene nach folgender Formel berechnet werden: Stern-Dreieck-Umwandlung Dreieck aus Stern: p = 10 log P 2 db = 10 log u2 2 P 1 u 2 db = 20 log u 2 db 1 u 1 Stern aus Dreieck: R 1 = R 12 R 31 R 12 + R 23 + R 31 R 2 = R 12 R 23 R 12 + R 23 + R 31 R 3 = R 23 R 31 R 12 + R 23 + R 31 R 12 = R 1 + R 2 + R 1R 2 R 3 R 23 = R 2 + R 3 + R 2R 3 R 1 R 31 = R 3 + R 1 + R 3R 1 R 2 Sind die Widerstände jeweils untereinander gleich Gross, so gilt: R Dreieck = 3 R Stern. Dies gilt auch für komplexe Widerstände, allerdings dann nur für eine bestimmte Frequenz: bedingt äquivalente Schaltung! 2.2 Sinusstrom, einphasig Kenngrössen Funktion und Nullphase Sinusgrösse wird so dargestellt: x(t) = ˆx sin(ωt + ϕ x ), wobei ϕ x der Nullphasenwinkel ist, eine gerichtete Grösse. Es ist jene Zahl, die Man zum ersten Nulldurchgang der Kurve addieren muss, um zum Nullpunkt zu kommen. ω ist die Kreisfrequenz (!): ω = 2πf. Phasenverschiebung Meistens wählt man den (Nullphasenwinkel des) Strom als Bezugsgrösse: ϕ I = 0 und dann gilt für den Phasenwinkel zwischen Strom und Spannung: ϕ = ϕ U ϕ I. ϕ > 0 bedeuted Spannung eilt vor und ϕ < 0 bedeutet Spannung eilt nach. 17

18 Scheitelwert Ist die Amplitude der Strom- bzw. Spannungskurve. Effektivwert Dies ist jener Wechselstrom, der z. B. die gleiche Wärmewirkung wie ein Gleichstrom mit demselben Betrag verursacht. Der Effektivwert berechnet sich folgendermassen:. Allgemein: I = 1 t0 +T i(t) T 2 dt Sinussignal: I = î t 0 2 Scheitel- und Formfaktor Gleichrichtwert ist: i = 1 T T 0 ξ = î I = û U i dt Scheitelfaktor und F = I i Formfaktor, wobei i der Rechnen mit Sinusgrössen Sinusgrössen addiert (oder subtrahiert) man, indem man dies geometrisch tut, also Betrag und Phase berücksichtigt. Am einfachsten geht dies, wenn man die Sinusgrössen gleich als komplexe Zahlen betrachtet Sinusgrössen als komplexe Zahlen Komplexe Festeiger Sinusgrössen können als komplexe Zahl geschrieben werden, die die Information über Amplitude bzw. Effektivwert sowie über die Phasenlage enthalten. û = ue jϕ U = u ϕ U Scheitelwert U = Ue jϕ U = U ϕ U Effektivwert Strom analog. In Zeigerdiagrammen wird meist der Strom als Bezugszeiger in die positive reelle Achse gelegt. Komplexe Drehzeiger enthalten zusätzlich den Drehfaktor e jωt. Ein Drehzeiger erlaubt auch das berechnen von Zeitwerten, wohingegen der Festzeiger eher die Schwingung als ganzes repräsentiert. Integrieren und Differenzieren Differentialquotient dr t dt = drej(ωt+α) dt = jωr t Zeiger wird um Winkel 90 vorgedreht und um den Faktor ω gestreckt. Integral: r t dt = r t jω + K, wobei K bei Sinusgrössen Null ist. Zeiger wird um den Winkel 90 zurückgedreht und um den Faktor 1 ω gestreckt Grundgesetze bei Wechselstrom Im Gegensatz zum Gleichstrom müssen bei Wechselstrom auch die magnetischen und elektrischen Felder die in Induktivitäten bzw. Kapazitäten entstehen berücksichtigt werden, da die Ableitung eines sinusförmigen Verlaufes nicht verschwindet. Wirkwiderstand Auch bei Wechselstrom wird elektrische Energie in Wärme überführt. Es gilt ebenfalls I = U R ; ausserdem ist ϕ = 0, ein Widerstand führt zu keiner Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung. Am Wirkwiderstand wird nur Wirkleistung verbraucht: P = UI = RI 2 = U 2 R 18

19 Induktivität [Hintergrund zu magnetischen Zusammenhängen: Skript, V-32ff.] Es gilt der Zusammenhang zwischen den komplexen Drehzeigern: u = L di dt = jωli Die Spannung u eilt dem Strom i um ϕ = π 2 = 90 vor. Induktiver Blindwiderstand X L = ωl Impedanz: Z L = jωl. Induktive Blindleistung In der Induktivität wird keine elektrische Energie in Wärme umgewandelt, vielmer ist die Energieaufnahme über eine ganze Periode betrachtet gleich Null, d. h. P = 0. Allerdings findet trotzdem eine Leistungspendelung statt: Blindleistung: Q = UI = I 2 X L = U 2 X L. Hier ist die Blindleistung grösser Null. Kapazität [Vgl. Skript, V-40f.] Es gilt i = C du dt = jωcu Die Spannung u eilt dem Strom i um ϕ = π 2 = 90 nach. Kapazitiver Blindwiderstand X C = 1 ωc Impedanz: Z C = 1 jωc. Kapazitive Blindleistung Q = UI = U 2 ωc = I2 ωc Hier ist die Blindleistung immer negativ. Wirk- und Blindleistung Scheinleistung: S = UI = I 2 Z = U 2 Z Die Scheinleistung besteht im Allgemeinen aus einer Wirkund einer Blindkomponente; sie ist die geometrische Summe der beiden und es gilt S 2 = P 2 + Q 2. Wirkleistung: P = S cos ϕ = UI cos ϕ, Blindleistung: Q = UI sin ϕ = S sin ϕ. = cos ϕ An ihm erkennt man sofort, wie gross der Anteil der Wirkleis- Leistungsfaktor λ = P S tung ist Allgemeiner Sinusstromkreis Maschen- und Knotenregel Auch bei Sinusstrom gelten Maschen- Knotenregel, Allerdings unter Berücksichtigung der Phasenlage: Die Summe der komplexen Spannungen in einer Masche ist Null und die Summe der komplexen Ströme in einem Knoten ist Null. Beachte, dass auch hier beim Antreffen eines gegenläufigen Spannungspfeils diese Spannung negativ (geometrisch: Vektorrichtung ändert) in die Summe einfliesst; bei der Knotenregel werden ebenfalls einfliessende Ströme positiv und abfliessende Ströme negativ gezählt. 19

