Vektoranalysis Teil IV

Transkript

1 Vektoranalsis Teil IV Siegfried etr Fassung om 25. Januar 213

2 I n h a l t Die Rotation eines Feldektors 1 Einleitung Zirkulation und Wirbel eines Feldektors 2 2 Berechnung des Wirbels Die Rotation eines Feldektors 4 3 Der Integralsat on STOKES 7 4 Rechengesete für Rotationen 8 5 Ergänungen 8 6 Beispiele 9 7 Der HMILTON-Differentialoperator Nabla (Nabla-Operator) 11 1

3 Die Rotation eines Feldektors 1 Einleitung Zirkulation und Wirbel eines Feldektors Vorbemerkung: Diese Einleitung ist etwas unkonentionell. Sie ersucht, die Begriffe und Zusammenhänge anschaulich werden u lassen und dem nfänger dadurch u ermöglichen, sie wirklich u erstehen. Die Theoretische hsik lehrt, dass das Linienintegral über das Skalarprodukt ds längs einer geschlossenen Kure in einem otentialfeld gleich null ist. Ein otentialfeld erkennt man formal daran, dass der Feldektor der Gradient eines Skalarfeldes ist. Letteres ist keineswegs immer der Fall, und in der hsik gibt es wichtige Felder, die diese Bedingung nicht erfüllen. Ein Beispiel dafür ist das magnetische Feld eines unendlich langen Leiters. Der Leiter ist on konentrischen kreisförmigen Feldlinien umgeben; der Vektor H der magnetischen Feldstärke steht auf dem Radius ρ senkrecht, für seinen Betrag H gilt H I =, 2πρ wenn I die Stromstärke im Leiter ist. Schauen wir uns dieses Feld etwas genauer an. 1. Bewegt man (linkes Bild) einen Magnetpol aus sehr großer ( unendlicher ) Entfernung radial u einem unkt hin, so ist dabei keine (positie oder negatie) rbeit aufuwenden, weil die Kraftrichtung auf dem Weg senkrecht steht. Erfolgt die Bewegung jedoch schräg, so hat der Weg eine Komponente in Richtung des Feldes, und es ist daher rbeit aufuwenden. Das Linienintegral 2

4 H d s hat also einen om Weg abhängigen Wert. Daher kann man dem unkt kein bestimmtes otential uordnen. 2. Betrachten wir die grüne Linie, die eine Fläche umfasst, deren Seiten radial bw. tangential erlaufen. Man kann sich leicht daon übereugen, dass das Linienintegral über einen geschlossenen Umlauf den Wert null hat. (Wäre dagegen der Betrag der Feldstärke nicht proportional 1/ρ, wäre das nicht so.) 3. Bei einem geschlossenen Umlauf, der den Leiter umschlingt (rechtes Bild), hat das Linienintegral dagegen unabhängig om Weg den Wert I (Stromstärke). Dies eigt, dass das Linienintegral über eine geschlossene Kure eine besondere Bedeutung haben kann. Darum wollen wir uns genauer damit befassen. Definition: Unter der Zirkulation Γ (Gamma) eines Vektors längs einer geschlossenen Kure K ersteht man das Linienintegral des Vektors längs dieser Kure: Γ = d s. K Wie oben gesagt wurde, ist die Zirkulation des Feldstärkeektors H längs einer Linie, die den unendlich langen Leiters umschlingt, gleich der Stromstärke I im Leiter. Umfasst dagegen die Kure K den Leiter nicht, ist die Zirkulation null. (Einfachste Begründung: Die Linie umschlingt dann einen gedachten Leiter mit der Stromstärke null.) Betrachten wir nun eine Feldlinie om Radius ρ = ρ L, welche direkt an der Oberfläche des Leiters erläuft und diidieren wir die Zirkulation des Feldstärkeektors durch die Fläche des Leiters, die mit der on der betrachteten Feldlinie umschlungenen Fläche identisch ist, so erhalten wir Γ I = = 2 ρ π L j, j : Stromdichte im Leiter Denken wir uns nun den Leiterquerschnitt bei konstanter Stromdichte j immer mehr auf seinen Mittelpunkt hin schrumpfend, so bleibt der Größenwert on Γ / konstant. Wir nennen ihn den Wirbel w des Vektors H im betrachteten unkt oder im betrachteten»stromfaden«. Für ihn gilt w = j, oder als Vektorgleichung geschrieben w = j. Diese ussage gilt übrigens unabhängig on der Länge und der Gestalt des Stromfadens. Begründung: Denken wir uns einen gekrümmten Stromfaden durch drei geradlinige Stromfäden angenähert, so liefern die Stromfäden (1) und (3) und alle übrigen keinen Beitrag ur Zirkulation und damit auch um Wirbel im Stromfaden (2), da die Zirkulation außerhalb der Stromfäden (1) und (2) gleich null ist. 3

