Summen und Produkte 1

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1 Terme und Gleichungen Summen und Produkte Gib jeweils einen Term für die gesuchten Größen an. a),5 b) a 5 c =,5 +,5 V = =,5 + 0,5 = 6 b a 6 b 5 c 0 a b c c) 0,5 0,5 d),5 a,5,5 a b c b 6 b c = (,5 + 0, ,5 +,5 ) V = = 0 = 7 a 7 a 6 b c +,5 a b c a b c a b c +,5 a b c a b c =,5 a b c Ordne die Terme für das Volumen bzw. für die Oberfläche den richtigen ildern zu. a) b) c) a a a a a a a 6 a a 6 a D 6 a + a E a F a a a Lösungen: a) b) c) O V O V O V D E F

2 Terme und Gleichungen Summen und Produkte Vereinfache. a) a b = a b b),5 = 6 c) a 5 b 7 c = 70 a b c d) z, z =, z e) 8 = f) s : 6 5 r s =,5 r s g) r t t r 5 = 5 r t h) :(6 ) = 0,5 i) : 5 = 60 k) :( ) = Fülle die Lücken aus. ( 8) r t a) 7 d jjjj = 56 r d t b) 8 f t jjjj = f t ( 5) c) 7 z jjjj = 5 z d) 0,5 r t jjjj = r st ( a b c) e) a b c jjjj = (a b c ) f) a b jjjj = 0,5 a b g),5 t jjjj = 6 t h) r t jjjj = r t ( ) ( 0,5) r s : t ( ) b : a ( ) z i) jjjj = k) jjjj = z Vereinfache. a) 5 7 = b) 7 r t ( t r) = 5 r t c) a b b a = d) = e) 7 = 6 f) 0,5 a b 8 b a = 8 a b g),5 a 5 a =,05 a h) r t + 7 r + t r = 9 r + 8 t i) 8 r t + t r t + r = 0 r t + t + r k),7,9 = 0, Fülle die Lücken aus. 5 t 5 s a) t + jjjjjj + s = t s b) jjjjjj b = a b + b t a a c) a + jjjjjj + a = a d) a + jjjjjj + = a t + t t a b + 6 b ( ) c + a e) t + jjjjjj t = t + t f) b + c jjjjjj = a + b c Vereinfache die Produkte, addiere und subtrahiere dann. a) = b) a b a b 5 a + a b a b a b = a b a b c) c d + ( ) c d 6 ( ) c c c = c d + c d) 5 r s t t + 6 r s s t + s t ( ) = r s t t + s + t

3 Terme und Gleichungen Summen und Produkte Fasse zusammen. Das Ergebnis der ersten ufgabe ist der erste usdruck der zweiten ufgabe usw. Wenn du nacheinander die zugehörigen uchstaben notierst, kannst du das Lösungswort erkennen. 7 = T + 7 = 8 D + 7 = 6 O : = U 6 0,5 = R = K :( ) = P = Lösung: PRODUKT a) 7 b) 0 a b + c d + 0 a b + 5 b c 5 b c c d a b 5 b c c d a 5 b c d 9 a + 5 b 5 b a a c a d c a Ergänze das Zauberquadrat so, dass das Produkt bzw. die Summe in den Zeilen und in den Spalten gleich ist. a) Produktquadrat b) Summenquadrat c) Summenquadrat 5 0,5 5 + z z + 0, z Produkt: 0 Summe: z Summe: Finde heraus, welche ufgaben falsch gerechnet sind. Welches Wort lässt sich aus den uchstaben der falsch gerechneten ufgaben bilden? U 7 = 6 5 = 0 T 7 r s + 7 s r = 0 E 5 r t s 5 r t = s M ( ) = 8 S 5 a b 5 a b = M a b + b a = a b R 5 r r s + r s = r s L 7 7 = Lösungswort: SUMME

4 Terme und Gleichungen Klammern setzen und auflösen Verbinde die gleichwertigen Terme. a) b) a (a c + c ) j j a c + c z ( + z) j j z c (a + c) j j a c + 6 a c ( z ) j j z z a ( a c c ) j j a c a c (z + z ) j j z z a c ( c a c) j j a c a c ( z z ) j j z + z 6 a c ( c + a) j j a c + a c z ( z + ) j j z z Trainiere am Rechenbaum das usmultiplizieren und Zusammenfassen. (7 ) a) ( ) ( a 5) b) ( a c 7 c a) ( a + ) 7 a 5 a c 7 c a a + a 5 a c a + a + 5 a c a c c) 8 r t (7 r + t) d) ( r s + s r) ( r) e) ( a c 7 a) ( a r + a r) 8 r t 7 r t r s + s r r a c 7 a a r a r r + t r s a c 7 a a r 56 r t + 8 r t r s 8 a c r + a r Es fehlen jeweils Klammern. Ergänze. a) a c + a d = a ( d +c ) b) a a = a ( a + a ) c) 9 a + 5 a = a + 5 a d) a a = a ( a + ) e) ( a b ) = 6 a + b f) c a = c a c Fülle die Lücken aus. a) ( jjj jjj ) = b) ( jjj jjj ) = 9 c) ( jjj + jjj ) ( ) = d) r ( jjj + jjj ) = r + r ( r ) ( ( ) ) e) (7 a + ) jjj = a a f) jjj ( g) ( + ) i) 6 6 ) = = 5 ( = + h) jjj jjj ) jjj ( jjj + jjj ) a c a c ( jjj + jjj ) = a + c k) a c ( 7 ) a = +

5 Terme und Gleichungen Klammern setzen und auflösen Ergänze die Tabellen. Vereinfache soweit wie möglich. a) b) : ,5 Löse die Klammern auf und fasse zusammen. a) a c (a d + c) = a c d + a c b) ( + 7 ) = 7 ( 8 ) c) = 0,5 d) ( c + d 8 c ) d = c d + c d e) ( a c + c (5 ) a ) a c = a c + a c f) = Klammere möglichst geschickt aus. s t ( r ) a) r s t 8 s t = b) + 9 = ( c) a b + a b + 6 a b = ( + ) a b b + + a ) d) 5 a + 5 a + 5 a b = 5 a ( + 5 a + 5 b) e) r s t + r s t = r s t ( r s t + ) f) 7 a b + 5 b + 68 = 7 (ab + b + ) Finde heraus, welche ufgaben falsch bearbeitet worden sind. Welches Wort lässt sich aus den uchstaben der falsch gelösten ufgaben bilden? M ( h + h + h ) : h = h + h r ( r + r ) = r + r L ( + ) = I 5 r s t 9 r s = 9 r s (5 t ) K (s r) r s = s r r s E 5 ( + ) = 0 5 M e d f (e d + e d f) = 7 e d f X s ( + r) = s + r s R r t ( r t) = r t r t Lösungswort: KLMMER 5 Fülle die Lücken aus. d a) ( jjj + a c a c ) jjj = a d + a c a c a d f b) jjj ( jjjj d f ) = d f d f c) jjj ( + jjj ) = 5 5 d) ( jjj + jjj ) = e) jjj ( jjj + 6 ) = + 5 r ( ) 8 ( 5 ) ( ) f) ( jjj jjj ) 5 s t = 5 r s t + 5 s t

6 Terme und Gleichungen Produkte von Summen Ordne die Produkte den richtigen Summen zu. a) ( c d) ( c + d) j j c + c d + d ( c + d) (0,5 c + 0,5 d) j j c d + c c d ( d c) ( d + ) j j c d c d + c d + c d ( c + ) ( d ) j j 6 c c d d (c d c) (d c d) j j d + c d d c (c ) (c d + ) j j c d c + d b) (a + b) ( b a) j j a + 8 a b + b ( a + b) j j a + a b + b ( a + b) (0,5 a b) j j a + a b + b ( a + b) j j a,5 a b b (a b) j j a + b ( b a) j j a a b + b Fülle die Lücken aus. c c c + b) ( jj a + b ) = a + jj a b + b a b a b a a) ( c + jj ) ( jj + ) = jj + c + b c) ( jj a ) ( jj + b ) = a + b d) ( a + jj ) ( jj jj ) = jj b e) ( jj c 5 b ) ( a + jj d ) = 8 a c + c d 0 jj a b jj 5 b d b 9 b f) ( jj c ) = jj 6 b c + c Stelle die Summen als Produkt und die Produkte als Summe dar. a) ( a + 5 ) = a + 5 a + 5 b) c 6 c + 9 = c) ( a + c) = 9 a + 6 a c + c d) 6 = (c ) ( + ) ( ) e) (5 c d) = 5 c 0 c d + d f) a + a + = ( a + ) Finde heraus, welche ufgaben falsch bearbeitet worden sind. Welches Wort lässt sich aus den uchstaben der richtig gelösten ufgaben bilden? E ( r + s ) = ( r ) + r s + s U 0 = 0 00 R ( 5 5 ) ( ) = 5 5 D ( a + b) = a + b T (c d a d) = c d a c d + a d S (a b) (a + b) = a + b E 79 = (a ) = a + M 9 = Lösungswort: TERME eschreibe die grüne Fläche durch ein Produkt und durch eine Summe bzw. Differenz. a Produkt: Summe: (d a) (b c) b d a b c d + a c b c d 6