20 Rechnen mit Sinusstrom Mit komplexen Spannungen, Strömen und komplexen Widerständen (Impedanzen: Spulen, Kondensatoren) wird ganz normal gerechnet, einfach unter Verwendung der komplexen Werte, z. B. Z L und Z C. Es gelten dann die normalen Regeln für Serie- und Parallelschaltung, Stern-Dreieck- Umwandlung, etc Blindstromkompensation Hat man eine Last, die nicht ein reiner Wirkwiderstand ist, so fliesst mehr Strom, als für die reine Wirkleistung nötig wäre. Dies ist z. B. bei einem E-Motor der Fall, da dieser eine induktive Last ist. Man kann nun eine geeignete Kapazität parallel schalten, deren Blindleistung gegenphasig zu jener der Induktivität ist. Dies führt dazu, dass der Kreis gegen aussen nun nur noch Wirkleistung bezieht, also cos ϕ = 1 ist. Es muss also gelten Ortskurven I bc = I bl [Vgl. Skript, V-57ff.] Ortskurven ermöglichen einen schnellen Überblick über die Abhängigkeit einer komplexen Grösse (Betrag, Winkel) von einem Parameter, z. B. der (Kreis-)frequenz (Frequenzgang). Im Normalfall wird also im Diagramm nur eine Grösse, die Real- und Imaginärteil hat, vorkommen. Gerade und ihre Inversion im Komplexen Gerade, parallel zur reellen Achse: r(p) = pa + jb, parallel zur imaginären Achse: r(p) = a + jpb, wobei p der Parameter ist. Inversion einer solchen Gerade (s(p) = 1 r(p) ) ergibt einen (Halb)kreis, dessen eine Ende der Nullpunkt ist. Vorgehen: - Bestimmen der Extremalpunkte der Inversion: s(p ) =? und s(p = 0) =?. - Quadrant der Inversion: Man kann sagen, die Gerade sei so definiert: r(p) = re iϕ Bei der Inversion kehrt das ϕ das Vorzeichen; d. h. sind die Punkte der Gerade z. B. alle im zweiten Quadranten, so liegt der Halbkreis im ersten Reihen- und Parallel-Ersatzschaltung Geht bei linearen Netzwerken, in denen R, L, C unabhängig vom Strom i, der Spannun u sowie der Frequenz f sind. Die Idee ist, einen allg. Sinusstrom-Zweipol, z. B. eine Drossel, von dem man die Impedanz Z kennt, durch die idealen Standardelemente zu modellieren. 20

21 Reihen-Ersatzschaltung Strom I als Bezugszeiger. U wird in eine rein imaginäre und eine rein relle Komponente Zerlegt: Wirkspannung U w = U cos ϕ und Blindspannung U b = U sin ϕ; Gesamtspannung U = U w + ju b. Analog wird die Impedanz Z des Elements in einen Wirk- und Blindwiderstand aufgeteilt, wobei letzterer je nach Resultat eine Kapazität (negatives Resultat) oder eine Induktivität (positives Resultat) sein kann: R = U w /I = Z cos ϕ und X = U b /I = Z sin ϕ. Parallel-Ersatzschaltung Hier ist die Spannung U der Bezugszeiger, der Strom wird in Wirkstrom (reell) I w = I cos ϕ und Blindstrom (imag.) I b = I sin ϕ zerlegt. Dann gilt: Wirkleitwert G = I w /U = Y cos ϕ und Blindleitwert B = I b /U = Y sin ϕ, wobei Y der bekannte komplexe Leitwert Y = I/U des zu modellierenden Zweipols ist Bedingt äquivalente Schaltungen [Vgl. auch Skript, V-78] Manchmal ist es notwendig, eine Reihen-Ersatzschaltung mit Widerständen in eine Parallel-Ersatzschaltung mit Leitwerten oder umgekehrt umzuwandeln: Z = R + jx und Y = G + jb. Parallel aus Reihen: G = R und B = X. R 2 +X 2 R 2 +X 2 Reihen aus Parallel: R = G und X = B. G 2 +B 2 G 2 +B 2 Da B und G von ω abhängen sind die Ersatzschaltungen nur für eine bestimmte Frequenz gleichwertig bedingte Äquivalenz. Unbedingte Äquivalenz, also vollkommen gleicher Frequenzgang: Siehe Skript, V-88f Ersatzquellen Jedes beliebige Sinusstromnetzwerk kann bezüglich zweier Klemmen a und b als Ersatzspannungsquelle oder Ersatzstromquelle mit jeweils demselben Innenwiderstand Z i dargestellt werden: - U qe = U al = Leerlaufspannung zw. Klemmen a und b. - I qe = I ak = Kurzschlussstrom über die Klemmen a und b. - Z i = U qe /I qe = U al /I ak. Innenwiderstand kann auch bestimmt werden, in dem man alle Quellen im Originalnetz auf Null setzt und dann die Widerstände zusammenfasst (vgl. auch Thévenin- und Norton-Äquivalent, NuS I) Überlagerungsgesetz Bei linearen Netzwerken (R, L und C unabh. von Strom und Spnnung sowie Quellen ideal) dürfen komplexe Spannung U und komplexer Strom I überlagert werden. Die Wirkleistun P darf nicht überlagert werden. Vorgehen analog wie mit Gleichstrom (NuS I), sofern beide Quellen mit der gleichen Frequenz arbeiten. Überlagerung von Sinus- und Gleichstrom Hier wird der Überlagerungssatz getrennt für Gleichund Wechselströme angewendet. Dabei ist zu beachten, dass für den Gleichstromkreis eine Induktivität ein Kurzschluss darstellt sowie eine Kapazität eine Unterbrechung! Bsp.: Der Gleichspannungsanteil legt einen Arbeitspunkt fest, um den der Wechselspannungsanteil oszilliert (Transistorverstärker). 21

