'Physik für Ingenieure (Maschinenbau)' Vorlesung vom Themen: Kinematik und Mechanik

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1 'Physik für Ingenieure (Maschinenbau)' Vorlesung vom Themen: Kinematik und Mechanik Jonas Herick Alexander Berlin Werner Meyer Lehrstuhl für Hadronen und Kerne, Ruhr-Universität Bochum 30.Oktober 2013 ΡΗΙςΨΡΚ ΗΙΩ, ςωεεπω ΕΦ ΗΙΘ Dritte Vorlesung Physik für Ingenieure (Maschinenbau) 30.Oktober 2013 Seite 1

2 Kurze Wiederholung der letzten Vorlesung I Physik ist eine Erfahrungswissenschaft, die auftretende Phänomene mit objektiven Messmethoden analysiert und quantitativ beschreibt. Physikalische Gröÿen bestehen aus einem Zahlenwert und einer zugehörigen Einheit. Alle phy. Einheiten lassen sich aus den SI-Basiseinheiten zusammensetzen: Länge [ m ], Zeit [ s ], Masse [ kg ], Temperatur [ K ], Stomenge [ mol ], Stromstärke [ A ], Lichtstärke [ cd ] Modellvorstellung des Massepunktes: Gesamte Masse eines Körpers wird sich in seinem Schwerpunkt konzentriert vorgestellt Bewegung nur in x-,y-, z-richtung (Translation) einschl. Ruhe keine Beschreibung von Phänomenen die mit der Ausdehnung des Körpers zusammenhängen z.b.: Rotation Dritte Vorlesung Physik für Ingenieure (Maschinenbau) 30.Oktober 2013 Seite 2

3 Kurze Wiederholung der letzten Vorlesung II Kinematik (Bewegungslehre) Beschreibung der Bewegung eines Massepunktes durch Ort-Zeit-Funktion x(t) Geschwindig v gegeben durch Ableitung von x nach der Zeit x v(t) = lim t 0 t = d x = x dt Beschleunigung a durch Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit gegeben a = d dt v(t) = v = d 2 Spezialfall: Erdbeschleunigung und freier Fall Im Vakuum fallen alle Körper gleich schnell durchfallene Höhe h = 1 2 g t2 = Fallzeit t = 0 mit g = 0 dt g 2 x(t) = x 2 h g Dritte Vorlesung Physik für Ingenieure (Maschinenbau) 30.Oktober 2013 Seite 3

4 Weiteres zur Kinematik weg vom Spezialfall: Bewegungsgleichung mit Anfangsgeschwindigkeit v 0 und Anfangsort x 0 x(t) = 1 2 at2 + v 0 t + x 0 für die Geschwindigkeit gilt: v(t) = at + v 0 Bsp.: Senkrechter Ballwurf (eindimensionale Betrachtung) Abwurfhöhe h 0 1, 5m, Fallzeit bis zum Boden t = Wie groÿ waren Anfangsgeschwindigkeit v 0 und Maximalhöhe h max? Dritte Vorlesung Physik für Ingenieure (Maschinenbau) 30.Oktober 2013 Seite 4

5 Mehrdimensionale Betrachtung Erdbeschleunigung g wirkt nur auf die z-komponente der Bewegung. Bsp.: Horizontaler Wurf, Schanze /ΣςςΙΟΞΨς 7Σ ςμγλξμκ Dritte Vorlesung Physik für Ingenieure (Maschinenbau) 30.Oktober 2013 Seite 5

6 Prinzipien der Mechanik Was ist die Ursache für das Auftreten einer Beschleunigung? Trägheitsprinzip nach Galilei Ohne äuÿere Einüsse verbleibt jeder beliebige Körper in Ruhe oder gleichförmiger Bewegung. nicht selbstverständlich da: frei fällt alles nach unten (Gravitation) rollende Fahrzeuge werden mit der Zeit immer langsamer (Reibung) geostationäre Satelliten verbleiben über einem Ort (Gravitationsbeschleunigung wird durch Zentrifugalbeschleunigung kompensiert) Nachweis des Trägheitsprinzips im Labor nicht so einfach, da abbremsende/beschleunigende Eekte kompensiert werden müssen! (Bsp.: Luftkissenbahn) Dritte Vorlesung Physik für Ingenieure (Maschinenbau) 30.Oktober 2013 Seite 6

