Faszination Finanzmathematik Aufgaben, Prinzipien und Methoden

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1 Interdisziplinäres Seminar Der Mathematische Blick, Faszination Finanzmathematik Aufgaben, Prinzipien und Methoden Ralf Korn 1. Was ist Finanzmathematik? 2. Risiko modellieren, nutzen, beschränken: Optimales Investment 3. Der Erwartungswert-Varianz-Ansatz im Ein-Perioden-Modell 4. Optionsbewertung Einfache Modelle und Prinzipien 5. Moderne Finanzmathematik in Praxis und Forschung

2 0. Was habe ich im Blick?

3 0. Was habe ich im Blick? Risiko, genauer: Finanzielles Risiko

4 0. Was habe ich im Blick? Risiko, genauer: Finanzielles Risiko Ziel: Mathematische Beschreibung ( Modellierung ) des Versicherung ( Hedging ) gegen Folgen des Ausnutzen ( Portfolio-Optimierung ) des Risikos in der Finanzmathematik

5 0. Was habe ich im Blick? Risiko, genauer: Finanzielles Risiko Ziel: Mathematische Beschreibung ( Modellierung ) des Versicherung ( Hedging ) gegen Folgen des Ausnutzen ( Portfolio-Optimierung ) des Risikos in der Finanzmathematik Zusätzlich: Varianten/Anwendungen für den Schulunterricht

6 1. Was ist Finanzmathematik? Financial mathematics Modeling of stock and bond prices Optimal investment (Optimal portfolios) Option pricing Risk management

7 1. Was ist Finanzmathematik? Financial mathematics Modeling of stock and bond prices Optimal investment (Optimal portfolios) Option pricing Risk management Welche Mathematik wird benötigt? Stochastik (insbesondere stochastische Prozesse) Statistik Stochastische Analysis (Itô-Kalkül) (Nicht-lineare) Optimierung Partielle Differerentialgleichungen Stochastische Steuerung (Dynamische Optimierung) Numerische Methoden Monte Carlo Methoden

8 2. Risiko modellieren, nutzen, beschränken: Optimales Investment Gegeben: Anfangskapital X ( 0) ϕ Gesucht: Optimales Endvermögen X ϕ ( T ) Was heißt optimal?

9 2. Risiko modellieren, nutzen, beschränken: Optimales Investment Gegeben: Anfangskapital X ( 0) ϕ Gesucht: Optimales Endvermögen X ϕ ( T ) Was heißt optimal? 1.Idee: Bestimme die Investmentstrategie ϕ *, die zum größten Endvermögen führt, also ϕ* ϕ ( ) = ( ) X T max X T ϕ

10 2. Risiko modellieren, nutzen, beschränken: Optimales Investment Gegeben: Anfangskapital X ( 0) ϕ Gesucht: Optimales Endvermögen X ϕ ( T ) Was heißt optimal? 1.Idee: Bestimme die Investmentstrategie ϕ *, die zum größten Endvermögen führt, also Alternativen: ϕ* ϕ ( ) = ( ) X T max X T ϕ 1,03 1,025 1,02 1,015 1,01 1,005 1 Dax Festgeld 0, Apr. 1. Mai. 31. Mai. 30. Jun. 30. Jul. 29. Aug. 28. Sep.

11 2. Risiko modellieren, nutzen, beschränken: Optimales Investment Gegeben: Anfangskapital X ( 0) ϕ Gesucht: Optimales Endvermögen X ϕ ( T ) Was heißt optimal? 1.Idee: Bestimme die Investmentstrategie ϕ *, die zum größten Endvermögen führt, also ϕ* ϕ ( ) = ( ) X T max X T aber: nur möglich, wenn die Aktienkurse im voraus bekannt wären! ϕ

