Aa(t i ) t i. Ab(t i ) Abbildung 2.3: Zahlungsströme des Zinsswaps

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1 16 KAPITEL 2. LINEARE FINANZPRODUKTE Aa(t 1 )... t 0 Ab(t t 1 t 2 1 )... t i Aa(t i ) Ab(t i ) t n Aa(t n ) Ab(t n ) Abbildung 2.3: Zahlungsströme des Zinsswaps 2.2 Swaps Zins-Swaps Zins-Swaps sind ein beliebtes Produkt an den Kapitalmärkten. Das spiegelt sich wider in, bzw. ist begründbar mit, einer starken Standardisierung des Produktes (ISDA (2002)). Die damit einhergehende hohe Liquidität von Swaps macht deren Preise zu einem wertvollen Gut für die empirische Wirtschaftsforschung und sogar für die Wirtschaftspolitik. So benutzt die Europäische Zentralbank (EZB) die Preise im Rahmen von volkswirtschaftlichen Analysen (siehe z.b. Durré (2006)). Sie bereiten die Steuerung vor, welche die Notenbank über den Zinsmarkt einleitet. Wie im Falle der Zinstermingeschäfte machen Zins-Swaps nur Sinn, wenn die Zinskurve r t nicht als konstant angenommen wird. Produktbeschreibung Ein Zins-Swap (engl. single currency interest rate Swap ) ist die Vereinbarung zweier Parteien, an n aufeinanderfolgenden Terminen Zinszahlungen bezüglich eines Nominals (engl. notional ) A auszutauschen.

2 2.2. SWAPS 17 Die Folge der Zahlungen lautet A(a(t i ) + b(t i )),...,n. Die Einnahmen und Ausgaben werden verrechnet (saldiert) und es fließen nur die Differenzen als wirkliche Zahlungströme. Wir werden konstante Zeiträume zwischen den Zahlungsterminen, also t i t i 1 = c i = 2,...,n, annehmen. (Diese Annahmen spiegelt die Realität wider und beläuft sich häufig auf drei Monate.) Dann wollen wir die (endliche) Folge auch schreiben als A(a i + b i ),...,n. Hierbei sind Aa i die Einzahlungen und Ab i die Auszahlungen (also negativ) aus Sicht einer Partei ( Kontrahent genannt). Die beiden Zahlungströme nennt man Seiten (engl. swap legs ). Eine Seite ist der variable Zins (engl. floating leg ), dies sei ohne Beschränkung die b-seite. Genauer ist b i der im Zeitpunkt t i 1 aktuelle Zins für einen Kredit mit Laufzeit bis t i, z. B. der in Pfund notierte 3-Monats LIBOR oder EURIBOR (der letzte ist in Euro notiert). Es ist also der Zins, der in t i 1 für die Vergabe eines Kredites mit Laufzeit c marktüblich ist. Wie im Abschnitt 2.1 bereits implizit angenommen, werden Zinsen üblicherweise am Ende der Kaufzeit gezahlt (zumindest für kurzlaufende Kredite) (genannt Endfälligkeit ). Die Zahlungshöhe Ab(t i ) ist im Zeitpunkt t i 1, i = 1,...,n bekannt. Die Festlegung des Zinssatzes nennt man Fixing. Beim LIBOR wird der Wert b(t i) in t i 1 aus den Angeboten von 10 großen Banken für einen Kredit der Laufzeit c unabhängig ermittelt und veröffentlicht. Die zweite Seite ist fest. a(t i ) = r fix i = 1,...,n. Ein Beispiel für den Nutzen: Ein Unternehmen hat fixe Ausgaben (z. B. Löhne) und variable Einnahmen (aufgrund variierender Preise des Produkts auf dem Markt, wie z. B. bei Öl oder Mieteinnahmen), die idealerweise hoch mit dem variablen Zins korrelieren. Dieses möchte den Unterschied zwischen Auszahlung und Einnahme (engl. mismatch ) möglichst gering halten, z. B. um die Liquidität sichern. Dazu kann es einen Swap mit einem Kontrahenten, üblicherweise einer Bank, eingehen, der an ihn den fixen Zins liefert und in dem er den variablen Zins zahlt. Über die Höhe des Nominals kann dann die feste Zahlungshöhe determiniert werden. Das Unternehmen leitet dann die variablen Einnahmen an die Bank weiter (mal weniger als die Ausgaben mal mehr). Von der Bank bekommt es den festen Betrag, den es dann in Form von Löhnen ausschüttet. In der Realität ist es so, dass die Bank direkt Ausgleichszahlungen (A(b i + a i )) an das Unternehmen liefern, bzw. verlangen wird.

