MATHEMATISCHE STATISTIK IN DER TECHNIK

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1 MATHEMATIK FÜR NATURWISSENSCHAFT UND TECHNIK HERAUSGEGEBEN VON H. HEINRICH UND H. SCHUBERT Band 9 MATHEMATISCHE STATISTIK IN DER TECHNIK KURZER LEHRGANG VON N.W. SMIRNOW UND I.W. DUNIN-BARKOWSKI Neu bearbeitet von W. Richter Mit 88 Abbildungen, 63 Tabellen und 12 Tafeln Dritte, berichtigte Auflage VEB DEUTSCHER VERLAG DER WISSENSCHAFTEN BERLIN 1973

2 INHALTSVERZEICHNIS I. Gegenstand und Aufgaben der Wahrscheinlichkeitsrechnung und der mathematischen Statistik 15 II. Zufällige Ereignisse Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit Versuoh. Ereignisfeld. Verknüpfung von Ereignissen Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit Die Axiome der Wahrscheinlichkeitsrechnung Stichproben ohne Zurücklegen. Zufallszahlen Bedingte Wahrscheinlichkeiten Der Begriff der bedingten Wahrscheinlichkeit Eigenschaften der bedingten Wahrscheinlichkeiten. Der Multiplikationssatz und der allgemeine Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten Unabhängige Ereignisse. Der Multiplikationssatz für unabhängige Ereignisse Die Formel der totalen Wahrscheinlichkeit Die Formel für die Wahrscheinlichkeit von Hypothesen (Bayessche Formel) Vereinigung von Versuchen Definition der Vereinigung von Versuchen. Unabhängige Versuche Einige Grundbegriffe der Informationstheorie. Entropie. Kodierungsproblem Die Binomialverteilung Noch einmal zum Schema unabhängiger Versuche. Zuverlässigkeit eines Systems 69 III. Zufallsgrößen Diskrete Zufallsgrößen Die Verteilung einer diskreten Zufallsgröße Mittelwert und Erwartungswert. Häufigster Wert Zentrale Momente. Streuung und Standardabweichung. Variationskoeffizient. Durchschnittliche Abweichung. Schiefe und Exzeß Die Binomialverteilung. Die momenterzeugende Funktion einer diskreten Verteilung Die hypergeometrische Verteilung Die Poissonsche Verteilung Die Poissonsche Verteilung im Schema unabhängiger Versuche mit verschiedenen Wahrscheinlichkeiten und ihre Anwendung in der Zuverlässigkeitstheorie Die Verteilung stetiger Zufallsgrößen Verteilungsdichte und Verteilungsfunktion. Quantile. Median Die Momente einer stetigen Verteilung. Erwartungswert und Streuung. Modalwert Die empirische Verteilung einer stetigen Zufallsgröße. Klasseneinteilung der Meßwerte. Strichliste. Häufigkeitspolygon. Histogramm. Empirische Kennzahlen Die Zuverlässigkeit eines Elements in einem System als Funktion der Zeit 125

