Strukturdynamik diskreter Systeme

Transkript

1

2

3

4 Sukudynamik disk Sysm von Pof. D.-Ing. Fidich U. Mahiak Oldnboug Vlag Münchn

5 Pof. D.-Ing. Fidich U. Mahiak wa nach sinm Sudium ds Bauingniuwsns an d Tchnischn Univsiä Blin Wissnschaflich Assisn am. Insiu fü Mchanik. Do pomovi üb Einflussflächn isoop schublasisch Rchckplan. Es folgn Foschungsäigkin in d Bundsansal fü Maialfoschung und -püfung (BAM) in Blin auf dm Gbi ds Sahlungsausauschs schwaz isohm Flächn und d dynamischn Unsuchung von Knkafwkn. In d sich anschlißndn Täigki in d Auomobilindusi wa schwpunkmäßig auf dm Gbi d Simulaion d Blchumfomung äig. Im Jah 1994 folg d Ruf an di Hochschul Nubandnbug, an d in Pofssu fü Tchnisch Mchanik und Bauinfomaik inn ha. Bibliogafisch Infomaion d Duschn Naionalbibliohk Di Dusch Naionalbibliohk vzichn dis Publikaion in d Duschn Naionalbibliogafi; dailli bibliogafisch Dan sind im Inn üb <hp://dnb.d-nb.d> abufba. 010 Oldnboug Wissnschafsvlag GmbH Rosnhim Saß 145, D Münchn Tlfon: (089) oldnboug.d Das Wk inschlißlich all Abbildungn is uhbchlich gschüz. Jd Vwung außhalb d Gnzn ds Uhbchsgszs is ohn Zusimmung ds Vlags unzulässig und safba. Das gil insbsond fü Vvilfäligungn, Übszungn, Mikovfilmungn und di Einspichung und Babiung in lkonischn Sysmn. Lkoa: Anon Schmid Hsllung: Anna Goss Covnwuf: Kochan & Pan, Münchn Gduck auf säu- und chlofim Papi Gsamhsllung: Gafik + Duck GmbH, Münchn ISBN

6 Vowo Diss Buch is vogshn zum Gbauch in Lhvansalungn d Ingniuwissnschafn, wa d Tchnischn Mchanik, ds Bauwsns, ds Maschinnbaus, d Elkochnik und d Luf- und Raumfah. D Inhal oini sich dabi an dn klassischn Schwpunkn dis Vansalungn. Es gib zunächs in gündlich Dasllung d Kinmaik ds Massnpunks und d allgminn Bwgung ds san Köps. Im Kapil Gundlagn d Kinik folg di Bhandlung von Schwpunksaz, Dallsaz und Impuls. Anschlißnd wdn di Bgiff Abi und Engi ingfüh sowi d Abissaz fü sa Köp und di wichign Lagangschn Bwgungsglichungn vogsll. Bispil zum mahmaischn und physikalischn Einfach- und Dopplpndl zign di Hliung d Schwingungsdiffnzialglichungn und dn Linaisiung duch Anwndung d abglin Säz. Ein wsnlich Til d Ingniuäigki bsh in d Modllbildung chnisch Sysm, di dann mils mahmaisch Mhodn in Lösung zugfüh wdn. Um hi unsüznd zu wikn, wdn di linan Gundmodll Fd, viskos Dämpf und dn Rihn- und Paalllschalungn ausfühlich bhandl. Mi disn Konzpn folg di Hliung d Gundglichungn d fin Schwingungn fü ungdämpf und gdämpf Sysm mi inm und mhn Fihisgadn, di duch in Füll von Bispiln abgund wdn. Di zwungnn Schwingungn, di wid ungdämpf od gdämpf ablaufn könnn, nhmn inn bin Rahmn in. Spzill Sysmgungn, dazu ghön d Soß und di Egung duch nichhamonisch piodisch Käf, sind ausfühlich abghandl. In dism Zusammnhang is di Dasllung d äußn Egung duch Fouiihn und di nummisch Bchnung d Fouikoffizinn von goß Bduung. Di Algbaisiung d Bwgungsglichungn fod Ingalansfomaionn, von dnn in d Schwingungslh di Fouiansfomaion und di Laplacansfomaion von goß Bduung sind. Si wdn dshalb inghnd bhandl und dn Handhabung an Bispiln klä. Das Kapil Schwingungsisoliung von Gbäudn und Maschinn nhäl di bidn Aufgabnsllungn d Qulln- und Empfängisoliung. Bi sh kuzn Einwikungszin nichpiodisch Blasungn, di duch das Vsagn von Bauiln od dn Aufpall ins Fsköps auf in Bauwk nshn, wid von Soß- od Schockblasungn gspochn. Dis plözlich inszndn Einwikungn könnn zu hohn Banspuchungn d Konsukion fühn und wdn dshalb gsond bach.