12 2. Risiko modellieren, nutzen, beschränken: Optimales Investment Gegeben: Anfangskapital X ( 0) ϕ Gesucht: Optimales Endvermögen X ϕ ( T ) Was heißt optimal? 1.Idee: Bestimme die Investmentstrategie ϕ *, die zum größten Endvermögen führt, also ϕ* ϕ ( ) = ( ) X T max X T aber: nur möglich, wenn die Aktienkurse im voraus bekannt wären! ϕ 2.Idee: Bestimme die Investmentstrategie ϕ *, die zum größten erwarteten Endvermögen führt, also ϕ* ϕ ( ( )) = ( ) ( ) E X T max E X T ϕ

13 2. Risiko modellieren, nutzen, beschränken: Optimales Investment Gegeben: Anfangskapital X ( 0) ϕ Gesucht: Optimales Endvermögen X ϕ ( T ) Was heißt optimal? 1.Idee: Bestimme die Investmentstrategie ϕ *, die zum größten Endvermögen führt, also ϕ* ϕ ( ) = ( ) X T max X T aber: nur möglich, wenn die Aktienkurse im voraus bekannt wären! ϕ 2.Idee: Bestimme die Investmentstrategie ϕ *, die zum größten erwarteten Endvermögen führt, also ϕ* ϕ ( ( )) = ( ) ( ) E X T max E X T ϕ aber: führt zum Investment des gesamten Kapitals in die Aktie mit der höchsten erwarteten Rendite hohes Risiko, sehr riskante Strategie Also: Finde (und löse!) eine Aufgabenstellung, bei der sowohl das Risiko als auch der (mittlere) Ertrag angemessen berücksichtigt werden

14 3. Der Erwartungswert-Varianz-Ansatz im Ein-Perioden-Modell Markowitz (1952, 59): Wähle als Risikomaß die Varianz der Portfolio-Rendite und maximiere den Erwartungswert der Portfolio-Rendite bei beschränkter Varianz Genauer: R ( ) P T p i i i = Rendite des i. Wertpapiers mit µ i = E ( Ri ), σ ij = Cov( Ri, R j ), pi ( ) π= π,..., π ' Portfoliovektor 1 d R π π ( T) X d = = πiri Portfoliorendite mit x π ( ) E R i= 1 d π π iµ i π ' µ, Var( R ) i= 1 = = d = π σ π = π' σπ i, j= 1 i ij j Maximiere den erwarteten Ertrag bei beschränkter Varianz (EV) d max π ' µ NB.: π 0, π= 1, π' σπ C π R d i i= 1 i

15 Ein einfaches Beispiel: DAX oder Sparbuch? Daten: Zeithorizont 1 Jahr Sparzins: 5 % DAXdaten: 20 % mittlere Rendite 15 % Standardabweichung ( Volatilität ) Alternativen: 1,03 1,025 1,02 1,015 1,01 1,005 1 Dax Festgeld 0, Apr. 1. Mai. 31. Mai. 30. Jun. 30. Jul. 29. Aug. 28. Sep.

16 Ein einfaches Beispiel: DAX oder Sparbuch? Daten: Zeithorizont 1 Jahr Sparzins: 5 % DAXdaten: 20 % mittlere Rendite 15 % Standardabweichung ( Volatilität ) Portfoliovektor ( π, π) = ( π,1 π) π ( ) ( ) ( ) E R π µ 1 π µ µ µ π µ 0, 15 π 0, 20 Var R = + = + = + =: ( ) π 2 ( ) = + 2 ( 1 ) + ( 1 ) π σ π π σ π σ ( 1 π) σ 0, 0225 ( π 2π 1) : f( π) = = + = g π, 1