3 18 KAPITEL 2. LINEARE FINANZPRODUKTE fix fix Markt Firma Bank variabel variabel Abbildung 2.4: Zahlungsströme bei der Absicherung mit einem Swap Die Zahlungsströme sind schematisch in Abbildung 2.4 dargestellt. Zu Swaps gibt es eine Vielzahl von Publikationen siehe z. B. Miron and Swannell (1992). Bewertung (engl. pricing ) Wie bei den Produkten mit einem Zahlungsstrom wollen wir einen Preis bestimmen. Vielmehr wollen wir den fixen Zinssatz so wählen, dass der Zahlungsstrom für beiden Parteien keine Kosten darstellt. Noch genauer wollen wir einen fixen Zinssatz und eine Strategie bestimmen, so dass weder Kosten, noch Gewinne, noch Risiko entstehen. Der Swap hat in t 0 dann den Marktwert von 0. Es wird nur ein Vertrag eingegangen, ohne Zahlung von Prämien. Wenn wir uns an die Termingeschäfte zurück erinnern, dann gilt für diese genauso: Bei Vertragsabschluss fließt kein Geld. Das Geschäft ist wertlos! Um den fixen Zins herauszufinden, bei dem der Wert des Swaps verschwindet, müssen wir zunächst den Swap in Abhängigkeit eines unbekannten fixen Zinses bewerten. Wie bekannt, erfolgt die Bewertung von einer zukünftigen Zahlungen durch Abdiskontieren (siehe Abschnitt 1.1). Mehrere Zahlungen in der Zukunft sind

4 2.2. SWAPS 19 aus heutiger Sicht, also in t 0, gemeinsam zu bewerten als Summe der Barwerte. Da diese Eigenschaft wichtig ist, formulieren wir sie als Definition. Definition Bezeichne r c den Zins für eine Anleihe mit Laufzeit c und df i = e r (t i t 0 )(t i t 0 ) den Diskontfaktor einer Zahlung zum Zeitpunkt t i betrachtet aus t 0. Dann ist der Barwert BW(d) zum Zeitpunkt t 0 einer Zahlungsfolge d mit Zahlungen d i zu den Zeitpunkten t i, i = 1,...,n die Summe der Barwerte der Einzelzahlungen. BW((d i ),...,n ) := df i d i. Bemerkung: Die d i müssen hierfür nicht deterministisch (also ex ante bekannt) sein, sondern können auch Zufallsvariablen sein. Theorem Für zwei zeit-konkruente Zahlungsfolgen ν und µ gilt die Additivität des Barwerts. Beweis: BW((ν i + µ i ),...,n ) = = df i (ν i + µ i ) df i ν i + df i µ i = BW((ν i ),...,n ) + BW((µ i ),...,n ). Das Grundproblem beim Swap ist nun, dass die Zahlungen der variablen Seite, bis auf b 1, noch unbekannt sind. Variante 1: (Methode der fiktiven Nominale (engl. included notionals )) Man kann sich den Swap als Summe zweier Kredite vorstellen, die eine endfällige Tilgung haben aber periodische Zinszahlungen. Die Zerlegung (engl. stripping ) ist in den Abbildungen 2.5, 2.6 und 2.7 dargestellt. Definiere die summarische Folge von Zahlungen { 0 i = 0 s i = A(a i + b i ) i = 1,...,n

