Ergänzende Kapitel. Angewandte Physik

Transkript

1 Univsiä d Bundswh Münchn Sudingng Mchnicl Engining (B. Eng.) Pof. D. K. Uhlnn Egännd Kil Zu Volsung Angwnd Phsik ls Mnuski gduck Glidung. MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN 3. Vkochnung 3.. Fi und gundn Vkon 3.. Vkoddiion 3..3 Dsllung ins Vkos in in chwinklign Koodinnss 4..4 D Bg ins Vkos 5..5 D Richungskosinus ins Vkos 5..6 Mulilikion ins Vkos i in Zhl 6..7 Ds Skloduk wi Vkon 6..8 Ds Vkooduk wi Vkon 7..9 Gisch und hfch Poduk 9. Diffnilchnung.. Di Gschwindigki.. Dfiniion d Aliung in Funkion..3 Aliungn usgwähl Funkionn..4 Gundgln fü ds Diffnin 3..5 Ds Diffnil 3..6 Anwndung d Diffniion in d Mchnik (Kinik) 4.3 Inglchnung 6.3. Ds si Ingl 6.3. Bihung wischn Ingl- und Diffnilchnung Ds unsi Ingl Allgin Ingionsgln Anwndung d Ingion in d Mchnik (Kinik) 9. DIE NEWTON SCHE BEWEGUNGSGLEICHUNG. Di Nwon schn Aio. Di Mss.3 Di Kf 4.4 Ingion (Lösung) d Bwgungsglichung 5.4. Konsn Kf 5.4. Kf is nich konsn und häng vo O w. von O und Gschwindigki 6

2 Egännd Kil u Volsung Angwnd Phsik 3. DYNAMIK STARRER KÖRPER 3 3. Fihisgd 3 3. Dnik d Roion u in fs Achs Mssnäghison, S von Sin ERHALTUNGSSÄTZE DER MECHANIK Engihlung Ai Vschiungsi und onill Engi Lisung Bschlunigungsi und kinisch Engi Ehlungss d chnischn Engi Iulshlung Iuls und Kfsoß Ss von Mssunkn: Inn Käf, Iulshlung, Mssnilunk D nl gd Soß wi Kugln Dhiulshlung Dhiulshlung i d Znlwgung ins Mssunks Dhiulshlung fü s Kö HERLEITUNG DER WELLENGLEICHUNG FÜR EINE KUGELKETTE EINFÜHRUNG IN DIE THERMODYNAMIK 5 6. Thodnischs Ss 5 6. Zusnd, Zusndsgößn, Possgößn Ensiv und Innsiv Zusndsgößn Tu und Tussung Wäng und Wäkiä Idls Gs Thisch Zusndsglichung fü idl Gs Ausdhnungsi Inn Engi U Engihlung, Es Hus d Wälh Üsich ü Zusndsändungn fü idl Gs D wi Hus d Wälh ANWENDUNGEN DER LOGARITHMENGESETZE 6 7. Eonnilusdück und logihisch Ausdück 6 7. Anwndung logihisch Gößn - Pgl Logihisch Dsllungn von Eonnil- und Ponfunkionn Di dusllnd Funkion is in Eonnilfunkion Di dusllnd Funkion is in Ponfunkion 65 Si Hsis 7

3 . MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN. Vkochnung Als vkoill Göß od Vko ichn n ll Gößn, di in Richung sin. Skl Göß od Skl hiß jd Göß, di kin Richung si. Bisil: Di n in Mssunk ngifnd Kf is in Vko, d si in Richung si. Di Gschwindigki ins Mssunks is nflls in Vko. Di Tu ins Kös is in Skl, d i dis Göß kin Richung vundn is. Di Mss ins Kös is nflls in Skl. Wnn n von d Richung in vkoilln Göß sih, so knn n dis gnuso wi in skl Göß duch Whl in nschndn Mßinhi ssn. A wähnd di Mßhl di skl Göß vollsändig schi, schi si di vkoill Göß nu ilwis. Di vollsändig Bschiung in vkoilln Göß folg duch in gich Sck und fod nn d Ang ds Bgs (Läng d Sck) di Ang d Richung. Di Richung d vkoilln Göß fäll in di Richung d Sck und wid duch inn Pfil solisi. Vkoill Gößn wdn is duch inn Pfil ü d Foluchsn ichn. Bisil: Di Käf F und F hn id dn glichn Bg ( F F, dgsll duch glich Läng d Pfil), unschidlich Richungn. F F.. Fi und gundn Vkon Di n inn Mssunk ngifnd Kf (.B. Schwkf) is in Vko. Wid d Mssunk duch di Kf vschon, gif di Kf in glich Wis n dn vschonn Mssunk n. In sin Fälln is s jdoch wckäßig, sich dn Vko i fs Angiffsunk vouslln (.B. i Hl, wo di Wikung d Kf von dn Angiffsunk häng). Mn glng so u Bgiff ds gundnn Vkos. Ein gundn Vko, dssn Anfngsunk d Koodinnusung is, wid Rdiusvko od Osvko gnnn... Vkoddiion Gifn.B. n in Mssunk h Käf n, so gi sich di sulind Kf duch Vkoddiion d ilign Käf. Zu Addiion d Vkon und vschi n unächs dn Vko n dn Endunk ds Vkos. D Sunvko c gi sich dnn ls Vindung wischn d Ausgngsunk ds Vkos und d Endunk von Vko. Egänungn_7 Si 3

4 Egännd Kil u Volsung Angwnd Phsik c Muss in Vko von in ndn suhi wdn, so ddi n dn nggn gsn Vko, d.h. inn Vko glichn Bgs nggn gs Richung: ( )..3 Dsllung ins Vkos in in chwinklign Koodinnss In in chwinklign ksischn Koodinnss sll n Vkon ls Su d Pojkionn ds Vkos uf di Achsn ds Koodinnsss d: Ülichwis sll n di Pojkionn ußd ls Vilfch w. Til von Bsisvkon in Richung d -, - und -Achsn d: usw. Di sind di Bsisvkon,, Einhisvkon, d.h. Vkon vo Bg. Ih Läng is glich d jwilign Mßinhi. Es gil: An Sll d Sol,, vwnd n in d Mhik häufig di Sol i, j, k. Di hi ngwnd Schiwis wid jdoch dn Anfodungn d Phsik ss gch, d n i dn Indis dslln knn, wlch hsiklischn Gößn ds jwilig Koodinnss ufsnnn. Si 4

5 D gn Vko läss sich uf dis Wis schin ls v. Wnig Schiufwnd fod di Dsllung ds Vkos ls Mi (Ziln- od Slnvko): ( ; ) ; od Di findn sich unschidlich Schiwisn, di Min wdn. T. in ckig Kln gs od i snkchn Dolsichn gn. Bisil: Ein Kf ds Bgs F, N, di in d --En wik und un in Winkl von 3 u --En ngif, h di Koonnn F F sin 3, N 5, N F F cos3, N 3 8,66 N Di knn n schin: F ( ; 8,66; 5,)N F F cos 3 F 3 F F sin 3..4 D Bg ins Vkos D Bg ins Vkos, d duch sin Koonnn in dn di Achsnichungn ins chwinklign Koodinnsss ggn is, gi sich ls. Bisil: D Bg d on ngfühn Kf ( ; 8,66; 5,) N F F 8,66 5, N F 75, 5, N, N. is..5 D Richungskosinus ins Vkos Di Bchung in oig Bisil läss sich ukhn. Di Fg lu dnn.b., wlchn Winkl d Vko i d -Achs inschliß. Mn häl cos (, ) cos (, ). Bisil: Oigs Bisil soll so uückgchn wdn, d.h. wi suchn dn Winkl, dn d Vko F ( ; 8,66; 5,)N i d -Achs inschliß. D Richungskosinus gi sich dnn ls F 8,66 N cos (, F ), 866. F, N Egänungn_7 Si 5

6 Egännd Kil u Volsung Angwnd Phsik Mi d Ukhfunkion häl n dn gsuchn Winkl:, F ccos,866 3, ( )..6 Mulilikion ins Vkos i in Zhl Bi d Mulilikion ins Vkos i in Zhl n häl n inn nun Vko, d di Richung ds Vkos h (w. di nggn gs Richung, wnn n ngiv is) und dssn Bg u dn Fko n vgöß is. Es gln di Bihungn: ( n ) n n ( ) n n n n ( ) ( )..7 Ds Skloduk wi Vkon Als Skloduk wi Vkon und ichn n ds Poduk ih Bäg i d Kosinus ds von ihnn ingschlossnn Winkls: cos, ( ) Bildn di idn Vkon inn sin Winkl, is ds Skloduk osiiv, i in sufn Winkl is s ngiv. Ds Skloduk is glich d Poduk d Bäg d idn Vkon, wnn di Vkon di glich Richung hn, d.h. wnn d ingschlossn Winkl glich Null is. Shn di Vkon snkch ufinnd, is ds Skloduk glich Null. Ds Skloduk läss sich goisch dun ls Poduk ds Bgs von i d Bg d Pojkion ds Vkos uf dn Vko. Es gln di Bihungn: ( n ) n ( ) n ( c) c n n ( ) ( ) ( ) Ds Poduk ichn n ls Sklqud ds Vkos. Ds Sklqud ds Vkos is glich d Qud sins Bgs. Si 6