17 Ein einfaches Beispiel: DAX oder Sparbuch? Daten: Zeithorizont 1 Jahr Sparzins: 5 % DAXdaten: 20 % mittlere Rendite 15 % Standardabweichung ( Volatilität ) Portfoliovektor ( π, π) = ( π,1 π) π ( ) ( ) ( ) E R π µ 1 π µ µ µ π µ 0, 15 π 0, 20 Var R = + = + = + =: ( ) π 2 ( ) = + 2 ( 1 ) + ( 1 ) π σ π π σ π σ ( 1 π) σ 0, 0225 ( π 2π 1) : f( π) = = + = Die Lösung des Problems (EV) ist folglich dazu äquivalent zunächst alle Punkte aus [0, 1] zu finden, für die f( π) 1 c gilt, (Betrachtung der Werte einer nach oben geöffneten Parabel) dann das Maximum einer Geraden über diesem Bereich zu finden. g π, 1

18 Ein einfaches Beispiel: DAX oder Sparbuch? Daten: Zeithorizont 1 Jahr Sparzins: 5 % DAXdaten: 20 % mittlere Rendite 15 % Standardabweichung ( Volatilität ) Portfoliovektor ( π, π) = ( π,1 π) π ( ) ( ) ( ) E R π µ 1 π µ µ µ π µ 0, 15 π 0, 20 Var R = + = + = + =: ( ) π 2 ( ) = + 2 ( 1 ) + ( 1 ) π σ π π σ π σ ( 1 π) σ 0, 0225 ( π 2π 1) : f( π) = = + = Die Lösung des Problems (EV) ist folglich dazu äquivalent zunächst alle Punkte aus [0, 1] zu finden, für die f( π) 1 c gilt, (Betrachtung der Werte einer nach oben geöffneten Parabel) dann das Maximum einer Geraden über diesem Bereich zu finden. Kann analytisch und (empfehlenswert!) graphisch gelöst werden. g π, 1

19 Graphisches Beispiel Daten: µ = 0.05, µ = 0.20, σ = σ = σ = 0, σ = 0.15 = , c = 0,

20 Graphisches Beispiel Daten: µ = 0.05, µ = 0.20, σ = σ = σ = 0, σ = 0.15 = , c = 0, Zugehörige Bilder: Varianzfunktion und Nebenbedingung 2 0,025 0,02 0,015 0,01 f(p1) NB 0, ,2 0,4 0,6 0,8 1 Zulässiger Bereich für π 1

21 Graphisches Beispiel Daten: µ = 0.05, µ = 0.20, σ = σ = σ = 0, σ = 0.15 = , c = 0, Zugehörige Bilder: 2 Varianzfunktion und Nebenbedingung Zielfunktion und zulässiger Bereich 0,025 0,25 0,02 0,2 0,015 0,01 f(p1) NB 0,15 0,1 g(p1) 0,005 0, ,2 0,4 0,6 0, ,2 0,4 0,6 0,8 1 Zulässiger Bereich für π 1 Optimale Lösung für π 1 = 0.6 Lösung : π = 0.6, π = 0.4, opt.rendite = 0.11, Varianz =

22 Wie funktioniert das in der Realität? Teils sehr große Portfolios (mit weit über 100 Anlagemöglichkeiten) Große Probleme mit der Schätzung der benötigten Parameter (insbesondere den mittleren Renditen und den Kovarianzen) Varianten von Markowitz mit o Mehrperiodenmodellen o Anderen Risikomaßen als die Varianz o Impliziten Schätzungen der Renditen aus dem Marktgleichgewicht heraus kombiniert mit Expertenwissen (Black-Litterman-Ansatz) o.

23 Wie funktioniert das in der Realität? Teils sehr große Portfolios (mit weit über 100 Anlagemöglichkeiten) Große Probleme mit der Schätzung der benötigten Parameter (insbesondere den mittleren Renditen und den Kovarianzen) Varianten von Markowitz mit o Mehrperiodenmodellen o Anderen Risikomaßen als die Varianz o Impliziten Schätzungen der Renditen aus dem Marktgleichgewicht heraus kombiniert mit Expertenwissen (Black-Litterman-Ansatz) o. Frage: Kann man sich gegen die Risiken des Aktienhandel absichern?