5 2 Berechnung des Wirbels Die Rotation eines Feldektors Es soll nun der Wirbel eines beliebigen Feldektors = (r) in einem unkt einer gegebenen Fläche berechnet werden. Durch einen unkt nahe an der Fläche legen wir ein kleines Koordinatensstem, dessen chsen parallel u den entsprechenden chsen des benutten großen Koordinatensstems sind. Die Ebenen des kleinen Koordinatensstems schneiden aus der Fläche ein kleines Flächenstück heraus, das wir durch ein ebenes Dreieck annähern. Die bschnitte auf den chsen seien 2, 2, 2. Die Seitenmitten des Dreiecks und ihre Koordinaten beüglich des kleinen Sstems sind dann und seine Seitenektoren sind (,, ) B(,, ) C(,, ), a = 2 e + 2 e, 1 2 b = 2 e + 2 e, 2 3 c = 2 e 2 e

6 Zur (unächst) angenäherten Berechnung des Linienintegrals über die drei Seiten multipliieren wir den jeweiligen Seitenektor skalar mit dem Wert, den der Feldektor in der Seitenmitte hat und summieren die rodukte: d s. a + B b + C c Für die Vektoren, B und C gilt: B C d ( s) + ds d ( s) + ds B d ( s) + ds Der Inde bedeutet bei der Richtungsableitung d/ds, dass diese an der Stelle und in der Richtung u bilden ist, bei s, dass damit die Strecke s = gemeint ist, usw. Für die Komponenten der drei Vektoren gilt: ( ) ( ) ( ), + = ( ), + = ( ) ( ) ( ). + = ( ) ( ) Dabei sind alle partiellen bleitungen an der Stelle u bilden. naloges gilt für die Komponenten on B und C. Wenn man die Komponentengleichungen wieder u Vektorgleichungen usammenfasst, wobei die rechts stehenden Vektoren als einspaltige Matrien dargestellt sind, erhält man: C B C ,,. 5

7 6,. B C Damit ergibt sich: ( ) ( 2 ) 2, ( 2 ) 2, 2 2. B C a a b b c c Die Summe Σ dieser drei Skalarprodukte ist ( ) a b c Dabei sind wieder alle partiellen bleitungen im unkt u bilden. Der erste Summand ist null, da die Summe der Seitenektoren des Dreiecks null ist. Die letten drei Summanden können interpretiert werden als das Skalarprodukt aus einem Vektor V und einem Vektor W, wobei (wieder als einspaltige Matrien dargestellt) und V W = = = = = = = =