7 Terme und Gleichungen Produkte von Summen Fabian sagt zu Sarah, er könne Gedanken lesen. Dazu stellt er die folgende ufgabe: Denke dir eine Zahl und addiere. Quadriere jetzt das Ergebnis. Subtrahiere davon das Quadrat deiner Zahl und das sechsfache deiner Zahl. Nachdem Sarah gerechnet hat, sagt Fabian: Du hast 9 heraus! Stelle einen Term zu Fabians ufgabe auf. Vereinfache den Term. ( + ) 6 = = 9 Wie funktioniert der Trick? Durch die nwendung der binomischen Formel heben sich alle Teile mit Unbekannten gegenseitig auf. d e f a) eschrifte die Flächen. Multipliziere mithilfe der a ad ae af Grafik den Term aus. (a + b + c) (d + e + f) = a d + a e + a f + b d + b e + b f + c d + c e + c f b bd be bf Vervollständige das Pfeilschema. c cd ce cf (a + b + c) (d + e + f ) a b c b) Teile das Quadrat links so auf, dass der Term a (a + b + c) dargestellt wird. Markiere Flächen gleicher Größe. Multipliziere den Term mithilfe der erstellten b c Grafik aus. (a + b + c) = a + b + c + a b + a c + b c Vereinfache bzw fülle die Lücken aus. a) ( + ) ( + ) = = + + b) ( ) ( + ) = + c) (a + b + c) = a + b + c + a b + a c + b c d) (a + b c) (a + b + c) = (a + b) c = a + a b + b c e) ( + + ) ( ) = f) ( a + b + c) 0,5 (a + b + c) = a + b + c + a b + a c + b c g) ( + + ) ( jjj ) = jjj a a h) ( a + b jjj ) ( jjj b ) = a b b

8 Terme und Gleichungen Gleichungen Löse die Gleichungen. Es kann auch keine oder mehr als eine Lösung geben. a) b) c) = 5 ( 7) ( + ) 6 ( 8) : 0 5 ( 6) Lösungen: 5,5; 0,5; 5 7 ; ; 8 9 ; ; ; ;,; ; 5 ; 7; 5; keine Lösung; Q keine Lösung 5,5, Q 7 0,5 Viviana, Lennart und Laura haben in einer Lotterie 00 gewonnen. Lennart bekommt vom Gewinn 00 mehr als Laura. Viviana bekommt halb soviel wie Lennart und Laura zusammen. a) Lege die Variable fest und stelle für die drei Kinder die Terme auf. Variable: Laura bekommt. (ndere nsätze möglich). Terme: L: LE: + 00 VI: ( + 00) ( + 00) = 00 b) Stelle die Gleichung auf und löse sie. Gleichung: Lösung: + 50 = 00 / = 959 / = 650 c) Führe eine Probe durch. Probe: ( ) = 00 ntwort: Laura bekommt 650, Lennart bekommt 950 und Viviana 800 vom Lotteriegewinn. Rika, Kira und Timo teilen untereinander 65 Klebebilder für ein Sammelheft auf. Timo bekommt zuerst dreimal so viele wie Kira, muss dann aber wieder 5 zurücklegen. Rika bekommt doppelt so viele wie Timo. Wie viel Klebebilder bekommt jeder einzelne? Timo bekommt 9, Kira 8 und Rika bekommt 8 Klebebilder. Multiplizierst du das um drei Verminderte einer Zahl mit der um vier vermehrten Zahl, so erhältst du dasselbe, wie wenn du zum Quadrat der Zahl 7 addierst!? Variable: ist die gesuchte Zahl. Gleichung: ( ) ( + ) = = = = 9 Probe: 6 = 68 / = 68 ntwort: Die gesuchte Zahl lautet 9. 8

9 Terme und Gleichungen Gleichungen In einer Süßwarenhandlung mischt Herr arstens zwei Sorten von Süßigkeiten für seine neue ngebotstüten. Von Sorte, die 9 pro kg kostet, benutzt er 0 kg, von Sorte, die 8 pro kg kostet, benutzt er 5 kg. Wie viel sollte die Mischung pro kg kosten? Die Tabelle rechts hilft dir bei der Lösung. In dem Feld unten rechts entsteht durch das ufstellen der Terme die Gleichung. Menge in kg Preis pro kg Gesamtpreis Sorte Sorte Mischung 5 60 Gleichung: Lösung: Variable: ist der Preis der Mischung pro kg. Probe: ntwort: Die Mischung sollte pro kg kosten. 5 = 60 = 5 = 60 Ein potheker möchte 60%igen lkohol herstellen. Leider hat er nur noch 0 Liter reinen lkohol. Wie viel Liter Wasser muss er hinzugießen? Der potheker muss Liter Wasser hinzufügen. In seinem Feinkostgeschäft möchte Herr Pretorius eine Kaffeemischung für besondere nsprüche mischen. Von seinem kolumbianischen Kaffee (K) zu 9 pro kg benutzt er 5 kg, von seinem afrikanischen Kaffee () zu 0,75 pro kg nimmt er 0 kg. Wie viel muss er von seinem teuren osta-rica () Kaffee (6 /kg) zugeben, damit die Mischung pro kg kostet? Menge in kg Preis pro kg Gesamtpreis Sorte K Sorte 0 0,75 0 Sorte 6 6 Mischung + 75 Variable: kg ist die Menge von ( + 75) = ( + 75) Hier war der Platz etwas knapp, ist das so in Ordnung? = 8,75 Herr Pretorius muss 8,75 kg der Sorte zur MIschung zugeben. Ein Kirschfruchtsaftgetränk hat einen Fruchtgehalt von 75 %, ein ananensaft hat einen Fruchtgehalt von 90 %. a) Wie viel ananensaft muss man zu 500 ml Kirschfruchtsaftgetränk gießen, damit die Mischung einen Fruchtgehalt von 80 % hat? Man muss 50 ml ananensaft zum Kirschfruchtsaftgetränk gießen. b) Wie viel Wasser muss man jetzt zu der Mischung gießen, um einen Fruchtgehalt von 75 % zu erzielen? Man muss 50 ml Wasser zur Mischung gießen.

10 Terme und Gleichungen Gleichungen Hase, Igel und Fuchs veranstalten ein Rennen. Der Igel schafft m pro Sekunde und hat auf den Fuchs 60 m Vorsprung. Der Hase ist 0-mal so schnell wie der Igel und doppelt so schnell wie der Fuchs. Der Hase liegt 8 m hinter dem Fuchs zurück. a) Stelle Hase, Igel und Fuchs an geeignete Startpunkte auf der Zahlengeraden. (Es gibt ver schiedene Möglichkeiten.) Hase Fuchs Igel b) Lege die Variable fest und stelle für jedes Tier einen Term auf, der den zurückgelegten Weg beschreibt. Variable: Term Igel: Term Fuchs: Term Hase: : Zeit c) Ermittle, wann der Hase den Igel, der Hase den Fuchs und der Fuchs den Igel überholt. Hase und Igel Hase und Fuchs Fuchs und Igel 0 8 = = 5 5 = = = 0 = 60 9 = 08 5 = 8 = 5 = = 9,6 = Der Hase überholt den Igel nach s, der Hase den Fuchs nach 9,6 s, der Fuchs den d) Wie lange bestand die Reihenfolge:. Igel,. Hase,. Fuchs? Igel nach 5 s. Die Reihenfolge bestand, Sekunden (9,6 s bis s). Ein Schwimmbecken ist 5 m lang, 0 m breit und,8 m tief. Für Wartungsarbeiten muss es leergepumpt werden. Pumpe schafft l pro Stunde, Pumpe l pro Stunde und Pumpe 5000 l pro Stunde. Wegen eines technischen Defekts kann Pumpe erst nach 6 Stunden und Pumpe erst nach weiteren Stunden zugeschaltet werden. a) Lege die Variable fest und stelle für jede Pumpe einen Term auf, der die von ihr abgepumpte Wassermenge beschreibt. Variable: Term Pumpe : Term Pumpe : Term Pumpe : : Zeit ( 6) 5 ( 8) b) Untersuche, wann das ecken leergepumpt ist ( 6) + 5 ( 8) = 5 0,8 Probe: Führe eine Probe durch = = 70 = = 5 7 Nach 0 h ist das Schwimmbecken leergepumpt. 7 = 7 = = Wofür gehören dieser Strich und die 60? 0