7 VI Vowo Ein spzill Sysmsuku bildn di Schwingkn, di im gsamn Ingniuwsn von goß pakisch Bduung sind. In dism Zusammnhang wid in Blockschalbild zu nummischn Ababiung d Bwgungsglichungn in inm blockoinin gafischn Simulaionssysm fü dynamisch Sysm nwickl. Bi dn gdämpfn Bwgungn is aus chnchnischn Gündn di Enkopplung d Bwgungsglichungn von Nuzn, da in dism Fall di Eignschwingungsfomn ds ungdämpfn Sysms haln blibn. Es wid gzig, un wlchn Bdingungn in solch Enkopplung übhaup möglich is und sodann an Bispiln zu Modalanalys dokumni. Fü dn Pakik sind di Ausfühungn zu nähungswisn Bücksichigung d Dämpfung von Bduung. Nbn d Schwingungsisoliung bsh duch Anbingung ins Absobs in wi Möglichki, Sysm vo unwünschn Schwingungn zu schüzn. In dism Zusammnhang folg di Bmssung ins Tilgs sowi ins Schwingungsdämpfs. Fü di Bmssung von Tosionswlln und dn Schwingungsduziung is di Wikung ds viskosn Dämpfs von Inss. Fü di Aufgabngbi d Rsauiung und Modnisiung von Maschinnfundamnn, d lasischn Aufsllung von Gas- und Dislagggan, d Aufsllung von Pssn und Duckmaschinn und d Gündung von Pfahlosplan ds Bauwsns, sll das Kapil Fundamnschwingungn di allgminn Gundglichungn bi, di unmilba in inm Compupogamm Vwndung findn könnn. Nbn dn äumlichn Sysmn wid auch das bn Poblm bhandl. Di Schwingungsunsuchungn koninuilich Sysm wi Säb, Balkn und Plan sind nich Bsandil ds voligndn Buchs. Alldings gsan di fü di diskn Sukun nwickln Gundglichungn in nähungswis Unsuchung von Koninuumspoblmn. Am Bispil ds Balkns wid in vilsiig inszbas Diskisiungsvfahn hgli und dssn Gü an Bispiln gs. Das Buch schliß mi inm Kapil zu nummischn Bhandlung d Bwgungsglichungn. Nbn d Hliung inig fodlich Diffnznquoinn wdn di fü di Sukudynamik wichign Ingaionsalgoihmn bigsll und bispilhaf gs. Di Auflisung d in ih Gundsuku laiv infach zu pogammindn Ingaionsalgoihmn, kann dn Sudindn als Angung zu Esllung von Paamsudin dinn. Da di Aufgabn d Sukudynamik i. Allg. sh chninnsiv und dami übaus fhlanfällig sind, wid dn Sudindn mpfohln, sich in in Compualgbapogamm (CAP) inzuabin, was übigns d Auo auch gan ha. Dis Sysm habn milwil inn hohn Rifgad ich und gsan dm Anwnd, nbn d Ezugung analyisch Lösungn, auch di gafisch Ausgab d Egbniss, womi gundsäzlich Einsichn in di Poblmsllung vmil wdn könnn. Außdm gsan si di fü di pakisch Anwndung wichig nummisch Babiung von Schwingungspoblmn miln Schwiigkisgads. Vil d hi vogslln Bispil, inschlißlich d zughöign Abbildungn, sind mi inm CAP babi wodn. Nubandnbug, dn Fidich U. Mahiak

