Statistische Auswertungsmethoden für Ingenieure

Transkript

1 Manfred Kühlmeyer Statistische Auswertungsmethoden für Ingenieure mit Praxisbeispielen Unter Mitarbeit von Claudia Kühlmeyer Mit 55 Abbildungen Springer

2 Inhaltsverzeichnis Seite 1 Einführung Was ist Statistik? Statistik und Technometrie Bonmots über Statistik Verschiedene Mittelwertsbegriffe Der Begriff der Streuung Statistische Experimente und logische Hintergründe Allgemeines Modellhypothese und Schätzer 10 Abstraktion auf das Wesentliche 11 Schätzer und Schätzgenauigkeit 13 Meßgenauigkeiten Abriß der geschichtlichen Entwicklung Entwicklung des Begriffs der Wahrscheinlichkeit Abhängige und unabhängige Ereignisse Der Begriff der Zufallsvariablen Entwicklung der Statistik 21 2 Zufallsstichprobe und Grundgesamtheit Grafische Darstellung von Stichprobenergebnissen und Zufallsvariablen Allgemeine Darstellung der Wahrscheinlichkeit Statistische Kenngrößen Vom arithmetischen Mittel zum Erwartungswert Der Begriff der Dichte Der Erwartungswert Der Varianzbegriff Covarianz und Korrelationskoeffizient Ergänzungen zu den statistischen Kenngrößen Einfache Funktionen von Zufallsvariablen Linearkombination von Zufallsvariablen Das Fehlerfortpflanzungsgesetz Die Verteilung der Stichprobenelemente einer geordneten Stichprobe 48

3 X Inhaltsverzeichnis 3 Häufig benutzte Verteilungen Diskrete Verteilungen Die diskrete Gleichverteilung Die hypergeometrische Verteilung Die Binomialverteilung Die Poisson-Verteilung Zusammenhänge zwischen hypergeometrischer, Binomial- und Poisson-Verteilung Kontinuierliche Verteilungen Die Normalverteilung Der Zentrale Grenzwertsatz Standardisierte Zufallsvariable Die 1-, 2- und 3-Sigma-Regeln Das Gaußsche Wahrscheinlichkeitsnetz 71 Schätzen von Erwartungswert und Varianz im Gaußschen Wahrscheinlichkeitsnetz 75 Test auf Normalverteilung im Gaußschen Wahrscheinlichkeitsnetz 76 Vertrauensintervall für Quantilwerte im Normalverteilungsnetz Die Sheppard-Korrektur bei klassierten Stichproben Die logarithmische Normalverteilung 79 Test auf logarithmische Normalverteilung im WN 82 Dreiparametrige Lognormalverteilung Die Weibull-Verteilung 84 Historisches 84 Heuristische Begründung der Weibullverteilung 84 Mathematische Grundlagen der zweiparametrigen Weibullverteilung 86 4 Statistische Schätz-und Testverfahren Allgemeines zu den Schätz-und Testverfahren p- Quantile Der Zufallsstreubereich Schätz-und Testverfahren Der Testfall Zufalls-und Vertrauensintervall Schätz- und Testverfahren bei diskreten Verteilungen Binomialverteilung Vertrauensintervall für den Parameter p Testfall für den Parameter p Poissonverteilung Vertrauensintervall für fi Test auf Verträglichkeit eines Stichprobenergebnisses x mit einer mittleren Ereigniszahl n Vergleich zweier Parameter //, und,u, 108

4 Inhaltsverzeichnis XI 4.3 Schätz- und Testverfahren bei Normalverteilung Verteilung von Mittelwert und Standardabweichung von Zufallsstichproben Die Verteilung des Mittelwerts einer Stichprobe bei bekannter Standardabweichung - Der u-test Die Teststatistik Der Ein-Stichproben-u-Test Zufalls-und Vertrauensintervall Gütefunktion eines Tests am Beispiel des u-tests Der Zwei-Stichproben-u-Test Test- und Schätzverfahren für den Mittelwert einer Stichprobe bei unbekannter Standardabweichung Die Studentsche t-verteilung Der Ein-Stichproben-r-Test Das Vertrauensintervall für n Gütefunktion des Ein-Stichproben-t-Tests Der Ein-Stichproben-t-Test für den Fall, daß die Standardabweichung aus mehr Werten geschätzt werden kann als der Mittelwert Der Zwei-Stichproben-t-Test Gütefunktion des Zwei-Stichproben-r-Tests Verbundene Stichproben Test- und Schätzverfahren für die Stichprobenstandardabweichung Die ^-Verteilung, Vertrauens-und Zufallsintervalle Der^2-Test auf Verschiedenheit einer Stichprobenstandard - abweichung s von einem hypothetischen Wert a Gütefunktion des ^2-Tests Vergleich zweier Varianzen aus normalverteilten Grundgesamtheiten Die F-Verteilung, Mutungsintervall für das Varianzverhältnis <J\/o-2 l F-Test auf den Unterschied zwischen zwei Varianzen Die Gütefunktion des F-Tests Vergleich von Varianzen mehrerer Normalverteilungen Der Bartlett-Test Der Cochran-Test Vergleich mehrerer Erwartungswerte von normalverteilten Grundgesamtheiten mit gleicher Varianz Das Ausreißerproblem bei normalverteilten Kollektiven