11 Terme und Gleichungen Ungleichungen Löse die Ungleichungen und markiere das Ergebnis farbig auf der Zahlengeraden. chte auf das richtige Zeichen. a) + < 5 6 b) 7 c) 5 ( + ) j < 7 j j j < 6 j 5 0 j j < j 5 j j j j , d) ( + ) > ( + ) e) ( + ) < f) ( ) ( + ) < 0 j > j < j < j > j < j < j > 6 j < 9 + j < j > 5 j <,5 j < j >,5 j < j < Lisa werden von ihrem Handanbieter drei Vertragsangebote gemacht: ngebot : 5,95 Grundgebühr pro Monat und 0,07 pro Gesprächsminute in alle Netze ngebot : 7,95 Flatrate ngebot : Keine Grundgebühr, aber 0,09 pro Gesprächsminute in alle Netze a) Stelle zu allen drei ngeboten einen Term auf. Variable: Term : Term : Term : : Zeit 0,07 + 5,95 7,95 0,09 b) Stelle zunächst eine Ungleichung auf und löse dann. Für welche Handnutzung ist ngebot günstiger als ngebot? Ungleichung: 0,07 + 5,95 < 7,95 < 7 7 is zu einer Nutzungsdauer von ca. 7 Minuten ist Tarif günstiger als Tarif. Für welche Handnutzung ist ngebot günstiger als ngebot? Ungleichung: 0,09 < 0,07 + 5,95 < 97,5 is zu einer Nutzungsdauer von ca. 97 Minuten ist Tarif günstiger als Tarif.

12 Terme und Gleichungen rechnen mit Formeln aus der Geometrie a) Formel für den Umfang: b) Formel für den Umfang: b U = a + b + cm U = a + b a b Löse nach b auf: a Löse nach a auf: cm b = U a cm a = (U b) : a = cm, U = cm, b = jj cm a = jj 0,75 cm, U = 9,7 cm, b =,9 cm c) Formel für den Flächeninhalt: d) Formel für den Flächeninhalt: = a b c = (a + c) h a Löse nach b auf: h Löse nach a auf: b = : a a = : h c b a a = 6 cm, = cm, a = jj,8 cm, =, m b = jj, 8 cm c = 0,6 cm, h =, cm e) Formel für α = 80 β 5 ; f) Formel für α = (60 β) : ; α α 5 erechne α für β = : erechne α für β = 55 : α = α = 5 aus Prozent- und Zinsrechnung a) Prozentsatz, Prozentwert, Grundwert: b) Zinssatz, Monatszins, Kapital: P = p 00 G Z m = K p m (m: Zahl der Monate) P 00 P Z m 00 Z m 00 p = G G = P K = p m m = K P P = ; G = 60 ; p = jjjj m = 7; p = ; Z m = 7 ; K = jjjj aus Phsik und hemie In vielen Ländern wird die Temperatur nicht in Grad elsius ( ), sondern in Grad Fahrenheit ( F) gemessen. Ist T die Temperatur in und T F die Temperatur in F, so gilt ohne erücksichtigung der Einheiten die Umrechnungsformel: T F =,8 T +. ( T F ) :,8 a) estimme die Formel für T. T = b) Vervollständige die Tabelle. T in 00 7, _ 7 0 7, _ T F in F ,6 59, 95 77

13 Terme und Gleichungen ruchterme und ruchgleichungen Welche Funktionsgleichungen, Graphen und Wertetabellen gehören zusammen? Ergänze. I = II = III = ( + ) ( ) IV = a) 0,5 0 0,5 b) 0 c) 0,75 0,6 0,5 0 0,5 0 0,5 d) 0 0, a) IV b) I c) II D d) III D Löse die Gleichungen zuerst mithilfe der Grafik auf der rechten Seite. Überprüfe rechnerisch. a) = + b) + = = = c) = d) + = + = = Ordne die Gleichungen den ufgaben zu, löse dann. Reinhard kann mit einer Geschwindigkeit von 0 km paddeln. Für eine 0 km lange Strecke auf einem Fluss benötigt er flussabwärts genauso lange wie auf einer 0 km langen Strecke flussaufwärts. Wie schnell strömt der Fluss? ntwort: Er strömt mit 5 km h. h I Eine Linse mit einer rennweite von 0 cm bildet einen Gegenstand auf einem von der Linse 0 cm entfernten Schirm scharf ab. Wie weit ist der Gegenstand von der Linse entfernt? ntwort: Der Gegenstand ist 5 cm von der Linse entfernt. III ei Papier im DIN-Format ist das Verhältnis von langer Seite zu kurzer Seite immer gleich. -Papier ist 97 mm lang und 0 mm breit. 5-Papier ist 0 mm lang. Wie breit ist es? ntwort: Es ist ca. 8 mm breit. II I 0 0 = = 97 = 0 0 II III 5 = 8 = 5 0 = 0

14 Vierecke und Vielecke Vierecke konstruieren Konstruiere, wenn möglich, aus den gegebenen Größen ein Viereck. In welchen Fällen ist die Konstruktion nicht möglich? e, f a) = cm; =,5 cm; D =,5 cm; D = cm; α = 70 b) = cm; =,5 cm; D =,5 cm; β = 00 ; γ = 70 D δ α γ a) D b) D c) = cm; =,5 cm; α = 80 ; β = 70 ; γ = 0 d) = cm; =,5 cm; D =,5 cm; α = 80 ; β = 90 c) D d) D e) = cm; =,5 cm; D = cm; α = 80 ; β = 00 f) = cm; D =,5 cm; α = 90 ; β = 0 ; γ = 00 ; δ = 70 e) f) nicht konstruierbar, α + β + γ + δ > 60

15 Vierecke und Vielecke Vierecke konstruieren Konstruiere, wenn möglich, aus den gegebenen Größen ein Viereck. In welchen Fällen ist die Konstruktion nicht eindeutig? a, d, e a) = cm; = cm; D =,5 cm; D = cm b) = cm; D =,5 cm; D =,5 cm; α = 0 ; δ = 60 a) b) D D D c) = cm; = cm; α = 80 ; δ = 70 ; γ = 00 d) = cm; α = 80 ; β = 70 ; γ = 00 ; δ = 0 c) d) D D D e) = cm; = cm; α = 80 ; β = 00 f) = cm; =,5 cm; = 5 cm; D = cm; α = 0 e) D D f) D 5

16 Vierecke und Vielecke Vierecke besondere Vierecke konstruieren Konstruiere die besonderen Vierecke D. a) Quadrat b) rechteck = cm = cm; = cm D D c) Parallelogramm d) raute = cm; = cm; β = 0 = cm; α = 0 D D α e) Trapez f) gleichschenkliges Trapez = cm; D = cm; α = 80 ; β = 70 = cm; h = cm; D = cm D D h α g) Drachen h) Drachen = cm; = cm; β = 0 = cm; D = cm; α = 50 ; β = 0 D D α 6

17 Vierecke und Vielecke Vierecke im Koordinatensstem Was für ein Viereck liegt vor? a) KI Rechteck b) MK Parallelogramm I K L M c) GKE Quadrat E F G H d) HKE e) LE Drachen Trapez D Zeichne das Viereck. Um was für ein Viereck handelt es sich? a) ( ); ( 0); ( ); D ( ) Parallelogramm b) E (5 0); F ( ); G (8,5,5); H (5,5,5) Trapez D 5 H G F E Welches Viereck entsteht aus den Punkten ( ); ( 0); ( ); D ( 6)? Drachen Verändere die Koordinaten des Punktes D so, dass das Viereck D 6 5 D ein Quadrat bildet. D ( j j ) estimme die Koordinaten des Punktes D so, dass die Punkte (0 0); (6 ); (8 6) ergänzt werden zu einem 5 a) Parallelogramm: D ( j j ) b) Drachenviereck: D (,6 j j 5,5) c) gleichschenkligen Trapez: D ( j j ), 0, oder (,5,)

18 Vierecke und Vielecke Vierecke 5 zuordnen Wer bin ich? Quadrat Raute Rechteck Parallelogramm Drachen gleichschenkliges Trapez Wanted Meine gegenüberliegenden Winkel und Seiten sind gleich groß. Quadrat Raute Rechteck Parallelogramm Wanted Ich habe keine Smmetrieachse, bin aber punktsmmetrisch. Parallelogramm Wanted Meine Diagonalen halbieren sich nicht. Trapez Welche Figur ist ein Quadrat? a) Ein Rechteck mit gleich langen Diagonalen. b) Ein Viereck mit gleich langen Seiten. c) Ein Parallelogramm mit gleichlangen Seiten. d) Ein Viereck mit vier Smmetrieachsen. e) Ein Trapez mit vier rechten Winkeln. f) Ein Drachen mit gleichlangen Diagonalen. Quadrat: a) d) f) Wahr oder falsch? Jedes Rechteck ist ein Quadrat. Ein Rechteck ist ein Viereck mit vier rechten Winkeln. Jedes Parallelogramm ist ein Trapez. Ein Trapez ist ein Viereck mit genau zwei Smmetrieachsen. Eine Raute ist ein Parallelogramm mit gleich langen Seiten. wahr falsch Im Quadrat (regelmäßiges Viereck) gilt für die Winkel ε und φ: ε = 90 (Mittelpunktswinkel), φ = 5. Zeichne ein regelmäßiges Sechseck und ein regelmäßiges chteck. ε ε estimme jeweils die Winkel ε und φ. estimme rechnerisch ε und φ für die weiteren Vierecke. ε φ Viereck 90 5 Fünfeck 7 5 Sechseck chteck 5 67,5 Zehneck 6 7 Zwölfeck ,5 8