5 20 KAPITEL 2. LINEARE FINANZPRODUKTE a n A A a 1 A a 2 A... a n 1 A A A b 1 A b 2 A... b n 1 A A b n A Abbildung 2.5: Zahlungsströme des gewöhnlichen Zinsswaps a n A a 1 A a 2 A... a n 1 A A A Abbildung 2.6: Das fixe Bein des Swaps s fix

6 2.2. SWAPS 21 A b 1 A b2 A... b n 1 A A b n A Abbildung 2.7: Das variable Bein des Swaps s var (siehe Abbildung 2.5). Sie ist additiv zerlegbar in s fix i = A i = 0 Aa i i = 1,...,n 1 A + a n A (siehe Abbildung 2.6). und die Zahlungsfolge s var i = i = n A i = 0 Ab i i = 1,...,n 1 A + b n A (siehe Abbildung 2.7). i = n Jetzt ist s i = s var i + s fix i. Wir können also s var i und s fix i und dann, wegen Theorem 2.2.1, zusammensetzen mit zunächst separat bewerten BW(s) = BW(s var ) + BW(s fix ). 1. BW(s var )

7 22 KAPITEL 2. LINEARE FINANZPRODUKTE Betrachte folgende Strategie: in t 0 : A erhalten, A anlegen zu Zins b 1 (möglich aufgrund Definition von b i ) in t 1 :. in t n : für t 0 bis t 1 A + A b 1 zurückbekommen A b 1 auszahlen A zu Zins b 2 für t 1 bis t 2 anlegen A + A b n zurückbekommen A + A b n auszahlen Somit hat die betrachtete Partei weder Kosten noch Erträge oder Risiken, sie hat das Geschäft perfekt repliziert. BW(s var ) = 0 2. BW(s fix ) Da wir die festen Zahlungen jetzt schon kennen - sie werden nicht erst in der Zukunft bekannt - können wir den Zahlungstrom abdiskontiert summieren. (Bemerke: Wir gehen auch hier von einer nicht notwendigerweise flachen Zinskurve r c aus.) Also ist BW(s fix ) = A + A a i e r (t i t 0 )(t i t 0 ) + Ae r (tn t 0 )(t n t 0 ) = A + Ar fix e r (t i t 0 )(t i t 0 ) + Ae r (tn t 0 )(t n t 0 ) BW(s) = 0 BW(s fix ) = 0 r fix = (A Ae r (tn t 0 )(t i t 0 ) )(A e r (t i t 0 )(t i t 0 ) ) 1 r fix = 1 e r (tn t 0 )(t i t 0 ) = 1 df n n e r (t i t 0 )(t i t 0 ) n df. i Variante 2 (Methode der Approximation mit Terminzinsen (engl. implied forward rates )) Als zweiten Ansatz können wir die b i,i 2 auch schätzen. Hierfür eignen sich die Terminzinsen, die wir für das Zinstermingeschäft bestimmt haben. Sie stellen (heuristisch betrachtet) Schätzer der dann aktuellen Zinsen dar. Denn wenn in t 0 die