22 Überlagerung zweier Sinusstromquellen unterschiedlicher Frequenz [Vgl. Skript, V-108ff.] Solange die Differenz der Frequenzen gross ist, gibt es eine normale Überlagerung. Sind die Frequenzen allerdings nahezu gleich, entsteht eine Schwebung. 2.3 Magnetische Kopplung, Übertrager Induktionsgesetz u q = N dφt dt Eine Änderung des magnetischen Flusses induziert eine Spannung. Diese ist gemäss der Lenz schen Regel so gerichtet, dass ein durch sie hervorgerufener Strom ein der Flussänderung entgegengerichtetes Feld aufbauen würde. Das passiert auch in einer einzelnen Induktivität: Selbstinduktivität u q = L di dt, ausserdm ist L = N Φt i Gegeninduktivität [Vgl. auch Skript, V-112ff.] Zwei benachbarte Leiter (Spulen) induzieren bei Stromdurchfluss jeweils eien Spannung im anderen Leiter (Spule). Vorsicht beim Wicklungssinn: Punkt im Induktivitätssymbol kennzeichnet Wicklungsanfang. Siehe Skript! Idealer Übertrager Anordnung aus gleichsinnig gewickelten Spulen, keine Wirkwiderstände, Kern mit Permeabilität µ = (magn. Widerstand Null), keine Ummagnetisierungsverluste, Betrieb mit Sinusspannungen. Übersetzungsverhältnis der Sinusspannungen: ü = U 1 U 2 = N 1 N 2 ( = I ) 2 I 1 Die Ströme verhalten sich, falls Sekundärseite belastet, gerade umgekehrt wie die Spannungen. Die Leistungen sind beim idealen Übertrager auf beiden Seiten gleich: P 1 = P 2. Leerlauf i µ = 0. Primärseite angeschlossen, aber kein Last: Idealer Übertrager nimmt keinen Stom auf: Hauptinduktivität Auch Magnetisierungsinduktivität: Primärseitig parallel zum idealen Übertrager. Impedanztransformation Die Primärseite sieht eine Impedanz auf der Sekundärseite durch den Übertrager anders, als sie tatsächlich ist. Dies lässt sich zur Impedanzanpassung ohne Spannungsteiler etc. verwenden. Widerstände werden quadratisch mit dem Übersetzungsverhältnis auf die grössere Windungszahl hinauftransformiert: ( ) 2 Z 1 = Z 2 I2 = Z 2 = Z 2 ü 2 Man kann nun Sekundärgrössen auf die Primärseite umrechnen und dann den Üertrager weglassen (natülich auch umgekehrt). Für das Umrechnen von Spannungsquellen (Stromquellen) verwendet man die Formel für ü von oben. I 1 22

23 Idealisierter Lufttransformator [Vgl. Skript V-124ff.] Man berücksichtigt nun die Permeabilität der Luft µ 0, und somit fliesst jetzt ein rein induktiver Magnetisierungsstrom I 1µ und damit wird das Strom-Übersetzungsverhältnis gestört, es gilt nun: I 1 = I 1µ + I 2. Die andere Eigenschaften bleiben erhalten. Berücksichtigt man noch die Streuung, die dadurch entsteht, dass die Querschnittsflächen der beiden Spulen nicht genau Deckungsgleich sind, wird es noch komplizierter; man kann dann jeweils zwei Leerlauf- und zwei Kurzschlussversuche durchführen: - Speisung primär, sekundär offen: U 2l = U 1 ü A2 A 1 - Speisung sekundär, primär offen: U 1l = U 2 ü A - Speisung primär, sekundär Kurzschluss: I 1k = I 1 1l A 1 A 2 = U 1 A X 1k und I 2k = üi 1k = üi 1 1l A 1 A Speisung sekundär, primär Kurzschluss: I 1k = I 2l ü A 2 A 1 A 2 = U 1 A X 1k sowie I 2k = I 1 2l A 1 A 2 = U 2 X 2k Dabei ist X 1l der primäre Leerlaufblindwiderstand, nämlich ωl 1, etc. Vgl. auch Skript für Bsp. und Details: V-126ff. Berechnung der Induktivitäten: L 1 = N 2 1 µ 0A 1 l m l m : mittlere magn. Weglängen, A 1 : Querschnitt Ersatzschaltung Aus den obigen Überlegungen kann man vier Blindwiderstände berechnen: X 1l = U 1 /I 1l, X 1k = U 1 /I 1k, X 2l = U 2 /I 2l und X 2k = U 2 /I 2k. Damit lassen sich zwei gleichwertige Ersatzschaltungen darstellen, wobei der Übertrager ideal ist mit ü = N 1 /N 2 : Weitere Details, z. B. zur Wahl der Ersatzschaltung siehe Skript, V-134ff. Eisenkerntransformator Vorteil: Durch höhere Permeabilität des Eisens geringerer Magnetisierungsstrom. Nachteil: Eisenverluste (Hysterese, etc.). Siehe Skript, V-136ff. Grenzfrequenzen [Vgl. Skript, V-144ff.] Ersatzschaltungen Sinusstrom-Leitung [Vgl. Skript, V-149.] Drossel Eisenverluste R F e parallel zur Induktivität, Stromwärmeverluste R Cu in Serie. Der Phasenwinkel zwischen Strom und Spannung ist nun kleiner als Verlustwinkel: δ = 90 ϕ - bzw. Verulstfaktor: tan δ = R cu /X L = R cu /(ωl) 23