8 Der erste Vektor erhält wegen seiner besonderen Bedeutung einen eigenen Namen: Rotation (on) (geschrieben: rot ). Die Komponenten des weiten Vektors sind die rojektionen der Fläche in die Koordinatenebenen: W =, W =, W =. Das heißt: Der Vektor W ist identisch mit dem Flächenektor. Dieser Vektor kann auch geschrieben werden als = n, wobei n der Normaleneinheitsektor der Fläche ist. Folglich ist und ( ) d s rot n 1 d s n (rot ). Lässt man nun den unkt unbeschränkt an die Fläche heranrücken, dann gehen und die Summe gegen null. Für den Grenwert des Quotienten gilt: d s lim w ( ) (rot ). = n Das bedeutet: Der Betrag w des Wirbels des Feldektors im unkt einer Fläche ist gleich dem Größenwert der rojektion des Vektors rot an dieser Stelle auf die Flächennormale. Hat die Flächennormale die gleiche Richtung wie der Vektor rot, dann ist der Betrag des Wirbels gleich dem Betrag on rot. Beachten Sie: Der Vektor rot ist eine Funktion des Ortsektors r (,, ), während der Wirbel außerdem noch on der Richtung des Flächenelements abhängt, für das der Wirbel berechnet wird. Der Wirbel an einer bestimmten Stelle ist maimal, wenn die Fläche auf rot senkrecht steht; er ist null, wenn die Fläche so gerichtet ist, dass der Vektor rot in der Tangentialebene der Fläche liegt. Für das Beispiel aus der Einleitung ergibt sich daraus w = rot H = j. Dies entspricht der 1. MXWELL-Gleichung bei bwesenheit eines elektrischen Wechselfeldes. 3 Der Integralsat on STOKES Wir betrachten ein beliebiges Flächenstück mit dem Rand C. Wir erlegen die Fläche wie in der bbildung für den unteren Teil angedeutet in kleine Flächenstücke i mit den nach außen gerichteten Flächenektoren i. Die einelnen Flächenstücke sollen alle im gleichen Sinn wie der Rand C umlaufen werden. Dabei werden alle Seiten bis auf die, 7

9 die auf dem Rand C liegen weimal durchlaufen. Die Richtungen der beiden Durchläufe aber sind gegensinnig. Für jedes einelne Flächenstück mit seinen ier Seiten gilt dann: 4 k = 1 s rot. i, k i, k i i Summiert man über alle Flächenstücke i, so fallen alle die Summanden heraus, deren s i,k nicht auf dem Rand C liegt. Die übrig bleibenden werden nun mit dem Inde j ersehen: 4 k = 1 s = s rot. i, k i, k j j i i j Für alle gegen null (wobei natürlich auch alle s gegen null gehen) wird daraus d s = rot d, C wobei die Gestalt der Fläche öllig beliebig ist. Dies ist der Integralsat on STOKES. 4 Rechengesete für Rotationen rot ( c) = c rot, c : rot ( + w) = rot + rot w, + = + reelle Zahl rot ( U ) = U rot + (grad U ) U = U (,, ) 5 Ergänungen 1. Der Vektor rot wird häufig als Determinante geschrieben. Diese ist als Merkhilfe sehr nütlich. rot = e + e + e e e e =. 2. Sett man im Integralsat on STOKES = grad U, so erhält man gradu ds = rot (grad U ) d. C Nun ist aber das Kurenintegral über grad U längs einer geschlossenen Kure stets null, da ein otentialfeld orliegt. lso muss auch das rechte Integral null sein. Da die Fläche öllig beliebig ist, kann nicht angenommen werden, dass der Vektor rot (grad U) überall senkrecht u d und daher das Skalarprodukt der beiden Vektoren überall null ist. Folglich muss überall rot (grad U) = sein. Das bedeutet: Ein Gradientenfeld (otentialfeld) ist wirbelfrei. 8

10 3. Ferner gilt: di rot =. Die Diergen eines Feldes, dessen Feldektor die Rotation eines anderen Feldektors ist, ist null. Ein»Rotationsfeld«ist also quellenfrei. Beweis am einfachsten durch usrechnen und nwendung des Sates on SCHWRZ. 6 Beispiele 1. Ein Vektorfeld habe konentrische, kreisförmige Feldlinien um die Z-chse. Der Betrag des Feldektors sei proportional 1/ρ (ρ = bstand des betrachteten unktes on der Z-chse). Gesucht die Gleichungen = (r) und = (,, ) sowie rot. Der Feldektor steht auf e 3 und r senkrecht und hat folglich die Richtung des Vektorprodukts e 3 r. lso ist Ferner soll sein Damit ergibt sich und e e e ( ) ( ) = k e r = k 1 = k e + e c c = + = = = ρ ρ 2 2 = k + = kρ = k e + e e + e = c = c ρ + e e e rot = c = ce