3 10 Inhaltsverzeichnis IV. Die Normalverteilung Eigenschaften der Normalverteilung Die Verteilungsdichte und die Parameter der Normalverteilung Erzeugende Funktion, Momente, Schiefe und Exzeß normalverteilter Zufallsgrößen Die Funktion 0 o (z) und die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten,für normalverteilte Zufallsgrößen Die Funktion 0 o (z) Anwendung der Normalverteilung bei der Schätzung von Wahrscheinlichkeiten und bei der Prüfung von Hypothesen Die Normalverteilung als Näherung der Binomialverteilung. Der Satz von JAKOB BERNOTXLLI. Der Satz von LAPLACE Konfidenzintervalle für eine unbekannte Wahrscheinlichkeit Konfidenzintervalle für eine unbekannte Wahrscheinlichkeit bei kleinen Stichproben 152 V. Mehrdimensionale Verteilungen. Das Gesetz der großen Zahlen und der zentrale Grenzwertsatz Zweidimensionale Verteilungen Zweidimensionale Verteilungen und bedingte Verteilungen Unabhängigkeit von Zufallsgrößen Die Kenngrößen mehrdimensionaler Verteilungen Erwartungswert einer Funktion von mehreren Zufallsgrößen Kovarianz und Korrelationskoeffizient. Die Streuung einer Summe Angenäherte Bestimmung des Erwartungswertes und der Streuung einer Funktion mehrerer Zufallsgrößen Die zweidimensionale Normalverteilung Das Hyperbelnavigationsverfahren Das Gesetz der großen Zahlen Die Tschebyscheffsche Ungleichung Das Gesetz der großen Zahlen Die Faltung von Verteilungen. Der zentrale Grenzwertsatz Der Begriff der Faltung Die erzeugende Funktion einer Faltung. Der zentrale Grenzwertsatz Die Rolle der Normalverteilung in den Anwendungen 197 VI. Schätzen von Parametern Grundbegriffe der Stichprobenmethode und die Aufgaben der mathematischen Statistik Der Begriff der Stichprobe Die Verteilung der Stichprobe und Stichprobenfunktionen. Konsistente und erwartungstreue Schätzungen. Eine erwartungstreue Schätzung der Streuung Der Hauptsatz der mathematischen Statistik Statistische Schätzungen der Verteilungsparameter bei großen Stichproben Bedeutung der Konsistenz, der Erwartungstreue und der Effektivität von Schätzungen Die asymptotische Verteilung der empirischen Kenngrößen Die Maximum-Likelihood-Methode zur Bestimmung von Parameterschätzungen. Die Momentenmethode Schätzung des Verteilungszentrums mit Hilfe von Beobachtungen verschiedener Genauigkeit 213

4 Inhaltsverzeichnis Die Wahrscheinlichkeitsverteilungen einiger empirischer Kenngrößen Die ^-Verteilung Dje, Studentsche «-Verteilung ' Die.F-Verteilung Die Verteilung der empirischen Streuung einer Stichprobe aus einer normalverteilten Grundgesamtheit Die Verteilung des «-Quotienten Schätzung der Verteilungsparameter an Hand kleiner Stichproben Der Begriff der Konfidenzschätzung. Konfidenzintervalle für das Verteilungszentrum p bei bekanntem a Konfidenzintervalle für das Verteilungszentrum bei unbekanntem er Konfidenzintervalle für a Schätzung des Parameters er an Hand der Spannweiten unabhängiger Stichproben Konfidenzintervalle im Fall asymptotisch normalverteilter Schätzungen Toleranzbereiche Lebensdauerprüfung Schätzung des Parameters A einer exponentialverteilten Grundgesamtheit 240 VII. Statistische Prüfung von Hypothesen Aufgabenstellung. Prüfung von Hypothesen über Wahrscheinlichkeiten, Verteilungen und Mittelwerte Statistische Prüfung einer Hypothese über Wahrscheinlichkeiten Prüfen von Hypothesen. Allgemeine Aufgabenstellung. Hypothese über die Lage des Erwartungswerts Der Zeichentest Vergleich zweier Mittelwerte Prüfen von Hypothesen über Streuungen Prüfen einer Hypothese über die Gleichheit zweier Streuungen (F-Test) Prüfen der Hypothese über die Gleichheit von mehreren Streuungen (Cochran-Test) Prüfung von Hypothesen über das Verteüungsgesetz Der x 2 -Anpassungstest Prüfung der Hypothese auf Normalverteiltheit mit Hilfe von Schiefe und Exzeß Prüfen der Hypothese, daß zwei Stichproben ein und derselben Grundgesamtheit entstammen Der to a -Anpassungstest Ausreißertests Prüfen der Hypothese, daß Grundgesamtheiten normalverteilt sind, mittels mehrerer kleiner Stichproben 283 VIII. Abriß der Varianzanalyse Der Begriff der Varianzunalyse. Einfache Varianzanalyse Aufgaben der Varianzanalyse Die einfache Varianzanalyse Mehrfache Varianzanalyse Die doppelte Varianzanalyse Beispiel einer doppelten-varianzanalyse 300