7 Träge Masse Galilei prägte auÿerdem den Begri der trägen Masse, worunter er das Beharrungsvermögen eines Körpers verstand, sich Beschleunigungen zu widersetzen. Bsp.: Beschleunigung und Bremsen im Auto Dritte Vorlesung Physik für Ingenieure (Maschinenbau) 30.Oktober 2013 Seite 7

8 Newtonsche Gesetze I Im Wesentlichen übernahm Sir Isaac Newton das Trägheitsprinzip von Galilei und formulierte es mathematisch um. 1. Newtonsche Gesetz Wenn kein äuÿerer Einuss (Kraft) auf einen Körper der Masse m wirkt, ist a = d v dt = 0 Aber: Bei der Planetenbewegung ist a 0, da sie sich auf Kreisbahnen bewegen. Also muss eine ständige Kraft vorliegen, die diese Beschleunigung bewirkt. das ist die Gravitation! Dritte Vorlesung Physik für Ingenieure (Maschinenbau) 30.Oktober 2013 Seite 8

9 Newtonsche Gesetze II Newton hat in dieser Beschleunigung einer Masse m die Wirkung einer Kraft F erkannt! 2. Newtonsche Gesetz Grundgleichung der Mechanik: m = träge Masse Kraft = Masse Beschleunigung F = m a Die Einheit der Kraft F ist das Newton N. Denition: 1 N erteilt einer Masse von 1 kg eine Beschleunigung von 1 [ ] m s 2 Dimension der Kraft: F = N = kg m s 2 Die Kraft ist indirekt über ihre Wirkung, die Beschleunigung des Körpers, deniert! Dritte Vorlesung Physik für Ingenieure (Maschinenbau) 30.Oktober 2013 Seite 9

10 Beispiel: Federkraftmesser Bestimmung der Gröÿe einer Kraft beispielsweise mit Hilfe von Federkraftmessern. Dritte Vorlesung Physik für Ingenieure (Maschinenbau) 30.Oktober 2013 Seite 10

11 Bsp.:Aufspringen mit gesteckten Beinen Schienbeinbruch bei etwa F = N = 10 5 N Frage: Fallhöhe für Schienenbeinbruch Aufsprungkraft = F Sprung = m a Brems ( ˆ=10 t Gewicht auf gestreckte Beine) Endgeschwindigkeit v bei freien Fall aus Höhe H aus v = gt und H = g 2 t2 v 2 = 2 H g Diese Geschwindigkeit muss auf Null abgebremst werden innerhalb der Stauchungshöhe h 1 cm gemäÿ v 2 = 2 h a Brems (1)+(2) = a Brems = H h g F = m a Brems = 10 5 N = mg [ H h H = 105 N h = m g kg m m s 2 s 2 kg m ] 1, 3 m Daher: Besser in die Knie gehen beim Aufsprung und somit h vergröÿern! Dritte Vorlesung Physik für Ingenieure (Maschinenbau) 30.Oktober 2013 Seite 11

12 Newtonsche Gesetze III Kräfte treten nie alleine auf: 3. Newtonsche Gesetz Übt ein Körper auf einen zweiten Körper einen Kraft aus, so übt der zweite Körper eine gleich groÿe entgegengesetzte Kraft auf den erste Körper aus. F 1 2 = F 2 1 oder auch: actio = reactio Beispiel: Schlag auf den Tisch, Tisch schlägt zurück! Experiment: Verbundene Skateboards Dritte Vorlesung Physik für Ingenieure (Maschinenbau) 30.Oktober 2013 Seite 12

13 Gravitation I Alle massebehafteten Körper ziehen sich an Planeten Strukturen im Weltall aber auch: Körper auf der Erde Eekt bekannt als Gravitation oder auch erste Wechselwirkung Dritte Vorlesung Physik für Ingenieure (Maschinenbau) 30.Oktober 2013 Seite 13

