Hochschule Rhein-Main. Sommersemester 2015

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1 Vorlesung Hochschule Rhein-Main Sommersemester 2015 Dr. Roland Stamm 11. Mai 2015

2 Diskontfaktoren: Legt man heute (in t) 1 Einheit bis T an, und erhält dafür in T insgesamt x zurück (mit Zinseszins, keine zwischenzeitlichen Zinszahlungen), so hat umgekehrt 1 Einheit in T heute den Wert P (t, T ) := 1/x. Wir verwenden in der Regel die kontinuierliche Verzinsung für Rechnungen: P (t, T ) = e r(t,t ) δ(t,t ). In der Praxis vorkommende Zinsen sind aber typischerweise einfach verzinst: P (t, T ) = 1/(1 + r(t, T ) δ(t, T )). Die Bewertung per heute ( Barwert ) einer zukünftigen Zahlung Z erfolgt durch Multiplikation mit dem Diskontfaktor für den Zahlungstermin: BW (t) = Z P (t, T ). Bewertung von Zahlungsströmen C i zum Zeitpunkt t i, i = 1,..., n: n BW (t) = C i P (t, t i ). i=1

3 LIBOR-Raten: Forwardrate: L(t, T ) = 1 P (t, T ) δ(t, T ) P (t, T ) = 1 δ(t, T ) 1 P (t, T ) = 1 + L(t, T ) δ(t, T ). f(t; t 1, t 2 ) = Floating Rate Note (FRN) an einem Fixingtermin t 0 : II ( 1 ) P (t, T ) 1 ( ) 1 P (t, t1 ) δ(t 1, t 2 ) P (t, t 2 ) 1. (1) Π(t 0 ) = N + N s A(t; t 0, t n). Zinsswap zu einem Fixingtermin: ( ) Π(t 0 ) = N 1 P (t 0, t n) + s A var (t 0 ; t 0, t n) c A fix (t 0 ; t 0, t n). Faire Swaprate (Parrate): c = 1 P (t, tn) A fix (t, t 0, t n).

4 Overnight Indexed Swaps (OIS) In zahlreichen wichtigen Währungen gibt es auch Swaps, die variabel gegen fest tauschen, wobei das variable Bein täglich mit der Overnight-Rate gefixt wird. Beide Beine zahlen allerdings nur jährlich (bei kürzeren Laufzeiten als 1 Jahr natürlich am Ende der Laufzeit); die variablen Zinsen werden dabei mit einfacher Verzinsung akkumuliert, d.h. der Zins für Periode i ist [ R i = 1 ni ] (1 + L ON (t i,k 1, t i,k )δ i,k ) 1. (2) δ i k=1 Dabei ist δ i die Länge der i-ten Zinsperiode, δ i,k die Länge der k-ten Fixingperiode, n i die Anzahl der Fixings in der i-ten Periode, und L ON (t i,k 1, t i,k ) das k-te Fixing. Typischerweise wird das Fixing ein bis zwei Arbeitstage vor Periodenende eingefroren (z.b. 1 Tag in GBP, 2 Tage in USD und EUR), d.h. die letzten zwei bis drei Fixings bleiben konstant. Den Abstand zwischen dem letzten Fixing und der Auszahlung nennt man auch Payment Lag.

5 OIS, Fortsetzung Die OIS haben unterschiedliche Namen: EUR Euro Overnight Index Average = EONIA GBP Sterling Overnight Index Average = SONIA USD FedFunds JPY Mutan (sometimes Tokyo Overnight Average Rate TONAR) CHF Swiss Average Rate Overnight = SARON DKK DKKOIS AUD AONIA CAD CORRA HKD HONIX NZD NZIONA