24 4. Optionsbewertung Einfache Modelle und Prinzipien Was sind Optionen?

25 4. Optionsbewertung Einfache Modelle und Prinzipien Was sind Optionen? Verträge, die eine zukünftige Zahlung unsicherer Höhe garantieren Zahlungen hängen von einer zugrunde liegenden Größe ab ( Derivate )

26 4. Optionsbewertung Einfache Modelle und Prinzipien Was sind Optionen? Verträge, die eine zukünftige Zahlung unsicherer Höhe garantieren Zahlungen hängen von einer zugrunde liegenden Größe ab ( Derivate ) Einfachstes Beispiel: a) Eine Europäische Kaufoption ( call ) auf eine Aktie mit Fälligkeit T und Strike K ist ein Vertrag, der seinem Besitzer das Recht (aber nicht die Pflicht!) gibt, in T eine Aktie zum Preis K vom Verkäufer der Option zu erwerben

27 4. Optionsbewertung Einfache Modelle und Prinzipien Was sind Optionen? Verträge, die eine zukünftige Zahlung unsicherer Höhe garantieren Zahlungen hängen von einer zugrunde liegenden Größe ab ( Derivate ) Einfachstes Beispiel: a) Eine Europäische Kaufoption ( call ) auf eine Aktie mit Fälligkeit T und Strike K ist ein Vertrag, der seinem Besitzer das Recht (aber nicht die Pflicht!) gibt, in T eine Aktie zum Preis K vom Verkäufer der Option zu erwerben S T K + ( ) Mathematisch: Identifiziere die Option mit ihrer Endzahlung von ( )

28 4. Optionsbewertung Einfache Modelle und Prinzipien Was sind Optionen? Verträge, die eine zukünftige Zahlung unsicherer Höhe garantieren Zahlungen hängen von einer zugrunde liegenden Größe ab ( Derivate ) Einfachstes Beispiel: a) Eine Europäische Kaufoption ( call ) auf eine Aktie mit Fälligkeit T und Strike K ist ein Vertrag, der seinem Besitzer das Recht (aber nicht die Pflicht!) gibt, in T eine Aktie zum Preis K vom Verkäufer der Option zu erwerben S T K + ( ) Mathematisch: Identifiziere die Option mit ihrer Endzahlung von ( ) b) Eine Europäische Verkaufsoption ( put ) auf eine Aktie mit Fälligkeit T und Strike K ist ein Vertrag, der seinem Besitzer das Recht (aber nicht die Pflicht!) gibt, in T eine Aktie zum Preis K an den Verkäufer der Option zu verkaufen K S T + ( ) Mathematisch: Identifiziere die Option mit ihrer Endzahlung von ( ) (Schulanwendung: Abschnittsweise definierte Funktionen)

29 Händler denken oft graphisch (Schüler auch...): Payoffdiagramme Call Put Optionszahlung Optionszahlung ( ( T ) K ) + P 1 K ( P ( T )) + K 1 K Aktienpreis K Aktienpreis

30 Weitere Beispiele: Amerikanische Optionen Exotische Optionen ( K ) o Barriereoptionen z.b. S ( T ) 1 o Asiatische Optionen z.b. ( ) o Cliquet-Optionen + i 1 { S( t) > H t 0, T } in T T S t dt K T in T 0 + ( i ) S ( ti 1 ) S ( t ) n S t P + max min max min αi, Ci, Fi, C, F in T i= 1 i 1 n B = αisi T K i= 1 o Basket Optionen z.b. ( ) und nahezu beliebig viele weitere, komplexe Beispiele... +

31 Warum handelt man mit Optionen?

32 Warum handelt man mit Optionen? - Absicherungfunktion - Spekulationsfunktion

33 Warum handelt man mit Optionen? - Absicherungfunktion - Spekulationsfunktion Absicherung: Wirkung eines Puts im Portfolio aus Aktie + Put mit Strike K Zahlungen K Portfolio Aktie Put K Aktienkurs