14 Gravitation II Zwischen zwei Körpern der Massen m und M, sowie dem Abstand r wirkt die Gravitationskraft: Newton's Gravitaionsgesetz F 12 = F 21 = F = G m M mit [ ] G = (6, 673±0, 007) N m 2 kg 2 r 2 Wichtige Errungenschaft von Isaac Newton! Ursprung der Naturkonstanten G ist noch unbekannt. = einziger Zugang: Experimente Dritte Vorlesung Physik für Ingenieure (Maschinenbau) 30.Oktober 2013 Seite 14

15 Bestimmung von G Beispielsweise: Bestimmung mit Hilfe des Schwerefeldes der Erde: F = m g = G m M E r 2 E g = G ME r 2 E für Fallhöhe h r E und m M E Änderung des Abstandes zum Mittelpunkt und Auslenkung der Erde vernachlässigbar klein Messung der Beschleunigung g über: x = 1 2 g t2 g = 2 x t 2 G = 2 x t 2 r 2 E ME Vorsicht Zirkelschluss! Erdmassebestimmung nur mit Hilfe von G! Besser Bestimmung mit anderen Methoden (Bsp.: Cavendishe Gravitationswaage) Dritte Vorlesung Physik für Ingenieure (Maschinenbau) 30.Oktober 2013 Seite 15

16 Masse und Gewicht Gewicht Kraft mit der ein Körper der Masse m z.b. von der Erde angezogen wird (Schwerkraft) F schwer = m g Die Masse ist hingegen eine Körpereigenschaft die unabhängig von g ist Bespiel: Gewicht einer Person der Masse m=75 kg Beschleunigung Erde Gewichtskraft Mond Schwerelosigkeit Dritte Vorlesung Physik für Ingenieure (Maschinenbau) 30.Oktober 2013 Seite 16

17 Kräfteaddition I Greifen an einem Körper mehrere Kräfte an, so ergibt sich die resultierende Kraft durch die Vektoraddition dieser Kräfte: F res. = F 1 + F 2 + F F n = n F i i=1 Kräfte-Parallelogramm: Dritte Vorlesung Physik für Ingenieure (Maschinenbau) 30.Oktober 2013 Seite 17

18 Kräfteaddition II Umgekehrt folgt auch, dass sich jede Kraft in Teilkräfte (Komponenten) zerlegen lässt. Bsp.: Schiefe Ebene,ΕΡΚΕΦΞςΜΙΦΩΟςΕϑΞ Dritte Vorlesung Physik für Ingenieure (Maschinenbau) 30.Oktober 2013 Seite 18

19 Arbeit I Arbeit Um einen Körper, an dem eine konstante Kraft F angreift, um eine Srecke s zu verschieben, muss eine Arbeit aufgewendet werden. W = F s }{{} Skalarprodukt = F s cosα Die Einheit der Arbeit ist das Joule J. kg m2 Dimension der Arbeit: [W] = = Nm = J s 2 Bei der Betrachtung der Arbeit ist es also wichtig wie Kraft und Strecke zueinander orientiert sind. Bsp.: Ziehen eines Klotzes unter verschiedenen Winkeln Dritte Vorlesung Physik für Ingenieure (Maschinenbau) 30.Oktober 2013 Seite 19

20 Hubarbeit Dritte Vorlesung Physik für Ingenieure (Maschinenbau) 30.Oktober 2013 Seite 20

21 Verallgemeinerung zur Arbeit Kraft F abhängig vom Ort W = s2 s1 F(s)d s Linienintegral Wenn die Kraft unabhängig vom Weg ist (siehe Hubarbeit im Gravitationskraftfeld) spricht man von einem konservativen oder Zentral-Kraftfeld! Bsp.: Arbeit gegen veränderliche Kraft Zusammendrücken einer Feder 0 Ruhelage dx x 0 Federkonstante D Enspannte Feder entspanne sich bis x=0 Zusammendrücken = gerader Weg, Federkraft antiparallel und veränderlich F = D x dw = D x dx W = x0 0 D x dx = D x0 0 xdx = D [ x 2 2 ] x 0 0 = 1 2 Dx 2 0 Dritte Vorlesung Physik für Ingenieure (Maschinenbau) 30.Oktober 2013 Seite 21