6 Ein Forward ist ein Devisengeschäft in der Zukunft zu heute festgelegten Konditionen. Man legt also heute (Zeitpunkt t) den Wechselkurs X(t, T ) fest, zu dem in T zwei Währungen gegeneinander getauscht werden sollen. Nach dem Replikationsprinzip sollte dabei gelten, dass das folgende Diagramm kommutativ ist: Heimatwährung Fremdwährung P d (t, T ) X f/d (t, T ) P d (t, T ) X f/d (t) P f (t, T ) # X f/d (t) X f/d (t, T ) X f/d (t, T ) P f (t, T ) P f (t, T ) 1 Einheit in Fremdwährung Das bedeutet, dass P d (t, T ) X f/d (t, T ) = X f/d (t) P f (t, T ) bzw. X f/d (t, T ) = X f/d (t) P f (t, T ) P d (t, T ) sein müsste. Leider ist auch dies nicht korrekt.

7 , Fortsetzung Quotierung von (30/09/2014): Ccy1 Ccy2 Lfz. Rate EUR CHF 2D EUR CHF 1D EUR CHF 2D EUR CHF 3D EUR CHF 1W EUR CHF 2W EUR CHF 3W EUR CHF 1M EUR CHF 2M EUR CHF 3M EUR CHF 4M EUR CHF 5M EUR CHF 6M EUR CHF 9M EUR CHF 1Y Interpretation: Der 1Y- Forward liegt um 17.74/10000 unter dem aktuellen Wechselkurs, also bei

8 , Fortsetzung Exposure 1, , , , ITM ATM OTM Time / Years Abbildung : Erwartungswert des positiven Marktwerts eines. Die vereinbarte -Rate ist 90% (ITM), 100% (ATM) bzw. 110% (OTM) der Rate. Laufzeit 2 Jahre, Volatilität 20%.

9 Derivate zwischen Banken unterliegen heutzutage stets sabkommen. Der wichtigste Typ ist der sogenannte Credit Support Annex (CSA). Der internationale Derivatehandel unterliegt dem ISDA Master Agreement. Die International Swaps and Derivatives Association (ISDA) hat 1992, 2002 und 2012 Standardverträge veröffentlicht, an denen sich die meisten Geschäfte ausrichten. Diese Standardverträge machen generelle Angaben über die finanziellen Risiken zwischen den beiden Vertragsparteien, ohne auf einzelne Geschäfte einzugehen. Beispielsweise wird in Section 5 festgelegt, wann ein Ausfallereignis vorliegt oder wann bestimmte Austrittsklauseln gelten (Termination Events). Section 6 erläutert, wann vorzeitige Kündigungen zu welchen Konditionen stattfinden können. Das CSA ist ein Anhang zum ISDA MA und legt die Details der fest: Dass die Barwerte der Derivate aufgerechnet (genettet) werden; Welche Partei Sicherheiten zu hinterlegen hat; Schwellenwerte, ab denen Sicherheiten gestellt werden, die Frequenz der Sicherheitenstellung, und die Mindestbeträge, ab denen ausgetauscht wird (Minimum Transfer Amounts, MTA); Unabhängige Beträge (Independent Amounts), die nicht von der aktuellen Bewertung der Derivate abhängen; Die Art der erlaubten Sicherheiten (Bargeld in welcher Währung, Wertpapiere); Weiterverwendungsmöglichkeiten der Sicherheiten (Rehypothecation).