8 Inhal Vowo V 1 Di Bwgung ds Massnpunks Di Bognläng Gschwindigki und Bschlunigung Kasisch Koodinan Naülich Koodinan (Bglinds Dibin) Zylindkoodinan Di Kisbwgung Di gadlinig Bwgung Fihisgad...1 Di Bwgung ds san Köps 1.1 Ebn Bwgungn D Saz vom Momnanznum Di Kinmaik d Rlaivbwgung ins Punks Dhansfomaionn... Gundlagn d Kinik 7.1 Nwons Gsz...7. D Schwpunksaz...8. D Dallsaz D Dallsaz fü sa Köp bi in Dhung um inn aumfsn Punk D Dallsaz bi in allgminn Bwgung ds san Köps D Dallsaz fü di bn Bwgung ins san Köps...5 Unwuchwikungn Tansfomaionsfomln fü Massnmomn Haupachsnansfomaion Bispil zu Bchnung von Massnäghismomnn D Impuls...48

9 VIII Inhal 4 D Abis- und Engibgiff Di Abi in Kaf Di Abi ins Käfpaas Das Ponzial in Kaf Das Ponzial in Gwichskaf Das Ponzial in Fdkaf Di Kinisch Engi Di Lisung in Kaf D Abissaz fü sa Köp Di Lagangschn Bwgungsglichungn Das Pinzip d viulln Vückung Das d Almbsch Pinzip Das Pndl Das mahmaisch Pndl Das mahmaisch Dopplpndl Das physisch Pndl Di Schnilasn in inm schwingndn Sab Das physisch Dopplpndl Modllbildung Gundmodll Di lina Fd (Hook-Modll) D lina Dämpf (Nwon-Modll) Das Tocknibungslmn (S.-Vénan-Modll) Rihn- und Paalllschalung von Fdn Rihnschalung von Fd und Dämpf (Maxwll-Modll) Paalllschalung von Fd und Dämpf (Klvin-Modll) Paalllschalung von Fd und Maxwll-Modll (Sandad-Modll) Rihnschalung von Fd und Tocknibungslmn (Pandl-Modll) Schwingungn Dasllung von Schwingungsvogängn Einilung d Schwingungn Hamonisch Schwingungn Üblagung hamonisch Schwingungn Di komplx Zigdasllung bi hamonischn Schwingungn... 11

10 Inhal IX 8 Fi Schwingungn mi inm Fihisgad D ungdämpf Einmassnschwing Bücksichigung ds Eigngwichs d Mass m Koninuilich Sysm und ih äquivalnn Einmassnschwing Angnäh Bücksichigung d Fdmass Angnäh Bücksichigung d Mass ins Bigägs Angnäh Bücksichigung d Mass ins Tosionssabs D viskos gdämpf Einmassnschwing Ezwungn Schwingungn fü Sysm mi inm Fihisgad Ezwungn ungdämpf Schwingungn Di Vgößungsfunkion Ezwungn gdämpf Bwgungn Di komplx Zigdasllung bi zwungnn gdämpfn Schwingungn Nähungswis Emilung ds Dämpfungsgads Spzill Sysmgungn Randgung in Mass üb Fd und Dämpf Fußpunkgung Bwgungsmssungn Fldgung von Fd und Dämpf duch in Unwuch Egung duch in Spungfunkion Egung duch inn Rchcksoß D idal Rchcksoß Di Diacsch Dla-Funkion Allgmin Egfunkionn D Soß D gad znal Soß D schif znal Soß D xznisch Soß Soßblasungn an Tägn Egung duch nichhamonisch piodisch Käf Fouiihn Nummisch Bchnung d Fouikoffizinn Di Fouiansfomaion Di Laplacansfomaion...5

11 X Inhal 1 Schwingungsisoliung von Gbäudn und Maschinn Qullnisoliung Empfängisoliung Isoliung von Sößn Ungdämpf Schwingungn fü Sysm mi ndlich viln Fihisgadn Fi ungdämpf Schwingungn mi spzill zwi Fihisgadn Fi ungdämpf Schwingungn mi allgmin n Fihisgadn Das allgmin und das spzill Maizn-Eignwpoblm Enkopplung d Bwgungsglichungn Ezwungn ungdämpf Bwgungn Enwicklung d Lösung nach Eignvkon Hamonisch Blasungn Piodisch Blasungn Anwndung d Modalanalys Gdämpf Bwgungn Fi gdämpf Bwgungn Tansfomaion in in Sysm 1. Odnung Enkopplung d Bwgungsglichungn Nähungswis Bücksichigung d Dämpfung Ezwungn gdämpf Bwgungn Tansfomaion in in Sysm 1. Odnung Enkopplung d Bwgungsglichungn Piodisch Egblasungn Schwingkn Schwingungsabsopion D Tilg D Schwingungsdämpf D viskos Dämpf Fundamnschwingungn Di Bwgungsglichungn Nähungsvfahn fü dn Balkn Ein infachs Diskisiungsvfahn Nähungswis Bchnung d Eignfqunzn nach Rayligh-Riz Nähungslösung mi dm d Almbschn Pinzip... 47

