Streudiagramme und Korrelation

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1 Streudiagramme und Korrelation Worum geht es in diesem Modul? Streudiagramme Vier-Quadranten-Schema Kovarianz Korrelationskoeffizient Scheinkorrelation Rangkorrelation Worum geht es in diesem Modul? Bisher haben wir den Zusammenhang von bivariaten, nominal skalierten Daten über Kontingenztafeln betrachtet und anhand des Phi-Koeffizienten beurteilt. Wenn uns kardinal skalierte Werte vorliegen, können wir bivariate Daten grafisch im sogenannten Streudiagramm darstellen. Das Streudiagramm vermittelt uns einen ersten Eindruck über den Zusammenhang der dargestellten Merkmale. Ferner lernen wir für kardinal skalierte Merkmale zwei weitere Zusammenhangsmaße kennen: den Korrelationskoeffizienten und den Rangkorrelationskoeffizienten. Die Basis für beide ist die Kovarianz, die zuerst vorgestellt wird. Streudiagramme Streudiagramm für bivariate Daten In verschiedenen US-Magazinen wurden Werbeanzeigen hinsichtlich ihrer Lesbarkeit ausgewertet. Unter anderem wurden die Anzahlen von Sätzen und Wörtern ausgezählt. Lange Sätze sind schwerer zu lesen als kurze; viele Wörter bedeuten einen langen und eher anspruchsvollen Anzeigetext. Es liegt auf der Hand, dass beide Variablen zusammenhängen. Allerdings ist nicht von vornherein klar, in welcher Weise sie das tun. Sind bei einem bivariaten Datensatz die beobachteten Variablen und wie in der eben angesprochenen Situation kardinal skaliert und sind ihre Werte größtenteils verschieden, so erfolgt die grafische Darstellung am geeignetsten in einem Streudiagramm. Ein Streudiagramm für bivariate Daten besteht aus einem zweidimensionalen Page 1

2 Koordinatensystem, in das die Ausprägungspaare als Punkte eingezeichnet werden. Die Wertepaare im Koordinatenkreuz bilden eine Punktwolke, aus der erste Hinweise auf Zusammenhänge zwischen den beiden Merkmalen ablesbar sind. Link zur Erstellung eines Streudiagramms im Labor ( a24.spf )! Im Streudiagramm zu den Sätzen und Wörtern in Werbeanzeigen zeigt sich ein plausibler Zusammenhang: Mit der Anzahl der Sätze steigt die Anzahl der Wörter. Die genauere Betrachtung zeigt aber, dass diese Tendenz nur für einen Teil der Daten gilt. Wenn die Anzahl der Sätze eine gewisse Grenze erreicht haben, steigt die Anzahl der Wörter nicht weiter an. Die Sätze sind dann offensichtlich kürzer gehalten, um die Lesbarkeit nicht zu gefährden. Streudiagramme für dreidimensionale Datensätze Liegen mehr als zwei kardinal skalierte Variablen vor, so ist eine einfache grafische Darstellung nicht mehr ohne weiteres möglich. Haben zwei der Variablen viele verschiedene Werte und spielt die dritte eher die Rolle einer Gruppierungsvariablen, so lässt sich eine Berücksichtigung der dritten Variablen etwa über eine Einfärbung erreichen. Bei den Werbeanzeigen der US-amerikanischen Magazine wurde eine Klassifikation in drei Gruppen vorgenommen, entsprechend dem Bildungsanspruch der Magazine. Werden die Punkte entsprechend unterschiedlich eingefärbt, so erhalten wir das folgende Streudiagramm. Hier sind die Magazine mit dem höchsten Anspruchsniveau rot, die mit mittlerem blau und die restlichen schwarz markiert. Wie zu sehen ist, überlappen sich die drei Magazin-Gruppen bzgl. der untersuchten Merkmale von Werbeanzeigen stark. Lesbarkeit von Werbeanzeigen Quelle: eigene Berechnungen Bei drei Variablen, bei denen alle im wesentlichen unterschiedliche Werte aufweisen, kann noch ein dreidimensionales Streudiagramm erstellt werden. Hier ist aber die Möglichkeit wesentlich, dieses zu drehen, damit verschiedene Perspektiven ermöglicht werden. Sonst wäre der Eindruck ungenügend. Dies kann mit dem Applet Dreidimensionales Streudiagramm (a35.jar) ausprobiert werden. Streudiagramme für höherdimensionale Datensätze Bei mehr als drei Dimensionen ist eine direkte Darstellung nicht mehr möglich. Als Ersatz können wir auf die grafische Darstellung von je zwei Merkmalen zurückgreifen. Für jede Kombination von zwei Variablen werden somit Streudiagramme gezeichnet. Die bivariaten Streudiagramme werden dazu in einem rechteckigen Schema angeordnet, so dass jedes Merkmal einmal in der Zeile und einmal in der Spalte vorkommt. Die Merkmale der Zeilen werden auf der Abszisse (x-achse) und die der Spalten auf der Ordinate (y-achse) abgetragen. Sie unterscheiden sich in der Zuordnung der beiden Achsen. Diese Form der Darstellung ist unter dem Namen Streudiagramm-Matrix bekannt. Im Beispiel "Ausgaben für den täglichen Bedarf" ist eine solche Streudiagramm-Matrix abgebildet. Allerdings können wir hier Zusammenhänge, die aus dem Zusammenspiel von mehr als zwei Merkmalen resultieren, nicht mehr erkennen. Page 2