10 , Fortsetzung Wird die kontinuierlich zum exakten Barwert des Derivateportfolios durchgeführt (d.h. ohne Schwellenwerte oder MTAs), dann kann das Portfolio als nahezu ausfallsicher angesehen werden. In der Realität gilt aber: Die Frequenz zur Sicherheitenstellung ist manchmal nicht täglich, sondern wöchentlich oder sogar monatlich; Die Schwellen sind häufig nicht 0, und die MTAs liegen typischerweise zwischen und 2 Mio, manchmal noch darüber; Wenn Barsicherheiten in Fremdwährung hinterlegt werden, gibt es ein -Risiko; Wenn Wertpapiere als Sicherheiten hinterlegt werden, so schwankt deren Wert selbst, so dass es zu einer Untersicherung kommen kann; Die Bewertung der beiden Kontrahenten ist in aller Regel unterschiedlich, schon wegen anderer Marktdatenquellen; bei Portfolien mit komplexen Produkten können die Bewertungen aber auch wegen der verwendeten Modelle deutlich voneinander abweichen. Wenn der Ausfall eines Kontrahenten zu Marktverwerfungen führt (Lehman-Default), kann es selbst bei perfekter in der Zeit zwischen Ausfall und Schließen der Position (Margin Period of Risk, MPR) noch zu erheblichen Verlusten kommen. Deshalb ist auch ein perfekt besichertes Portfolio nie ganz ausfallsicher.

11 , Fortsetzung Amount / Mio. EUR No Collateral Threshold 4 Mio. Threshold Time / Years Abbildung : Erwartungswert des positiven Marktwerts eines Zinsswaps ohne, mit bei Schwelle 4 Mio, und ohne Schwelle. MPR ist zwei Wochen.

12 Kredit kommt von credere (glauben)... Mit dem Ausfall von Bear Stearns und Lehman Brothers vertrauten die Banken einander nicht mehr. Sie mussten feststellen, dass die Annahme, dass LIBOR die risikolose Zinsrate ist, falsch war. Deswegen werden seitdem Derivate zwischen Banken nur noch mit ( Collateral ) abgeschlossen, bei der die Partei, deren Geschäft im Minus ist, der anderen den Wert als Sicherheiten stellt (typischerweise in bar, aber auch in Wertpapieren). Die Zahlungen von Derivaten sind damit sicherer als die aus unbesicherten Darlehen (LIBOR). Weil die Derivate aber an LIBOR-Zahlungen gekoppelt sind, wird ihr Kreditrisiko also überschätzt, wenn man Raten mit LIBOR prognostiziert. Beispiel Basisswap: Beide Seiten im Swap haben dasselbe Kreditrisiko, da der Swap besichert ist. Die beiden LIBOR-Raten sind aber mit unterschiedlichem Kreditrisiko behaftet; je länger die Periodenlänge, desto höher das Risiko. Deshalb zahlt der Zahler des längeren Tenors die entsprechende Risikoprämie zu viel; diese wird dadurch ausgeglichen, dass auf dem Bein mit dem kürzeren Tenor ein Spread aufgeschlagen wird. Wir sehen, dass Instrumente mit verschiedenen Laufzeiten/Tenors unterschiedliche Bewertungen brauchen.

13 Overnight-Raten Barsicherheiten werden mit der Overnight-Rate verzinst. Man kann daraus ableiten, dass die richtige Diskontkurve für besicherte Geschäfte von der Overnight-Rate (OIS-Swaps) abgeleitet werden muss: Betrachte einen Swap, der gerade sein letztes Zinsfixing hatte: 5% auf dem festen Bein, Periodenlänge 1 Jahr; 6M-Euribor-Fixing war 0.952% p.a., Laufzeit 6 Monate; Die 6-Monats-OIS-Rate ist 0.483% p.a. Swapnominal 100 Mio EUR. Am Periodenende werden netto = Mio EUR gezahlt. Mit EURIBOR-Diskontierung hat dieser Betrag einen Barwert von /( %) = EUR. Der Markt erwartet aber, dass der Sicherungsbetrag in 6 Monaten einen Wert von ( %/2) = EUR hat. Die richtige Rate zur Diskontierung ist also die Overnight-Rate.

14 Overnight-Raten, Fortsetzung Es gibt auch andere Gründe, die Overnight-Raten zur Diskontierung zu verwenden: Overnight-Fixings basieren auf tatsächlichen Geschäftsvorfällen, sind also nicht so leicht zu manipulieren wie LIBOR; Die Overnight-Rate ist so gut wie frei von Ausfallrisiken, da man den Kontrahenten jeden Tag wechseln kann; Es gibt in vielen Währungen einen liquiden Markt für OIS-Swaps mit Laufzeiten bis zu 30 Jahren. Insbesondere der zweite Punkt spricht dafür, die Overnight-Rate stets zur Diskontierung zu verwenden, da man dafür ja den risikolosen Zins verwenden soll. Overnight kommt diesem am nächsten.