34 Warum handelt man mit Optionen? - Absicherungfunktion - Spekulationsfunktion Absicherung: Wirkung eines Puts im Portfolio aus Aktie + Put mit Strike K Zahlungen K Portfolio Aktie Put K Aktienkurs Schulanwendung: Konstruktion gewünschter Zahlungsprofile ( Legobaukasten )

35 Warum handelt man mit Optionen? - Absicherungfunktion - Spekulationsfunktion Absicherung: Wirkung eines Puts im Portfolio aus Aktie + Put mit Strike K Zahlungen K Portfolio Aktie Put K Aktienkurs Schulanwendung: Konstruktion gewünschter Zahlungsprofile ( Legobaukasten ) Praxisanwendung: Gasanstalt-Aktienverkauf der Stadt Kaiserslautern an die Stadtsparkasse

36 Was kosten Optionen?

37 Was kosten Optionen? Einfachstes Beispiel: Ein-Perioden-Binomial Modell Optionsbeispiel: (Europ.) Calloption auf eine Aktie mit Strike K=100 (keine Zinsen) Aktienpreise: Optionszahlung : t = 0 t=t t=t 0, ,2 95 0

38 Was kosten Optionen? Einfachstes Beispiel: Ein-Perioden-Binomial Modell Optionsbeispiel: (Europ.) Calloption auf eine Aktie mit Strike K=100 (keine Zinsen) Aktienpreise: Optionszahlung : t = 0 t=t t=t 0, , Preisvorschlag für die Calloption:? E(Optionszahlung) = 0, ,2 0 = 16

39 Was kosten Optionen? Einfachstes Beispiel: Ein-Perioden-Binomial Modell Optionsbeispiel: (Europ.) Calloption auf eine Aktie mit Strike K=100 (keine Zinsen) Aktienpreise: Optionszahlung : t = 0 t=t t=t 0, , Preisvorschlag für die Calloption:? E(Optionszahlung) = 0, ,2 0 = 16 => im allgemeinen der falsche Preis!!!! h

40 Was kosten Optionen? Einfachstes Beispiel: Ein-Perioden-Binomial Modell Optionsbeispiel: (Europ.) Calloption auf eine Aktie mit Strike K=100 (keine Zinsen) Aktienpreise: Optionszahlung : t = 0 t=t t=t 0, , Preisvorschlag für die Calloption:? E(Optionszahlung) = 0, ,2 0 = 16 => im allgemeinen der falsche Preis!!!! Warum???

41 Hauptgrund: Annahme der Arbitragefreiheit Es existiert keine Möglichkeit eines risikolosen Gewinns ohne Einsatz eigenen Kapitals.

42 Hauptgrund: Annahme der Arbitragefreiheit Es existiert keine Möglichkeit eines risikolosen Gewinns ohne Einsatz eigenen Kapitals. Eine Arbitragemöglichkeit ist eine Investmentstrategie mit Startvermögen X(0) = 0 und einem Endvermögen von X(T ) im Zeithorizont T mit X(T ) 0, P( X(T ) > 0) > 0.

43 Hauptgrund: Annahme der Arbitragefreiheit Es existiert keine Möglichkeit eines risikolosen Gewinns ohne Einsatz eigenen Kapitals. Eine Arbitragemöglichkeit ist eine Investmentstrategie mit Startvermögen X(0) = 0 und einem Endvermögen von X(T ) im Zeithorizont T mit X(T ) 0, P( X(T ) > 0) > 0. Typische Beispiele von Arbitragemöglichkeiten: Kostenlose Lose oder Lottoscheine Kostenloses Essen (wirklich?) Weitere Beispiele?