3 Beispiel: Ausgaben für den täglichen Bedarf Bei 20 Haushalten wurden die monatlichen Ausgaben ermittelt für V1= Wohnung, einschl. Heizung und Elektrizität V2=Lebensmittel, einschl. Alkohol und Tabak, V3=Anderes, einschl. Kleidung und langlebige Verbrauchsgüter V4=Dienstleistungen, einschl. Verkehrsmittel und Unterhalt eines Fahrzeuges Dieser vierdimensionale Datensatz führt zur folgenden Streudiagramm-Matrix: Streudiagrammmatrix Quelle: Eigene Berechnungen An den Streudiagrammen ist beispielsweise zu erkennen, dass die Ausgaben für "Anderes, einschl. Kleidung und langlebige Verbrauchsgüter" und " Dienstleistungen" eine gemeinsame Tendenz zeigen. Ist also Geld übrig, so wird es nicht nur für eine Ausgabenart verwendet. Andererseits zeigen die Ausgaben für "Lebensmittel" und "Anderes" keinen offensichtlichen Zusammenhang: Bei geringen Ausgaben für "Anderes" gibt es niedrige und hohe Ausgaben für Lebensmittel. Für die amerikanischen Präsidenten und ihre wichtigsten Mitbewerber wurden die Körpergrößen ermittelt. Wie hängen Körpergröße und Gewinn der Wahlen zusammen? Einen ersten Ansatz zur Beantwortung dieser Frage bietet die Darstellung der Daten in einem Streudiagramm. Labordatei öffnen ( a6f.zmpf ) Vier-Quadranten-Schema Werbeanzeigen Bei den Werbeanzeigen ist im Streudiagramm zu sehen, dass die Anzahlen von Wörtern und Sätzen eine gleichgerichtete Tendenz aufweisen. Wir wollen diesen bildlichen Eindruck präzisieren. Dazu werden in das Streudiagramm zusätzlich Parallelen zu den Achsen durch die arithmetischen Mittel der betrachteten Merkmale eingezeichnet. Der Schnittpunkt dieser beiden Geraden mit den Koordinaten ist der Schwerpunkt der bivariaten Verteilung. Dies ist die Verallgemeinerung der für bivariate Daten. Die so entstandenen vier Teilbereiche werden gegen den Uhrzeigersinn - rechts oben beginnend - als I. bis IV. Quadrant bezeichnet. Satz/Wort/ mit Hilfslinien Quelle: Eigene Berechnungen Wir können anhand der Hilfslinien feststellen, dass der überwiegende Teil der Punkte im ersten und dritten Quadranten liegt. Dies ist offensichtlich Ausdruck der "gleichgerichteten Tendenz". Allgemeine Beurteilung Allgemein gilt: Liegen die Punkte des Streudiagramms hauptsächlich im - I. + III. Quadranten, so deutet dies auf einen positiven Zusammenhang zwischen den Merkmalen hin; mit steigenden Werten von steigen auch die Werte von. Page 3