12 Inhal XI 18 Nummisch Bhandlung d Bwgungsglichungn Diffnznquoinn Das Eulsch Polygonzugvfahn Di Shnn-Tapzgl (Vfahn von Hun) Das klassisch Rung-Kua-Vfahn Das Vfahn d finin Diffnzn fü Diffnzialglichungn. Odnung Das Nwmak-Vfahn Das Vfahn von Adams-Bashfoh...45 Liauvzichnis 457 Sachvzichnis 467

13

14 1 Di Bwgung ds Massnpunks Abb. 1.1 Punkbwgung im Raum Di Kinmaik od Bwgungslh bschäfig sich, im Unschid zu Dynamik und Kinik, mi d Unsuchung und Bschibung von Bwgungn, ohn Bzug auf ih Usachn zu nhmn, nämlich di si bwikndn Käf. Di infachs Köpsuku im Bich d Kinmaik is d Massnpunk, in absahi Fom ins Volumns ohn äumlich Ausdhnung. Di Bschibung d Lag ins Punks P im Raum folg duch inn Vko, d laiv zu inm fsn Punk 0 gmssn wid (Abb. 1.1). Bim Duchlaufn ds Paams bschib di Spiz ds Osvkos () in Raumkuv, di Bahnkuv gnann wid. Zu Fslgung von Bag und Richung wid in Basis bnöig, di chwinklig (ohogonal) od auch schifwinklig sin kann. Im Fall ohogonal Einhisvkon j ( j 1,,) spchn wi von in kasischn Basis. Di Lag ds Punks P, und dami auch sin Bwgung, is fü all Zin bkann, wnn bispilswis sin kasischn Koodinan x j () bkann sind. D Osvko schin dann in d Dasllung T () x j () j x1() 1 x() x() [x1(), x(), x() ] j1 Dn Bag ds Vkos, also sin Läng, miln wi bi in ohonomaln Basis zu () () () () x1 () x() x(). Sin Richung könnn wi fslgn, indm wi di Winkl angbn, di mi dn Basisvkon j inschliß. Wi haln mi j j x j cos j und un Bachung von x j j1 j1 cos di Bdingung cos 1 cos cos 1, womi di di Winkl j nich unabhängig voninand sind. j

15 1 Di Bwgung ds Massnpunks 1.1 Di Bognläng Abb. 1. Di Bognläng Ein wi Möglichki zu Bschibung d Bwgung ins Punks bsh dain, dn Paam (di Zi) in d Bschibung d Bahnkuv duch di Bognläng s zu szn (Abb. 1.), di von inm blibign Anfangspunk (A) gmssn wdn kann. Di Bwgung is dann duch di Vogab d Wg-Zi-Funkion s s() induig fsglg. Di Hsllung ds Zusammnhangs zwischn dn Paamn und s folg mahmaisch duch di Paamansfomaion (s), wobi imm d / ds 0 unsll wid. Di nu Dasllung d Kuv lau dann ( (s)) ˆ s. Di Vbindung ds abglin Vkos dˆ(s) / ds ˆ (s) mi dm Vko d Gschwindigki d() / d () gling mihilf d Kngl dˆ d d d d ((s)), also dˆ(s) d d(), womi das 1. Osvkodiffnzial paaminvaian is. Bachn wi d() () d und dˆ(s) ˆ (s) ds, dann ds ds d ds ds folg ( ) d ˆ (s) ds. D ausgzichn Paam s, fü dn ˆ (s) 1 gil, hiß Bognläng d Bahnkuv. D Tangnnvko ˆ ha di fs Läng 1, und fü das Quada ds Bogndiffnzials folg ds () d und dami ds d. Duch Summaion all Lininlmn ds zwischn dn Zipunkn 0 und haln wi di Läng d Bahnkuv s 0 ( ) d s() (1.1) D Punk 0 bzichn dn willkülich fsglgn Anfangspunk (Punk A in Abb. 1.) d Kuv, womi di Bognläng s nu bis auf in Konsan fsglg is. Abb. 1. Bispil zu Bognläng Di abglin Vkon und ˆ habn di gomisch Bduung ds Tangnnvkos an di Bahnkuv. Wid also di Bognläng s als Paam gwähl, so ha ˆ bis dn Bag 1. Is () od auch ˆ (s) fü all Zin bkann, so kann di (laiv) Lag ds Punks P zu jd Zi mil wdn. Bispil 1-1: Di Bwgung ins Punks P wid duch dn Osvko T [a b a c b ] mi a,0m, b 0,1 ms, c 0,ms 1 bschibn. Gsuch wid di Bognläng s zu Zi 5s, wnn wi dis bi 0 zu zähln bginnn. Mi b c b T is