24 - Gütefaktor: Q L = 1/ tan δ = ωl R Falls ohne Eisenkern: R F e kann weggelassen werden. Umwandlung von R cu in Parallelwiderstand über Q L : R P = Q L ωl Kapazität Es treten Ableitungs- und Oberflächenverluste auf, die dadurch entstehen, dass das Isolationsmaterial eben trotzdem einen ganz geringen Leitwert besitzt. - Verlustwinkel: δ = 90 + ϕ - bzw. Verlustfaktor: tan δ = I R /I C = X C /R = G/(ωC) - Verluste: V d = GU 2 = U 2 ωc tan δ Im Ersatzschaltbild befindet sich also ein Leitwert parallel zur Kapazität Wechselstrombrücken Eigentlich analog wie mit Gleichstrom: Die Brücke ist abgeglichen, wenn die Spannung im Querzweig verschwindet. Allerdings muss dies hier für die komplexen Widerstände gelten. D. h. die Spannungen in den parallel Brückenzweigen müssen gleich sein: U 1 = U 3 und U 2 = U 4. Z 1 /Z 2 = Z 3 /Z 4. Beträge: Z 1 Z 4 = Z 2 Z 3 und für die Phasenwinkel: ϕ 1 + ϕ 4 = ϕ 2 + ϕ Schwingkreise Kenngrössen von Schwingkreisen - Kennkreisfrequenz: ω 0 = 1/ LC (auch: Eigenfrequenz oder Resonanzfrequenz des ungedämpften Schwingkreises). - Kennwiderstand: Z 0 = L/C Kennleitwert Y 0 = C/L - Gütefaktor: Q = Z 0 /R = Y 0 /G Dämpfung: d = 1/Q - Bandbreite: b ω = ω 2 ω 1 = ω 0 /Q, wobei ω 1, ω 2 untere bzw. obere Grenzkreisfrequenz. Bei ω 1 und ω 2 ist der Betrag der Schwingenden Grösse auf das 1/ 2-fache des Maximums S ϱ abgesunken. Die sich dann einstellende Phasenverschiebung beträgt ϕ = 45. Die Resonanzkurve ist um so steiler ( schmaler ), je höher die Güte des Kreises ist, die Bandbreite wird dann also kleiner. D. h. um dieses Ziel zu erreichen muss man möglichst verlustarme Spulen und Kondensatoren verwenden Freie Schwingung [Skript, V-158ff.] Der Schwingkreis (bestehend aus R, L und C) wird nach Aufladen eines Energiespeichers sich selbst überlassen. Maschenregel etc. führen auf homogene lineare DGL 2. Ordnung, deren Lösung eine (abklingende) Schwingung ist (vgl. auch NuS I), also von der Form: u c = Ue pt, wobei p die komplexe Kreisfrequenzt ist. Es gilt: p 1,2 = δ ± j ω0 2 δ2 = δ ± jω δ = R 2L ω 0 = 1 LC Dabei ist δ die Abklingkonstante und ω die Eigen-Kreisfrequenz. Für δ > ω 0 ergibt sich die aperiodische Lösung; für δ > ω 0 zusammen mit den Anfangsbedingungen abklingende periodische 24

25 Funktionen für Spannung und Strom der Form: u c = U 0 e δt [ cos(ωt) + δ ω sin(ωt) ] i = C du c dt = U 0 ωl e δt sin(ωt) Wenn δ gross wird, geht die Phasenverschiebung unter 90. Freie ungedämpfte Schwingung Wenn δ = 0 (auch schon δ 0) wird, wird die Kenn-Kreisfrequenz ω 0 zur Eigen-Kreisfreqenz ω und damit die komplexe Frequenz zu p 1,2 = ±jω 0. Es gilt dann: u C = u L = U 0 cos(ω 0 t) i = U 0 ω 0 L sin(ω 0t) = U 0 ωc sin(ω 0 t) Die Phasenverschiebung ist 90 ; ausserdem wird keine Energie irreversibel umgewandelt, reine Pendelung zwischen L und C. Der Energieinhalt ist konstant: W t = (Cu 2 /2) + Li 2 /2 = const Erzwungene Schwingung [Skript, V-165ff.] Der Schwingkreis wird nun von aussen mit einer Sinusspannung u = û cos(ωt + α) angeregt. Nur bei ω 0 ist der maximale Energieinhalt von L und C gleich (!) dann muss der Erreger nur Wirkleistung (die Dämpfungsenergie) liefern (Resonanz). Bei allen anderen ω wird zusätzlich eine Leistungspendelung überlagert, um die Differenz Speicherenergien auszugleichen. Reihenschwingkreis [Skript, V-168ff.] Resonanzfrequenz, bei der der Erreger nur noch Wirkleistung liefert, ist hier gliech der Kennkreisfrequenz: ω ϱ = ω 0 = 1/ LC - Resonanzstrom: I ϱ = U/R ist reiner Wirkstrom. - Kennwiderstand: Z 0 = ω 0 L = 1/(ω 0 C) = L/C - Spannungsspitzen bei Resonanz: U L,ϱ = I ϱ ω ϱ L und U C,ϱ = I ϱ /(ω ϱ C) Bei Resonanz können die Spannungen über L und C auf ein Vielfaches der Erregerspannung anwachsen. Ausserdem ändert sich der Phasenwinkel mit der Frequenz von 90 bis 90, wobei er bei der Resonanzfrequenz 0 ist. Dies, weil die Impedanz des Kreises mit steigender Frequenz von eher kapazitivem Charakter zu eher induktivem ändert. Grössere Dämpfungen Maxima von Strom I und Spannungen U C und U L liegen nur solange bei der selben Resonanzfrequenz f ϱ wie der Wirkwiderstand R klein ist gegenüber dem Resonanz- Blindwiderstand (Kennwiderstand). Kurvenverläufe: - I = U/ R 2 + [ωl 1/(ωC)] 2 - U L = IωL = UωL/ R 2 + [ωl 1/(ωC)] 2, Max. bei f L,ϱ = 1 2π - U C = I/(ωC) = U/(ωC R 2 + [ωl 1/(ωC)] 2 ), Max. bei f C,ϱ = 1 2π Parallelschwingkreis 2 2LC R 2 C 2 1 LC R2 2L 2 [Skript, V-172ff.] Vieles Analog wie beim Serieschwingkreis. - Kennleitwert Y 0 = ω 0 C = 1/(ω 0 L) = C/L, Resonanzstrom bei ω ϱ = ω 0 : I ϱ = UG 25

