Wahrscheinlichkeitsrechnung mathematische Statistik und statistische Qualitätskontrolle

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1 Wahrscheinlichkeitsrechnung mathematische Statistik und statistische Qualitätskontrolle von Dr. rer. nat. Regina Storni 11., verbesserte Auflage mit 82 Bildern, 20 Tafeln und 120 Beispielen Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag

2 Inhaltsverzeichnis 0 Einleitung 13 WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG 1 Einführung 15 2 Ereignis, Häufigkeit, Wahrscheinlichkeit Zufällige Erscheinungen und Ereignisse Relationen zwischen zufälligen Ereignissen Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit Axiomatische Definition der Wahrscheinlichkeit Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten 29 3 Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit Die bedingte Wahrscheinlichkeit Unabhängigkeit von Ereignissen Formel der totalen Wahrscheinlichkeit Bayessche Formel 36 4 Zufallsgrößen und ihre Verteilungsfunktionen Einführung der Zufallsgröße und ihrer Verteilungsfunktion Verteilungen diskreter Zufallsgrößen Verteilungen stetiger Zufallsgrößen Erwartungswert und Streuung Quantile 46 5 Spezielle Verteilungen Diskrete Verteilungen Die diskrete gleichmäßige Verteilung Die Binomialverteilung Die hypergeometrische Verteilung Die Poisson-Verteilung Die geometrische Verteilung Die negative Binomialverteilung Stetige Verteilungen Die stetige gleichmäßige Verteilung : Die Normalverteilung Die logarithmische Normalverteilung Die Exponentialverteilung Die Weibull-Verteilung Die Gammaverteilung 75 6 Zufällige Vektoren und ihre Verteilungsfunktionen Einführung des zufälligen Vektors Verteilungen diskreter zufälliger Vektoren Verteilungen stetiger zufälliger Vektoren 82

3 Inhaltsverzeichnis I Stochastische Prozesse Einführung des stochastischen Prozesses Momente des stochastischen Prozesses Stationäre Prozesse Definition des stationären Prozesses Einige wichtige stationäre Prozesse Der Poisson-Prozeß 96 MATHEMATISCHE STATISTIK 8 Einführung 99 9 Beschreibende Statistik für eindimensionale Merkmale Urliste, Häufigkeitstabelle, empirische Verteilung Grafische Darstellung von Häufigkeitsverteilungen Statistische Maßzahlen Mittelwerte Streuungsmaße Empirisches Quantil Beschreibende Statistik für zweidimensionale Merkmale Urliste, Korrelationstabelle, empirische Verteilung Statistische Maßzahlen Berechnung der empirischen Regressionsgeraden 129 II Grundgesamtheit, Stichprobe, Stichprobenfunktion Grundgesamtheit und Stichprobe Stichprobenfunktionen Einige wichtige Verteilungen von Stichprobenfunktionen Statistische Schätzmethoden Allgemeine Aufgabenstellung Punktschätzungen Schätzung, Schätzwert Kriterien zur Auswahl einer Punktschätzung Beispiele für Punktschätzungen Punktschätzung für die Wahrscheinlichkeit/? Punktschätzung für die Verteilungsfunktion F(x) Punktschätzungen für den Mittelwert (i der normalverteilten Grundgesamtheit Punktschätzungen für die Streuung er 2 der normalverteilten Grundgesamtheit Punktschätzungen für den Parameter X der poissonverteilten Grundgesamtheit Maximum-Likelihood-Schätzmethode Methode der kleinsten Quadrate Konfidenzschätzungen Konfidenzintervalle 156

4 Inhaltsverzeichnis Konfidenzintervall für den Mittelwert u der normal verteilten Grundgesamteit bei bekanntem CT Konfidenzintervall für den Mittelwert u der normal verteilten Grundgesamtheit bei unbekanntem a Konfidenzintervall für die Streuung a 2 der normalverteilten Grundgesamtheit Konfidenzintervall für den VariationskoefFizienten v der normalverteilten Grundgesamteit Konfidenzintervall für den Mediän einer stetigen Verteilung Konfidenzintervall für die Wahrscheinlichkeit p der alternativen Grundgesamtheit Toleranzschätzungen Statistische Toleranzgrenzen Statistische Toleranzgrenzen für normalverteilte Grundgesamtheit Verteilungsfreie statistische Toleranzgrenzen , Statistische Tests 173 Allgemeine Aufgabenstellung 173 Test für den Mittelwert j. der normalverteilten Grundgesamtheit bei bekannter Streuung a Der statistische Test 174 Die Gütefunktion des Tests 182 Bestimmung des notwendigen Stichprobenumfangs 184 Test für den Mittelwert i der normalverteilten Grundgesamtheit bei unbekannter Streuung a Vergleich zweier Mittelwerte aus normal verteilten Grundgesamtheiten Die beiden Stichproben sind verbunden 188 Die beiden Stichproben sind voneinander unabhängig 190 Test für die StreuungCT 2 der normalverteilten Grundgesamtheit 193 Vergleich zweier Streuungen aus normal verteilten Grundgesamtheiten Prüfung der Verteilung der Grundgesamtheit 198 Einige Bemerkungen über die Voraussetzung der Normal Verteilung 198 Grafische Verfahren zur Prüfung der Verteilung 199 Das Wahrscheinlichkeitsnetz 199 Das Weibull-Netz 203 Prüfung der Verteilung mit dem x 2 -Test 205 Prüfung der Verteilung mit dem Kolmogoroff-Test 211 Test für die Wahrscheinlichkeit p der alternativen Grundgesamtheit 215 Vergleich zweier Wahrscheinlichkeiten aus alternativen Grundgesamtheiten 217 Varianzanalyse 219 Aufgabenstellung 219 Einfache Klassifikation für Modell Versuchsplan und mathematisches Modell 221 Zerlegung der Summe der Abweichungsquadrate 224?- Test zur Prüfung der Hypothese H o (H A ) 225 Tafel der Varianzanalyse 226 Bartlett-Test 228