19 Vierecke und Vielecke Winkeldetektiv Winkel bestimmen estimme die fehlenden Winkelmaße. a) δ b) δ γ γ α α α = 05 ; β = 08 ; γ = 85 ; δ = jj 6 α = 60 ; β = jj; 60 γ = 0 jj; δ = jj 0 c) d) g δ γ h α α = 0 ; β = 0 jj; γ = jj; 0 δ = jj 0 δ α γ α = 0 ; β = 0 ; γ = jj; 0 δ = jj 50 e) f) δ ε δ γ α γ α α = 60 ; β = jj; γ = jj; δ = jj α = 80 ; β = 00 ; γ = 0 ; δ = 0 ; ε = 00 jj g) h) γ γ γ γ α ε ε α ε ε α = jj; 0 β = 60 ; γ = jj; 0 γ = jj; 60 ε = jj; ε = jj α = 50 ; β = jj; 0 γ = jj; 50 γ = jj 0 ε = jj; 80 ε = jj

20 Vierecke und Vielecke anwendungen uf dem Damm soll ein m breiter Weg gebaut werden. a) Konstruiere einen Damm mit einer Höhe von,0 m, einer Dammsohle von 6 m und auf beiden Seiten einem öschungswinkel von 0. Reicht der Platz für den Weg auf der Dammkrone? öschungs- α Winkel öschungslänge Dammkrone Dammsohle Dammhöhe öschungslänge α Nein, der Weg könnte nur ca. 0,50 m breit sein. b) ei welcher Dammhöhe reicht der Platz? Die Dammhöhe darf,68 m nicht überschreiten. us zwei Holzleisten von 50 cm und 80 cm soll ein Drachen gebaut werden. Schnur a) Wo müssen die Leisten angebracht werden, damit eine Drachenseite 0 cm lang ist? Wie lang muss die Schnur für das Drachengerüst sein? Gib auch die Winkelmaße an. D b) Welche Winkel ergeben sich, wenn sich die Holzleisten 0 cm von der Spitze entfernt kreuzen? Gib auch die Schnurlänge für das Drachengerüst an. 55 cm 5 cm 0 cm D cm 0 cm 5 cm 5 cm 9 cm cm 5 cm 55 cm 0 cm 60 cm 65 cm Schnurlänge: 90 cm Schnurlänge: 9 cm α = 5 ; β = ; γ = 78 ; δ = α = 5 ; β = 06 ; γ = 0 ; δ = 06 Ein m und ein m breiter Weg kreuzen sich im Winkel von 50. estimme die Maße des Kreuz ungsparallelogramms. a =,9 m; b = 5, m; c =,9 m; d = 5, m; α = 0 ; β = 50 ; γ = 0 ; δ = 50 m m D d c b a 0

21 Vierecke und Vielecke Satz des Thales Konstruiere mithilfe des Satzes des Thales rechtwinklige Dreiecke. a) = 5 cm; = cm b) = cm; β = 60 c) = 5 cm; h c = cm d) = 6 cm; α = 5 α h c a) b) a) Zeige mithilfe des Thaleskreises, dass das Dreieck mit (,5,5), (8,5,5) und (,5,5) rechtwinklig ist. b) estimme den Mittelpunkt des Thaleskreises M M (5,5 ) Konstruiere auf verschiedenen Wegen ein Rechteck mit einer 5 cm langen Diagonalen und einer cm langen Seite. rechter Winkel Thaleskreis 5 5

22 Vierecke und Vielecke raumvorstellung Welche zwei Schrägbilder stellen denselben Körper dar? () und (), () und () () () () () Welche Körper können in die Lage des grünen Würfelhauses gedreht werden?, E D E Ordne jeder Schrägdarstellung die nsicht von oben zu. Schreibe den passenden uchstaben in die Schrägdarstellung des Körpers. nsicht von oben: a) b) c) Schrägdarstellung der Körper: c) b) a) a) a) a) Welche Körperpaare ergeben zusammengesetzt einen Quader? a) b) c) d) e) f) g) h) i) k) Körperpaare: a) e) ; b) i) ; d) g) ; h) k) ; e) f)

23 Lineare Funktionen Lineare Gleichungen mit zwei Variablen Ergänze die Tabelle so, dass die Wertepaare Lösungen der linearen Gleichung sind. a) 6 =,5 0,5,5,5 b) = 0, + 0, c) 0, +,6 =,5, 5 6,5 6,5 Vervollständige die Tabelle und zeichne den Graphen. a) = b) 5 + =,5 5, ,5 0,5 0,5 Zeichne den Graphen zur linearen Gleichung und überprüfe, ob die Wertepaare Lösungen sind. Die uchstaben der Lösungen von a) und b) erge- ben das Lösungswort. a) + = 0 (,5); E ( ); F ( ); D ( ); (0,5); (,5 0) b) = M (,5 0); R ( 0,5 0,5); N (0,5 0); E (,5,5); G (,5) Lösungswort: GERDE Schraffiere die Rechtecke, die Lösungen der linearen Gleichungen enthalten. + = = + 0,5 = 5 ( 0) ( ) ( ) ( ) ( ) (6 ) (,5) (0 ) ( 6) ( 0,5) ( ) ( 8) ( ) (,5) ( 5) ( 0) ( 6) (5 ) ( ) ( 0,5) ( 5) ( 6) ( 6) ( 8) ( )

24 Lineare Funktionen Lineare Gleichungen mit zwei Variablen Welche Graphen, Lösungen und Gleichungen gehören zusammen? () ( 0); (,5 ) (I) + = b) a) () (0 ); (,5) (II) + = () ( 0); ( ) (III) = () (0 ); ( ) (IV) + 8 = 6 a) b) () (II) () (I) c) () (IV) c) d) () (III) d) a) estimme a so, dass ( ) eine Lösung der Gleichung a + 5 = ist. b) estimme b so, dass (7 ) eine Lösung der Gleichung + b = ist. c) estimme a und b so, dass (0 ) und (5 ) Lösungen der Gleichung a + b = 0 sind. a = b = b = 5 a = Finde die falschen Lösungen. Die zugehörigen uchstaben ergeben das Lösungswort. + = (5 ) ( 8 ) T ( 5) E ( 0) M + = (6 0) E ( 9 0) R ( ) U (6 ) F 5 = 8 ( 9) G ( ) E ( 9 0) L ( ) Lösungswort: TEUFEL Finde heraus, ob die drei Wertepaare Lösungen einer linearen Gleichung sein können. Kreuze an. Zeichne dazu die Punkte in das Koordinatensstem ein. c) a) ( ); (0 0); ( ); b) ( ); (0 ); ( ); c) ( ); (0 ); ( ); d) ( ); ( 0,5); ( ) a) b) c) d) ja nein b)

25 Lineare Funktionen Funktionen Welches der Schaubilder kann a) b) c) d) Graph einer Funktion sein, welches nicht? e) f) g) h) i) a) b) c) d) e) f) g) h) i) ja E N D I S T E G nein I S Z E U S I N Lösungswort: EINDEUTIG Welches der Schaubilder kann Graph einer linearen Funktion sein, welches nicht? a) b) c) d) e) a) b) c) d) e) ja G R N P S nein M I U H Lösungswort: GRPH Welche der Gleichungen beschreibt eine lineare Funktion, welche nicht? a) = b) = c) = 5 d) + = ( 9) e) 9 = ( ) f) = g) = h) = 7 a) b) c) d) e) f) g) h) ja E T I T I N R O nein N O N K D U F Lösungswort: ORDINTE Welche der folgenden Tabellen können Wertetabellen einer linearen Funktion sein? a) 0 b) 0 ja nein a) S F b) P U c) 0 d) 0 c) L O,5,5,5,5,5 0,7 0,9,,,5 d) P K Lösungswort: PLUS 5