26 - Wenn L und C je noch einen Widerstand in Serie haben: f r = ω R 0 L 2 L C 2π. RC 2 L C Impedanz: Parallelschwinkreis blockt bei Resonanzfrequenz, Reihenschwingkreis lässt bei Resonanzfrequenz durch; die Impedanz ist Frequenzabhängig! Einsatz als Filter! Resonanztransformation Ziel: Leistungsanpassung. Vor allem bei hohen Frequenzen möchte man auch schmalbandige Anpassung haben. Aus den Anpassungsbedingungen folgt: a) X 2 = ± R a (R i R a ) a) R i > R a, b) R a > R i X 1 = R a R i X 2 b) X 2 = ±R a R i R a R i X 1 = R a R i X 2 Blindwiderstände haben immer entgegengesetztes Vorzeichen, d. h. Induktivität und Kondensator. 2.5 Sinusstrom, dreiphasig [Skript, V-187ff.] Um einen Generator effizienter zu machen, werden 3 Wicklungen verwendet: Es entstehen 3 Sinusspannungen mit gleicher Frequenz f und gleichem Effektivwert, die jeweils um 120 gegeneinander Phasenverschoben sind. u U = û U sin (ωt) ( u V = û V sin ωt 2π 3 Für die komplexen Effektivwerte gilt: U U + U V + U W = Bezeichnungen ) ( u W = û W sin ωt 4π 3 Mittelpunkt N Punkt, der allen gleichwertigen Strombahnen gemeinsam ist; in Mehrphasensystem: Sternpunkt, von ihm geht der Mittelleiter N aus. Strang Einzelner Zweipol, liegt zw. zwei Aussenleitern oder einem Aussenleiter und dem Mittelleiter. Sternspannung U Spannung zwischen Aussenleiter und Sternpunkt. Aussenleiterspannung U Spannung zwischen zwei aufeinanderfolenden Aussenleitern. Dreieckspannung U Aussenleiterspannung. ) Strangspannung U Str Spannung an Strangwicklung oder Verbraucherstrang Symmetrische Mehrphasensysteme [Skript, V-192ff.] Mehrphasen-Spannungssystme werden als symmetrisch bezeichnet, wenn alle Strangspannungen gleich gross und gegeineinander um 2π/m zeitlich phasenverschoben sind. 26

27 Symmetrische Sternschaltung [Skript, V-195ff.] Der Verbraucher besteht aus 3 völlig gleichen komplexen Widerständen Z. Die Aussenleiterströme sowie die Sternspannungen (U 1 etc.) zeigen auf den Mittelpunkt N des Verbrauchers; bei den Aussenleiterspannungen (U 12 etc.) geben die Indizes die Richtung der Pfeile an. Für die Generator-Strangspannungen gilt: U 2 = U sowie U 3 = U Für die Strangspannungen gilt: U 12 = U 1 U 2, U 23 = U 2 U 3 und U 31 = U 3 U 1. Verhältnis von Aussenleiterspannung U zu Strangspannung U Str bzw. Sternspannung U = U Str. ist: U U = U U Str = 2 cos 30 = 3 also: U Str = 1 3 U Achtung: Beträge!. Hier sind die Strang- und die Aussenleiterströme einander (betragsmässig!) gleich: I Str = I = I. Der Mittelleiterstrom I M = I 1 + I 2 + I 3 = 0 verschwindet, der Mittelleiter darf daher bei exakt symmetrischen Systemen weggelassen werden. Vorsicht: Beim Rechnen aufpassen, zwischen welcher Spannung welchem Strom die Phasenverschiebung ist! [Vgl. auch Skript, V-197]. Symmetrische Dreieckschaltung [Skript, V-198ff.] Aussenleiterspannung und Strangspannung sind gleich gross: U Str = U = U (Beträge!). In einer symmetrischen Dreiecksschaltung verursachen die Aussenleiterspannungen die Strangströme I 12 = U 12 Z I 23 = U 23 Z I 31 = U 31 Z und die Aussenleiterströme I 1 = I 12 I 31 = I I 2 = I 23 I 12 = I 120 I 3 = I 31 I 23 = I 120 Schliesslich gilt: I = I = 2 cos 30 = 3 I Str I Achtung: Beträge! 27

28 Leistung bei symmetrischen Drehstromsystemen [Skript, V-203f.] Leistungen eins symmetrischen Dreiphasennetzes bei symmetrischer Belastung. Leistung pro Strang: S t = U Str I Str cos ϕ U Str I Str cos(2ωt + ϕ) Die anderen Stränge gleich, einfach Phasenverschiebung von 120. Sternschaltung Spannungen: U = U Str = U/ 3, Ströme: I = I Str = I Dreieckschaltung Spannungen: U = U Str = U, Ströme: I = I Str = I/ 3 Scheinleistung der 3 Stränge: S = 3U Str I Str = 3UI Wirkleistung gesamt: P = 3UI cos ϕ Blindleistung gesamt: Q = 3UI sin ϕ Dabei ist ϕ der Phasenwinkel, der sich stets auf Strangrössen bezieht, z. B. bei Sternschaltung auf Sternspannung und Aussenleiterstrom. Beachte, dass die übertragene Leistung (Wirkleistung) konstant ist! Unsymmetrische Dreiphasenbelastung [Skript, V-206ff.] Die elektrische Energie wird an Kleinverbraucher über Vierleiternetze verteilt, was zu einer unsymmetrischen Belastung des Dreileiternetzes führt. - Aussenleiterspannung: 400 V - Leiter-Mittelpunktspannung: U = 400 V/ V Weiteres im Skript. Bedingung: I 1 + I 2 + I 3 = 0 ist durch fehlenden Nullleiter aufgezwungen: Bei Dreieckschaltung: Aussenleiterspannungen bleiben Symmetrisch und die Strangströme werden asymmetrisch (V-211); Sternschaltung: Strangströme bleiben symmetrisch, Strangspannungen werden asymmetrisch (V- 212). Wichtig: Man kann auch Dreieck- in Sternschaltungen umrechnen (oder umgekehrt), weil dann jeweils bestimmte Grössen einfacher zu berechnen sind [Skript, V-213f.]! Weiteres Stichworte: Blindleistungskompensation, Drehfelderzeugung, Leistungsmessung in Mehrphasensysteme Siehe Skript, V-204ff. 2.6 Zweitore [Skript, V-247ff.] Ein Zweitor (Vierpol) modelliert das Verhalten einer beliebigen Schaltung bezüglich des Verhaltens von Ein- und Ausgang. Der genaue Schaltungsafbau interessiert nicht (Blackbox). Dadurch ergeben sich Verfahren für eine Netzwerkanalyse und Gesetze für die Synthese von Netzwerken mit gewünschten Übertragungseigenschaften. Wie betrachten nur passive lineare Zweitore. 28