4 - II. + IV. Quadranten, so deutet dies auf einen negativen Zusammenhang zwischen den Merkmalen hin; mit steigenden Werten von fallen die Werte von. - Verteilen sich die Punkte mehr oder weniger gleichmäßig auf alle vier Quadranten, deutet das daraufhin, dass kein Zusammenhang zwischen den Merkmalen besteht. Die Punktewolke hat eine diffuse Gestalt. Strukturen im Vier-Quadranten Schema Quelle: Statistik interaktiv! Kovarianz Bestimmung der Kovarianz Das Vier-Quadranten-Schema führt auf die Kovarianz als Zusammenhangsmaß zweier Merkmale. Dies wird in der : Flashanimation ' Animation Kovarianz ' siehe Online-Version dargestellt. Die Kovarianz basiert auf demselben Prinzip wie die. Diese baut auf den quadrierten Abweichungen einzelner Daten vom Schwerpunkt des Datensatzes, dem arithmetischen Mittel, auf. Bei der Kovarianz werden die Abstände der Beobachtungspaare von den zugehörigen arithmetischen Mitteln genommen. Weiter treten die Produkte der Abweichungen an die Stelle der Abweichungsquadrate. Anschließend werden die Ergebnisse aller Ausprägungspaare addiert und durch geteilt: Bedingung für die Berechnung ist, dass beide Merkmale ein kardinales Skalenniveau haben. Interpretation der Kovarianz Die Kovarianz wird durch das Vier-Quadranten-Schema verdeutlicht: Es besteht: - ein positiver Zusammenhang, wenn die Punkte hauptsächlich im I. und III. Quadranten liegen; dann ist. - ein negativer Zusammenhang, wenn die Punkte hauptsächlich im II. und IV. Quadranten liegen; dann ist. - kein Zusammenhang, wenn die Punkte etwa gleichmäßig in allen vier Quadranten liegen; dann gilt. Umgekehrt kann man aus nicht schließen, dass zwischen den Merkmalen kein Zusammenhang besteht. Einmal hängt der Betrag der Kovarianz stark von der jeweiligen Skalierung der Merkmale ab; zum anderen gibt es Zusammenhänge zwischen zwei Merkmalen, die sich nicht unbedingt durch die Kovarianz erfassen lassen. Eigenschaften der Kovarianz Die Kovarianz hängt wesentlich von der Maßeinheit der Variablen ab. Der Wert der Kovarianz für den Zusammenhang zwischen Gewicht und Körpergröße wird um das 100fache größer, wenn die Körpergröße statt in Metern in Zentimetern angegeben wird! Denn der Wechsel der Maßeinheit von Meter zu Zentimeter bedeutet, dass die Werte mit 100 multipliziert werden. Dies führt auch zu der entsprechenden Vergrößerung der Kovarianz: Page 4

5 Entsprechend gilt auch Verschiebungen wirken sich dagegen nicht auf die Kovarianz aus:. Beispiel: Besuch des Acadia National Park, Maine Ein Wanderer möchte in der Zeit zwischen April und September den schönen Acadia-Nationalpark in Maine, USA, besuchen. Zur Vorbereitung sucht er sich eine Klimatabelle, damit er die richtige Ausstattung einpacken kann. Monat Temperatur durchschnittl. Höchstwert ( F) Temperatur durchschnittl. Durchschnittl. Tiefstwert ( F) Niederschlag (inch) APRIL MAI JUNI JULI AUGUST SEPTEMBER Der Zusammenhang zwischen der Temperatur und der Niederschlagshöhe wird durch die Kovarianz bestimmt. Bezeichnen wir die Variablen mit = Durchschnittl. Höchstwert, = Durchschnittl. Tiefstwert und = Durchschnittl. Niederschlag, so stellt sich der Zusammenhang folgendermaßen dar: Die Temperaturangaben sind in Fahrenheit. Sie sind in unsere gewohnten Grad Celsius zu konvertieren. 32 F entspricht dem Gefrierpunkt des Wassers, 212 F dem Siedepunkt. Die benötigte Transformation lautet daher: Die Niederschlagshöhe ist in Inch angegeben. Die Umrechnung hat in Millimeter zu erfolgen. Da 1 Inch 25.4 mm entsprechen, sind die Angaben mit 25.4 zu multiplizieren. Die Umrechnungen ergeben also: Monat Temperatur durchschnittl. Höchstwert ( C) Temperatur durchschnittl. Durchschnittl. Tiefstwert ( C) Niederschlag (mm) APRIL MAI JUNI Page 5

