Aufgabenskript. Angewandte Mathematik und Datenverarbeitung 1

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1 Dr. Udo Hagenbach Technische Hochschule Mittelhessen WS 202/203 Aufgabenskript zur Vorlesung Angewandte Mathematik und Datenverarbeitung Ein Studienanfänger in Mathematik braucht für den Anfang gar kein Lehrbuch, die Vorlesungen sind autark, und die wichtigste Arbeitsgrundlage des Studenten ist seine eigenhändige Vorlesungsmitschrift. Weshalb diese Anstrengung? Es ist, als ob die Information durch Auge und Ohr erst einmal in die Hand gehen müsste, um im Gehirn richtig anzukommen. Vielleicht hängt das damit zusammen, dass Sie beim Ausüben von Mathematik ja auch wieder schreiben müssen. Aber was immer der Grund: Erfahrung sagt s. Reelle Zahlen Klaus Jänisch, Lineare Algebra, Springer 996. Aufgabe. Geben Sie alle Teilmengen von {; 2; 3} an. Wieviel Teilmengen hat {; 2; 3; 4; 5}? Aufgabe.2 Die folgenden in aufzählender Darstellung angegebenen Mengen sollen beschreibend dargestellt werden:

2 Angewandte Mathematik und Datenverarbeitung, WS 202/203 2 M = {5; 0; 5; 20; 25;...}, M 2 = {; 4; 9; 6;...}, c) M 3 = { 2; 3; 5; 7; ; 3;...}. Aufgabe.3 Geben Sie die folgenden Mengen in möglichst einfacher beschreibender Darstellung an: M = {x Z x 2 > 0}, M 2 = {x x2 2 N}, c) M 3 = {x x = n, n N, m R}. m Aufgabe.4 Stellen Sie die folgenden Mengen in aufzählender Form dar und bestimmen Sie ihren Betrag, also die Anzahl ihrer Elemente: M = {x Z x 4}, M 2 = {x R 2x 2 + 3x = 2}, c) M 3 = {x R 2x 2 + 3x = 4}. Aufgabe.5 Skizzieren Sie die folgenden Zahlenmengen auf der Zahlengeraden: (2; 0], {x R x > 2}, c) {x R 8 < x 2}. Aufgabe.6 Stellen Sie die folgenden Zahlen und Werte wissenschaftlich, also mit Hilfe von Zehnerpotenzen, dar: , c) 2, 3 GB d) 98, 776 µm

3 Angewandte Mathematik und Datenverarbeitung, WS 202/ Elementare Rechentechnik 2. Terme und Klammern Aufgabe 2. Vereinfachen Sie den Ausdruck 7v (3t 4v + 4(3v ( 3t + v) + 2t)). Aufgabe 2.2 Multiplizieren Sie aus und fassen Sie gegebenenfalls zusammen: (4x 3y)(2x + y)( 3x 4y), (4a + 3(3x + 5y 2z) (4x 4y + 7z)(4a +, c) (2t 5s + 7u) 2. Aufgabe 2.3 Zerlegen Sie die folgenden Ausdrücke durch Ausklammern in Faktoren: 3bt 3bu + 2at 2au vt + vu, axnd axnc + abnd abnc. Aufgabe 2.4 Berechnen Sie (4t + 5q) 2 (4t 5q) 2. Aufgabe 2.5 Zerlegen Sie die Terme mit Hilfe der binomischen Formeln in Faktoren: 4x 2 + 2xy + 9y 2, 25a 2 + 6b 2 40ab 6c 2, c) 4u 2, 44t 2, d) z 3 3z 2 + 3z. Aufgabe 2.6 Ergänzen Sie den Term 6, 25x xy so, dass er als Quadrat eines Klammerterms dargestellt werden kann.

4 Angewandte Mathematik und Datenverarbeitung, WS 202/ Brüche Aufgabe 2.7 Vereinfachen Sie die Brüche so weit wie möglich: 2λ + xλ 3λ 3 d) s t t s 2abc 4abd 0abcd 2ab e) at + as2 bt bs at as bt + bs c) x2 y 2 x + y Aufgabe 2.8 Schreiben Sie die Mehrfachbrüche als einen einzigen Bruch: a + b c abc x 3 4x x2 2 x c) + d+ d + d+ d. Aufgabe 2.9 Berechnen Sie: 4a 2 9b 2 8a 2 b + 2a 3b2 a + 2a 3 3b 2a, x 2 x x 2 + 3x x2 9 x 2 x2 6x + 9 x 2 + 2x +. Aufgabe 2.0 Verrechnen Sie die Brüche so weit wie möglich miteinander: c) (4x 3y) 3y y(2x + 3z) 8xz + 3x2 + y 2 xy 3 2y 2b 7 y b + y 2b, a + b b(a + + a b a(a 2 a 2 b. 2,