29 2.6.1 Zweitorgleichungen Betriebsfall: Zwei Klemmen sind ein Tor und Element ist passiv und lineare: I 1 = I 3 und I 2 = I 4. Durch die beiden Kirchhof-Gesetze sind Ströme und Spannungen miteinander verbunden; die Eigenschaften lassen sich durch ein homogenes lineares Gleichungssystem darstellen: a 11 U 1 + a 12 U 2 + b 11 I 1 + b 12 I 2 = 0 (2.1) a 21 U 1 + a 22 U 2 + b 21 I 1 + b 22 I 2 = 0 (2.2) Diese Gleichungen können nach den Spannungen (Widerstandsform) oder nach den Strömen (Leitwertform) aufgelöst werden. Die Paramter dürfen Frequenzabhängig etc. sein! Leitwertform [Skript, V-251f.] I 1 und I 2 berechnen, wenn U 1 und U 2 gegeben sind. I 1 = Y 11 U 1 + Y 12 U 2 I 2 = Y 21 U 1 + Y 22 U 2 Bei symmetrischen Zweitoren gilt Y 12 = Y 21. Bestimmen der Y -Parameter bei geg. Netzwerk durch rechnen, sonst durch Messung: Siehe Skript, V-252. Widerstandsform [Skript, V-253f.] Spannungen berechnen, wenn die Ströme gegeben sind. U 1 = Z 11 I 1 + Z 12 I 2 U 2 = U 21 I 1 + Z 22 I 2 Bei symmetrischen Zweitoren ist Z 12 = Z 2 1. Berechnung der Z-Parameter: Skript, V-254. Hybridform [Skript, V-255] U 2 und I 1 gegeben, andere beiden gesucht. U 1 = H 11 I 1 + H 12 U 2 I 2 = H 21 I 1 + H 22 U 2 Berechnung der H-Parameter und Ersatzschaltbild im Skript. Kettenform [Skript, V-256f.] U 1 und I 1 in Abhängigkeit von U 2 und I 2 (auch hier komplexe Grössen, aber das weige underline nervt) angeben. Achtung: Kettenzählpfeilsystem!!! U 1 = A 11 U 2 + A 12 I 2 I 1 = A 21 U 2 + A 22 I 2 29

30 Berechnung der Kettenparameter A mn im Skript, V Matrizendarstellung Man kann die jeweils vier Parameter in einer Matrix schreiben, und dann Matrixgleichungen aufstellen, z. B.: ( ) ( ) ( ) ( ) U 1 A11 A = 12 U 2 U = A 2 I 1 A 21 A 22 I 2 I 2 Hintereinanderschalten von zwei Zweitoren [Skript, V-259f.] Die Kettenmatrix A der Gesamtschaltung ergibt sich aus dem Produkt der Kettenmatrizen A und A der Teilzweitore Kopplungssymmetrie [Skript, V-260f.] Alle passiven Zweitore sind reziprok oder kopplungssymmetrisch: Leerlaufspannung eines Klemmenpaares für beide Übertragungsrichtungen gleich, wenn dem jeweils anderen Klemmenpaar der gleiche Quellenstrom eingeprägt wird. Entsprechend: An einem Klemmenpaar gemessener Kurzschlusstrom der durch die jeweils gleiche Spannung am anderen Klemmenpaar erzeugt wird ist für beide Richtungen gleich gross Widerstandssymmetrie Z 21 = Z 12 bzw. Y 12 = Y 21 [Skript, V-262ff.] Übertragungseigenschaften bleiben bei Vertauschen der Ein- und Ausgangsklemmen gleich. Daher sind zusätzlich auch die Leerlaufwiderstände und die Kurzschlussleitwerte an beiden Klemmenpaaren gleich gross: Ersatzschaltungen Z 11 = Z 22 und Y 11 = Y 22 [Skript, V-264ff.] Links: T -Ersatzschaltung, rechts: Π-Ersatzschaltung. T-Ersatzschaltung Zusammenhang zwischen Z-Parametern: Z 11 = Z I + Z II Z 21 = Z 12 = Z II Z 22 = Z III + Z II Bei widerstandssymmetrischen Zweitoren ist zusätzlich Z I = Z III. 30