26 Lineare Funktionen Lineare Funktionen ringe die Gleichung in die Form = m + b. Stelle soweit wie nötig die Wertetabelle auf und zeichne den Graphen. a) = b) + = c) = 6 a) = = + = = = + 6 = b) c) ,5 0 0 Zeichne den Graphen. Welcher eingetragene Punkt liegt auf dem Graphen? E a) = + b) = + c) = + 5 T E R M R S d) = 5 5 M T U Welche Graphen, Wertetabellen und Funktionsgleichungen gehören zusammen? () () (I) = (II) = 5 (III) = 6 () () (IV) = a) b) c) d) a) () (IV) b) () (III) c) () (II) d) () (I) 6

27 Lineare Funktionen Lineare Funktionen Zeichne den Graphen mithilfe der Wertepaare. Ergänze dann die Tabelle und gib die zugehörige Funktionsgleichung an. a) b) c) a) = b) c) = 0,5 + 0 = + 5 Übersetze die mit Worten beschriebene Zuordnung in eine Funktionsgleichung und zeichne den zugehö- rigen Graphen. Einer Zahl wird zugeordnet a) das Vierfache einer anderen Zahl vermindert 5 um, b) der fünfte Teil einer anderen Zahl vermehrt um, c) die Differenz von 7 und dem Doppelten einer anderen Zahl. 5 a) b) c) = = 0, + = + 7 Drei Gefäße werden gleichmäßig mit Wasser gefüllt. Zu eginn enthalten zwei schon etwas Wasser. Die Gefäße haben verschiedene Querschnitte (siehe Zeichnung). ußerdem gilt: Je größer der Querschnitt, desto höher der anfängliche Wasserstand. Die Zuordnung: Zeit Füllhöhe wird als Graph dargestellt. Welcher Graph gehört zu welchem Gefäß? h h h h h h G U T t t t t t t E F G S T U 7

28 Lineare Funktionen entdeckungen am Graphen linearer Funktionen Zeichne die Gerade mit der Steigung m und dem -chsenabschnitt b. Gib zu jeder Geraden die Funktionsgleichung an. Notiere die nacheinander getroffenen Punkte. + a) m = ; b = = b) m = 0; b = = c) m = ; b = = d) m = 5 8 ; b = = e) m = ; b = 5 = Lösungswort: GEIGE S T E I G U N G Gib zu jeder Geraden die Steigung und den -chsenabschnitt an. Schreibe auch die Funktionsgleichungen auf. a) m = 0,5 b =,5 a) = 0,5 +,5 c) b) m = 0,75 b = b) = 0,75 + c) m = 0 b = = d) m = 0,5 b = 0 d) = 0,5 e) m = b =,5 =,5 e) Die Summe aller Steigungen und -chsenabschnitte ergibt die größte einstellige Primzahl. 7 a) Die Gleichung = + b legt für jedes b eine lineare Funktion fest. Wie verändert sich der Graph, wenn man b variiert? Die Gerade wird in Richtung der -chse verschoben. b) Die Gleichung = m + legt für jedes m eine lineare Funktion fest. Wie verändert sich der Graph, wenn man m variiert? Die Gerade wird um den Punkt (0 ) gedreht. 8

29 Lineare Funktionen estimmung von linearen Funktionen estimme die Steigung des Graphen. (chte auf die Skalierung.) m = 7 m = 0 7 m = 7 m = 5 Trage die zwei Punkte in das Koordinatensstem ein, zeichne die Gerade durch sie und bestimme die Steigung. Lies den zugehörigen -chsenabschnitt ab und stelle damit die Funktionsgleichung auf. Überprüfe dein Ergebnis durch Rechnung. a) ( 6 ); ( ) m = ( ) = 6 = ( 6) 8 b = = + ( 6) + = b) ( 6 ); D (6 5) m = 5 = 9 = 6 ( 6) b = = ( 6) = b) a) 6 erechne die Steigung der Geraden durch das gegebene Punktepaar. a) ( ); ( ) m = b) ( ); D ( ) m = c) E ( ); F (7 ) m = ( ) = = ( ) 7 = Welchen Wert muss man für b wählen, damit der Graph der linearen Funktion =,5 + b durch den angegebenen Punkt geht? a) P ( ) =,5 + b b = b) Q ( 5 ) =,5 ( 5) + b b = c) R ( 6) 6 =,5 + b b = Lösungen zu ufgabe und : 6; ; 0,5; 0; ; 0,5 6 0,5 0 9

30 Lineare Funktionen estimmung von linearen Funktionen Der Graph der linearen Funktion = m + geht durch den angegebenen Punkt. estimme m. a) ( 5) b) (5 8) 5 = m + m = 8 = 5 m + m =, estimme die fehlenden Koordinaten so, dass die Punkte auf dem Graphen der Funktion liegen. a) =,5 + ; ( jj,5 ); D ( jj 0,5 ) b) = 0,8,; E ( 5 jj 0,8 ); F ( jj,6 ) Der Graph einer linearen Funktion geht durch das gegebene Punktepaar. estimme den zugehörigen -chsenabschnitt.,5 + =,5 0,5 =,5 + = 0,8 5, = 0,8,6 = 0,8, = a) G ( ); H ( 9) m = = + b 9 = + b b = 6 b) I ( 0); K ( ) m = 0,6 = 0,6 + b = 0,6 + b b =, Die Lösungen von ufgabe, und sind im Raster angegeben. Die zugehörigen uchstaben ergeben das Lösungswort. 0,8,, 6,5 E I L R V Lösungswort: VRILE Entscheide durch Rechnung, ob ja nein a) der Punkt (,8) auf der Geraden = 0,6 +, liegt, E L b) der Punkt (,8) auf der Geraden = 0,8 +, liegt, E U c) die Gerade durch ( 8) und D ( 5) parallel zu der durch E ( 8) und F ( 5) ist, M K d) die Gerade durch G (6 ) und H ( ) parallel zu der durch I ( ) und K (6 ) ist, L R e) die drei Punkte L ( 7), M ( ) und N ( 6) auf einer Geraden liegen, O I f) die drei Punkte O ( ), P (0 ) und Q (6 0) auf einer Geraden liegen. D F Lösungswort: EUKLID Ergänze die Tabelle zu einer Wertetabelle einer linearen Funktion. Gib die Funktionsgleichung an. a) b) ,5 5,,8, 0,6 0, =,5 + 5 = 0,8 Lösungen: 5,;,5; 0; ; ; 8 6 Gib die Gleichung einer linearen Funktion an, deren Graph g folgende Eigenschaften hat : a) g geht durch ( ) und ist parallel zur -chse. = b) g fällt, geht durch (0 ) und bildet mit der -chse einen Winkel von 5. = c) g geht durch (0 ) und ist parallel zur. Winkelhalbierenden. = + d) g geht durch (0 ) und ist parallel zur Geraden = + 5. = e) g geht durch (0 6) und (5 0). =, + 6 0

31 Lineare Funktionen estimmung von linearen Funktionen a) us einem 60 cm langen Draht wird das Kantenmodell einer quadratischen Säule gebogen. Stelle einen Funktionsterm auf, der ihre Höhe in bhängigkeit von der Seitenkante darstellt. = + 90 b) Zeichne den zugehörigen Graphen. c) ei welcher Seitenkantenlänge ergibt sich ein Würfel? Würfel für = Herr Friedrich benötigt für einen Tag einen Mietwagen. Die Firma Müller bietet zwei Tarife an. a) Stelle für beide Tarife die Mietkosten als Funktion der zurückgelegten Strecke dar. Tarif I: = 0,5 + 5 Tarif II: = 70 b) Für welche Fahrstrecken ist Tarif II günstiger als Tarif I? b einer Fahrstrecke von 00 km. Miet wagen Müller Tarif I 5 je Tag und Tarif II 0,5 für jeden 70 je Tag Kilometer Die Telefongesellschaft Quasselstrippe bietet drei Tarife an. Grundgebühr Preis je Minute I 5 0,5 II 0 0,0 III 0,80 a) Stelle für jeden Tarif eine Funktionsgleichung auf, die die Kosten abhängig von den Minuten darstellt. Tarif I: = 0,5 + 5 Tarif II: = 0, + 0 Tarif III: = 0,8 b) Zeichne die zugehörigen Graphen. c) Wann sollte man welchen Tarif wählen? is 5 Minuten Tarif III, von 5 Minuten bis 00 Minuten Tarif II, ab 00 Minuten Tarif I Kosten in I III II 0 0 Zeit in Minuten