7 Egänungn_7 Si 7 Mi d Fol fü ds Skloduk ( ), cos läss sich schlißlich uch d Winkl wischn wi Vkon und sin: ( ), cos Ds Skloduk in Koonnndsllung häl n i v und wi folg: ( ) ( ) Wgn und, lin dvon nu di Sundn üig: Bisil: Di Kf ( )N 5, 8,66; ; F soll nun inn Kö längs d -Achs u,5 vschin. Dis Sck knn n nschnd ls Vko ( ),5; ; s dslln. Di di vich Ai gi sich (wnn di Kf längs ds Wgs konsn is, ws hi d Fll sin soll) ls Skloduk us Kf und Wg 4,33 N,5,66 N 8 s F W..8 Ds Vkooduk wi Vkon Als Vkooduk ds Vkos (s Fko) i d Vko (wi Fko) ichn n inn din Vko c (Poduk), d uf folgnd Wis gild wid: Sin Bg is glich d Flächninhl ds Plllogs, ds von dn Vkon und ufgsnn wid, d.h. glich ( ), sin. Sin Richung is snkch u En ds wähnn Plllogs. Di wähl n di Richung ds Vkos c (un dn wi Möglichkin) so, dss di Vkon c,, in Rchsss ildn. (Rch-Hnd-Rgl: D Dun d chn c

8 Egännd Kil u Volsung Angwnd Phsik Si 8 Hnd ig in Richung ds Vkos, d Zigfing in Richung von und d Milfing in Richung ds Podukvkos c.) Bvoug Schiwis (dh uch di gäuchlich Bichnung Kuoduk ): c Es gln di folgndn Bihungn: ( ) ( ) ( ) ( ) n n d d d Bchnung ds Vkooduks in Koonnndsllung Vkooduk d Bsisvkon: Ds Vkooduk chn n sn un Vwndung in Dinn 3. Odnung: ( ) ( ) ( ) Bisil: Mn chn ds Dhon, ds ufi, wnn in Kf vo Bg F wi gichn n inn sn Kö (dünn Schi vo Rdius R) ngif. Di Schi soll u in fs Achs dh sin, di i d (snkch uf d Zichnn shndn) -Achs usnfäll. Ds Dhon üglich d -Achs gi sich dnn gäß F M. D Osvko is d Vko vo Koodinnusung (Dhchs) u Angiffsunk d Kf. In d gichnn Siuion is R. Zunächs läss sich d Bg von M chnn: ( ) F F M, sin D Winkl, dn di Vkon und F inschlißn, äg 5. D Bg ds Dhons is lso R F F R M 5, sin 5. F 5 45

9 Ds Dhon uss snkch uf d duch und F ufgsnnn En, lso snkch uf d Zichnungsn shn. Di Fodung, dss di di Vkon in Rchsss ildn, füh du, dss d Vko ds Dhons di Richung d -Achs h, lso in di Zichnungsn hinin ig. Di Rchnung soll i dn Vkon in Koonnndsllung widhol wdn: ( R cos 45 ; R sin 45 ; ) (,77 R;,77 R; ) F F cos 5 ; F sin 5 ;,966 F;,59 F; ( ) ( ) Ds Vkooduk läss sich i d Dinn F,77R,77R F F F,966F,59F (,77R,59F,77R,966F),5 R F chnn. Wi n sih, füh di Tsch, dss und F kin Koonnn in - Richung sin, du, dss di Koonnn ds Dhons in - und -Richung Null wdn. Mn häl uch di on il Richung ds Dhons in Richung d ngivn -Achs...9 Gisch und hfch Poduk Zu Bchnung ds Voluns ds Plllids, ds duch di di Vkon c ufgsnn wid, vwnd n ds gisch Poduk od uch Soduk V c c c. ( ) ( ) ( ), und Ds dol Vkooduk d c c ( ) ( ) c ( ) lif ls Egnis inn Vko. Ds dol Vkooduk nöig n.b. i d Bchung d Kiswgung. Di Rdilschlunigung n gi sich us d Winklgschwindigki ω und d Osvko, d di Lg ds Mssunks i Ru schi, gäß ω ω ( ) n. Egänungn_7 Si 9

10 Egännd Kil u Volsung Angwnd Phsik. Diffnilchnung Ausgngsunk fü di Diffnilchnung wn wi Pol: Di Bsiung d Tngn n in liig Kuv Di Bsiung d Gschwindigki i liign Bwgungn Bid Pol fühn u glichn hischn Aufg und gündn di Diffnilchnung... Di Gschwindigki Zu Ekläung d Diffnilchnung soll unächs di Bwgung ins Mssunks längs in Gdn hngogn wdn. (Modll ds Mssunks: Ein Mssunk (Punkss) h in ndlich Mss, jdoch, ls Punk, kin Ausdhnung.) Di Bwgung ins Mssunks längs in Gdn (.B. in -Richung) wid duch di O-Zi-Funkion () vollsändig schin. Bisil: Fhln ls O-Zi-Funkion in Tllnfo k O ICE 588 Gisch-Pnkichn 9:3 Münchn Hf n :43 :58 8 Münchn-Psing n :4 :5 63 Augsug Hf n :3 : Wüug Hf n 3:6 Di Gschwindigki gi sich ls o Ziinhi uückglg Wg: Δ v Δ Bisil: Fü di gs dgsll Sck gi sich di Gschwindigki i Δ 378 k und Δ 4 : 3 h 4,5 h v 378 k 4,5 h GW 93 k h () Bchn wi nun di Gschwindigkin uf dn Tilschnin, slln wi fs, dss dis von d n chnn Gschwindigki fü di Gssck wichn. Fü di Sck von Münchn-Psing nch Augsug häl n.b. Nülich wgn sich di Züg nich nlng in Gdn. Mn knn uch di kulinig Bwgung in d En od i Ru dduch schin, dss n di Bwgung nlng d Bhnkuv u Chkisiung d Bwgung vwnd. An di Sll d Funkion ( ), wlch di Posiion uf d -Achs schi, i dnn di Funkion s (), i d di Posiion längs d Bhnkuv ls Funkion d Zi dgsll wid. Si

11 55 k k v PA 8.,43 h h Noch dulich wid ds Pol, wnn wi uns dn Aufnhln uf dn Bhnhöfn uwndn. I Bhnhof sh d Zug, sin Gschwindigki is dnn glich Null. Wi slln fs, dss wi ls Quoin us Wg und Zi i nu di il Gschwindigki hln: v Δ Δ Offnsichlich is dis Fol nich gign, di onn Gschwindigki i in unglichföign Bwgung, wi s di Bwgung ds ls Bisil vwndn Zugs is, u chnn. Wi könnn uns d onnn Gschwindigki nnähn, ind wi di Gschwindigki fü i klin Zischni chnn. I Gnfll läss n ds Ziinvll ggn Null ghn: v li Δ Δ Δ Auf dis Wis läss sich di onn Gschwindigki chnn. Di Bchnung is jdoch ch usändlich. Bisil: Wi chn dn fin Fll ins Kös. Di O-Zi-Funkion fü dis Bwgung lu () g. Wi wolln nun di onn Gschwindigki u Ziunk chnn. Du üssn wi unächs di O sin, n dnn sich d Kö u Ziunk sowi in ku Zi Δ sä find: ( ) [ ] ( Δ) g( Δ) g Δ ( Δ) D in d Zi g Δ uückglg Wg is di [ ] Δ ( Δ) ( ) g Δ ( Δ). Di wid di onn Gschwindigki: Δ g [ Δ ( Δ) ] g( Δ) g li li li Δ Δ Δ Δ Δ v Egänungn_7 Si

12 Egännd Kil u Volsung Angwnd Phsik.. Dfiniion d Aliung in Funkion Vllgin n ds oig Bisil fü in sig Funkion ( ) f, so knn n dn Ausduck li Δ ( Δ ) ( ) Δ ls Aliung d Funkion f ( ) d d infühn: Di Aliung in Funkion is d Gnw, ggn dn ds Vhälnis us in ggn Null sndn Zuwchs d Funkion und d nschndn Zuwchs i Agun s...3 Aliungn usgwähl Funkionn Fü inig nlisch Ausdück d Funkion f ( ) wdn: Funkion f ( ) Aliung d d solln di Aliungn nggn Funkion f ( ) Aliung d d C ln n n n n ln log n n n n n n log ln sin cos cos sin n cos Si

13 ..4 Gundgln fü ds Diffnin du d v d w u, v, w sin Funkionn d Viln ; u, v, w di Aliungn dis d d d Funkionn nch. Aliung in lgischn Su wi od h Funkionn u ( v w) u v w Aliung ins Poduks ( u v) u v u v Aliung in Funkion i in konsnn Fko c ( u) c u Aliung ins Buchs u v u u v v v Aliung in iln (usngsn) Funkion Is f ( u) und u ϕ( ) d d d du du d..5 Ds Diffnil so gil Es soll ch wdn, wi goß d Zuwchs Agun u dn klinn Bg Δ vgöß wid. Bisil: Es soll di Funkion sich ls Δ Δ. ( ) ( ) I konkn Fll lso: Δ Δ in Funkion f ( ) is, wnn ds 3 ch wdn. D Zuwchs d Funkion gi ( Δ ) Δ 3 ( Δ ) ( Δ ) Δ 3 ( Δ ) ( Δ ) 3 Läss n di Glid wg, in dnn Δ in Ponn von und h voko, und di di von höh Odnung klin sind, häl n hi Δ 3 Δ. Allgin knn n ds in d Fo Δ AΔ α dslln, woi α i Δ liv u Δ von höh Odnung klin is. Ds s Glid is ooionl u f. Δ und hiß Diffnil d Funkion ( ) Ds Diffnil in Funkion is glich d Poduk us ih Aliung und d Zuwchs ds Aguns Egänungn_7 Si 3