31 Π-Ersatzschaltung Zusammenhang zwischen Y -Parametern: Y 11 = Y II + Y I Y 21 = Y 12 = Y I Y 22 = Y III + Y I Bei widerstandssymmetrischen Zweitoren zusäzlich Y II = Y III Beschaltete Zweitore [Skript, V-268ff.] Quelle U q mit Innenwiderstand Z i, Last Z a. Man geht z. B. von der Widerstandsform aus und berücksichtigt, dass U 2 = Z a I 2 und U 1 = U q Z i I 1. Achtung: Ketten-Zählpfeile! Komplexer Eingangswiderstand Das Zweitor transformiert den Lastwiderstand Z a in den komplexen Eingangswiderstand Z 1 = U 1 /I 1, bei Z-Parametern gilt: Z 1 = Z 11 + Z 12Z 21 Z a Z 22. Komplexer Ausgangswiderstand Z 2 = U 2 /I 2 und mit Z-Parametern: Z 2 = Z 21Z 12 Z i +Z 11 Z 22 Komplexe Übertragungsfunktion [Skript, V-270] Stromübertragungsfaktor: T I = I 2 /I 1 = Z 21 /(Z a Z 22 ) Spannungsübertragungsfaktor: T U = U 2 /U 1 = Z 2 Z a /(Z 11 (Z a Z 23 ) + Z 12 Z 21 Wellenwiderstand [Skript, V-271f.] Der Wellenwiderstand Z L eines symmetrischen Zweitores ist derjenige Abschlusswiderstand Z a, bei dem an den Eingangsklemmen der gleiche komplexe Eingangswiderstand auftritt: Z 1 = Z a = Z L. Er ist das geometrische Mittel aus Leerlaufwiderstand Z l und Kurzschlusswiderstand Z k. Z L = Z l Z k Z l,1 = U 1 /I 1 füri 2 = 0 und Z k,1 = U 1 /I 1 für U 2 = 0. Wenn das Zweitor symmetrisch ist sind Leerlauf- und Kurzschlusswiderstände an den Eingangs- und Augangsklemmen gleich: Z l = Z l,1 = Z l,2 = A 11 /A 21 = A 22 /A 21 und Z k = Z k,1 = Z k,2 = A 12 /A 22 = A 12 /A 11. Bei unsymmetrischen Zweitoren gibt es am Eingang und am Ausgang unterschiedliche Wellenwiderstände! 2.7 Fourier- und Laplacetransformation Fourierreihen Eine beliebige periodische Funktion kann durch eine Kombination von Sinus- und Kosinusfunktionen dargestellt werden. Je mehr solche Terme verwendet werden, desto besser wird die Näherung. Für ν stellt die Reihe die Funktion exakt dar. Reelle Fourierreihe f(t) = a 0 + a ν cos(νωt) + b ν sin(νωt) ν=1 ν=0 31

32 Koeffizienten: a 0 = 1 T t0 +T t 0 f(t)dt a ν = 2 T t0 +T t 0 f(t) cos(νωt)dt b ν = 2 T t0 +T t 0 f(t) sin(νωt) Gerade Funktion f(t) = f( t) Nur Gleichanteil und Kosinusanteile, d. h. b ν = 0 ν. Ungerade Funktion f(t) = f( t) Nur Gleichanteil und Sinusanteile, d. h. a ν = 0 ν. Alternierende Zeitfunktionen g ν (t) = gν(t + T/2) Fkt., bei denen die negative Halbschwingung bis auf das Vorzeichen mit der poitiven identisch ist nur Anteile ungeradzaliger Ordnung, d. h. a 0 = 0, a 2µ = b 2µ = 0. Komplexe Fourierreihe f(t) = a 0 + c ν e jνωt c ν = 1 T ν= t0 +T t 0 f(t)e jνωt, ν = 0, ±2, ±2,... Spektraldarstellung [Skript, V-232f.] Jedes Zeitsignal hat eine Repräsentation im Frequenzbereich. Der Teilfunktion f(t) = sin ω 0 t entspricht eine Linie an der Stelle ±ω 0 in der Spektraldarstellung; Betrag: c ν. Reell: nur bei +ω 0, dafür zwei Darstellungen für die a ν und b ν. Die Höhe einer Spektrallinie ist ein Mass dafür, wie viel der Gesamtenergie im Originalsignal auf die betreffende Frequenz fällt. Die Hüllkurve y H (f) erhält man, indem man von der diskreten Frequenz νf bzw. νω auf eine kontinuierliche Frequenz f übergeht. Einige wichtige Fourierreihen Begriffe: Gleichglied y = 1 T y dt; Gleichrichtwert y = 1 T y dt; ν=1 Effektivwert des Wechselanteils y eff = yν,eff 2 ; Scheitelfaktor ξ = ŷ/y eff ; Formfaktor F = y eff / y. T 0 T 0 32

33 Rechnen mit Fourierreihen Differentiation: Kenngrössen df(t) dt jνω 0 c ν Integration: t 0 f(µ)dµ 1 jνω 0 c ν, (c 0 = 0) Schwingungsgehalt (für Mischgrössen) s = I I Grundschwingungsgehalt (für reine Wechselgrössen) g = I 1 I Klirrfaktor (ebenfalls für Wechselgrössen) k = 1 g 2 Leistung [Skript, V-243f.] Wirkleistung bei nichtlinearen Strömen und Spannungen: P = ν=1 P ν = ν=1 U ν I ν cos ϕ ν, wobei ϕ ν die Phasenverschiebung ϕ uν ϕ iν zwischen Strom und Spannung der Schwingung mit Ordnungszahl ν ist. Falls Strom und Spannung Mischgrössen: Zusätzlich P = U I zu berücksichtigen. Lineare Verzerrungen [Skript, V-237ff.] Bei Kapazität und Induktivität, bei denen eine Differential/Integral-Beziehung zwischen Strom und Spannung besteht, kommt es dadurch zu einer unterschiedlichen Gewichtung der einzelnen harmonischen. Dies führt dazu, dass im allgemeinen der Kurvenverlauf der Ausgangsgrösse von jenem der Eingangsgrösse abweicht! 33