44 Hauptgrund: Annahme der Arbitragefreiheit Es existiert keine Möglichkeit eines risikolosen Gewinns ohne Einsatz eigenen Kapitals. Eine Arbitragemöglichkeit ist eine Investmentstrategie mit Startvermögen X(0) = 0 und einem Endvermögen von X(T ) im Zeithorizont T mit X(T ) 0, P( X(T ) > 0) > 0. Typische Beispiele von Arbitragemöglichkeiten: Kostenlose Lose oder Lottoscheine Kostenloses Essen (wirklich?) Weitere Beispiele? Wie lässt sich das Arbitrageprinzip bei der Optionsbewertung umsetzen?

45 Duplikationsprinzip und Arbitrageprinzip: Sind zwei Zahlungsströme in der Zukunft identisch, so haben sie auch heute den gleichen Wert.

46 Duplikationsprinzip und Arbitrageprinzip: Sind zwei Zahlungsströme in der Zukunft identisch, so haben sie auch heute den gleichen Wert. Anwendung auf das Optionsbewertungsproblem: ψ, in Bargeld (oder: festverzinslichem Investment) und Aktie duplizieren, so gilt: Der Optionspreis muss mit dem Anfangsvermögen übereinstimmen, das zum Verfolgen der Duplikationsstrategie benötigt wird. Kann man die Endzahlung der Option exakt durch eine Handelsstrategie ( ϕ)

47 Duplikationsprinzip und Arbitrageprinzip: Sind zwei Zahlungsströme in der Zukunft identisch, so haben sie auch heute den gleichen Wert. Anwendung auf das Optionsbewertungsproblem: ψ, in Bargeld (oder: festverzinslichem Investment) und Aktie duplizieren, so gilt: Der Optionspreis muss mit dem Anfangsvermögen übereinstimmen, das zum Verfolgen der Duplikationsstrategie benötigt wird. Kann man die Endzahlung der Option exakt durch eine Handelsstrategie ( ϕ) Im Beispiel: ψ, ϕ with Finde ( ) ψ + 120ϕ = 20 ψ + 95ϕ = 0 ψ = 76 ϕ = 0, 8 Optionspreis= ψ + 100ϕ = 4

48 Duplikationsprinzip und Arbitrageprinzip: Sind zwei Zahlungsströme in der Zukunft identisch, so haben sie auch heute den gleichen Wert. Anwendung auf das Optionsbewertungsproblem: ψ, in Bargeld (oder: festverzinslichem Investment) und Aktie duplizieren, so gilt: Der Optionspreis muss mit dem Anfangsvermögen übereinstimmen, das zum Verfolgen der Duplikationsstrategie benötigt wird. Kann man die Endzahlung der Option exakt durch eine Handelsstrategie ( ϕ) Im Beispiel: ψ, ϕ with Finde ( ) ψ + 120ϕ = 20 ψ + 95ϕ = 0 ψ = 76 ϕ = 0, 8 Optionspreis= ψ + 100ϕ = 4 Interpretation des Optionspreises: Optionspreis = 4 = E P ( T ) 0,2 * ,8* 0 = 20 wobei das Wahrscheinlichkeitsmaß Q durch Q P ( T ) E Q ( P ( T )) = 100 = p gegeben ist. ( + ( ) ) Q 1 ( 1 ) Q( P1 ( T ) ) 1 Q=risiko-neutrales Maß = 120 = 0, 2 = 95 = 0,8 und

49 Anwendungen im Schulunterricht: Lösen einfacher Gleichungssysteme (weitere Optionstypen) Diskussion der neu entstandenen Wahrscheinlichkeiten! Warum liefern andere Preise Arbitragemöglichkeiten? Unterschiede: Preis Gutes/schlechtes Geschäft Verallgemeinerung auf Mehr-Perioden-Binomialmodelle...