6 JULI AUGUST SEPTEMBER Für den Zusammenhang erhalten wir: In der Tendenz werden den Wanderer entweder eine höhere Temperatur mit weniger Regen oder eine niedrigere Temperatur mit mehr Regen erwarten. Zur Berechnung der Kovarianz im Labor: Labordatei öffnen ( c3c.spf ) Beispiel: Quadratischer Zusammenhang In der angegebenen Tabelle gilt. Damit herrscht zwischen den beiden Variablen und eine perfekte Beziehung. Dennoch ist die Kovarianz null: Die Beziehung ist nichtlinear. Korrelationskoeffizient Definition des Korrelationskoeffizienten Die dargestellte Abhängigkeit von der Maßeinheit der Merkmale ist der wesentliche Grund, dass die Kovarianz nur begrenzte Aussagekraft über die Stärke eines Zusammenhangs zwischen den Merkmalen hat. Dies wird bei dem Korrelationskoeffizienten vermieden. Das wird erreicht, indem die Kovarianz der standardisierten Beobachtungen bestimmt wird. Äquivalent dazu ist es, durch das Produkt der Standardabweichungen und zu dividieren: Der Korrelationskoeffizient hat keine Einheit wie "Kilogramm oder "Meter ; er ist dimensionslos. Sein Wert liegt immer zwischen -1 und 1, weil die Kovarianz (Zähler) betragsmäßig nie größer sein kann als das Produkt der Standardabweichungen (Nenner). Da die Standardabweichungen immer größer Null sind, wird das Vorzeichen des Korrelationskoeffizienten stets durch das Vorzeichen der Kovarianz bestimmt. Interpretation des Korrelationskoeffizienten Page 6

7 Der Korrelationskoeffizient ist ein Maß für die Stärke eines linearen Zusammenhangs zwischen zwei Merkmalen. Denn genau dann gilt, wenn alle Punkte im Streudiagramm exakt auf einer Geraden liegen. Das Vorzeichen des Korrelationskoeffizienten bestimmt die Richtung, sein Betrag die Stärke des linearen Zusammenhangs: Ist das Vorzeichen positiv, ist auch der Zusammenhang positiv; ist es negativ, ist der Zusammenhang negativ. Für den Betrag des Koeffizienten gilt folgende Interpretationsrichtlinie: Interpretation 0 kein linearer Zusammenhang schwach linearer Zusammenhang mittlerer linearer Zusammenhang stark linearer Zusammenhang 1 perfekt linearer Zusammenhang Der Phi-Koeffizient Der ist ein Zusammenhangsmaß für nominal skalierte Merkmale. Er ist natürlich auch sinnvoll für ordinal skalierte oder metrisch skalierte Merkmale, sofern sie nur wenige unterschiedliche Realisationen aufweisen. Wenn die Merkmale lediglich zwei Ausprägungen aufweisen, ist er mit dem quadrierten Korrelationskoeffizienten identisch. Beispiel: Besuch des Acadia National Park, Maine (Fortsetzung) Der Wanderer, der in der Zeit April bis September den Park besuchen möchte, hat eine gegenläufige Tendenz von Temperatur und Niederschlag zu erwarten. Die Stärke dieser "Gegenläufigkeit" beträgt: Das ist ein schwacher bis mittlerer linearer Zusammenhang; dabei ist es egal, ob die Korrelationen aus den ursprünglichen oder den transformierten Daten berechnet werden. Labordatei öffnen ( cd9.spf ) Erzeugen Sie in dem Applet Korrelationsmessung (ce0.jar) einige Streudiagramme mit mindestens 10 Punkten, so dass die Korrelationen jeweils Page 7