22 Beschleunigungsarbeit Beim Beschleunigen einer Masse m von v = 0 auf v = v end muss Arbeit verrichtet werden gegen die Trägheitskraft F = m a Für die Beschleungungsstecke folgt aus den Bewegungsgleichungen: v end = a t und s = a 2 t2 t = v end a = s = a ( v end ) 2 2 a = 1 v 2 end 2 a Eingesetz in die Gleichung für die Arbeit folgt: W = F s = m a 1 2 v 2 end a = 1 2 mv 2 end Bsp.: PKW (1500 kg) von 0 auf 180 km /hˆ=50 m /s W PKW = 1 ( kg 50 m ) 2 m 2 = kg = 1, s s 2 875MJ Dritte Vorlesung Physik für Ingenieure (Maschinenbau) 30.Oktober 2013 Seite 22

23 Leistung Leistung Unter dem Begri der Leistung versteht man die pro Zeiteinheit geleistete Arbeit eines Systems. P = dw dt Die Einheit der Leistung ist das Watt W. [P] = kg m2 s 3 veraltete Einheit: Pferdestärke 1 PS ˆ 735 W Bsp.: = Ẇ = N m = J s s = W Dauerleistung eines Bergsteigers (m=75 kg) 2000 Höhenmeter in 4 Stunden: P = W t = 75 kg 10 m / s m 104 W s kurzzeitiges Treppensteigen 2 Meter in 2 Sekunden: P = W t = 75 kg 10 m / s 2 2 m 2 s = 750 W Dritte Vorlesung Physik für Ingenieure (Maschinenbau) 30.Oktober 2013 Seite 23

24 Energie Eng mit dem Begri der Arbeit ist die Energie verbunden. Die Energie E bezeichnet dabei den Vorrat an Arbeitsvermögen. Die Dimension der Energie ist ebenfalls das Joule. [Energie E] = [Arbeit W] = J Bsp.: Lageenergie oder potentielle Energie kinetische Energie E kin = 1 2 mv 2 hat ein Minimum bei v=0 m /s, nämlich 0 J potentielle Energie im Schwerefeld der Erde E pot = mgh Nullpunkt wird willkürlich/dem Problem entsprechend gewählt. Auch negative Werte möglich! Dritte Vorlesung Physik für Ingenieure (Maschinenbau) 30.Oktober 2013 Seite 24

25 Umwandlung von Energie Energieerhaltung Die Energie E, eines abgeschlossenen Systems, ist eine Erhaltungsgröÿe, dass heiÿt sie kann in andere Energieformen umgewandelt werden, jedoch nicht vernichtet oder aus dem Nichts erschaen werden. Bsp.: Freier Fall einer Masse m=1 kg aus 2 m Höhe Potentielle (Lage-)Energie kinetische (Bewegungs-)Energie Energieerhaltung: E pot + E kin = mgh+ 1 2 mv 2 = E tot = konst. Höhe potentielle Energie kinetische Energie Geschwindigkeit v 10 m 5 m 0 m Dritte Vorlesung Physik für Ingenieure (Maschinenbau) 30.Oktober 2013 Seite 25

26 Exkurs: Fluchtgeschwindigkeit Im Folgenden möchten wir kurz betrachten, welche Geschwindigkeit ein Objekt haben müsste um dem Gravitationsfeld der Erde zu entkommen. Dritte Vorlesung Physik für Ingenieure (Maschinenbau) 30.Oktober 2013 Seite 26

27 Beispiel:Columbiade In dem Roman 'Die Reise von der Erde zum Mond' will Jules Verne seine Protagonisten mit einer Kanone zum Mond schieÿen. Der Lauf dieser Kanone beträgt 270 m. Können Jules Vernes Astronauten diesen Start überleben? Dritte Vorlesung Physik für Ingenieure (Maschinenbau) 30.Oktober 2013 Seite 27