14 Egännd Kil u Volsung Angwnd Phsik d Δ w. d d...6 Anwndung d Diffniion in d Mchnik (Kinik)..6. Gschwindigki Fü dn on hglin Ausduck knn n nun di Aliung ds Os nch d Zi insn: v li Δ Δ Δ d & d In d Phsik is s ülich, di Aliung nch d Zi i in ü di Funkion gsn Punk u solisin, n schi lso fü di Aliung d O-Zi-Funkion () nch d Zi dn Ausduck & (). Di Aliung d O-Zi-Funkion nch d Zi gi di Gschwindigki-Zi-Funkion. Bisil: Bi fin Fll gil () g. Di Gschwindigki v () läss sich duch Alin d O-Zi Funkion lich chnn: d v () g g d Such n, wi i oign Bisil, di Gschwindigki u in sin Ziunk, uss n disn nu noch insn: ( ) g v v...6. Bschlunigung Un Bschlunigung vsh n di Ändung d Gschwindigki o Ziinvll. Di fü di Gschwindigki ngslln Ülgungn sind hi in glich Wis gülig, wnn di Bschlunigung i Zivluf nich konsn li. Mn uss lso schlißlich hi uch u Bchnung d onnn Bschlunigung di Aliung d Gschwindigki-Zi- Funkion hnihn. d v d d & d ( ) d Gschwindigki v () d Bschlunigung () d v d ( ) & () ( ) d v& () & d Di gwinn n duch Alin (Diffniion) d O-Zi-Funkion () di Gschwindigki-Zi-Funkion v () und di Bschlunigung-Zi-Funkion (). () Si 4

15 Bisil: snkch Wuf nch on g Di O-Zi-Funkion soll di Fo () v hn. Di ig di - Achs snkch nch on. D O ds Awufs is, di nch on gich Anfngsgschwindigki is v. Duch Alin häl n di Gschwindigki-Zi-Funkion v ( ) ( ) g v di Bschlunigung-Zi-Funkion ( ) & ( ) v& ( ) g w i Zivluf konsn. Gfisch Dsllung d Ziläuf: v & und. Di Bschlunigung is wi g v v v g v g g Egänungn_7 Si 5

16 Egännd Kil u Volsung Angwnd Phsik.3 Inglchnung.3. Ds si Ingl Di Inglchnung nsnd us d Bsn, in llgin Mhod u Bsiung von Flächninhln, Voluin und Schwunkn u schffn. D Inglgiff Ein Kuv M N si duch di Glichung f () ggn und s si d Flächninhl ds kulinign Ts A B u sin. Du wid di Sck in n Til M A f ( ) B N,, 3,... n- unil und s wid di in d Aildung dgsll Tnfigu konsui. Ih Flächninhl is glich F ( ) ( ) ( ) ( ). n 3... n- n- Mi dn Aküungn ( ) d, ( ) d 3 usw. knn n dfü schin: 3 F d d d... n n- d Di gsuch Fläch is d Gnw dis Su fü Gnw ds Sol d ingfüh, ds sä ls Ingl ichn wud. n- n. LEIBNITZ h fü disn Di hu gäuchlich Fo ds Ingls s von FOURIER und schliß di Ang d Ingionsgnn, d.h. ds Anfngs- und Endws von in: d Si 6

17 .3. Bihung wischn Ingl- und Diffnilchnung Läss n di o Gn d Ingion nich konsn, sondn ch si ls vil Göß, häl n in Fläch, di nun ihsis in Funkion von is: F ( ) f ( ξ ) dξ An Sll d Funkion f ( ) wud hi di Funkion f ( ξ ) vwnd, u di Gößn ss unschidn u könnn. d F Nun soll ch wdn, wi goß d Zuwchs d Fläch d F ( ) is, wnn sich di o Gn d Fläch u dn klinn Bg d vschi. ξ D Zuwchs d Fläch is nähungswis glich d d Rchckfläch, di sich us d Funkionsw f ( ) und d Göß d ds Zuwchss in -Richung gi. Ds vlind Rssück wischn d Rchck und d Kuv is dggn sh klin. Di läss sich di Bchungswis nwndn, di wi i Diffnil knnn gln hn. Mn häl fü dn Zuwchs d Fläch ( ) d f ( ) dξ f ( ) d d F ξ. Di Funkion f ( ) is di Aliung d Funkion ( ) d F ( ) ( ) f d F nch : Di Ingion is lso di Ukhung d Diffniion..3.3 Ds unsi Ingl Auf dis Wis läss sich di Bchnung ds Ingls uückfühn uf di Bsiung in Funkion us d Ausduck fü ih Diffnil: f ( ) d d F ( ) Di Funkion F ( ) ichn n ls Sfunkion d Funkion f ( ). Mn knn lich shn, dss s u in Funkion f ( ) liig vil Sfunkionn F ( ) gi, di sich jdoch nu duch in ddiiv Konsn voninnd unschidn. Dn Ausduck ( ) f ( ) F d Nnn n unsis Ingl. f ( ξ ) Egänungn_7 Si 7

18 Egännd Kil u Volsung Angwnd Phsik Unsi Ingl usgwähl Funkionn (Di Ingionskonsn wud jwils wgglssn.): n n d n d ln sin d cos cos d sin d d ln ( n ).3.4 Allgin Ingionsgln Ein konsn Fko läss sich vo ds Ingionsichn ihn f ( ) d f ( ) d Ds Ingl in Su (w. Diffn) is glich d Su (w. Diffn) d Ingl d inlnn Glid ( u v w) d u d v d w d Susiuionshod: Is ϕ (), so gil dϕ ( ) [ ( )] () f d f ϕ d d Pill Ingion u d v u v v du Bisil: Fü di Susiuionshod, di häufig nöig wid, soll in Bisil ngfüh wdn. Ds Ingl h di Fo d. d ϕ Wi sn (susiuin) ϕ und ildn di Aliung. Di könnn d dϕ wi sn: d. An Sll ds usünglichn Ingls hn wi nun ds Ingl dϕ ϕ u lösn: Si 8

19 dϕ ϕ 3 ϕ 3 3 C ϕ C 3 Wnn wi wid ϕ insn, hln wi fü ds gsuch Ingl: 3 ( ) d C Anwndung d Ingion in d Mchnik (Kinik) Wi wi is gshn hn, hln wi us d O-Zi-Funkion () duch Alin nch d Zi di Gschwindigki-Zi-Funkion und di Bschlunigung-Zi-Funkion. Ugkh läss sich nun i knn Bschlunigung-Zi-Funkion duch Ingion di Gschwindigki-Zi-Funkion und schlißlich di O-Zi-Funkion sin: v () d v () v ( ) () () ( ) d Bisil: Bwgungsfon Bi dn Bwgungsfon h n voggn, o.b. di Gschwindigki od di Bschlunigung in si Fo nni. Di gsuch O-Zi-Funkion gwinn n duch Ingion un Bücksichigung d Anfngsdingungn u Ziunk v ( ) v und ( ). Mn unschid di folgndn Bwgungsfon: Ruh: v cons () Glichföig Bwgung: v cons v () v v v Glichäßig schlunig Bwgung: v cons () ( ) v v v v Egänungn_7 Si 9

20 Egännd Kil u Volsung Angwnd Phsik Unglichäßig schlunig Bwgung : ().B. honisch Schwingung v () ω () ω sin () cosω cosω ω v v Di s Ingion d Bschlunigung h fü di glichäßig schlunig Bwgung di Fo: () d d ( ) v () v ( ) Mn häl lso di Diffn d Gschwindigkin ls Fläch un d Bschlunigung-Zi-Kuv ( ) : v ( ) v ( ) v v ( ) v ( ) v Ds Vfhn läss sich nülich uch uf di ndn Bwgungsfon und uch uf di Ingion d Gschwindigki nwndn, woi n dnn dn uückglgn Wg ls v häl. Fläch un d Gschwindigki-Zi-Kuv ( ) Bisil (Aufg): Ein Kö wid us d Zusnd d Ruh i hus in osiiv Richung wähnd d Du T so schlunig, wi s in nnshnd skii Dig dgsll is. ) Zichnn Si ds ughöig,v Dig. 3 α ) Zichnn Si ds ughöig, Dig. c) Bsin Si dn wähnd T uückglgn Wg in Ahängigki von und T. Lösung: Di Aufg läss sich ch schnll i Hilf d Flächn un dn () - w. v () -Kuvn lösn. In dn di Aschnin von is di Bschlunigung jwils konsn, so T T 3 T Si

21 dss sich fü di Gschwindigki-Zi-Funkion Gdn gn. Dn Gschwindigkisunschid häl n jwils us d Fläch un d Bschlunigung-Zi-Kuv: v v ( T ) v ( ) T 3 3 ( T ) v ( T ) T T 3 Mn sih hi sofo, dss di Gschwindigki End d Bwgung (u Ziunk T) wid Null sin uss, d di Gschwindigkisnh wähnd d Bshs glich d Gschwindigkisunh wähnd d Bschlunigungshs is. In nschnd Wis gh n vo, u u Wg-Zi-Dig u glngn. D i sn und din Aschni d Bwgung di Gschwindigki lin von d Zi häng, gn sich do i,-dig jwils Plsück. Di uückglg Sck knn wid ü di Flächn chn wdn, woi hi di Dicks- w. Rchcksflächn un d,v-kuv hngogn wdn. Mn ch, dss di inlnn Kuvnsück i Wg-Zi-Dig i glich Sigung ninnd nschlißn üssn. ) T v ) T T T 8 T T 3 T c) s 7 4 T Egänungn_7 Si