32 Lineare Funktionen Lineare Gleichungsssteme Sind die angegebenen Paare Lösungen des linearen Gleichungssstems? a) 7 + = 9 () ( ); () ( 5) ja nein 9 8 = 67 a) () G S b) + = () ( 5); () ( 5) a) () Y N 7 + = b) () U S b) () S T c) = 6 () ( 5); () ( ) c) () E Ö = c) () M L Lösungswort SYSTEM Ermittle grafisch die Lösungen der linearen Gleichungsssteme. Überprüfe deine Lösungen durch Einsetzen. c) a), c) a) = + = + ( ) a), b) b) = = ( ) c) = + = ( ) b) Ermittle grafisch die Lösungen der linearen Gleichungsssteme. a) 0, = 5 = + 5 unendlich viele Lösungen b) = + + = (0 ) b) a) c) = = + keine Lösung b) a) Das Doppelte der ersten Zahl vermindert um ergibt die zweite Zahl. Subtrahiert man die zweite Zahl von der ersten, so erhält man. = + = = = = ( ) c) c) b) Die Summe der beiden Zahlen ist. Subtrahiert man die erste Zahl vom Doppelten der zweiten Zahl, erhält man 7. + = = + = = 7 + = 7 ( )

33 Lineare Funktionen Lineare Gleichungsssteme Löse die Gleichungsssteme. Die Lösungen stellen eine Geheimschrift dar, die du mithilfe der Tabelle entschlüsseln kannst. a) = + 7 b) = + c) = 0, +, = 0,5 + =,5 + 0,5 = = 0,5 + + =,5 + 0,5 0, +, = + 5 D E,5 + 7 = 0,5 + = 0,5, +, = 5 F G H I K,5 = 6 0,5 = 0,5, =,8 L M N O P = = = Q R S T U = = = 5 V W X Y Z d) = 0, + 0, e) = + f) =, 0,6 = = = 0, + 0, = + =, 0,6 = 0,9 + 0, = 5 + =,6 0,6 = 0, = 0, 5 = 5,6 = 0, = = = = = = 5 Lösungswort: SHLU Löse die Gleichungsssteme mit dem Gleichsetzungsverfahren. a) = b) = + = = = = = = = 5 + = 5 + = 5 = 5 = = c) + = d) = 6 e) + = f) = 5 = 57 = 7 5 = 0 + = 7 = jj = jj = jj 0 = jj = jj 8 = jj 5 = jj 7 = jj Die Summe der Zahlen aller Lösungspaare ergibt 66. Für welchen Punkt der Geraden = + gilt: a) Der Punkt hat zwei gleiche Koordinaten. b) Die -Koordinate des Punktes ist doppelt so groß wie die Koordinate. c) Die Koordinate ist um 5 größer als die -Koordinate. Überprüfe die Ergebnisse mit einer Zeichnung. + = + = = =,5 =,5 + = 0,5 + =,5 = 0,5 = 6 = + = = + 5 = = 6 = 6 c 6 6 6

34 Lineare Funktionen Lineare Gleichungsssteme Löse die Gleichungsssteme. Die Lösungen stellen eine Geheimschrift dar, die du mithilfe der Tabelle entschlüsseln kannst. a) = b) + = c) = = + = = 5 + = = 5 = D E + = = = F G H I K = 5 = 5 = L M N O P = = = = 5 Q R S T U 5 V W X Y Z d) + = e) + = 0 f) + = 9 = 5 8 = + 5 = = + 5 = = 9 8 = + 5 = 0 6 = 9 Lösungswort: = = 5 = 5 = = = 5 = 5 = 5 = SPITZE Löse die Gleichungsssteme mit dem Einsetzungsverfahren. Nicht alle Gleichungsssteme haben Lösungen. a) + = 5 b) 6 = = + 0 =, = = 5 5 = 05 = 7 = = = keine Lösung c) + 5 = 5 d),5,5 = e) = 9 f) = 0 = + = + = + 5 = keine Lösung = jj = jj = jj = jj = jj = jj = jj = jj Die Summe der Zahlen aller Lösungspaare ergibt 0. Im Ferienhotel Sonnenblick sind 96 etten auf 0 Einzel- bzw. Doppelzimmer verteilt. Wie viele Einzel- bzw. Doppelzimmer hat das Hotel? Lege zuerst die Variablen fest: nzahl der EZ: nzahl der DZ: nzahl der EZbetten: nzahl der DZbetten: Glg.: + = 0 Glg.: + = 96 = = 96 = 86 = Einzel- und 86 Doppelzimmer Markus und Martin haben beim Fußballturnier zusammen 7 Tore geschossen. Wenn Markus zwei Treffer weniger und Martin einen mehr erzielt hätte, hätten beide gleich oft getroffen. Treffer von Martin: Treffer von Markus: Markus: Martin: + Glg.: + = 7 Glg.: = + = + 7 = = 0 = 7 Markus 0, Martin 7 Tore

35 Lineare Funktionen Lineare Gleichungsssteme Löse die Gleichungsssteme. a) = 5 7 b) = + c) = d) = 7 = 6 = + = = = 6 = = 7 = + 5 = = = 6 = = = 5 = = e) = f) 7 + = g) 5 = 6 h) = = 0 = 8 + = 5 = 7 9 = 0 0 = 0 = 0 = = = = 0 = = 6 = 6 = = Die Summe aller Lösungen ergibt. eim ersten Schritt zur Lösung der linearen Gleichungsssteme wurden teilweise Fehler gemacht. Die uchstaben zu den falschen Rechnungen ergeben das Lösungswort. a) d) g) = = = = 5 = + = 5 = = 6 7 = S b) E e) U h) = = + 6 = + 6 = 5 = + + = 5 6 = 6 + = 0 = 9 P c) I f) i) = 5 6 = = + = + = = = 6 = 8 = 8 R M T Lösungswort: PRIM Löse zuerst das Gleichungssstem a) und anschließend das Sstem b). Was fällt dir auf? a) + = b) + = +,000 =,000 +,000 =,000 0,000 = 0,000 0,000 = 0,000 = = = = 0 kleine Ursache große Wirkung Ergebnisse weichen stark ab, obwohl bei b) nur eine Zahl um ein Zehntausendstel verändert wurde. a) Für welches m hat das lineare Gleichungssstem keine Lösung? 5 = 0 = m + = 0, m = 0, b) Für welche m und b hat das lineare Gleichungssstem unendlich viele Lösungen? = 6 = m + b = m = b = 5

36 Lineare Funktionen Lineare Gleichungsssteme 5 Die Differenz zweier Zahlen ist 9. Multipliziert man die erste Zahl mit und die zweite mit, so ist die Differenz dieser Produkte. ddiert man zum Doppelten einer Zahl das Dreifache einer anderen, so erhält man. ddiert man zum Dreifachen der ersten Zahl das Doppelte der zweiten, so erhält man.. Gleichung:. Gleichung: = 9 = Lösung: = 5 = 6. Gleichung: + =. Gleichung: + = Lösung: = = 5 Ein gleichschenkliges Dreieck hat den Umfang cm. Ein Schenkel ist sechsmal so lang wie der vierte Teil der asis. Wie lang sind die asis und Schenkel? In einem gleichschenkligen Dreieck ist ein asiswinkel viermal so groß wie der Winkel an der Spitze. Wie groß sind die asiswinkel und der Winkel an der Spitze?. Gleichung:. Gleichung: + = = 6 Lösung: = 8 =. Gleichung: + = 80. Gleichung: = Lösung: = 80 = 0 Tim ist 8 Jahre älter als Tom. in Jahren wird er doppelt so alt sein wie Tom. Wie alt sind beide heute? lter von Tom lter von Tim heute in Jahren + +. Gleichung: = + 8. Gleichung: + = ( + ) Lösung: = 5 = 6 Fritz sagt zu Franz: Vor 5 Jahren war ich sechsmal so alt wie du. Daraufhin sagt Franz zu Fritz: In Jahren wirst du doppelt so alt sein wie ich. Wie alt sind Fritz und Franz heute? lter von Franz lter von Fritz. Gleichung: 6 ( 5) = 5 vor 5 Jahren 5 5. Gleichung: ( + ) = + in Jahren + + Lösung: = 7 = 7 Die Lösungen sind als Paare unten angegeben, jedoch ohne Einheiten. In der Reihenfolge der ufgaben ergeben die zugehörigen Zeilen das Lösungsgedicht. ( 5) doch liegt auf Gerade g Die Punkte und (8 ) und auf der Geraden h. bewegen sich längs h und g, (5 ) Die Punkte und, 5 es wünschen sich die beiden, (80 0) die merken ganz beklommen, dass g und h sich schneiden. (7 7) da h ist parallel zu g, 6 Die Punkte und, (5 6) gibts kein Zusammenkommen. die kämen sich gern nah, 6