5 Angewandte Mathematik und Datenverarbeitung, WS 202/ Proportionalität Aufgabe 2. Für eine Fahrstrecke von 357 km wurden 9,3 l Benzin verbraucht. Wie hoch ist der durchschnittliche Verbrauch für 00 km? Eine Strecke wurde in 4 h 22 min bei durchschnittlich 95 km/h zurückgelegt. Wie lange dauert die Fahrt bei durchschnittlich 0 km/h? c) Wie schnell müsste man durchschnittlich fahren, um die Strecke aus Teil in genau 4 h zurück zu legen? Aufgabe LKWs benötigen 20 Stunden um eine bestimmte Menge Schutt abzutransportieren. Wie viele Stunden benötigen 4 LKWs der gleichen Größe dafür? Wie viele LKWs benötigt man, um diese Menge Schutt in 2 Stunden abzutransportieren. Aufgabe 2.3 Ein Zahnradantrieb besteht aus zwei Zahnrädern mit 40 und 60 Zähnen. Wie viele Umdrehungen pro Minute macht das kleinere Rad, wenn sich das größere der beiden mit 20 Umdrehungen je Minute dreht? Wie groß ist dann die Übersetzung? c) Wie viele Zähne müsste das kleiner Zahnrad haben, wenn es sich mit 50 Umdrehungen je Minute drehen soll? Aufgabe 2.4 Welche Kraft F ist aufzuwenden, um eine Last von F = 440 N, die am kurzen Ende einer Stange befestigt ist, im Gleichgewicht zu halten, wenn der Drehpunkt die Stange im Verhältnis drei zu eins teilt?

6 Angewandte Mathematik und Datenverarbeitung, WS 202/203 6 Aufgabe 2.5 Wenn ein durchschnittlicher Erwachsener,5 g Eiweiß je Kilogramm Körpergewicht je Tag braucht, wie viel Kilogramm Eiweiß benötigt er dann wenn er 75 kg wiegt im Jahr? Aufgabe 2.6 Es sei a proportional zu b, c antiproportional zu d, und b und c seien proportional zueinander. Wie verhalten sich a und d zueinander? Aufgabe 2.7 Zwei Arbeiter benötigen für zwei Meter Graben zwei Stunden. Wie lange benötigen vier Arbeiter für vier Meter Graben? Aufgabe 2.8 Ein Braunkohlekraftwerk besitzt eine Rauchgasentschwefelungsanlage, deren Entschwefelungsgrad 90 Prozent beträgt. Wieviel Tonnen SO 2 fallen dabei in 24 Stunden an, wenn in einer Stunde m 3 Rauchgas durch die Anlage strömt und m 3 Rauchgas 4780 mg SO 2 enthält? Wie groß war der Entschwefelungsgrad der alten Anlage, bei der pro Stunde t SO 2 anfielen? Aufgabe wurden in Wien 6925 GW h elektrische Energie umgesetzt, was eine Zunahme von 4,26 Prozent zum Vorjahr bedeutet. Wie hoch war der Stromverbrauch im Jahre 984? Um wie viel stieg der durchschnittliche Stromverbrauch pro Tag? (984 war ein Schaltjahr.) Aufgabe 2.20 Ein Dieselmotor mit 50 kw hat eine Leistungsaufnahme von 25 kw. Wie hoch ist der Wirkungsgrad?