22 Egännd Kil u Volsung Angwnd Phsik. DIE NEWTON SCHE BEWEGUNGSGLEICHUNG. Di Nwon schn Aio Wähnd di Kinik (Bwgungslh) di Bwgung von Kön schi, ohn nch dn Usch u fgn, schi di Dnik di Bwgung un d Einfluss von Käfn. Aufg d Dnik is di Aufsllung von dnischn Gundgsn (Bwgungsglichungn) und dn Lösung. Gundlg d Dnik sind di Nwon schn Aio (687):. Täghisgs (Glili schs Täghisgs): Jd Kö vh i Zusnd d Ruh od glichföign, gdlinign Bwgung, solng kin äußn Käf uf ihn wikn.. Bwgungsglichung: d F d F Di ilich Ändung ds Iulsvkos v is d inwikndn Kf ooionl und gschih längs djnign gdn Lini, in d F v wik. 3. Ggnwikungsini: F : Kf : Mss v : Gschwindigki ds Mssunks v : Iuls Di von wi Kön ufinnd usgün Wikungn (Käf, Mon) sind ss glich goß und nggngs gich. Gäß d Nwon schn Bwgungsglichung is di Bschlunigung, di in Kö fäh, ooionl u ngifndn Kf und folg in Richung d ngifndn Kf. Außd is di Bschlunigung ugkh ooionl u Mss ds Kös.. Di Mss Di Mss ins Kös is in Mß fü sin schwn und ägn Eignschfn. Di Täghi ins Mssunks äuß sich din, dss dis un d Einfluss äuß Käf in Bschlunigung fäh, wähnd i Fhln äuß Käf sinn Zusnd d Ruh od glichföign gdlinign Bwgung ihäl. Di Mss, di in di Nwon sch Bwgungsglichung ingh, is di äg Mss. Wdn wi unschidlich Mssn duch di glich Kf schlunig, so vhln sich di Bschlunigungn wi di Khw d Mssn. Di Mss, di in ds Gviionsgs ingh, is sin schw Mss. Di Mss wid ü ih Schw dfini (Kilogoo). I Vsuch wud nchgwisn, dss di äg Mss glich d schwn Mss is (Äquivlnini). Ds Mssvhälnis wi Kö knn dh duch dn Gwichsvhälnis usgdück wdn (Hlwgn). Vsuch Kugl i Fdn: Ein schw Mllkugl is n in dünnn Fdn ufghäng. An d Kugl häng in glichig Fdn, n d gogn wdn knn. Zih n lngs, iß d Fdn ohl d Kugl, d sich do di von ußn ngifnd Kf und ds Gwich ddi- Si

23 n, wähnd i unn Fdn nu di äuß Kf wik. Bi uckig Zihn unn Fdn iß jdoch dis us. Di Kugl knn wgn ih Täghi d schnlln Bwgung ds Fdns nich folgn. Awood sch Fllschin u Ekläung d Nwon schn Bwgungsglichung Zwi Kö und i dn Mssn und hängn n in Sil, ds ü in Roll läuf. Wid in Kö 3 uf dn Kö glg, so wgn sich id wäs. Di Bwgung soll u Ziunk n d Sll s i d Gschwindigki v ginnn. Di Riung und di Mss d Roll wdn nso wi di Mss ds Sils vnchlässig. s Di Bschlunigung ds Sss knn us in ginsn Bwgungsglichung ll di Kö si wdn, d dis duch ds Sil iinnd vundn sind. Außd folg di Bwgung nu nlng ds Sils, wshl n di Bwgung indinsionl schin knn. Di Bwgungsglichung lu llgin & s F Di wid i d s-koodin in osiiv Bwgungs- und Bschlunigungsichung in d Wis ingfüh, dss sich i osiiv Bschlunigung & s& d Kö h, wähnd sich di Kö und 3 snkn. Di in oig Glichung ufnd Mss is di äg Mss, di u schlunign is. Als äg Mss wid di Su d di Einlssn wiks. In F üssn ll ngifndn Käf ücksichig wdn, woi sich di innn Käf wischn dn Kön ufgund ds Ggnwikungsinis in d Käfsu ufhn. Als äuß Käf lin di Gwich d Mssn und 3 in osiiv und d Mss in ngiv Richung üig: ( ) s g g g &. & 3 3 Mi lu di Bwgungsglichung ( ) s& g &. 3 3 Di Bschlunigung gi sich ls 3 & s g. 3 Zu Bsiung d Bschlunigung iss n di Zi, di Mss nöig, u in dfini Sck s uückulgn (glichäßig schlunig Bwgung): 3 s s & s& s && s Ds Ein wud usünglich duchgfüh, u di Fllschlunigung g i d u Vfügung shndn Msschnik liv gnu sin u könnn. Mn uss dnn di Glichungn so uslln, dss us dn knnn Mssn, d Sck s und d Zi di Fllschlunigung chn wdn knn. Egänungn_7 Si 3

24 Egännd Kil u Volsung Angwnd Phsik g s 3 3 I Vsuch vwndn wi folgnd Gößn: 5g, 3 4g, s, Di gssn Zi äg u Bisil,7 s. Di gi sich g 9,3. Di Awichung vo inwischn gu knnn Tllnw is i 6 % liv goß und duf uücku- s fühn, dss di Silss, ds Mssnäghison d Ulnkoll und di Riung vnchlässig wudn..3 Di Kf I Ggns u Mss, di in Bsisgöß ds SI is, is di Kf in gli Göß. Si wid ü di Gundgöß Mss dfini gäß F. Di gli SI-Einhi d Kf is ds Nwon. Nwon is glich d Kf, di in Kö d Mss kg di Bschlunigung /s² il: N kg s -. Di Kf is in vkoill Göß. Si is vollsändig si, wnn n ihn Asolug, ih Richung und ihn Angiffsunk knn. Gifn n inn Mssunk h Käf n, so is dn Wikung d sulindn Kf äquivln, di glich d Vkosu d wikndn Käf is. Als Wikungslini d Kf wid di in Richung ds Vkos F i lignd Gd ichn. Di Wikung uf inn sn Kö li glich, wnn n di Kf längs ih Wikungslini vschi. Käf n i wis uf (Ggwikungsini). In in Ss von Mssunkn w. Kön wdn dijnign Käf, di wischn dn Punkn w. Kön ds Sss wikn ls inn Käf ichn. Käf, di von Punkn w. Kön usgü wdn, di nich u Ss ghön, hißn äuß Käf. Als gschlossns Ss ichnn wi in Ss uf ds kin äußn Käf usgü wdn. Bi d Bindung ins Mssunks n in si Fläch od Kuv i Ru, wid di vo Fühungschnisus ufuingnd Kf ls Zwngskf ichn. Di Zwngskf sh i snkch uf d Fläch od Kuv, n di di Bwgung gundn is. Si knn dh kin Ai lisn (Bichnung uch ls vlon Kf ). Vsuch Käflllog: Ü Ulnkolln gif ds Gwich wi Mssn us vschidnn Richungn n in din, fi hängndn Mss n. I Glichgwich uss di Su d von dn sn idn Mssn usgün Kf glich d Gwich d din Mss sin. Mn sih, dss di Käf vkoill ddi wdn üssn (Käflllog). Vsuch Ggnwikungsini: Es wid di Silkf fü di idn Fäll gssn, dss (ü Ulnkolln) in in Fll n idn Sin ds Sils j in glich goß Mss häng und i ndn Fll nu n in Si in Mss häng, wähnd ds wi End n in Hkn fsig wid. D di vlind Mss in idn Fälln uh, uss di Silkf in idn Fälln vo Bg disl Göß wi ds Gwich d Mss hn. Si 4

25 .4 Ingion (Lösung) d Bwgungsglichung.4. Konsn Kf Zu Lösung d Bwgungsglichung uss n unächs iln, wlch Kf n dn Kö ngif. D infch Fll sh unächs din, dss dis Kf konsn is. Ds is.b. i d Bwgung ins Kös un d Einfluss d Schwkf d Fll. Di Kf, di dn Kö schlunig, is sin Gwich FG g, woi g - di Fllschlunigung is ( g g 9,8 s ), di u Edilunk ig. Dis Kf uss n nun in di Nwon sch Bwgungsglichung F insn: FG g In d dgslln Siuion ds fin Flls, i d di schw Mss glich d ägn Mss is, häl n, dss di Bschlunigung ds Kös glich d Fllschlunigung is. Ds O-Zi-Gs knn n nun duch infch Ingion un Bücksichigung d Anfngsgschwindigki und ds Os, n d di Bwgung ginn, gwinnn. Vsuch Siloll: Ein Kö d Mss knn iungsfi uf in En glin. E is i Fll ) ü in Sil und in fs Roll w. i Fll ) ü in Sil, in fs und in los Roll i in hängndn Kö d Mss vundn. Es soll il wdn, wi goß di Bschlunigungn d idn Kö in dn idn Fälln is. Di solln uß d Riung uch di Mssn von Sil und Rolln vnchlässig sin. ) ) Di u wndn Bschlunigungn solln unächs chn wdn. D di Bwgung nu nlng ds Sils folg, knn in indinsionl Dsllung vwnd wdn. Egänungn_7 Si 5

26 Egännd Kil u Volsung Angwnd Phsik ) g ( ) D Gwich ds Kös ls Vusch d Bwgung sh di äg Mss id Kö ggnü. g ) Fü dn Fll ) uss n unächs di ngifndn Käf chn: Auß d Gwich ds Kös siln di Silkäf in Roll. Wgn ds Ggnwikungsinis üssn di Silkäf üll i Sil glich goß sin. Mn knn nun di Bwgungsglichung fü id Kö ufslln. Kö : F S () Kö : g FS () Außd sih n noch, dss di Bschlunigung ds Kös dol so goß wi di ds Kös is: (3) Einsn von () und (3) in () lif di Bschlunigung von Kö. g 4 g 4 Di Bschlunigung ds Kös is gäß (3) dol so goß, lso g. 4 F S F S g F S.4. Kf is nich konsn und häng vo O w. von O und Gschwindigki D Fll in oshängign Kf i.b. i Fdndl (Fd i nghäng Kö d Mss ) uf. Di Kf, i d di Fd vsuch, dn nghängn Kö wid in di Ruhlg u ihn, is uso göß, j wi di Fd gdhn od gsuch wud: FD D (w. indinsionl FD D ) D is di in Pooionliäskonsn (Fdkonsn). S n dis Kf in di Bwgungsglichung in, häl n dn Ausduck D d D && d Si 6