5 12 Inhaltsverzeichnis IX. Abriß der Korrelationstheorie Der Begriff der Korrelation und der Regression Stochastische Bindungen Regressionslinien. Bedingte Streuungen Korrelationskoeffizient und Regressionsgeraden Die lineare Korrelation Das Korrelationsverhältnis Die Schätzung der Korrelationskenngrößen an Hand von Stichproben Die empirischen Kenngrößen einer stochastischen Bindung und ihre Berechnung Das empirische Korrelationsverhältnis Konfidenzschätzungen Prüfung der Hypothese p = Regressionsprobleme Die Aufgabenstellung Schätzung der Parameter mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate Der allgemeine Fall der linearen Regression 332 X. Berechnung, Untersuchung und Kontrolle der Genauigkeit mit Methoden der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Die wahrscheinlichkeitstheoretische Methode der Berechnung von Maßketten Der Begriff der Maßkette Die Berechnung einer Maßkette ' Statistische Methoden zur Untersuchung der Genauigkeit und der Stabilität technologischer Prozesse Die Untersuchung der Genauigkeit technologischer Prozesse Statistische Methoden zur Untersuchung der Stabilität eines technologischen Prozesses Statistische Methoden der prophylaktischen Qualitätskontrolle Allgemeine Begriffe und Hauptaufgaben Einige Verfahren der statistischen Qualitätsregelung Über die Auswahl des Kontrollverfahrens und seiner Parameter Statistische Methoden in der Eingangs- und Endkontrolle Grundbegriffe und Aufgabenstellung Einfache Stichprobe Einfache Stichprobenpläne mit der Annahmezahl c = Die Theorie der extremalen Stichprobenelemente und ihre Anwendung Die Theorie des schwächsten Gliedes" und die Verteilungsgesetze der extremalen Stichprobenelemente Die Anwendung des Verteilungsgesetzes Fx(u) auf die Bestimmung der extremalen Abflußmengen von Elüssen Die statistische Deutung der Resultate von Dauerfestigkeitsprüfungen 382 XI. Grundbegriffe der Theorie der zufälligen Prozesse und einige Anwendungen Zufällige Prozesse und ihre Kenngrößen Der Begriff des zufälligen Prozesses Erwartungswert, Streuung und Korrelationsfunktion eines zufälligen Prozesses 390

6 Inhaltsverzeichnis Einige Beispiele zufälliger Prozesse Poissonsche Prozesse Die Verteilung des Abstandes zwischen zwei aufeinanderfolgenden Ereignissen in einem Poissonschen Prozeß Markoffsche Prozesse Das Erlangsche Problem für ein endliches Bündel Statistisches Modell eines Staubeckens " Stationäre zufällige Prozesse Bestimmung der tragenden Länge" von Profilschnitten Einiges zur Statistik zufälliger Prozesse Bestimmung der statistischen Schätzwerte eines zufälligen Prozesses Bestimmung statistischer Schätzwerte für die Kenngrößen stationärer zufälliger Prozesse 424 ANHANG Tafel I. Verteilungsdichte q>(z) der normierten Normalverteilung 426 Tafel II. Die Funktion 4> 0 {z) 428 Tafel III. Kennzahlen der Verteilung der Spannweite B n für Stichproben vom Umfang n aus einer nach N{fi, a 2 ) normalverteilten Grundgesamtheit (Erwartungswert, Standardabweichung und p-quantilexp) 430 Tafel IV. Obere loo^j-prozentige Werte Xj? der x 2 -Verteilung.432 Tafel V. loop-prozentige Werte t pt m der Studentschen t-verteilung 434 Tafel VI. Obere fünfprozentige Werte J'o.os; mim: un d obere einprozentige Werte fo.or. mim, der ^-Verteilung..' 435 Tafel VII. Kritische Zahlen % zum Signifikanzniveau a =rf 0,01; 0,05; 0,10 und 0,25 (Zeichentest) 442 Tafel VIII. Kritische Werte g a der Größe G max zum Signifikanzniveau a = 0,01 und «= 0,05 (Cochran-Test) 443 Tafel IX. Werte der Koeffizienten der relativen Schiefe <x und der relativen Streuung k für verschiedene Verteilungsgesetze 444 Tafel X. Quantile der normierten doppelten Exponentialverteilung; y in Abhängigkeit von bestimmten Werten von!p(y) = e^* - * 447 Tafel XI. Poissonsche Verteilung nj(m) = und E n\{m) 458 Tafel XII. Obere looot-prozentige Werte v x;n der Verteilung der Zufallsgröße T = gmax ~ * bzw. T = * - *!"'" 466 s Erläuterungen zu den Tafeln 467 Literaturverzeichnis 471 Namen- und Sachverzeichnis 475 s