7 Angewandte Mathematik und Datenverarbeitung, WS 202/203 7 Welche Leistung muss einem Gleichstrommotor zugeführt werden, damit er bei einem Wirkungsgrad von 80 Prozent eine Leistung von 2,2 kw erbringt? Aufgabe 2.2 Das Vorkommen eines gewissen Virus erhöht sich jährlich um 2,3 Prozent. Aktuell sind Personen Träger des Virus. Wie viel Neuinfizierungen sind im Laufe dieses Jahres zu erwarten? Wie viele Personen sind nach einem Jahr Träger des Virus? c) Wie viele Personen sind nach 5 Jahren Träger des Virus? Aufgabe 2.22 Aktuell sind 7023 Personen mit einem bestimmten Virus infiziert. Wie viele Personen waren vor 2 Jahren infiziert, wenn man davon ausgehen kann, dass die Zahl der infizierten jährlich um 3,2 Prozent gewachsen ist? Aufgabe 2.23 Der Zinsbetrag Z soll durch das angelegte Kapital K und den Zinssatz p ausgedrückt werden, wenn K n Monate, t Tage angelegt wird. Entwickeln Sie die entsprechenden Formeln. Aufgabe 2.24 Wie viel cm 3 60-prozentiger Alkohol muss man mit 325 cm 3 35-prozentigem Alkohol mischen, damit man 45 prozentigen Alkohol erhält? Werden 5 Liter Desinfektionslösung mit 0 Litern Wasser mischt, so ist die sich ergebende Lösung 37-prozentig. In welcher Konzentration lag die verwendete Desinfektionslösung vor? c) Aus 3,5 Litern 80-prozentigem Alkohol und 5 Litern 55-prozentigem Alkohol soll durch Hinzufügen von reinem Wasser 40-prozentiger Alkohol hergestellt werden. Wie viel Liter Wasser müssen hierfür verwendet werden?

8 Angewandte Mathematik und Datenverarbeitung, WS 202/ Potenzen Aufgabe 2.25 Vereinfachen Sie die Terme und stellen Sie sie ohne negative Exponenten dar: a 2 4x 3 y 4 c) x + y d) 6 x y 2 e) 2 b 2 i) 2a2 b 3 3b : f) 2x 2 g) a 3 b 2 c h) 53 ( y 3 a 6 b 3 c a 2 j) 22 a b 3 bx : 4x5 b a a 4 x 6 k) xy 9x 2 y y Aufgabe 2.26 Vereinfachen Sie die Terme und stellen Sie sie ohne negative Exponenten dar: e) ( x 2 ) 3 5(x 2 y) 2 c) x 4 (x 4 y 2 ) y 2 d) ( ) 2a ( ) 6 2 f) 5a 3 h) ( a3 2 ( ) 2 ab (a 2 b 3 ) : i) 3 a 3 b 3 ( ) 3 ( ) 4x3 2x 2 5 g) 3x 2 3 ( a 3 ) 3 ( b x 3 y : x 2 y 3 ab ( 3 2 ) 4 x : 4a ) 5 (x y) 7 (a 7 b ) 2. ( 3x y ) 3 ( 6 3 x 2 a 2 ) 2 Aufgabe 2.27 Vereinfachen Sie die Terme und stellen Sie sie ohne negative Exponenten dar: (a 2 b 2 ) 2 (a 2 (a 2 b 2 ) 4 (a + 4 c) ( a 2 2 b ) 3 ( ) 2 b. ab 4 Aufgabe 2.28 Bringen Sie die Terme auf einen geeigneten Hauptnenner: 3 x 2 2 x + x 4 x + 5 x k + x3 + 2x 2 x k+ x2 x 4 x k+2.

9 Angewandte Mathematik und Datenverarbeitung, WS 202/ Wurzeln Aufgabe 2.29 Der Radikant ist durch teilweises Wurzelziehen zu vereinfachen: 24a 3 y x 5 y c) 3 96a 0 b c. Aufgabe 2.30 Der vor der Wurzel stehende Faktor ist unter die Wurzel zu bringen: 5 0, 04 x x c) (x + y) z d) x3 y x y e) 2 x 5 f) a2 b 2 c 2 3 c 7 a 8 b. 5 Aufgabe 2.3 Der vor der Wurzel stehende Faktor ist unter die Wurzel zu bringen (Binomische Formeln beachten): a + b (a 4 x + y (a 3 x 3 x4 x 3 y x 2 + 2xy + y 2. Aufgabe 2.32 Vereinfachen Sie so weit wie möglich: 4 a 2 + a m n m n. m n m + n Aufgabe 2.33 Schreiben Sie als eine einzige Wurzel: x x c) k+2 a 5k+0 d) x x. e) 7 x 3 x f) 4 y 5 x g) x 3 x : 6 x h) 3 x 2 5 x 3 x 2 x 5 x 4 x.

10 Angewandte Mathematik und Datenverarbeitung, WS 202/203 0 Aufgabe 2.34 Schreiben Sie als eine einzige Wurzel: x x x 3 x 2 x 3 c) 3 4 x 2 3 x x x x. Aufgabe 2.35 Vereinfachen Sie so weit wie möglich: ( 5 x 3 y 3 ) 2 5 ( x 3 + y 3 ) 2 ( 5 xy 5 x6 y 6 ) 2, 2x 3y a y b 7y 4 3y 2x a 5y 3 b 5y 4 3xy (ab 2 ) 2.