27 Glichungn dis A, di in Funkion und ih Aliung(n) nhln, nnn n Diffnilglichung. I konkn Fll is s in gwöhnlich, lin, hoogn Diffnilglichung wi Odnung, di n in d Fo D & & schin knn. Di Lösung von Diffnilglichungn folg ü Lösungsnsä. I Fll ds Fdndls üssn wi fü di O-Zi-Funkion ( ) nch in Funkion suchn, dn wi Aliung sich von d usünglichn Funkion nu duch inn Fko unschid. Hifü kon uß d -Funkion noch di Winklfunkionn Sinus und Kosinus in Fg, di nflls dis Bdingung fülln. I Rhn ds Kuss Angwnd Phsik wid u Lösung d ufndn Diffnilglichungn jwils in Ans gwähl, d dn i Ein ochn Bwgungsluf schi. I Fll ds Fdndls wid lso di Bochung hngogn, dss sich sin Bwgung duch di Pojkion in Kiswgung schin läss: () A ( ω ) sin ϕ Di dun A: Aliud (il Auslnkung); ω : Kisfqun (gli us d Winklgschwindigki); ϕ : Anfngshs. Einsn diss Lösungsnss in di Diffnilglichung lif di knn Bihung D ω. Di Gößn A und ϕ lssn sich so nich sin, d di Bwgungsglichung fü ll W dis Gößn füll wid. Si lssn sich nu ils d Anfngsw (O und Gschwindigki d Bwgung u in sin Ziunk) sin. Läss n uß in oshängign Kf noch in Riungskf u, di von d Gschwindigki ds Kös häng, häl n in Diffnilglichung, di u in gdäfn Schwingung füh. Mi in usälichn, von O und Gschwindigki unhängign Kf ins Egs häl n di inhoogn Diffnilglichung d wungnn Schwingung. In lln Fälln wdn di Diffnilglichungn duch Ansä glös, di us d Bochung d nschndn Bwgung i Ein gwonnn wudn. Bisil: Gdäf Schwingung ins Fdndls i gschwindigkisunhängig Däfung Wähnd in d Volsung Angwnd Phsik di gdäf Schwingung i in gschwindigkishängign Däfung, wi si i d innn Riung (.B. in in Flüssigki) ufi, hndl wud, soll hi di O-Zi-Funkion in Schwingung hgli wdn, dn Däfung duch äuß Riung hvogufn wid. Äuß Riung is di Riung wischn fsn Kön. Di is di Riungskf konsn, d.h. unhängig von d Gschwindigki: F μ R F N F N is di Nolkf, d.h. di Kf i d d wg Kö uf di Unlg dück. Egänungn_7 Si 7

28 Egännd Kil u Volsung Angwnd Phsik Di Riungskf is w vo Bg h konsn, änd wähnd d Bwgung sändig ih Richung, d si d Bwgung nggngich is. Mn uss lso hi wi Diffnilglichungn ufslln, di jwils fü di Bwgung in osiiv w. ngiv -Richung gülig sind: Bwgung in osiiv -Richung ( v & > ) && D μ F && D μ F N N Bwgung in ngiv -Richung ( v & < ) && D μ F && D μ F N N Zu Lösung dis Glichungn wid unächs di konsn Riungskf fol duch inn nflls konsnn Ausduck μ F N D s und dis in di Diffnilglichung ings: & D ( ) Wi susiuin nun unächs fü dn Fll & > dn Ausduck in d Kl duch ( & & ): & D und hln di Diffnilglichung in honischn Schwingung i d Eignfqun ω D und d O-Zi-Funkion ˆ sin ω ϕ, ( ) us d duch Rücksusiuion schlißlich wid ( ˆ ) sin ( ω ϕ ) ( ˆ ) sin ( ) ω ϕ. Di O-Zi-Funkion fü dn Fll & < häl n nschnd: ( ˆ ) sin ( ω ϕ ) Di Göß knn n nun wid sn duch μ FN. D Di gfisch Dsllung ds Bwgungslufs häl n duch sückwiss Zusnsn d Bwgungn i & > und & < us Sinusschwingungn, woi sich jwils in Vilschwingung, di u sisch is ( & > ), in Vil- Si 8

29 schwingung, di u sisch is ( & < ), sig nschliß. Auf dis Wis ni di Aliud d Schwingung innhl in Piod u 4 4 μ F D N. I Ggns u gdäfn Schwingung i gschwindigkishängig Däfung, i d ds Vhälnis d Aliudn ufinnd folgnd Schwingungn glich is, is hi di Diffn d Aliudn ufinnd folgnd Schwingungn glich. Ds du, dss dis Schwingung is nch wnign Piodn u Sillsnd ko () ( ) ˆ () s - π Di gfisch Dsllung ig dn Bwgungsluf fü ω s, ϕ und ˆ ( ) : Wähnd in Schwingungsdu T 6,8 s ni di Aliud 8 u 4. Nch wi Schwingungn ko di Bwgung u Sillsnd. Egänungn_7 Si 9

30 Egännd Kil u Volsung Angwnd Phsik 3. DYNAMIK STARRER KÖRPER 3. Fihisgd Als Fihisgd ichn n di Anhl d fi wähln, voninnd unhängign P ins hsiklischn Sss, di di äulich Lg ds Sss induig fslgn: Ein Mssunk si 3 Fihisgd, di Oskoodinn,,. ϕ N Mssunk sin 3 N Fihisgd, β sofn di Mssunk sich voninnd unhängig wgn könnn. λ I Ggns du is di Lg d Mssnln in in sn Kö liv u- innd fs. Zu Bschiung d Lg ins sn Kös i Ru sind 6 Koodinn nöig; d s Kö h 3 Tnslions- und 3 Roionsfihisgd. Roion u in fs Achs: Ein fs Achs is duch ih Lg i Ru (Koodinn,, ins Punks d Achs sowi Aiuwinkl λ und Ehungswinkl β) si. Läss n inn Kö u in fs Achs oin, li ih nu noch in Fihisgd, d Dhwinkl ϕ. 3. Dnik d Roion u in fs Achs Nich jd Kf knn in Dhwgung in Gng ingn, vilh sind Angiffsunk und Richung nschidnd. In nnshnd Ski wik nu F in Dhung. An di Sll, di i d Tnslionswgung di Kf ingnon h, i i d Dhwgung ds Dhon ls Usch fü di Ändung ds Bwgungsusnds: M F Es däng sich di Fg uf, o s wi Ändungn ggnü in Tnslionswgung gi, di Auswikungn uf di Gsl d Bwgungsglichung hn. Ein: Einfluss d Posiion d Mssn liv u Dhchs uf di Winklschlunigung Ein n in Achs fsig S i wi vschin Mssn wid duch wi wi Mssn, di n u di Achs gwickln Fädn hängn, schlunig. (s. Ski) Es wid di Zi gssn, di fü 5 Udhungn ( ϕ 5 36 π ) us d Ruh nöig wid. Di is ds nind Dhon ss glich. Di idn Mssn w- A F 3 F F Si 3

31 dn unächs End ds Ss und dnn i hln Rdius osiioni. Mn sll fs, dss i win Fll di nöig Zi nu w hl so lng wi i sn Fll is: I II I II Ekläung: Bschiung d glichäßig schlunign Bwgung i d Dhwinkl ϕ (vgl. Kiswgung): & ω & ϕ cons ( & ω & ϕ : Winklschlunigung) ( ) ω & ϕ && ϕ ω && ϕ ϕ ϕ ϕ && ϕ ( ) ϕ && ϕ ϕ( ) II I & ϕ && ϕ I II Di Winklschlunigung is i win Fll lso w vi l so goß wi i sn. In uns Fll vhln sich di Winklschlunigungn w wi di Khw d Qud d Asänd d Mssn von d Dhchs. Es wid dulich, dss di Täghi ds Sss nich (wi i d Tnslionswgung) llin von d Mss häng, sondn uch vo Asnd d Mss von d Dhchs. Es wid dh ds Mssnäghison J A ingfüh, ds in d Bwgungsglichung n di Sll d ägn Mss i. D Ind A soll di di Achs ichnn, uf di sich ds Täghison ih. Fü di Winklschlunigung häl n dh: ϕ& & M J A A D.h., di Bwgungsglichung häl di Fo M J A A ϕ& & Ds Mssnäghison is in Mß fü di Täghi ins Kös i Ändung d Winklgschwindigki (Ändung d Dhhl). An dis Sll is s wckäßig, dn Dhiuls ls nu Göß inufühn. Allgin gi sich d Dhiuls üglich ins sin Koodinnsss ls Vkooduk us d Osvko und d Iulsvko: L Fü inn uf in Kishn vo Rdius i d Winklgschwindigki ω ulufndn Mssunk d Mss häl n üglich ds Kisilunks dn Dhiuls L v ( ω ) L ω. Auf in usfühlich Bgündung soll hi vich wdn. Egänungn_7 Si 3