16 1. Gschwindigki und Bschlunigung s() ( ) d ~ ; 0 0 8b 8b 1,41s c 1 c d c c ; s() [ 0 8b / c ( ) c 1 d 1 acsinh( )] 0 ~ 1 d ~ ; und mi dn Wn ds Bispils folg s( 5 s),76 m. 1. Gschwindigki und Bschlunigung Im Ziinvall Δ glang d Punk P (Abb. 1.4) von d duch () gknnzichnn Sll zum duch dn Osvko ( ) () bschibnn Punk P'. D Osvko änd dabi nich nu sinn Bag, sondn auch sin Richung. D Diffnznquoin v / wid Vko d miln Gschwindigki gnann, und d dm Zipunk zugodn Gschwindigkisvko v is duch dn Gnzw Abb. 1.4 Di Gschwindigki d v() lim v lim 0 0 d dfini, wobi wi di Ziabliung im Folgndn duch inn aufgszn Punk knnzichnn. D Gschwindigkisvko v is also in Maß fü di zilich Lagändung von P. E angi di Bahnkuv im Punk P. Gomisch is dann sofo inluchnd, dass / (1.) dn Tangnninhisvko an di Bahnkuv dasll. Fü v v kons. lig in glichfömig Bwgung vo. Ha d Gschwindigkisvko v wähnd ds Bwgungsvogangs in konsan Richung, so handl s sich um in gadlinig Bwgung. Läng, Einhi: m; v Läng / Zi, Einhi: ms -1 Bi Zunahm d Zi um Δ änd mi v( ) v() v d Gschwindigkisvko v i. Allg. sowohl sinn Bag als auch sin Richung. Wi dfinin zunächs dn Vko d miln Bschlunigung b v/, aus dm duch Gnzübgang 0 d dm Zipunk zugodn Bschlunigungsvko v dv d b() lim b lim v 0 0 d d

17 4 1 Di Bwgung ds Massnpunks hvogh. D Bschlunigungsvko b() is dfini als di zilich Ändung ds Gschwindigkisvkos v(). E angi di Bahnkuv i. Allg. nich. Is () ggbn, so is auch b () bkann. Gschwindigki und Bschlunigung ins Punks könnn nun in vschidnn Koodinansysmn dagsll wdn. Abb. 1.5 Di Bschlunigung 1..1 Kasisch Koodinan Wi bzihn uns auf in Ohonomalbasis j ( j 1,,), dn Einhisvkon zilich konsan sind, dann gil fü dn Osvko x T 1 () 1 x () x() x1() x () x() Gschwindigki und Bschlunigung folgn daaus duch Abliung nach d Zi d v x d dv b x d x x x x x 1 x 1 x x x x T T 1.. Naülich Koodinan (Bglinds Dibin) Abb. 1.6 Naülich Koodinan Um bi in allgminn äumlichn Bwgung in Vosllung von d Lag ds Bschlunigungsvkos zu Bahnkuv zu bkommn, bzihn wi uns auf di spzill Ohonomalbasis, n, b (Abb. 1.6). Dis Einhisvkon sind mi dm sich auf d Bahnkuv bwgndn Punk P fs vbundn. Wi wi shn wdn, schinn dann Gschwindigki und Bschlunigung in in sh infachn Fom. D Gschwindigkisvko v angi bkannlich im Punk P di Bahnkuv. Duch Nomiung auf dn Bag 1 folg daaus d Tangnninhisvko