8 2.2. SWAPS 23 Erwartung der zukünfigen Zinsen für den Zeitraum t 1 bis T von den analytischen Terminzinsen (Formel 2.1) abweicht, entsteht ein Kauf- oder Verkaufsbestreben. Dieser Nachfrage- oder Angebotsüberschuss beeinflusst dann den tatsächlich gehandelten Terminzins (und damit auch die aktuelle Zinskurve), solange bis sich ein Gleichgewicht einstellt. Es ergibt sich: BW(s) = A a i e r (t i t 0 )(t i t 0 ) + A ˆbi e r (t i t 0 )(t i t 0 ) mit ˆb 1 = b 1 = r (t1 t 0 ) schon bekannt und (siehe (2.1)) ˆbi = r (t i t 0 )(t i t 0 ) r (ti 1 t 0 )(t i 1 t 0 ) t i t i 1 für i = 2,...,n. Also ist BW(s) = 0, genau dann wenn r fix = n r (ti t 0 )(t i t 0 ) r (ti 1 t 0 )(t i 1 t 0 ) t i t i 1 e r (t i t 0 )(t i t 0 ) n e r (t i t 0 )(t i t 0 ) = n rf (t i t i 1) df i n df i mit r (0) := 0. Bemerkung 1: Dass sich die Preise, d. h. die fixen Zinsen der beiden besprochenen Methoden unterscheiden, liegt, neben dem unterschiedlichen Ansatz, insbesondere an der approximativen Verwendung des stetigen Zinses, die bei der Methode 1 nur beim Abdiskontieren der fixen Zahlungen, nicht aber bei der Bewertung der variablen Seite verwendet wurde. Bemerkung 2: Es ist ein typisches Beispiel, dass auf der einen Seite des Swaps ein fixer Zins gezahlt wird, es ist aber nicht notwendig. Es gibt viele andere Möglichkeiten die Zahlungen zu spezifizieren. So werden bei einem anderen (in der Praxis häufig vorkommenden) Swap, dem Basis-Swap (engl. basis swap ) Zinsen zu unterschiedlichen Laufzeiten ausgetauscht, z. B. drei-monats- gegen halb-jahres-zinsen. Hierbei erweist sich die Bewertungsvariante 2 als universell einsetzbarer. So können beim Basis-Swap einfach die Terminzinsen auf beiden Seiten eingesetzt werden und die Zahlungen wieder abdiskontiert werden. Wir werden diesen Fall nicht genauer betrachten.

9 24 KAPITEL 2. LINEARE FINANZPRODUKTE Devisen-Swaps Devisenswaps (engl. cross-currency swap ) haben als Produktidee den Austausch von Zinsen in verschiedenen Währungen. So wird der drei-monats LIBOR z. B. mit dem drei-monats EURIBOR getauscht. Die Zahlungen der LIBOR-Seite erfolgen in Pfund und die der EURIBOR-Seite erfolgen in Euro. Hierbei muss allerdings das Nominal am Anfang und am Ende des Geschäfts den Besitzer wechseln. Als Bewertungsidee, die - wie wir gesehen haben - typisch ist für komplexere Produkte, setzen wir das Produkt (additiv) aus einfachen Produkten zusammen und addieren die Preise. Hierbei kann der Swap in zwei einfach Zins-Swaps, einen in Pfund und einen in Euro, und ein für den Nominaltausch am Anfang der Laufzeit (spot) und ein Währungstermingeschäft, für die Endzahlungen, zerlegt werden. Alternativ kann man den Devisen-Swap auch in zwei Kredite zerlegen. Weitere komplexe Zinsderivate Als Beispiele für weitere komplexe Zinsderivate kommen in der Praxis vor: Swaptermingeschäft (engl.: forward (starting) swap ) Swaption: eine Option, einen Swap zu einem zukünftigen Termin einzugehen Kündbarer Swap (engl.: callable swap ): Swap mit einseitigem Kündigungsrecht Swap mit Martwertausgleich (engl.: break clause ): Hierbei wird der Marktwert zu festgesetzten Terminen ausgeglichen um Kreditrisiko zu vermindern Kredit-Swaps (engl.: credit default swaps (CDS) ) bei denen Prämien fließen, solange bis ein Referenzaktivum insolvent wird und dann das um die Wiedereinbringungsquote reduzierte Nominal ausgezahlt wird. Bei all diesen Produkten wird bei der Bewertung versucht, sie als Summe einfacherer Produkte darzustellen. So kann z. B. der zu t 1 kündbare Swap als Summe eines

10 2.2. SWAPS 25 Swaps (mit Laufzeit bis T) und einer Swaption mit Ausübungszeit t 1 und Laufzeit T dargestellt werden. Die Swaption kann mit Hilfe der Optionspreistheorie für Aktienoptionen, der wir uns jetzt widmen wollen, approximiert werden.