11 Mit ergibt sich = = + ( + ) ( + ) = = + ( + ) ( + ) rot =. Ein Beispiel für ein solches Feld ist das magnetische Feld (Feldstärke H) eines unendlich langen Leiters (siehe»1 Einleitung Zirkulation und Wirbel eines Vektors«). Nach der 1. MXWELL- Gleichung ist bei bwesenheit eines elektrischen Wechselfeldes rot H = j, wobei j der Vektor der Stromdichte ist. Da die Stromdichte außerhalb des Leiters überall null ist, muss dort auch rot H = sein. Im Inneren des Leiters dagegen ist j, und daher auch rot H, und dies ist die Ursache des Feldes. Wir wenden nun ur Berechnung des Größenwerts H der Feldstärke den Integralsat on STOKES auf eine Kreisfläche om Radius ρ und auf deren Umrandung K an. Die Kreisfläche soll mit dem Leiter konentrisch sein und auf ihm senkrecht stehen. Dann gilt Nun ist einerseits bei konstanter Stromdichte j rot H d = H d s. rot H d = j d = j q = I, wobei q der Leiterquerschnitt und I die Stromstärke im Leiter ist. ndererseits ist lso ist K q H ds = H ds = H 2 π ρ. I I = H 2 πρ H =. 2πρ K K, 3. Eine ebene Scheibe mit der Flächennormalen n rotiere mit der Winkelgeschwindigkeit ω um einen ihrer unkte mit n als Drehachse. Gesucht der Geschwindigkeitsektor eines ihrer unkte Q im bstand R on. 1

12 Es ist = ω R und = ω n R = ω n ( r p ) Einfacher ist es jedoch, ein neues Koordinatensstem einuführen, dessen chsen parallel u denen des alten sind und dessen Ursprung in liegt. Dann ist: ω usw. = n R und R = e + e + e, e e e n R = n n n = ( n n ) e + ( n n ) e + ( n n ) e, e e e ro t = ω = 2 ω n. n n n n n n Der Betrag on rot ist also gleich der doppelten Winkelgeschwindigkeit. 7 Der HMILTON-Differentialoperator Nabla (Nabla-Operator) Bei der Berechnung on Gradient, Diergen und Rotation werden an einer skalaren Funktion bw. an einer Vektorfunktion bestimmte Rechenoperationen orgenommen. Diese weisen bei aller Verschiedenheit gewisse formale Ähnlichkeiten auf: Immer werden die partiellen bleitungen der Funktion bw. der Vektorkomponenten gebildet. 1. Gradient: Es werden die partiellen bleitungen der Funktion U(,, ) berechnet und diese werden als Komponenten eines Vektors benutt: U U U grad U = e + e + e. Dieser Vektor kann formal aufgefasst werden als das rodukt aus einem»smbolischen Vektor Nabla«und der Funktion U: Def = e + e + e 11

13 grad U = e + e + e U = U. 2. Diergen: Die Komponenten eines Vektors = ( ) werden partiell»nach ihrem Inde«abgeleitet und daraus durch ddition eine skalare Funktion gebildet: di = + +. Diese Summe kann formal aufgefasst werden als das Skalarprodukt aus dem Vektor Nabla und dem Vektor : di = e + e + e ( e + e + e ) =. 3. Rotation: Die Komponenten eines Vektors werden partiell»nach den beiden anderen Indices«abgeleitet und daraus Differenen nach rt eines Vektorprodukts gebildet. Diese werden schließlich als Komponenten eines neuen Vektors benutt. In der Schreibweise als smbolische Determinante wird dies am anschaulichsten: e e e rot = e +. 1 e + 2 e = 3 Dieser Vektor wiederum kann formal aufgefasst werden als das Vektorprodukt aus dem Vektor Nabla und dem Vektor : rot =. Der smbolische Vektor Nabla wird»hmilton-differentialoperator«oder Nabla-Operator genannt. (Der Name beruht auf der Ähnlichkeit des Smbols mit der antiken Harfe Nabla.) Zusammenfassung: Mit ist Ferner ist = e + e + e grad U = U, di =, rot = = + + =, : LLCE-Operator