50 5. Moderne Finanzmathematik in Praxis und Forschung Bisher vorgestellte Modelle: Ein-Periodenmodelle sind zu einfach (insbes. im Binomialfall) Mehr-Perioden-Verallgemeinerungen werden schnell sehr aufwändig (warum???) Dynamik des Aktienpreises und der Entscheidungsmöglichkeiten fehlt ALLIANZ (XETRA) Okt Dez Feb Mrz Mai Jul Aug Okt 98

51 ALLIANZ (XETRA) Okt Dez Feb Mrz Mai Jul Aug Okt 98 Beachte: Irreguläre Bewegung im Zeitablauf ( Nicht-glatt ) (lokal) keine vorhersehbare Tendenz, Fluktuationen dominieren

52 ALLIANZ (XETRA) Okt Dez Feb Mrz Mai Jul Aug Okt 98 Beachte: Irreguläre Bewegung im Zeitablauf ( Nicht-glatt ) (lokal) keine vorhersehbare Tendenz, Fluktuationen dominieren Notwendig: Zeitstetige Preismodellierung (Geeignete stochastische Prozesse!) Zeitstetige Modellierung der Handelsstrategien (Keine Prophetengaben..) Übertragung der finanzmathematischen Prinzipien (Risiko, Arbitrage, Duplikationsprinzip)

53 Der Black-Scholes Markt -1- Fundamentaler Baustein: Brownsche Bewegung W(t) W ( 0) = 0, W() t W() s N ( 0,t s), stationäre Zuwächse W( u) W() r unabhängig von W() t W() s, s t r u unabhängige Zuwächse Eigenschaften: nirgends differenzierbar Pfade haben unendliche Länge Brownsche Bewegung modelliert den Zufallseinfluss (mehrdim. Verallgemeinerung einfach), Itô-Kalkül notwendig

54 Der Black-Scholes Markt -2- Aktienpreis (einfachstes Modell): Geometrische Brownsche Bewegung ( ) 2 () ( 0) 1 ( σ) σ () = +, () S t S exp b t W t ( ) = ( ) ( ) E S t S exp b t relativ gute Approximation der realen Welt (wenn auch verbesserbar!)

55 Das Duplikationsprinzip im Black-Scholes-Markt Satz: Optionsbewertung im Black-Scholes-Modell a) Im allgemeinen Black-Scholes-Modell (n Aktien, n-dimensionale Brownsche Bewegung) kann jede beliebige (europäische) Endzahlung B durch das Verfolgen einer geeigneten Handelsstrategie im Bond und den n Aktien exakt (!) dupliziert werden ( Vollständigkeit des Marktes ). b) Im allgemeinen Black-Scholes-Modell ist der eindeutige Preis einer Option mit Endzahlung B gegeben durch Q rt ( ) E e B Hierbei ist das Maß Q eindeutig durch die Tatsache bestimmt, dass für alle Wertpapiere unter Q gilt. rt ( ()) E S t = s e ( risiko-neutrale Bewertung ) Q i i

56 Direkte Anwendung des Satzes auf Calls und Puts: Satz: Die Black-Scholes-Formel (Fall n=1) a) Der Preis eines europäischen Calls mit Fälligkeit T und Strike K ist zur Zeit t gegeben durch () S t ( σ )( ) ( σ )( ) S() t 2 1 S() t 1 2 ln + r+ K 2 T t ln + r K 2 T t r( T t) Φ Ke Φ σ T t σ T t, wobei Φ (.) die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung ist. b) Der Preis eines europäischen Puts mit Fälligkeit T und Strike K ist zur Zeit t gegeben durch Ke ( t) r T ( σ )( ) ( σ)( ) S() t 1 2 S() t 1 2 ln r K 2 T t ln r K 2 T t Φ S() t Φ σ T t σ T t. Beachte: Der Driftparameter b der Aktie geht nicht in den Preis ein!