5 10 Inhaltsverzeichnis \A2.6 Multiple Mittelwertvergleiche Zweifache Klassifikation für Modell I (einfache Besetzung) Versuchsplan und mathematisches Modell Zerlegung der Summe der Abweichungsquadrate Test zur Prüfung der Hypothesen/^ undh B Tafel der Varianzanalyse Zweifache Klassifikation für Modell I (mehrfache Besetzung) Versuchsplan und mathematisches Modell Zerlegung der Summe der Abweichungsquadrate J- Test zur Prüfung der Hypothesen H A,H B und H M Tafel der Varianzanalyse Regressions- und Korrelationsanalyse Aufgabenstellung Lineare Regression bei zwei meßbaren Merkmalen Das Modell der einfachen linearen Regression Test und Konfidenzintervall für den Regressionskoeffizienten Test und Konfidenzintervall für die Regressionskonstante Konfidenzintervalle für die Regressionsgerade Vorhersageintervall für die Zielgröße Vergleich zweier Regressionsgeraden Mehrfache (multiple) lineare Regression Das Modell der mehrfachen linearen Regression Berechnung der empirischen Regressionsebene Tests und Konfidenzintervalle für die Regressionskoeffizienten Nichtlineare Regression Lineare Korrelation bei zwei meßbaren Merkmalen Voraussetzungen bei der linearen Korrelation Test auf Unabhängigkeit der Merkmale Prüfung des Grades des linearen Zusammenhangs zwischen zwei Merkmalen Konfidenzintervall für den Korrelationskoeffizienten Vergleich zweier Korrelationskoeffizienten Partielle und mehrfache (multiple) lineare Korrelation Partielle lineare Korrelation Mehrfache (multiple) lineare Korrelation Prüfverfahren bei zwei qualitativen Merkmalen (Kontingenztafeln) Test auf Unabhängigkeit der Merkmale Kontingenzmaße für die Stärke des Zusammenhangs Einige nichtparametrische Tests Einführung Vorzeichentest Vorzeichentest zum Vergleich verbundener Stichproben Vorzeichentest zur Prüfung des Medians einer Verteilung Wilcoxon-(Mann-Whitney-U-) Test X-Test von van der Waerden 291

6 Inhaltsverzeichnis Das Ausreißerproblem Ausreißertests Zweiseitiger Ausreißertest für normalverteilte Grundgesamtheit Ausreißertests nach Dixon Die Zeitreihenanalyse Einführung Beispiele für Zeitreihen Zerlegung einer Zeitreihe in Komponenten Methoden zur Schätzung und Elimination des Trends Schätzung des Trends mit Regression Glätten von Zeitreihen Die Differenzenmethode Methoden zur Elimination und Schätzung der Saisonkomponente Modellierung einer Zeitreihe durch einen stochastischen Prozeß Statistische Analyse stationärer Prozesse Schätzung von Mittelwert- und Autokorrelationsfünktion Anpassung eines ARIMA-Prozesses Prognose 322 STATISTISCHE QUALITÄTSKONTROLLE 20 Aufgaben und Methoden Statistische Prozeßkontrolle Einführung Kontrollkarten für die messende Prüfung Mittelwertkarte (x-karte), Aufbau der Mittelwertkarte Berechnung der Kontrollgrenzen Wahl von cc und n Sollwert a und Streuung o" 2 sind bekannt Schätzwerte für a und a aus dem Vorlauf Führung der Kontrollkarte Die mittlere Lauflänge Mediankarte (x -Karte) x/s-karte Die Prozeßfähigkeit Kontrollkarten für die zählende Prüfung p-karte Kontrollkarten mit Gedächtnis Kostenoptimale Prozeßkontrolle Annahmestichprobenprüfung Einführung Prüfpläne für die Attributprüfung Einfache Stichprobenprüfung Aufbau eines einfachen Prüfplans Operationscharakteristik für den einfachen Prüfplan Bestimmung der Kenngrößen des Prüfplans 367