37 Lineare Funktionen Lineare Gleichungsssteme 6 Löse die Gleichungsssteme. a) = 8 b) 8 = 9 = + 0 = = jj = jj = jj = jj c) = d) = 9 = 5 = = jj = jj 7 = jj 7 = jj 5 ilde das Produkt der Zahlen eines Lösungspaares und trage es in das Raster ein. d) a) Illustration Smile 0 0 c) b) Eine zweistellige Zahl ist viermal so groß wie ihre Quersumme. Vertauscht man die beiden Ziffern, so ergibt sich eine um 6 größere Zahl. Zehnerziffer:. Gleichung: Einerziffer: Quersumme: Zahl: = ( + ). Gleichung: Vertauschte Zahl: = = = = Zahl: 8 = = 8 Wenn man zu einer zweistelligen Zahl ihre Quersumme addiert, erhält man 80. Vertauscht man die Ziffern der Zahl, erhält man eine um 9 größere Zahl = = Zahl: 67 + = 80 + = + + = 80 = 6 = 7 Ein Rechteck hat einen Umfang von 6 cm. Verkleinert man die eine Seite und vergrößert die andere jeweils um cm, so ergibt sich ein Rechteck, dessen Flächeninhalt um 6 cm größer ist als der des ursprünglichen. erechne die Seitenlängen des ursprünglichen Rechtecks.. Seite:. Gleichung:. Seite: Umfang: Flächeninhalt: + Verkleinerte. Seite: Vergrößerte. Seite: +. Gleichung: neuer Flächeninhalt: ( ) ( + ) ( ) ( + ) = = = 5 = 8 = 9 = 5 Der Flächeninhalt eines Trapezes mit der Höhe cm beträgt 8 cm. Halbiert man die eine parallele Seite und verdreifacht die andere, so vergrößert sich der Inhalt auf cm. a = 8 c = 6 7

38 Lineare Funktionen Lineare Gleichungsssteme 7 In einem ersten Weinfass sind 6 l weniger als in einem zweiten. Gießt man aus dem zweiten 56 l in das erste, so enthält dieses dreimal soviel Wein wie jetzt das zweite. Wie viel Wein war anfangs in je dem Fass? Inhalt. Fass:. Gleichung: + 56 = ( ) Inhalt. Fass: Umfüllen = + 6 = 88 Inhalt. Fass: + 56 Inhalt. Fass: 56. Gleichung: ( + 56) = ( 56) = 0 uf einem auernhof gibt es -mal soviel Hühner wie Kühe. lle Hühner und Kühe zusammen haben zusammen 0 eine. Wie viele Hühner und Kühe sind es?. Gleichung: =,5. Gleichung: + = 0 Lösung: 0 Hühner; 0 Kühe,5 + = 0 = 0 = 0 Herr Ma hat zwei Geldbeträge zu, % und,6 % angelegt. Er erhält dafür 86 Jahreszinsen. Im nächsten Jahr wird der niedrige Zinssatz um 0, % erhöht, der andere um 0, % erniedrigt. Dabei erhält er 8 mehr an Jahreszinsen. + 6 = Welche eträge hat er angelegt? + = 000. Gleichung:. Gleichung: Lösung: 0,0 + 0,06 = 86 0,0 + 0,0 = und (000 ) = = 0000 = 000 Zur Hochzeit seiner Tochter lässt der Sultan von rithmenien Ochsen und 0 Schafe schlachten. Der Preis für die Schlachttiere beträgt 9 Münzen. Ein Ochse ist 7 Münzen teurer als ein Schaf. Wie viele Münzen kostet ein Schaf, wie viele ein Ochse? + 0 = 9 = + 7 ( + 7) + 0 = 9 = 5 = Ochse: Münzen Schaf: 5 Münzen Tim fragt in der Disco zwei Schwestern nach ihrem lter und bekommt von der Älteren die ntwort: Vor 0 Jahren war ich doppelt so alt wie meine Schwester. In 0 Jahren werde ich doppelt so alt sein wie meine Schwester heute. Tim beginnt sofort zu rechnen. Kann er das lter herausfinden?. Gleichung:. Gleichung: Lösung: 0 = ( 0) + 0 = nein = = unendlich viele Lösungen 8

39 Lineare Funktionen Lineare Gleichungsssteme 8 Ein kleines Flugzeug benötigt für eine Strecke von 80 km mit Gegenwind 50 Minuten und auf dem Heimweg bei Rückenwind 5 Minuten. Wie groß sind die Eigengeschwindigkeit des Flugzeuges und die Windgeschwindigkeit? Geschwindigkeit des Flugzeuges. Gleichung: = 6 = 8 ( ) 5 Geschwindigkeit 6 = 80 + = 0 des Windes: = Geschwindigkeit mit Gegenwind: Geschwindigkeit mit Rückenwind: +. Gleichung: ( + ) = 80 Flugzeug: 8 km/h Wind: km/h m nächsten Tag fliegt ein anderes Flugzeug eine Strecke von 60 km in 80 Minuten, benötigt aber für den Rückflug Stunde und 0 Minuten. Wie groß sind die Eigengeschwindigkeit des Flugzeuges und die Windgeschwindigkeit? h 0 Min = 80 Min Wind: 0 km/h Flugzeug: v = 70 km/h Um auf der utobahn eine lange Lastwagenkolonne zu überholen, die mit konstanter Geschwindigkeit fährt, benötigt Herr Schulz Minuten. Herr Schmitt auf der Gegenfahrbahn passiert die Kolonne in 6 Sekunden. Herr Schulz und Herr Schmitt fahren beide mit 0 km. Wie lang ist die h Kolonne und welche Geschwindigkeit hat sie? Länge der Kolonne. Gleichung: (0 ) 0,05 = (0 + ) 0,0 Geschwindigkeit der Kolonne: = (0 ) 0,05 = 80 Geschwindigkeit bezogen auf die Kolonne von Herrn Schulz: 0 von Herrn Schmitt: 0 +. Gleichung: = (0 + ) 0,0 = Länge: km Geschwindigkeit: 80 km/h Linweiler 0 km Gleistadt 0 km Ssthausen Morgens um 9:00 Uhr radelt Ma in Linweiler los. Er will nach Ssthausen. 5 Minuten später startet Moritz in Gleistadt. uch sein Ziel ist Ssthausen. Wann und wo wird er von Ma überholt? Die Durchschnittsgeschwindigkeit von Ma beträgt 0 km, die von h Moritz 0 km h. Tipp: Wähle für die Variablen die Wegstrecke von Linweiler bis zum Überholpunkt bzw. die dafür benötigte Zeit. = 0 0 = 0 ( 0,75) 0 = 0 +,5 =,5 = 5 um 0.5 Uhr 5 km von Linweiler entfernt 9

40 Flächeninhalt von Vielecken Flächeninhalt erechne die fehlenden Größen. a) Parallelogramm b) Trapez g h a c m h 5 cm 7 cm 5 cm cm 6 cm 5 cm 6 cm 0 cm,6 cm 8,5 cm, cm cm 7 cm 5,5 cm,5 cm,75 cm 0,7 dm, dm,9 dm dm dm dm, dm 7, dm estimme die gesuchten Größen im Dreieck. a) a =, cm; h a = cm; =, cm b) c = 5 cm; h c = 6 cm; = 5 cm c) b = 8 mm; = 70 mm ; h b = 5 mm d) a = 5 cm; = dm ; h a = 8 cm Zur Neueröffnung eines Geschäftes wurde in jedem Schaufenster eine dreieckige Fläche zur Durchsicht frei gelassen. In welchem Fenster ist die Fläche am größten? Schätze zunächst und überprüfe dann durch Rechnung. Ich habe individuelle Lösung in der Grundschrift, aber in Schätzung: (individuelle Lösung) lau gesetzt, denn der Schüler schreibt das ja nicht hinein. a) b) c) I m II m III m,5 m,5 m,5 m Rechnung: I = 6,75 m II = 6,75 m III = 6,75 m Ein 6 cm breites Quadrat ist in sechs Teilflächen zerlegt worden. estimme die Flächeninhalte. : : : 9 cm,5 cm 6 cm D: E: 6 cm cm F E D F: 7,5 cm cm Landwirt Enno hat einen trapezförmigen cker. Die parallelen Seiten sind 50 m und 88 m lang, ihr bstand beträgt 00 m. ufgrund einer Flurbereinigung in der Gemeinde soll er den cker abgeben und dafür einen anderen, gleich großen bekommen. Der neue cker ist rechteckig und hat eine reite von 00 m. Welche Länge muss er haben? = 800 m Länge 6 m 0

41 Flächeninhalt von Vielecken Flächeninhalt Zeichne in das Parallelogramm die Parallelen zu den Seiten durch den Punkt E. Dabei entstehen vier Dreiecke und zwei Parallelogramme. estimme die Flächeninhalte. I = 0,8 cm II =, cm III I I E II IV II III =, cm IV =, cm cm Trage in das Dreieck die Seitenhalbierenden ein. Dabei entstehen sechs Dreiecke. estimme ihren Flächeninhalt. I, II : 8,96 cm cm III, IV : 8,6 cm V, VI : 8 cm I II III IV VI V 00 m Im bel schen Forst soll im Rahmen einer ufforstung Mischwald gesetzt werden. Pro Hektar muss die Gemeinde mit Kosten in Höhe von 000 rechnen. Wie teuer wird die ufforstung? Fläche : ha Kosten : 000 a) erechne den Flächeninhalt des Vielecks. 8,5 cm cm b) Welche Höhe hat ein flächeninhaltsgleiches Parallelogramm mit einer,5 cm langen Grundseite? 7, cm c) Wie lang ist die Seite a eines flächeninhaltsgleichen Dreiecks mit h a = cm? 9,5 cm