32 Egännd Kil u Volsung Angwnd Phsik Dis Ausduck gil nülich uch fü di Kiswgung, wlch di Mssunk ins sn Kös i Roion u in fs Achs usfühn. Mi L M & (wgn ( ) ( ) L F M & & & ) häl n di M & ω. Dus läss sich schnll ds Mssnäghison fü dn Mssunk lin: J Mi dis Täghison knn ds Egnis ds oign Vsuchs nochls üüf wdn: Ni n n, dss di idn Mssn wi Mssunk hndl wdn könnn, üssn sich di Winklschlunigungn wi di Khw d Qud d Rdin vhln. Noch infch wid d Zusnhng, wnn n di Zin fü di 5 Udhungn ni. Dnn üss gln: I I. II II Ds is, wi wi gshn hn, nähungswis d Fll. Di Awichung ds Mssgnisss vo wn Zusnhng ko dh, dss di Sä, uf dnn di Msssück vschon wdn, inn nnnnswn Big u Mssnäghison lifn. In dis Aschni hn wi uß d Bwgungsglichung noch gshn, wlch Gsl d Dhiuls fü di Dhwgung nni. I Anlogischluss lssn sich ußd wi Bihungn fü di Dhung u in fs Achs hlin. Di folgnd Tll ig di Ggnüsllung d Glichungn fü di gdlinig Bwgung (Tnslion) und di Dhwgung (Roion): Tnslion längs ds Wgs s s() d s v s& d Roion u in fs Achs A ϕ ϕ dϕ ω & ϕ d s ( ) d s d F s & s α d ϕ & ϕ d M A F s & s M ϕ& & A J A v L s A J A ω Iulshlungss fü F s : s cons W F d s Dhiulshlungss fü M A : L A cons s W s v P M A M A dϕ P F ω W k v J A W k ω Si 3

33 3.3 Mssnäghison, S von Sin Fü dn inlnn Mssunk w ds Täghison is il wodn. Fü inn sn Kö gi sich ds Täghison ls Su ü ll Täghison von infinisil klinn Mssnlnn Δ : J A n i i Δ A Δ Δ J A (Kö) d Einn ndn Zugng u Bgiff ds Mssnäghisons häl n duch Bchung d kinischn Engi d inlnn Mssnln i d Roion ds Kös: Di kinisch Engi ds i-n Mssnlns gi sich ls Δ Wk, i v i, di gs kinisch Engi gi sich ls Su ü ll W k, i. Bi d Suion sll n jdoch fs, dss sich di Bhngschwindigkin v i d inlnn Mssnln unschidn. Alln gins is nu di Winklgschwindigki ω. Mn uss di Bhngschwindigki lso duch di Winklgschwindigki und dn Asnd ds jwilign Mssnlns von d Dhchs usdückn: v ω i i Di kinisch Engi is di Δ ( ) J A Wk ω i ω i Δ ω. i i Vo ll i oionssischn Kön is s voilhf, unächs ds Täghison üglich d Schwunkchs (Ind S ) u chnn. Ds Täghison üglich ignd in ndn du llln Achs knn n i d S von Sin sin: J J A S s Ds Täghison üglich in liign Achs is glich d Su us d Täghison üglich in u ih llln Achs duch dn Schwunk und d Poduk us Köss und Qud ds Asnds d idn Achsn. Bchnung von Mssnäghisonn Zu Bchnung ds Mssnäghisons ins hoognn Kös fo di on nggn Bihung so u, dss n ds Mssnln duch ds Poduk us Dich und Volunln s: Egänungn_7 Si 33

34 Egännd Kil u Volsung Angwnd Phsik J A d ρ dv ρ d d d (Kö) ( Kö) ( Kö) ( Kö) ρ d dϕ d D l Ausduck gi sich, wnn n n Sll d ksischn Koodinn Zlindkoodinn, ϕ, vwnd ( d d d d dϕ d ).,, di Bi oionssischn Kön knn n di Ingion ü dn Winkl ϕ sofo usfühn, i lindischn Kön ußd di Ingion ü di Läng. In dis Fll h n nu noch di Ingion ü dn Asnd von d Dhchs usufühn. Bisil: Volllind, Läng h Zu Bchnung ds Täghisons lg n dn Volllind in Röhn d Läng h, ds Duchsss und d infinisiln Wnddick d. Ds Volun in solchn dünnn Röh chn sich infch ls Poduk us Zlindofläch und Wnddick: dv π h d (Dis Bchungswis is glichdund di, dss di sn idn Ingionn wi on schin is usgfüh wudn: h π dϕ d π h ) Fü ds inln Mssnln häl n di d ρ dv ρ h π d Di Ingion gi dnn J S R 4 3 R R ρ h π d ρ h π ρ hπ 4 Disn Ausduck knn n vinfchn, ind n di Mss ds gsn Zlinds ins ρ hπ R, woi n schlißlich dn in Tflwkn nggnn Ausduck fü ds Mssnäghison ins Volllinds üglich sin Sichs häl: J S R 4 R d Si 34

35 4. ERHALTUNGSSÄTZE DER MECHANIK 4. Engihlung 4.. Ai Bwg sich in Kö un d Einfluss in Kf F v, so vich dis Kf uf d Wg von nch in Ai W Kö : W Fd Wgingl d Kf Fü di Bwgung längs in Bhnkuv sil nu di Kf F v ( ) F s ( s) v in Bhnichung (Richung d Bhnngn) in Roll, d di Koonn snkch du duch di Zwngskf konsi wid: s W F d F d s i s d s d F s F cosα s Di us d Schul knn infchs Bihung W F s häl n nu, wnn di Kf in Richung ds Wgs wik ( F s ) und ußd uf d gsn Wg glich goß is ( F cons ). Di hsiklisch Göß Ai is in gli Göß. Di Einhi d Ai is ds Joul (J). Joul is glich d Ai, di vich wid, wnn d Angiffsunk d Kf N in Richung d Kf u vschon wid: J N 4.. Vschiungsi und onill Engi Ein Kö, d un d Einfluss in Kf F v sh, soll schlunigungsfi vschon wdn. Du uss v wähnd d Bwgung ds Käfglichgwich duch in usälich ngifnd Kf F (.B. Musklkf) hgsll wdn : Kö un Einfluss in Kf F v (.B. Gwich: F g g ) Vschin i F' F (i Bisil: F' g g ) Bi Vschin längs in Bhn gil nschnd F' Fv, d wid nu di Koonn d Kf in Bhnichung u ücksichign is. Duch dis Kf F v ' wid di Vschiungsi W ' vich: W' W s d α F v F s D Sich ichn hi kin Aliung! Egänungn_7 Si 35

36 Egännd Kil u Volsung Angwnd Phsik Läss sich di Vschiungsi duch Ukhn d Bwgung uückgwinnn, so w si wischnduch gsich. Ein Kf F v, i d ds d Fll is, hiß Ponilkf; gsich Vschiungsi is Zuwchs n onill Engi: ΔW W W' ( ) W ( ) F d Käf sind Ponilkäf, wnn di glis Ai nu vo Anfngs- und Endunk d Bwgung, nich vo uückglgn Wg häng. Vschiungsi ggn Käf, di kin Ponilkäf sind, läss sich nich uückgwinnn. Vo ll Riungskäf sind kin Ponilkäf. Di onill Engi ins Sss is nu is uf in unsi Konsn dfi- W nichs usgsg wid. ni, d ü in Anfngsngi ( ) Bisil: Vschiungsi i Schwkffld (Hui) F g g W G ' g FG d g d ( ) W () W () Ponill Engi d Schwkf ( ) g W F G Vschiungsi i in Fd (Snni) F D W D ' D FD d Dd ( ) W () Ponill Engi d Fdkf D W ( ) W () Di onill Engi ichn n uch ls Ponil. Bi ggn Ponil häl n di ughöig Kf ls W F gd W ( ) Flächn i glich onill Engi nnn n Ponilflächn od Äquionilflächn. Zu Vschiung ins Mssunks uf in Äquionilfläch uss kin Ai vich wdn. Si 36

37 Glichgwich Ein Kö find sich i sischn Glichgwich, wnn W ( ) n dis Sll inn Ew od Wndunk i hoionl Tngn h. J nchd, o W in Miniu od Miu si od ü inn gwissn Bich konsn is, unschid n wischn sil, lil od indiffn Glichgwich. Vsuch Glichgwich: Mi in Roll und in igsn Lis könnn di vschidnn An ds Glichgwichs donsi wdn. Füh di Vschiung us d Glichgwichslg u in Ehöhung d onilln Engi, is ds Glichgwich sil usw Lisung Di Lisung P is d Diffnilquoin d Ai nch d Zi dw P. d S n d W F d in, so häl n P F v Bschlunigungsi und kinisch Engi Wik uf inn Kö di Kf F v, so wid nschnd d Bwgungsglichung F schlunig. Di di vich Ai W hiß Bschlunigungsi. Bchn n W i Hilf d Bwgungsglichung, so knn n unächs schin: d v d F und d d d F d d v d d d Di häl n fü di Bschlunigungsi: W Fd d Di Göß W v hiß kinisch Engi. k ( ) ( v v ) W () W () k k Egänungn_7 Si 37