57 Erfolg des Black-Scholes-Modells und der Black-Scholes-Formel Beides sind in Forschung und Praxis akzeptierte Benchmarks (neue Modelle/Formeln müssen besser sein und BS-Modell als Spezialfall enthalten) Haupterfolgsgrund bei BS-Formel: Unabhängigkeit von b Nobelpreis 1997 für Robert Merton und Myron Scholes für ihre Arbeiten zur Black- Scholes-Formel (heißt seit dem Black-Scholes-Merton-Formel )

58 Erfolg des Black-Scholes-Modells und der Black-Scholes-Formel Beides sind in Forschung und Praxis akzeptierte Benchmarks (neue Modelle/Formeln müssen besser sein und BS-Modell als Spezialfall enthalten) Haupterfolgsgrund bei BS-Formel: Unabhängigkeit von b Nobelpreis 1997 für Robert Merton und Myron Scholes für ihre Arbeiten zur Black- Scholes-Formel (heißt seit dem Black-Scholes-Merton-Formel ) Kritik am Black-Scholes-Modell Normalverteilungsannahme kann keine extremen Schwankungen ( Crashs ) erklären Volatilitätsclustering wird beobachtet, nicht durch BS-Modell erklärbar...

59 Forschungsaspekte: Geeignete(re) Aktienpreismodelle: Stochastische Volatilität, Lévy Modelle,... Schnelle und genaue Algorithmen zur Bewertung komplexer, pfadbahängiger Optionen Kreditderivate, Modellierung hochdimensionaler Abhängigkeiten Parameterschätzung (wenig Beobachtungen, hohe Genauigkeit) Umsetzung zeitstetiger Portfolio-Optimierungsmethoden... Umsetzung in Industrieprojekten im Fraunhofer ITWM

60 Forschungsaspekte: Geeignete(re) Aktienpreismodelle: Stochastische Volatilität, Lévy Modelle,... Schnelle und genaue Algorithmen zur Bewertung komplexer, pfadbahängiger Optionen Kreditderivate, Modellierung hochdimensionaler Abhängigkeiten Parameterschätzung (wenig Beobachtungen, hohe Genauigkeit) Umsetzung zeitstetiger Portfolio-Optimierungsmethoden... Umsetzung in Industrieprojekten im Fraunhofer ITWM (Weitere) Aspekte für den Schulunterricht: Approximation der Normalverteilung durch die Binomialverteilung (Zentraler Grenzwertsatz Binomialmodell Black-Scholes-Modell ) Monte Carlo Simulation zur Berechnung von Optionspreisen (Starkes Gesetz der großen Zahl) Spannendes und aktuelles Thema für interdisziplinären Unterricht!

61 und bitte bedenken:

62 und bitte bedenken: o Es gibt keine Arbitragemöglichkeit (und das ist auch gut so!)

63 und bitte bedenken: o Es gibt keine Arbitragemöglichkeit (und das ist auch gut so!) o Es ist gut, nicht alles auf ein Pferd zu setzen

64 und bitte bedenken: o Es gibt keine Arbitragemöglichkeit (und das ist auch gut so!) o Es ist gut, nicht alles auf ein Pferd zu setzen o Verwirrende Angebote sind selten gut, aber oft teuer

65 und bitte bedenken: o Es gibt keine Arbitragemöglichkeit (und das ist auch gut so!) o Es ist gut, nicht alles auf ein Pferd zu setzen o Verwirrende Angebote sind selten gut, aber oft teuer o Das Argument Die Modelle waren falsch ist eine gern genommene, aber fast immer falsche Ausrede

66 und bitte bedenken: o Es gibt keine Arbitragemöglichkeit (und das ist auch gut so!) o Es ist gut, nicht alles auf ein Pferd zu setzen o Verwirrende Angebote sind selten gut, aber oft teuer o Das Argument Die Modelle waren falsch ist eine gern genommene, aber fast immer falsche Ausrede o Nicht jeder, der unverständliche Begriffe benutzt, hat auch verstanden, was er am Finanzmarkt tut