18 1. Gschwindigki und Bschlunigung 5 /. Bachn wi d / d 1 0, dann folg mi unmilba d d, und dami gib sich wgn d d d Haupnomalninhisvko /. n Di Vkon und n lign in d Schmigungsbn. D Binomalninhisvko b soll nun snkch auf und n shn, was duch b n ich wid, und di Basisvkon, n, b bildn dann in dis Rihnfolg in Rchssysm. Aus dm Bag ds Gschwindigkisvkos Abb. 1.7 D Bschlunigungsvko v v d d ds s d folg mi d Knnnis, dass v di Bahnkuv angi d Gschwindigkisvko v s. Duch Abliung nach d Zi haln wi daaus zunächs b v s s. Di Dasllung von duch di Einhisvkon slbs, gling mils d Fénschn Fomln d d db ; n; ds ds ds ( ) ; n ; dn ds b Si bschibn di Ändungn d Basisvkon,, mi d Bognläng s. κ: Kümmung, in Maß fü di Ändung ds Tangnnvko τ: Tosion, in Maß fü di Ändung ds Binomalninhisvko b n b (1.) Bachn wi d d d ds s n, dann folgn fü Gschwindigki und Bschlunigung ds d v s, b s s (1.4) n Wähnd d Gschwindigkisvko v di Bahnkuv angi, lig d Bschlunigungsvko b zwa in d duch di Einhisvkon und n aufgspannn Schmigungsbn (Abb. 1.7), angi jdoch di Bahnkuv i. Allg. nich. Man nnn di Komponnn b b n s v Tangnialbschlunigung n s v Nomal- od Znipalbschlunigung n

19 6 1 Di Bwgung ds Massnpunks Da v ss posiiv is, zig d Vko d Nomalbschlunigung b n imm zu konkavn Si d Bahnkuv, is also ss im Sinn von n zum momnann Kümmungsmilpunk M (Abb. 1.6) hin gich. Daggn zig b in Richung von od nggngsz, j nachdm ob b 0 od 0 is. 1.. Zylindkoodinan Das Basissysm d Koodinan, ϕ, z ds Punks P bsh aus dn di ohogonaln Einhisvkon (,, z ). Di Koodinan und ϕ nspchn dn bnn Polakoodinan ds Punks P, di wi aus d Pojkion von P in di (x 1,x )-Ebn haln. Di Flächn kons. sind Kiszylind mi in gminsamn Znalachs x. Dami is (P,) () () x() wobi noch () zu bachn is. Fomals diffnzin lif un Bachung von 0 und 0 v x ; b x Abb. 1.8 Zylindkoodinan Wgn cos 1 sin, sin 1 cos und () sind dis Einhisvkon bnfalls Funkionn d Zi, und s gln di folgndn Diffnziaionsgln d d d ( sin 1 cos ) d d d d d d ( cos 1 sin ) d d d, Dami haln wi v x, b ( ) x und in Komponnn v [v b [b v b v b T ] T ] [ [ x T ] x T ] (1.5)

20 1. Gschwindigki und Bschlunigung Di Kisbwgung Bwg sich in Punk P auf in bnn Bahn (Nomalnvko ) mi konsann Wn fü x und a (Abb. 1.9), dann handl s sich um in Kisbwgung, fü di x 0 und 0 gln. Von (1.5) vblibn x T T T T v [ v v v ] 0 a 0, b [b b b ] [ a a 0 ] Di zilich Ändung ds Winkls ϕ, also 1/ Zi, Einhi: s -1. d / d, hiß Winklgschwindigki. Abb. 1.9 Kisbwgung ins Punks P Abb Kisbwgung mi ω 0 = kons. Si wid auch mi ω bzichn. Di Gschwindigki von P is dann v a a v v a a hiß Bahngschwindigki ds Punks P. Duch Einfühung ds Winklgschwindigkisvkos ω, d snkch auf d Bahnbn sh (Abb. 1.9), läss sich di Gschwindigki ds Punks P auch wi folg schibn v ( a x ) a und fü di Bschlunigung gib sich b v a a a a Di zilich Ändung d Winklgschwindigki, also Winklbschlunigung. d / d d / d, hiß 1/(Zi), Einhi: s -