8 ungefähr-1, -0.5, 0, 0.5 und 1 betragen. Trainieren Sie mit dem Applet Raten von Korrelationen (cf5.jar) Ihre Fähigkeit, anhand von Streudiagrammen die Stärke der Korrelation zweier Variablen einzuschätzen! Scheinkorrelation Bei der Interpretation des Korrelationskoeffizienten ist immer zu berücksichtigen, dass es sich um eine formal berechnete Größe handelt. So lässt sich aus einem großen Wert des Korrelationskoeffizienten, d.h. einem Wert in der Nähe von -1 oder von +1, nicht folgern, dass zwischen den Merkmalen ein kausaler Zusammenhang besteht; es kann sich auch um ein eher zufälliges Ergebnis oder eine durch weitere Merkmale vermittelte Abhängigkeit handeln. Dies wäre dann eine Scheinkorrelation. Ob es überhaupt sinnvoll ist, bei den untersuchten Merkmalen von einem kausalen Zusammenhang auszugehen, muss mit anderen Methoden untersucht werden. Der Korrelationskoeffizient kann also nur das Ergebnis einer inhaltlichen Fragestellung bestärken, nicht aber beweisen. Beispiel: Wortschatz und Körpergröße Bei Schulkindern wurde in einer Reihenuntersuchung u.a. der Wortschatz und die Körpergröße erhoben. Für den Korrelationskoeffizienten erhielt man einen Wert von Keines der beiden Merkmale ist kausal für das andere. Vielmehr ist bei Schulkindern das Wachstum und der Spracherwerb an das Alter gekoppelt. Das Alter wirkt hier als Hintergrundvariable, die beides beeinflusst, sowohl die Körpergröße als auch den Fortschritt beim Spracherwerb. Im Rahmen eines Projektes in der Region Bielefeld wurden Daten zur Migration und Industrialisierung erhoben. Die Daten stammen aus dem Stadtarchiv Bielefeld und geben die Verhältnisse von 1879 bis 1914 wieder. Im einzelnen stehen folgende Variablen zur Verfügung: Labordatei öffnen ( d11.zmpf ) Jahresangabe, und für das entsprechende Jahr jeweils die Bevölkerungsanzahl, die Anzahl der Geburten, die Sterbefälle und die Anzahl der Arbeiter. Errechnen und interpretieren Sie alle möglichen Korrelationskoeffizienten! Sind diese kausal zu erklären? Rangkorrelation Der Rangkorrelationskoeffizient nach Spearman kann für bivariate Datensätze berechnet werden, bei denen beide Merkmale mindestens ordinal skaliert sind. Er ist der übliche Korrelationskoeffizient, jedoch berechnet für Rangzahlen bzw. der und. Rangzahlen sind einfach Platznummern in den jeweiligen geordneten Datensätzen. In einer Folge von Beobachtungen wird also der kleinste Wert durch 1, der zweitkleinste durch 2 ersetzt, bis schließlich der größte durch ersetzt wird. Bei gleichen Werten vergibt man mittlere Ränge. Seien etwa die Werte 3.2, 4.5, 1.4, 6.3, 0.8, 1.4 beobachtet worden. Dann lautet die Page 8

9 zugehörige Rangwertreihe: 4, 5, 2.5, 6, 1, 2.5. Der Rangkorrelationskoeffizient ist: Da der Rangkorrelationskoeffizient nicht die konkreten Ausprägungen berücksichtigt, sondern lediglich deren Ränge in einem sortierten Datensatz, ist er ein Maß für den monotonen Zusammenhang zwischen den Merkmalen; wenn also bei steigenden -Werten die -Werte tendenziell fallen oder steigen. Wie der Korrelationskoeffizient liegt der Rangkorrelationskoeffizient immer zwischen -1 und 1. Aufgrund der Konstruktion reagiert der Rangkorrelationskoeffizient bei kardinalen Merkmalen und unempfindlicher (robuster) auf einzelne extreme Ausprägungen als der Korrelationskoeffizient. Beispiel: Weinbaugebiet Europa Je größer die Weinanbaufläche, desto größer die Produktion, wird man denken. Dieser Zusammenhang stimmt aber nur in der Tendenz. Für Europa sieht es im Detail etwas anders aus: Das Streudiagramm zeigt, dass es zwei "Ausreißer" gibt. Daher macht es Sinn, den Rangkorrelationskoeffizienten zu bestimmen statt des üblichen Korrelationskoeffizienten von Bravais-Pearson. Er ist mit recht hoch. Die Berechnung des Rangkorrelationskoeffizienten im Labor können Sie hier einsehen! Labordatei öffnen ( d6b.spf ) Weinanbau in Europa Quelle: Eigene Berechnungen In der Datenmatrix ( d77.zmpf ) sind für verschiedene Typen von Flugzeugen der Firma Boeing die Reichweite (in km) und die Anzahl der Sitze angegeben. Bestimmen Sie den Rangkorrelationskoeffizienten. Wie ist er zu interpretieren? Ausprägungspaar ErklärungPunktwolke ErklärungStreudiagramm ErklärungStreudiagrammmatrix Erklärung (c) Projekt Neue Statistik 2003, Freie Universität Berlin, Center für Digitale Systeme Kontakt: Page 9