34 Bei der Kapazität nimmt der kapazitative Blindwiderstand mit steigendem ν ab und daher treten die Oberschwingungen in der Stomkurve viel stärker in Erscheinung als in der Spannungsschwingung. Der induktive Blindwiderstand wächst hingegen mit der Ordnungszahl ν, die Stromkurve ist also weniger verzerrt als die angelegte Spannung Glättungsdrossel. Nichtlineare Verzerrungen [Skript, V-240f.] Enhält eine Schaltung nichtlineare Elemente, z. B.Gleichrichter, etc., so entstehen beim Anlegen von Sinusgrössen Oberschwingungen, die man nichtlineare Verzerrungen nennt. Es treten im Ausgangssignal zusätzliche Frequenzen auf, die im Eingangssignal noch nicht vorhanden waren. Gleichrichterschaltungen [Skript, V-241ff.] Übergangsverhalten [Skript, V-274ff.] Bis jetzt wurden nur stationäre Situationen betrachtet. Nun sollen Einschaltvorgänge, sprunghafte Spannungsänderungen etc. betrachtet werden. Solche Übergangszuständen münden nach einer bestimmten Zeit in einen stationären Endzustand. Problem: Eine Sprunghafte Energieänderung ist nicht möglich, da dazu unendlich hohe Leistung benötigt würde. Bsp.: Spannung an C kann nicht springen, ebenso kann Strom in L nicht springen. Einige typische Eingangsfunktionen Einheits-Sprungerregung (Heaviside, auch σ) x e (t) = ɛ(t) = Einheits-Anstiegserregung r(t) = ɛ(t)dt, Anstiegsantwort: v(t). { 0 t < 0 1 t 0, Sprungantwort: x a (t). Impulsantwort δ(t) = dɛ(t) dt Dirac-Impuls: überall 0 ausser bei 0, dort ist er -hoch, so dass gilt δ(t)dt = 1, Impulsantwort: g(t). stationäre Sinuserregung Muss für genaue Aussagen für alle Frequenzen f durchgeführt werden! Frequenzgang! Ausgangs und Eingangsgrössen können sich durch Amplitudenverhältnis F und Phasenwinkel ϕ unterscheiden. Komplexer Frequenzgang [Skript, V-277f.] F = F e jϕ = F ϕ = x aω x eω Dabei sind x aω und x eω komplexe Augenblickswerte x = ˆxe j(ωt+ϕ) von Ausgangs- und Eingangsgrösse dar. Man erhält einen Amplitudengang F (ω) und einen Phasengang ϕ(ω). 34

35 2.7.3 Fouriertransformation F (ω) = t= f(t)e jωt dt (Hintrafo) f(t) = 1 2π ω= F (ω)e jωt dω (Rücktrafo) Eigenschaften Linearität Die Fouriertrafo ist linear. Verschiebungssatz f(t t 0 ) e jωt 0 F (ω) Differentiation der Zeitfunktion f(t) jωf (ω) Berechnen von QLZ-Netzwerken Quellenlose, lineare, zeitinvariante Netzwerke können zum einen über die Elementgleichungen, Knoten- und Maschenregel berechnet werden oder aber über den Umweg in den Frequenzbereich und die (komplexe) Übertragungsfunktion. Aufgrund der Eigenschaften von Fourier- und Laplacetrafo bezüglich Differentiation kann so das mühsame Lösen von DGLs umgangen werden Laplacetransformation Die Fouriertrafo versagt bei Funktionen, die erst ab einem bestimmten Einschaltzeitpunkt beginnen und dann bis t betrachtet werden. Dafür ist die Laplacetrafo besser geeignet. Man führt die neue Variable s = σ + jω ein und dann gilt: F (s) = 0 f(t)e st dt (Hintrafo) f(t) = 1 σ+j F (s)e st ds t > 0 (Rücktrafo) 2πj σ j Eigenschaften Addition f 1 (t) + f 2 (t) F 1 (s) + F 2 (s) Multiplikation mit Konstanten cf(t) cf (s) Ähnlichkeit f(at) für a > 0 1 a F ( s a ) Dämpfung f(t)e δt (δ > 0) F (s + δ) Verschiebungssatz f(t t 0 ) e st 0 F (s) für t 0 > 0. Differentiation f(t) F (s), f (t) sf (s) f(+0) und f (t) s 2 F (s) sf(+0) f (+0) Integration t 0 f(τ)dτ 1 s F (s) 35

36 Laplace Korrespondenztabelle Zeitbereich Frequenzbereich Zeitbereich Frequenzbereich δ(t) 1 ɛ(t) 1 s r(t) = t = ɛ(t)dt 1 s 2 t 2 2 = r(t)dt 1 s 3 e at 1 s+a 1 e at 1 s(s+a) te at 1 (s+a) 2 t n e at n! (s+a) n+1 e t/t T 1+T s 1 e t/t 1 s(1+t s) t 1 s 2 t n n! s n+1 sin(at) a s 2 +a 2 cos(at) s s 2 +a 2 sinh(at) a s 2 a 2 cosh(at) s s 2 a 2 ln(at) 1 s (ln s a + γ) Weitere Korrespondenzen siehe Skript, V Übertragungsfunktion Ausgangszeitfunktion x 2 (t) eines linearen Übertragungssystemes ist mittelbar durch die Übertragungsfunktion F (s) mit der Eingangszeitfunktion x 1 (t) verknüpft. F (s) stellt das Verhältnis der Spektraldichten von Eingangs- zu Ausgangsgrösse dar: F (s) = X 2(s) X 1 (s) X 2 (s) = F (s)x 1 (s) wobei X 1 (s) x 1 (t) und X 2 (s) x 2 (t). Bei passiven RLC-Netzwerken ist die Übertragungsfunktion immer eine gebrochen rationale Funktion. Oft werden die Terme schöner, wenn man für RC etc. einfach T o. ä. schreibt, also Zeitkonstanten abkürzt. Gerade bei Hoch- und Tiefpassgliedern sehen dann die Übertragungsfunktionen jeweils für die Variante mit L und mit C gleich aus. R, C und L im Bildbereich [Skript, V-301f.] Für das Aufstellen der Übertragungsfunktion ist es hilfreich, eine ganze Schaltung in den Bildbereich transformieren zu können, dann kann nämlich auf das Aufstellen der DGL verzichtet werden. Das Originalnetzwerk wird in ein Bildnetzwerk mit entsprechenden Bildströmen, -spannungen und symbolischen Widerständen transformiert, in dem formal die normalen Gesetze (Kirchhoff, etc.) gelten. Für die Übertragungsfunktion gilt dann: F (s) = U a (s)/u e (s). Anfangsspannung beim Kondensator: Spannungsquelle mit Wert U 0 s Induktivität: Stromquelle mit Wert I 0 s parallel. in Serie; Anfangsstrom bei der 36