42 Kreisberechnungen Umfang Ein rundes Planschbecken hat außen einen Umfang von 0 m. Die Wände sind ca. 5 cm dick. Wie groß ist der Innendurchmesser des eckens? 0 = π r; r 8, cm r i 9, cm d i 5,87 m Lina Jan 0 m Ziel ei einem Seifenkistenrennen fahren Lina und Jan nebeneinander die gleiche Strecke. a) Zeichne den Weg von Lina. b) erechne die Streckenlänge, die die Kinder fahren. 0 m + π 0 m + π 0 m + π 0 m + 0 m = 80 m + 50 π m 7 m uf einer Part will Frederic seine 0 Gäste mit einem egrüßungscocktail ver wöhnen. Dazu gehört auch ein bunter Zuckerrand an jedem Glas. Wie viel Partzucker braucht Frederic, wenn seine Gläser einen Durchmesser von 9 cm haben und man pro Zentimeter Glasrand 0,5 g Zucker benötigt? pro Glas, g d.h. für 0 Gäste 8,7 g (für Pers.: 96,9 g) Maja spielt mit zwei ierdeckeln (d = 0 mm). Dabei lässt sie einen fest liegen und rollt den anderen Kante an Kante außen herum. a) Welchen Weg legt der Mittelpunkt auf einer Umrundung zurück? 6,7 cm b) Wie groß müsste der Radius der ierdeckel mindestens sein, damit der Mittelpunkt beim Umkreisen einen Weg von 50 cm zurücklegt? r,98 cm Wie groß ist der Radius eines Kreises, der den gleichen Umfang hat wie die abgebildete Figur? a) b) c) 5 cm 5 cm 5 cm 8 cm 6 cm cm, cm,8 cm, cm

43 Kreisberechnungen Umfang und Flächeninhalt estimme die fehlenden Größen. Runde, wenn nötig, auf eine Stelle nach dem Komma. a) 5 cm d = = U = 0 cm 78,5 cm, cm b) r d U cm cm,6 cm,6 cm,5 cm 7 cm 8,5 cm,0 cm,5 cm 5,0 cm 0 cm 5,9 cm, cm 6, cm,8 cm 0 cm Im aumarkt sieht Frau Glaser zwei Gartentische, die ihr gut gefallen: Einen runden mit einem Durchmesser von 70 cm und einen rechteckigen mit den Maßen,60 m 0,90 m. Welcher Tisch bietet mehr Stellfläche?,5 m > =, m Die deutsche Silber-Gedenkmünze zur Leichtathletik-WM 009 hat einen Durchmesser von,5 mm und wiegt 8 g. Wie groß sind ihr Flächeninhalt und ihr Umfang? U 0, cm; 8, cm Wie ändert sich der Flächeninhalt eines Kreises, wenn man a) seinen Radius verdoppelt? Der Flächeninhalt vervierfacht sich. b) seinen Druchmesser halbiert? Der Flächeninhalt wird geviertelt. Wie ändert sich der Flächeninhalt eines Kreises, wenn man seinen Umfang c) verdreifacht? Er wird verneunfacht. d) halbiert? Er wird geviertelt. Wie ändert sich der Umfang eines Kreises, wenn man seinen Flächeninhalt e) vervierfacht? Er wird verdoppelt. f) verneunfacht? Er wird verdreifacht. 5 Familie Pieh hat eine runde Küchenuhr. a) Welchen Flächeninhalt hat das Ziffernblatt? 706,86 cm b) Welchen Weg legt die Spitze des großen Zeigers pro Stunde zurück? 9,5 cm cm 0 cm c) Welchen Weg legt die Spitze des kleinen Zeigers pro Tag zurück? 5,7 cm 7 6 5

44 Kreisberechnungen Umfang und Flächeninhalt a) Ein Schaf ist auf einer Wiese an einer 6 m langen Leine an einem Holzpflock angebunden. uf wie viel Quadratmeter Wiese kann es weiden? m b) Wie lang müsste die Leine sein, damit es auf ca. 00 m weiden kann? ca. 8 m Ein aum mit einem Stammumfang von 7,0 m wird gefällt. Wie groß ist die Schnittfläche?, m eim Fällen eines aumes entsteht eine 8,5 m große kreisförmige Schnittfläche. Welchen Durchmesser hat der aumstamm?,85 m Der Riese von Isenack ist die vermutlich älteste Eiche Europas. Knapp über dem oden ist der Umfang 7,70 m, in einem Meter Höhe sind es m. Wie groß ist jeweils der Durchmesser des Riesen? über dem oden: 5,6 m in m Höhe:,8 m Mit einem indfaden kann Justus ein Quadrat mit der Kantenlänge cm genau umspannen. a) Welchen Radius hat ein Kreis, den er mit demselben Faden umspannen kann?,5 cm b) Um wie viel Prozent ist der Flächeninhalt dieses Kreises größer als der des Quadrats? 7, % Ein Kreis hat den gleichen Flächeninhalt wie ein Quadrat mit der Kantenlänge 5 dm. Schätze zunächst: Welche Figur hat den größeren Umfang? Überprüfe deine Vermutung durch Rechnung. U = 0 dm U = 7,7 dm a) Peter hat zu seinem Geburtstag ein neues 6er-Fahrrad (d. h. der Durchmesser eines Reifens beträgt 6 Zoll) geschenkt bekommen. Wie viele Umdrehungen machen die Räder auf einer 00 m langen Strecke? ( Zoll = 5, mm ) 8, b) Peters kleine Schwester Lisa fährt mit ihrem 0er-Fahrrad. Wie weit kommt sie mit 00 Umdrehungen ihrer Räder? 59,6 m

45 Kreisberechnungen Umfang und Flächeninhalt von Figuren erechne den Umfang und Flächeninhalt der Figuren. a) b) 5 cm cm =,7 cm = U = 8,7 cm U =, cm 7, cm c) d) cm cm = 8 π + 6 = ( 8 + (8 π) ) cm, cm U = 8 π U = 5, cm 9,7 cm 8 cm + π cm = (8 + π) cm, cm e) f) cm cm ( 8 + = π ) cm = 9,57 cm U = ( + π) cm U = 6,6 cm ( + π) cm 0,8 cm ( π + ) cm,6 cm 5

46 Kreisberechnungen Flächeninhalt von Figuren Welcher nteil des Quadrats ist gefärbt? Schätze zunächst und berechne dann. a) Schätzung: % (individuelle Lösung) Rechnung: G = π ( π ) = d.h. 50 % gefärbt b) Schätzung: % (individuelle Lösung) Rechnung: G = π π = 6 π 0,59 d.h. 59 % gefärbt c) Schätzung: % (individuelle Lösung) Rechnung: G = ( π π 6 ) = 7 6 π 0,7 d.h. 7 % gefärbt d) Schätzung: % (individuelle Lösung) I Rechnung: I = 6 6 π G = 9 I , d.h. % gefärbt 6

47 Kreisberechnungen Kreisteile estimme Umfang und Flächeninhalt der grünen Fläche. a) b) c),5 cm 0 cm 50 cm cm 06 5 cm cm 8 cm ( 7 U = π + ) cm U = 6 π + 6 ) cm U = 9,5 cm 0, cm,7 cm =,75 π cm 5 π 5 = 6 + π 6 = 5,50 cm ( 9,75 cm ( 5 π 8 ) cm, cm erechne die fehlenden Größen eines Kreisausschnitts mit Radius r, Mittelpunktswinkel α und ogenlänge b. a) b) c) d) e) b r 0 cm 8 cm 9, cm 8,8 cm 6 cm α 50,7 0, α b 8,7 cm,7 cm 7,7 cm 0 cm 0 cm M,6 cm 8,8 cm 8,6 cm 76, cm 60 cm r Ein Kreis hat einen Radius von 7 cm. Wie groß ist der Mittelpunktswinkel zu wählen, damit die ogenlänge des Kreisausschnitts a) dreimal so groß ist wie der Radius? 7,9 b) ein Viertel des Durchmessers des Kreises beträgt? 8,6 c) genau so lang ist wie die ogenlänge eines Halbkreises über einer 9,5 cm langen Strecke?, Welcher ogen ist am längsten? Schätze zunächst und überprüfe dann durch Rechnung. r = 0 cm α = 00 r = cm α = 00 r =,5 dm α = 5 Schätzung: < < (individuelle Lösung) Rechnung: : : : 69,8 cm 6,8 cm 5,5 cm 7