38 Egännd Kil u Volsung Angwnd Phsik 4..5 Ehlungss d chnischn Engi Bish wud di Vschiungsi nu un d Ask in äußn Kf ch, di inn Mssunk schlunigungsfi (qusisisch) von nch d vschon h. Di Vschiungsi knn uch vich wdn, ohn dss äuß Käf wikn,.b. ind in Mssunk di gs wid. Ein Fdnndl: I unsn Punk d Bhn h di Mss ih göß Gschwindigki und di ih göß kinisch Engi. Nch Duchgng duch disn Punk wg sich di Mss uf d Kishn ufwäs, woi si insis n onill Engi gwinn, ndsis gs wid (kinisch Engi vli) und i Ukhunk schlißlich u Sillsnd ko. D Mssunk wg sich un d Einfluss d Kf F. Mulilii n dis i d Gschwindigki v, häl n di Lisung P : d dw F v F P d d Dis Bihung knn n fü di Ingion d Nwon schn Bwgungsglichung hnihn. Mulilii n di Bwgungsglichung i d Gschwindigki, gi sich: d F v v v& v v d d P Wk d Is di Kf F nu vo O hängig ( F F( ) ), knn n ußd di onill Engi ngn: W W ( ) F( ) d dw F( ) d dw d d P F v W. d d d und ( ) Eliini n nun di Lisung P us disn Glichungn, häl n schlißlich dn Engihlungss d Mchnik: d [ Wk W ] d Is di Kf F in Ponilkf, so is di von ih n in Kö vich Bschlunigungsi glich d Anh sin onilln Engi. Di knn uch d Bgiff Engi llgin dfini wdn: Engi is di Fähigki ins Sss, Ai u vichn. Si 38

39 Di Su von onill und kinisch Engi ins Kös, d sich un d Einfluss in Ponilkf wg, änd sich nich. W W v W W v ( ) ( ) ( ) ( ) k k Di vllgin Schiwis ds Engiss fü liig O d Bwgung hiß: W Wk v W P ( ) ( ) cons D Engis is sonds gign fü di Lösung von Bwgungsoln, i dnn d Zusnhng wischn O und Gschwindigki ins Kös nöig wid. Mi d Engihlungss knn di Bwgungsglichung nich vollsändig glös wdn, d di Engi nu in skl Göß lif, di gsuch O-Zi-Funkion jdoch in Vko is. () Ein Schlifnhn: Ein Kugl soll in Schlifnhn i d Rdius iungsfi duchlufn, ohn h u flln. Wi goß uss di Shöh indsns gwähl wdn Engihlungss: ( ) W ( ) W ( ) W k g g g g g g 7 v v v JS,K ω R 5 K v R Di Kugl duchläuf di Bhn dnn gd noch ohn h u flln, wnn on Punk d Schlif ds Poduk us Mss und Rdilschlunigung glich d Gwich is: v g v g Einsn gi: 7 g g g und g g 7, 7. 7 g K g Egänungn_7 Si 39

40 Egännd Kil u Volsung Angwnd Phsik 4. Iulshlung 4.. Iuls und Kfsoß Wnn F ls Funkion d Zi ggn is, knn n di Bwgungsglichung v & d F() ( cons) d uf idn Sin ü di Zi ingin v v F d. () 443 Kfsoß Ds Poduk us Mss und Gschwindigki ichn n ls Iuls: v Ds Ingl F d is d Kfsoß, d di Iulsändung Δ vusch. Di sind folgnd Fäll inssn: ) F (kin Kf) cons Iulshlung ) F i (Koonn d Kf is Null) i cons c) F F cons F d d ; Ingion: d! d d C d Di Iulsändung folg snkch u Bhn, s änd sich di Richung, nich d Bg ds Iulss. Di kinisch Engi is Ehlungsgöß. Bisil: Lonkf FL Q v B (Q - lkisch Ldung; v - Gschwindigki ds gldnn Tilchns; B - gnisch Flussdich): Gldn Tilchn fhn i Mgnfld kin Bhnschlunigung. D Iuls ins Mssunks li konsn, wnn kin Kf ngif. Shn ngifnd Kf und Iuls snkch ufinnd, änd sich nu di Richung ds Iulss, wähnd sin Bg konsn li. In dis Fll is di kinisch Engi Ehlungsgöß. Si 4

41 4.. Ss von Mssunkn: Inn Käf, Iulshlung, Mssnilunk Zunächs soll in Ss von nu wi Mssunkn i innn und äußn Käfn ch wdn: i F F F F i F F d d d d Di Su d Käf is dnn: i i F F F F F d d d d d d Wgn ds Ggnwikungsinis (3. Nwon schs Aio) is di Su d innn Käf glich Null. Di Glichung häl di Fo d d k Fk F d d k k Mn häl lso fü in Ss von Mssunkn di glich Bihung wi fü inn inlnn Mssunk, wnn n di Su d äußn Käf und di Su d Iulsändungn ücksichig. Folgungn: ) Iulshlung Tn in in Ss von hn (N) Mssunkn nu inn Käf uf (Su d äußn Käf is Null), dnn vschwind ufgund ds Ggnwikungsinis in dis Ss di Gssu ll wikndn Käf. Di Addiion d Bwgungsglichungn ll Punkssn füh dh uf di Bihung N k k k. Ds Ziingl ü disn Ausduck is d Iulshlungss: N v N k k k k k cons Di Su d Iuls kv k (w. d Gsiuls ) in in Ss h Mssunk is konsn, wnn nu inn Käf wikn (gschlossns Ss) w. di Su ll äußn Käf vschwind. ) Mssnilunk Fü oigs Bisil gil: d d d d d d ( v v ) F und i F F F i F Egänungn_7 Si 4

42 Egännd Kil u Volsung Angwnd Phsik Si 4 d d ( ) F Mi Einfühung ds Mssnilunks od Schwunks wid dus d d s s s F. N k k k (w. N s k k k ) Dus folg d Schwunks: D Schwunk ins liign Sss von Mssunkn wg sich so, ls si i Schwunk di Gsss ds Sss vinig und ls giffn di äußn Käf i Schwunk n. Ein Wgn i Pndl: S n ds uf in Wgn oni Pndl in Bwgung, füh d Wgn nflls in Bwgung us. Di Bwgung ds Wgns folg so, dss d Schwunk usünglichn O li D nl gd Soß wi Kugln D Iulshlungss ign sich sonds u Bchnung ds Alufs von Soßvogängn, i dnn wischn dn soßndn Kön nu kuiig inn Käf wikn. Di ghö d Soß wi Kugln ignlich nich h un di Üschif Dnik ds Mssunks, d di lsischn Eignschfn s Kö in wsnlich Roll siln. D nl gd Soß wi Kugln läss sich indinsionl hndln, d di Bwgung nu längs d Vindungslini d Milunk d idn Kugln vläuf. Fü dn gdn Soß wischn wi Kön ( und ) häl d Iulshlungss di Gsl v v v v v v Hi sind v und v di Gschwindigkin vo d Soß s und v und v di Gschwindigkin nch d Soß. v v D Iulss llin ich u Bsiung id s Endgschwindigkin v und v i llginn nich us, d uch di A d Kfwikung wähnd ds Soßs in Roll sil. Zwi Gnfäll könnn di unschidn wdn: D vollkon lsisch Soß find s, wnn di gs kinisch Engi hln li. Bid Mssn nfnn sich nch d Soß wid voninnd. Zusälich u Iulshlungss gil d Engihlungss: v v v v Mn häl so di wi Glichung u Bsiung d idn Unknnn.

43 Bisil: Ni n in in infchn Bisil n, dss di Mss vo d Soß uh, häl n di Bihungn v v v v () und w. ugfo ( ) v v v () v v w. ( v v ) v (3) Glichung () knn n wi schin ls ( )( ) v v v v v v v Dividi n Gl. (3) duch Gl. () gi sich sofo v (4). Ds Egnis häl n duch Einsn von Gl. (4) in Gl. (): v v und v v S n in disn Lösungn, häl n v und v v. Ein vollkon lsisch Soß: Zwi Mssn soßn uf in Schin ninnd. Di Wchslwikung folg duch Fdn w. sich soßnd Mgn. In idn Fälln sind di Käf i d Wchslwikung Ponilkäf, so dss d vollkon lsisch Soß ufi. Di on hglin Bihungn wdn säig. Fü di Gschwindigki nch d Soß häl n llgin v ( ) v v und v ( ) v v Bi vollkon unlsischn Soß wgn sich id Kö i in ginsn Endgschwindigki v wi. Ein Til d kinischn Engi wid ü Vfoungsi in Wä (Vlusngi W ) ugwndl. v v ( )v v v v Engiiln: v v v WQ v v ( ) ( ) Q W Q Egänungn_7 Si 43

44 Egännd Kil u Volsung Angwnd Phsik Diskussion: Fü und v häl n schnll: v W W Q 4 Ein vollkon unlsisch Soß: Di Soßnodnung wid so gwähl, dss di idn soßndn Mssn ninnd kln lin (Knss). Fü infch Fäll lssn sich di on hglin Bihungn üüfn. Wi Ein u Soß (Kuglk, wi Kugln Pndl i und ohn däfndn Puff) k 4.3 Dhiulshlung 4.3. Dhiulshlung i d Znlwgung ins Mssunks Ein Znlwgung is in Bwgung un d Einfluss in Znlkf. Di Wikungslini d Kf gh di ss duch inn fsn Punk, d ls Znu d Kf ichn wid. Folglich is d Vko d Bschlunigung ss uf ds Znu d Kf F gich, d.h. di Bschlunigung is in Rdilschlunigung. v v Di Znlwgung find ss in in En s, nälich in d von und ufgsnnn: v d v d v v d ( ) ( ) Znlkäf sind.b. di Anihungskf wischn Mssunkn (Gviionskf), di Kf d lkosischn Wchslwikung wischn lkischn Punkldungn (Coulo-Kf) od uch in Kf d llginn Fo F D (.B. Fdkf; isoo- honisch Osillo). Flächns d D Flächns ih sich uf di Fläch, di d Osvko (Rdiusvko) vo Znu d Kf u in in Znlwgung usfühndn Mssunk i Ziinvll d üsich. d A Bi d llginn Bchung d Bwgung un d Einfluss von Znlkäfn knn n nich von in Kishn usghn. Zu Bchnung d Fläch uss n dh ds Vkooduk hnihn. Di vo Rdiusvko üsichn Fläch is di Hälf d von dn Vkon und d ufgsnnn Fläch: d A ( d ) i d v d häl n d A ( v ) d und i d Iuls v schlißlich Si 44