15 Vor der Krise Deposit-Segment Benutze Deposit-Raten (Geldmarktgeschäfte zwischen Banken) für Laufzeiten bis zu einem Jahr. Starte mit Overnight (O/N) und Tomorrow/Next (Tom/Next), um die Diskontfaktoren für das Spot-Datum in zwei Werktagen zu erhalten: P (t 0, t 1D ) = r ON δ(t 0, t 1D ). Tom/Next ist eine Rate (1D bis 2D), d.h. wir verwenden die Formel ( ) 1 P (t0, t 1D ) r T N = δ(t 1D, t 2D ) P (t 0, t 2D ) 1 oder P (t 0, t 2D ) = P (t 0, t 1D ) 1 + r T N δ(t 1D, t 2D ). Alle weiteren Deposits sind mit Startdatum = Spot (2D), d.h. wir verwenden ( ) 1 P (t0, t 2D ) r T N = 1 δ(t 2D, T ) P (t 0, T ) oder P (t 0, T ) = P (t 0, t 2D ) 1 + r T δ(t 2D, T ) für T = Spot/Next (S/N), 1W, 1M,..., 12M.

16 : Vor der Krise Swap-Segment Ein Zinsswap kann als Tausch eines Kuponbonds gegen eine FRN mit Barwert Π = Π var Π fix angesehen werden. Swaps werden fair quotiert, d.h. Π = 0 oder Π var = Π fix. Bei Abschluss gilt Π var = N P (t 0, t 2D ) (noch kein erstes Fixing). Festes Bein: also M Π fix = N c M δ(t i 1, t i ) P (t 0, t i ) + N P (t 0, t M ), i=1 M P (t 0, t 2D ) = c M δ(t i 1, t i ) P (t 0, t i ) + P (t 0, t M ) i=1 für Laufzeit t M. Auflösen nach P (t M ): P (t 0, t M ) = P (t 0, t 2D ) c M 1 M i=1 δ(t i 1, t i ) P (t 0, t i ). 1 + c M δ(t M 1, t M ) Dies liefert ein iteratives Verfahren für wachsendes t M.

17 Nach der Krise OIS- Die ersten beiden Punkte der Diskontkurve O/N und T/N werden genauso hergeleitet wie früher, da es keine anderen Instrumente gibt. Alle weiteren Punkte werden von OIS-Quotierungen abgeleitet. Dazu benötigen wir in (2) die Prognose für L ON (t i,k 1, t i.k ). Da der Tenor der Diskontkurve und des identisch sind, dürfen wir die Formel verwenden: Also erhalten wir in (2) L ON (t i,k 1, t i,k ) = 1 δ i,k ( P (t, ti,k 1 ) P (t, t i,k ) ) 1 [ R i = 1 ni ] P (t, t i,k 1 ) 1 δ i P (t, t k=1 i,k ) = 1 [ ] P (t, ti 1 ) 1, (3) δ i P (t, t i ) also wieder einfach die Formel, allerdings für die gesamte Periode.

18 OIS-, Fortsetzung Wegen des Payment Lags kann man den Barwert eines variablen OIS-Beins nicht mit der Teleskopsumme behandeln. Für den Barwert gilt Π var (t) = n R i δ i P (t, t i,p ), i=1 wobei t i,p der Zahlungstermin für die i-te Periode ist. Der Barwert des festen Beins ist wie immer Π fix (t) = c n δ i P (t, t i,p ) = c A ON (t; t 0, t n). i=1 Die OIS-Par-Rate ist gegeben durch ( n [ P (t, ti 1 ) c(t; t 0, t n) = P (t, t i=1 i ) ] )/ 1 P (t, t i,p ) A ON (t; t 0, t n). (4) Somit ist für Laufzeiten < 1 Jahr: P (t, t 1 ) = P (t, t 0 ) 1 + c(t; t 0, t 1 ) δ(t 0, t 1 ). Für Laufzeiten > 1 Jahr benutze (4) wie im Vorkrisen-Fall.