7 10 Inhaltsverzeichnis Multiple Mittelwertvergleiche Zweifache Klassifikation für Modell I (einfache Besetzung) Versuchsplan und mathematisches Modell Zerlegung der Summe der Abweichungsquadrate J- Test zur Prüfung der Hypothesen//,undH B Tafel der Varianzanalyse Zweifache Klassifikation für Modell I (mehrfache Besetzung) Versuchsplan und mathematisches Modell. ' Zerlegung der Summe der Abweichungsquadrate J- Test zur Prüfung der Hypothesen H A,H B und H M Tafel der Varianzanalyse Regressions- und Korrelationsanalyse Aufgabenstellung Lineare Regression bei zwei meßbaren Merkmalen Das Modell der einfachen linearen Regression Test und Konfidenzintervall für den Regressionskoeffizienten Test und Konfidenzintervall für die Regressionskonstante Konfidenzintervalle für die Regressionsgerade Vorhersageintervall für die Zielgröße Vergleich zweier Regressionsgeraden Mehrfache (multiple) lineare Regression Das Modell der mehrfachen linearen Regression Berechnung der empirischen Regressionsebene Tests und Konfidenzintervalle für die Regressionskoeffizienten Nichtlineare Regression : Lineare Korrelation bei zwei meßbaren Merkmalen Voraussetzungen bei der linearen Korrelation Test auf Unabhängigkeit der Merkmale Prüfung des Grades des linearen Zusammenhangs zwischen zwei Merkmalen Konfidenzintervall für den Korrelationskoeffizienten Vergleich zweier Korrelationskoeffizienten Partielle und mehrfache (multiple) lineare Korrelation Partielle lineare Korrelation Mehrfache (multiple) lineare Korrelation Prüfverfahren bei zwei qualitativen Merkmalen (Kontingenztafeln) Test auf Unabhängigkeit der Merkmale Kontingenzmaße für die Stärke des Zusammenhangs Einige nichtparametrische Tests Einführung Vorzeichentest Vorzeichentest zum Vergleich verbundener Stichproben Vorzeichentest zur Prüfung des Medians einer Verteilung Wilcoxon-(Mann-Whitney-U-) Test X-Test von van der Waerden 291

8 12 Inhaltsverzeichnis Durchschlupf und mittlerer Prüfaufwand Doppelte Stichprobenprüfung Mehrfach- und Sequential-Stichprobenprüfung Prüfpläne für die Variablenprüfung Aufbau eines einfachen Prüfplans Operationscharakteristik für den Prüfplan Bestimmung der Kenngrößen des Prüfplans Standardisierung von Prüfplänen Stichprobensysteme Stichprobensysteme für die Attributprüfung Stichprobensysteme für die Variablenprüfüng 381 Anhang Tafel I: Verteilungsdichte <p(x) der standardisierten Normalverteilung 384 Tafel II: Verteilungsfunktion (t>(x)der standardisierten Normalverteilung 386 Tafel III: Quantile z q der standardisierten Normalverteilung 388 Tafel IV: Zweistellige Zufallszahlen 389 Tafel V: Quantile t mq der /-Verteilung 390 Tafel VI: Quantile %i ;q der % 2 -Verteilung 391 Tafel VII: Quantile F mim2 - q der 2 -Verteilung für q = 0,95 und q = 0, Tafel VIII: Kritische Werte für den KolmogorofT-Test 398 Tafel EX: Toleranzfaktoren k ß y für normalverteilte Grungesamtheit (u und a 2 unbekannt) 399 Tafel X: Mindeststichprobenumfang «o für zweiseitiges verteilungsfreies Toleranzintervall 400 Tafel XI: Mindeststichprobenumfang «o für einseitiges verteilungsfreies Toleranzintervall 400 Tafel XII: Kritische Werte l n,\-\ für den Lord-Test zur Prüfung von //o : i = uo 400 Tafel XHl: Kritische Werte /, 2;1 _s für den Spannweitentest nach Lord zur Prüfung von Ho :ui =U2 («I = «2) 400 Tafel XIV: Kritische Werte p nun2 ;i-a für den Test nach Pillai und Buenaventura zur Prüfung von Ho : a 2 = a 2 für et = 0,05 und a = 0, Tafel XV: Quantile a mum^q der Verteilung der studentisierten Variationsbreite (q = 0,95 und q = 0,99) 402 Tafel XVI: Zufallshöchstwerte des Korrelationskoeffizienten 404 Tafel XVD: Kritische Werte für den X-Test von van der Waerden 405 Tafel XVIII: Kritische Werte w ;a für den Ausreißertest bei normalverteilter Grundgesamtheit (u und a 2 unbekannt) 407 Tafel XIX: Kritische Werte T ;a für die Ausreißertests nach Dixon 407 Tafel XX: Faktoren zur Berechnung der Kontrollgrenzen 408 Literatur- und Quellenverzeichnis 410 Auswahl englischer Fachausdrücke 417 Sachwortverzeichnis 420