5 XII Inhaltsverzeichnis 5 Grundlagen verteilungsfreier Test- und Schätzverfahren Allgemeines Skalierungen 163 Benennende oder Klassifikations-Skalierung 163 Ordinale Skalierung 164 Metrische oder messende Skalierung, Kardinalskalierung 164 Rangskalierung Allgemeine Grundsätze der verteilungsfreien Verfahren Der Fall kontinuierlicher Verteilungen Der Fall diskreter Verteilungen Gütekriterien von Schätzern und Tests 170 Das Maximum-Likelihood-Prinzip 170 Die relative Effizienz von Tests 172 Konservative Tests Anpassungstests im Fall einer Stichprobe Anpassungstests mit genau spezifizierter Vergleichsverteilung Der ^-Anpassungstest Der Anpassungstest von Kolmogoroff-Smirnoff im Fall einer Stichprobe Anpassungstests mit nicht genau spezifizierter Verteilung Der j z -Anpassungstest bei zusammengesetzter Nullhypothese 184 Normalverteilung als zusammengesetzte Nullhypothese Lognormalverteilung als zusammengesetzte Nullhypothese 188 Diskussion zum j 2 -Anpassungstest Der Kolmogoroff-Smirnoff Anpassungstest für zusammengesetzte Nullhypothesen bei einer Stichprobe Test auf Normalverteilung Test auf Lognormalverteilung Test auf Exponentialverteilung Weitere verteilungsfreie Test- und Schätzverfahren im Fall einer Stichprobe Tests und Schätzverfahren für den Median einer Grundgesamtheit Der Binomialtest für den Median Mutungsintervall für den Median M(x) Der Wilcoxon-Vorzeichen-Rangtest Test gegen Trend Test auf Zufälligkeit einer Stichprobe Die Stichprobenspannweite als Toleranzbereich Die Ungleichungen von Tschebyscheff und Camp-Meidell Verteilungsfreie Verfahren im Fall zweier Stichproben Anpassungstests für zwei Stichproben 229

6 Inhaltsverzeichnis XIII Der % -Anpassungstest für zwei Stichproben Der Kolmogoroff-Smirnoff-Anpassungstest für zwei unabhängige Stichproben Verteilungsfreie Tests auf Lagealternativen bei zwei Stichproben Der Wilcoxon-Test auf Lagealternativen für zwei unabhängige Stichproben Der Fall zweier verbundener Stichproben Der Binomialtest auf Lagealternativen bei verbundenen Stichproben Anwendung des Wilcoxon-Vorzeichen-Rangtests auf Lagealternativen bei zwei verbundenen Stichproben Test auf Verschiedenheit von Varianzen bei zwei Stichproben Ein einfacher Test auf Variabilitätsunterschied bei zwei Stichproben Der Siegel-Tukey-Test auf Streuungsalternativen Alternativdaten bei zwei Stichproben Alternativdaten bei zwei unabhängigen Stichproben, Vier- Feldertafeln Alternativdaten bei zwei verbundenen Stichproben, McNemar-Test Verteilungsfreie Verfahren bei m Stichproben Allgemeine Überlegungen Ein Anpassungstest vom Kolmogoroff-Smirnoff-Typ für m unabhängige Stichproben, Conover-Test Der Kruskal -Wallis-Test auf Lageunterschiede bei m unabhängigen Stichproben Lageunterschiede bei m verbundenen Stichproben; Friedman Test Der Meyer-Bahlburg-Test auf Variabilitätsunterschiede bei m unabhängigen Stichproben Verteilungsfreie Korrelationsrechnung Allgemeine Hintergründe Spearmans Rangkorrelationskoeffizient j^-test auf Unabhängigkeit; Kontingenztafeln 299 AI Wahrscheinlichkeitstheoretische Grundlagen 311 ALI Mengentheoretische Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung 311 AI.2 Wahrscheinlichkeiten 315 Zugleich verteilungsfreie einfache Varianzanalyse Zugleich verteilungsfreie zweifaktorielle Varianzanalyse

7 XIV Inhaltsverzeichnis AI.3 Bedingte Wahrscheinlichkeiten 318 AI.4 Der Begriff der statistischen Unabhängigkeit 320 AI.5 Funktionen von Zufallsvariablen 321 AI.5.1 Lineare Transformation 321 AI.5.2 Quadrat einer Zufallsvariablen 322 AI.5.3 Allgemeine Funktiony = g(x) 323 AI.6 Mehrdimensionale Verteilungen 325 AI.6.1 Dichte, Summenfunktion und Randverteilungen 325 Al.6.2 Bedingte Verteilungen 327 Al.6.3 Unabhängigkeit 329 AI.6.4 Funktionen mehrdimensionaler Verteilungen 330 AI.7 Teststatistiken zur Normalverteilung 332 Al.7.1 Die/-Verteilung 332 Al.7.2 Die t-verteilung 336 Al.7.3 Die F-Verteilung 341 A1.8 Simulation 344 AI.8.1 Prinzip der Monte-Carlo-Simulation 344 AI.8.2 Erzeugung von Zufallszahlen mit vorgegebener Verteilung 345 A2 Anhang für Tabellen, Diagramme und Formulare 349 A2.1 Tabellen 350 A2.2 Diagramme 375 A2.3 Formulare 395 Literatur 407 Stichwortverzeichnis 411