19 Nach der Krise müssen pro Tenor (1M, 3M, 6M, 12M)projiziert werden. Die Instrumente, die für den Bau einer Kurve für Tenor δ verwendet werden, müssen alle ebenfalls den Tenor δ haben!!! Ziel ist es, eine Diskontkurve P δ (t, T ) zu erzeugen, die allerdings ausschließlich zum Bestimmen der mit der alten Formel (1) verwendet wird. Kurze Laufzeiten: Verwende O/N, T/N und Deposits bis Laufzeit δ wie vor der Krise. Für mittlere Laufzeiten (zwischen δ und Monaten) verwende Quotierungen und die Formel (1): F δ,mkt (t; t 1, t 2 ) def = ( 1 P δ ) (t, t 1 ) δ(t 1, t 2 ) P δ (t, t 2 ) 1. Für lange Laufzeiten verwende den Swap- n c A ON,fix = f δ (t; t i 1, t i ) δ i P ON (t, t i ), i=1 wobei wir die Diskontkurve P ON (t, T ) bereits erzeugt haben.

20 Abbildung : EONIA- und 6M-EURIBOR-Kurve vom 21/11/2011.

21 Interpolation Die Bewertung benötigt häufig Diskontfaktoren an Daten, an denen keine Instrumente vorliegen. Zu solchen Terminen muss die Diskontkurve interpoliert werden. Manchmal werden die Marktdaten selbst interpoliert. Solche sind aber oft nicht brauchbar. Alternativ kann man eine funktionale Form der Zero- oder der Diskontkurve suchen, die von einigen wenigen Parametern abhängt, die man dann an die vorhandenen daten optimiert. Dies hat allerdings den Nachteil, dass man selbst die Instrumente, die man zur Ermittlung der Kurve verwendet hat, nicht exakt trifft. Es ist üblich, die Zerokurve zu interpolieren. Hierzu gibt es folgende Standardverfahren: Lineare Interpolation der Zeroraten Linear Interpolation des Logarithmus der Diskontfaktoren (auch bekannt als log-lineare Interpolation) Cubic Splines auf den Zeroraten Financial Cubic Splines auf den Zeroraten.

22 Leiten Sie von den folgenden Daten eine 6-Monats- und eine 3-Monats-Diskontkurve ab (lineare Interpolation). Instrument Term Mid Rate DEPOSIT 1D DEPOSIT 2D DEPOSIT 1W DEPOSIT 2W DEPOSIT 3W DEPOSIT 1M DEPOSIT 2M DEPOSIT 3M DEPOSIT 4M DEPOSIT 5M DEPOSIT 6M SWAP 1Y SWAP 18M SWAP 2Y SWAP 3Y SWAP 4Y SWAP 5Y SWAP 6Y SWAP 7Y SWAP 8Y SWAP 9Y SWAP 10Y Instrument Term Mid Rate DEPOSIT 1D DEPOSIT 2D DEPOSIT 1W DEPOSIT 2W DEPOSIT 3W DEPOSIT 1M DEPOSIT 2M DEPOSIT 3M FRA 3x FRA 6x SWAP 1Y SWAP 15M SWAP 18M SWAP 21M SWAP 2Y SWAP 3Y SWAP 4Y SWAP 5Y SWAP 6Y SWAP 7Y SWAP 8Y SWAP 9Y SWAP 10Y Abbildung : Marktdaten per 26/01/09, Deposits von Kliem, FRAs und Swaps von ICAP.