45 d A ( ) d An dis Sll vwndn wi wid dn i Aschni 3. ingfühn Dhiuls: L Di knn n di üsichn Fläch usdückn ls L d A d Wnn d Dhiuls L konsn is, folg dus, dss d Rdiusvko in glichn Zin glich Flächn üsich. (vgl.. Kl schs Gs: D Fhshl von d Sonn u Plnn üsich in glichn Zin glich Flächn.) D Dhiuls L & sh snkch uf d von und & ufgsnnn Bhnn. d Zu Bchnung ds Poduks & is s d wckäßig, d in Polkoodinn duslln (vgl. nnshnd Ski). Wi n sih, lif nu di u snkch Koonn inn Big u Vkooduk: d dϕ. Di häl n fü dn Bg ds Dhiulss woi L ω, dϕ ω di Winklgschwindigki ds ulufndn Mssunks is. d Mi d on ngslln Ülgung u Richung von L häl n schlißlich ls Dhiuls ins Mssunks i in Bwgung i Znlkffld L ω. Fü di Kiswgung w dis Bihung is i Aschni 3. vwnd wodn. dϕ dϕ ϕ d d Zilich Ändung ds Dhiulss, Dhiulshlung Di Ziliung ds Dhiulss gi: & L & & 3 & & L & F Egänungn_7 Si 45

46 Egännd Kil u Volsung Angwnd Phsik Ds Poduk F wud is i Aschni 3. ingfüh und ls Dhon M ichn: M F Di ilich Ändung ds Dhiulss is lso glich d ngifndn Dhon: & L M D Dhiuls L li konsn (is in Ehlungsgöß), wnn ds Dhon M F vschwind, wnn lso F od F is. Ls is i Znlkäfn d Fll ( F F ). Bi Bwgung i Znlkffld is d Dhiuls in Ehlungsgöß. Dhiulshlungss: Is ds sulind Mon d äußn Käf in Bug uf inn Fiunk od dn Schwunk ds Sss glich Null, is d Dhiuls ds Sss in Bug uf disn Punk iunhängig. In in gschlossnn Ss von Mssunkn n kin äußn Käf uf. Dh is d Gsdhiuls ins gschlossnn Sss in Bug uf inn liign uhndn Punk nich von d Zi hängig. D Dhiulshlungss knn nso wi d Engihlungss und d Iulshlungss u Lösung d Bwgungsglichung hngogn wdn. Di Dhiulshlung läss sich uch uf Fäll nwndn, di ignlich g nichs i in Dhwgung u un hn: Ein Mss wg sich gdlinig i konsn Gschwindigki v. Di gil α di Dhiulshlung: α L cons L L sinα 4.3. Dhiulshlung fü s Kö Wichigs Ehlungsgöß fü di Roion s Kö u in fs Achs is d Dhiuls. D Dhiuls li hln, wnn kin Mon in äußn Kf wik. Ds knn ich wdn, wnn kin äuß Kf ngif, di Wikungslini d Kf duch di Dhchs gh od di Wikungslini d Kf lll u sn Achs is. (L Bdingung gil nu fü di Roion u in s Achs, di idn ndn Fodungn gln uch fü di Roion u fi Achsn.) Fü di Roion s Kö u in fs Achs häl d Dhiulshlungss di Fo: Si 46

47 w. uch LA J A ω J A ω... ω (Zusnd ) L A i L (Zusnd ) A i J A i i LA i i i cons D d Dhiuls nülich in Vko is, is u chn, dss fü dis Fo ds Dhiulshlungsss jwils nu di Koonnn in Richung d Achs A u ücksichign sind. Owohl di A d Dsllung i inign wsnlichn Einschänkungn u vshn is, is di nggn Fo doch von goß chnischn Inss, d i viln Ssn sächlich nu di Roion u in fs Achs öglich is. Ein Kugl Fdn: Ein n in Fdn fsig Kugl füh in Kiswgung us. Bi Vkün ds Fdns vklin sich ds Täghison, folglich uss di Winklgschwindigki nschnd göß wdn. Ein Dhschl: Ein uf in Dhschl sind Pson häl Hnln in dn Händn und wid in Dhung vs. Dduch, dss di Hnln in unschidlich Asnd von d Dhchs ghln wdn, gi sich in Vändung ds Täghisons. D sich d Dhiuls nich änd, gn sich so unschidlich Winklgschwindigkin. Ein Dhschl i Rd: Ein uf in uhndn Dhschl sindn Pson wid in dhnds Rd i hoionl lignd Achs ügn. Wid di Achs ds Rds in di vikl Lg gch, dh sich d Dhschl nggn d Dhichung ds Rds. Nu di Koonn ds Dhiulss in Richung d Achs ds Dhschls is wiks. And Bchungswis: Duch Ändn d Richung ds Dhiulss wid in Dhon usgü, ds dn Dhschl schlunig. Ein Modllisnhn: Auf in dhn Schinnkis fäh in Modllisnhn. Zunächs findn sich Bhn und Schinnkis in Ruh. Läss n di Bhn losfhn, dh sich d Schinnkis in Ggnichung, so dss d Gsdhiuls wihin glich Null is. Es lssn sich so uch Bisusänd i von Null vschidn Gsdhiuls und di Ändung ds Dhiulss duch in Schinnkis ngifnds Bson donsin. Di Anodnung nsich in chnisch of nuffnd Konfiguion (.B. Mooläuf und -sänd), i d di Bschlunigung.B. ds Mooläufs duch inn Käf folg und i d folglich di Dhiulshlung gil. I kischn Fll uss dnn.b. d Moosänd duch in äußs Dhon in Ruh ghln w. u Ruh gch wdn. Egänungn_7 Si 47

48 Egännd Kil u Volsung Angwnd Phsik 5. HERLEITUNG DER WELLENGLEICHUNG FÜR EINE KUGEL- KETTE i 3 i i i i i i 3 ξ i 3 ξ i ξ i ξ i ξ i ξ i ξ i3 i 3 ξ ( ) Δ i i i i i i 3 Es wid von in Kuglk usggngn, i d sich di Kugln (Mss jwils ) nu in -Richung vschin lssn. Di Kugln hn in d Ruhlg uinnd ll dn glichn Asnd Δ i i und sind i Fdn gkol, woi di Fdkonsn jd inlnn Fd i d ichn wdn soll. Di K sh us n Fdn und nschnd ( n ) Mssn. Ih Gsläng äg l n Δ, di Gsss is M ( n ). Zu Dsllung d Wllnwgung is s nun wckäßig, di Auslnkung d inlnn Mssn us ih Ruhlg duch in nu Göß ξ i ( ) ξ ( i, ) u schin (s. Monild dis Funkion in d Ski). Di Fdkf in Fd hl n so infch ls Poduk us d Fdkonsnn d und d Diffn d Auslnkungn d idn Endn d Fd us d Ruhlg, d.h. F d ξ ξ ( ) D i i i. Di Fdkf, di n di Mss i ngif, gi sich ls Diffn d Fdkäf d idn nchn Fdn. Ein sulind Kf gi sich nu dnn, wnn di Fdkäf d nchn Fdn unschidlich goß sind. Di Bwgungsglichung fü di Bwgung d i-n Mss lu di: F & ξ d ξ ξ ξ ξ [( ) ( )] i i i i i i F & ξ d i i [ Δξi Δξi ] d Δ( Δξi ) d Δ i chs links U u Aussgn ü di gs K u glngn, uss n nun dn Eignschfn inflißn lssn: ξ Si 48

49 Zih n di inln Fd u di Sck usinnd, häl n di ückind Fdkf F D d. Bi lngsn (sischn) Ausinndihn in K us n Fdn u di glich Sck wid nun jd inln Fd nu u di Sck usinndgogn, d.h. di n Sck vil sich uf ll n Fdn. Dduch is nun uch di Fdkf klin d D, n n FD n d ws n duch in nu Fdkonsn D, di di Eignschfn d gsn K schi, usdückn knn. D Zusnhng wischn d Fdkonsn d inlnn Fd und d Fdkonsnn d Fdk is dnch d n D. Di, und i d Zusnhng wischn d Einlss und d Gsss M d Fdk knn n nun schin d ξ i d D n( n ) Dl ( l Δ ) Δ ξ Δ ξi Δ ξi M M ( ). d Δ I ln Ausduck wud ußd di Bihung wischn d Gsläng l d Fdk und d Asnd Δ wi nch Mssn in d Ruhlg ings. Zu Wllnglichung glng n nun, wnn n di Zhl d Mssn d chn Kuglk sh goß wdn läss, woi d Asnd wischn dn Mssn (i glichlind Gsläng d Fdk) ggn Null gh. Di uss n nun uch üghn von d Funkion ξ i ξ( i, ) fü di inln Mss i u llginn Funkion ξ ξ (,), di ds Vhln d gsn K schi. D dis Funkion nun von wi Viln häng, uss n jwils di illn Aliungn nch d Zi w. nch d O vwndn. D Gnügng Δ füh so u Wllnglichung ξ Dl M ξ, w. (in d ülichn Dsllung) ξ M Dl ξ. Di hn wi di Phsngschwindigki d Longiudinlwll in Kuglk uf dn Eignschfn Mss, Fdkonsn und Läng uückgfüh: c M Dl c Dl M Egänungn_7 Si 49