Zeitreihen. Statistische Modellierung, Schätzung und Prognose. von. Prof. Dr. Horst Rinne. und. Dr. Katja Specht. Justus-Liebig-Universität Giessen

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1 Zeitreihen Statistische Modellierung, Schätzung und Prognose von Prof. Dr. Horst Rinne und Dr. Katja Specht Justus-Liebig-Universität Giessen Verlag Franz Vahlen München

2 Inhaltsverzeichnis Statt eines Vorworts Danksagung Inhaltsübersicht Abbildungsverzeichnis Beispielverzeichnis Tabellenveraeichnis Symbolverzeichnis V XI XIII XXIII XXIX XXXI XXXIII Einführung, Motivation, Zielsetzung 1 1 Zeit und Zeitmessung Zeit in der Psychologie Zeit in der Philosophie Zeit in der Physik Zeit in der Ökonomie Prinzipien der Zeitmessung Allgemeine Konzepte Weltzeiten Ephemeridenzeit Atomzeit Chronometer 18 2 Kalender und ihre Konstruktion Prinzipien der Kalenderkonstruktion Römischer und Julianischer Kalender Gregorianischer Kalender und nachfolgende Kalenderreformen Sonstige Kalendersysteme Ewiger Kalender Besonderheiten und Unregelmäßigkeiten des geltenden Kalenders Variation innerhalb und zwischen Kalendereinheiten 33

3 XVI Inhaltsverzeichnis Fest- und Feiertage Ferien und andere institutionelle Kalenderregelungen 42 3 Elementare Zeitreihenanalyse Konzepte und Notationen Komponenten und Darstellung von Zeitreihen Stilisierte Fakten in Zeitreihen Besondere Darstellungsformen Einfache Analyseinstrumente Aggregation Transformation Regression Verschiebungsoperatoren Differenzen-und Summenoperatoren Polynome und Operator-Polynome Filter und gleitende Durchschnitte Vorjahresvergleich Saisonindizes und Streuungszerlegungen Einführung in die Prognosetechnik Qualitative Verfahren Quantitative Verfahren Einfache univariate Ansätze Multiple univariate Ansätze Multivariate Ansätze Szenario-Technik als kombiniertes Verfahren Prognosefehler Ursachen für Prognosefehler Zwecke einer Prognosefehlermessung 130 4A3 Individuelle Prognosefehler Maßzahlen für Prognosefehler Grundbegriffe und Werkzeuge für die Analyse im Zeitbereich Lineare Differenzengleichungen Begriff und Klassifikation Lineare Differenzengleichungen erster Ordnung 140

4 Inhaltsverzeichnis XVII Lineare Differenzengleichungen zweiter Ordnung Lineare Differenzengleichungen höherer Ordnung Stochastische Prozesse Definition und Eigenschaften Einige Typen stochastischer Prozesse Autokovarianz- und Autokorrelationsfunktion Definition und Eigenschaften der AKV Definition und Eigenschaften der AKR Schätzung von AKV und AKR Partielle Autokorrelationsfunktion Konzept und Bestimmung der PAKR Schätzung der PAKR MA- und AR-Darstellung stochastischer Prozesse MA-Darstellung AR-Darstellung Grundbegriffe und Werkzeuge für die Analyse im Frequenzbereich FouRiER-Analyse Periodische Funktionen Trigonometrische Funktionen im Überblick Sinus-und Kosinusfunktionen Das trigonometrische Orthogonalsystem : Grundzüge der FouRiER-Analyse Trigonometrische Polynome FOURIER-Darstellung endlicher zeitdiskreter Funktionen FOURIER-Darstellung periodischer zeitdiskreter Funktionen FOURIER-Transformierte und deren Inverse Spektraltheorie stochastischer Prozesse Harmonische Prozesse und Spektraldarstellung stationärer Prozesse Spektraldichte und ihre Eigenschaften Spektralverteilungsfunktionen Spektrum und autokovarianz-erzeugende Funktion Spektrum linearer Prozesse Spektrum linearer Filter 219

5 XVIII Inhaltsverzeichnis 6.3 Spektralanalyse Periodogramm KQ-Schätzungen einer harmonischen Schwingung Darstellung und Berechnung des Periodogramms Interpretation Stichprobeneigenschaften Spektralschätzung Glättung im Frequenzbereich Glättung im Zeitbereich Lag-und Spektralfenster Konfidenzintervall Spektralschätzung für ARMA-Prozesse Stationäre stochastische Prozesse MA-Prozesse MA(1)-Prozesse MA(2)-Prozesse MA(g)-Prozesse AR-Prozesse AR(1)- oder MARKOV-Prozesse AR(2)-oder YULE-Prozesse AR(p)-Prozesse Dualität von AR- und MA-Prozessen ARMA-Prozesse Instationarität, Saisonalität und Volatilität Instationarität im Mittelwert Deterministische Trendmodelle Stochastische Trends Homogene Instationarität und ARIMA-Modelle Random Walk und Varianten ARIMA-Modelle und exponentielles Glätten Fraktional integrierte Prozesse Saisonalität Traditionelle Methoden 313

6 Inhaltsverzeichnis XIX Saisonale ARIMA-Modelle Rein saisonale Modelle Gemischt saisonale Modelle (SARIMA) Das Airline-Modell als spezielles SARIMA-Modell SARIMA-Modelle und exponentielles Glätten Instationarität von Varianz und Autokovarianz Varianz und Autokovarianz von ARIMA-Modellen Varianzstabilisierungen Volatilitätsmodelle Charakteristika von hochfrequenten Zeitreihen Ältere Ansätze zur Volatilitätsanalyse Exogene Heteroskedastizität Endogene Heteroskedastizität Modelle der GARCH-Familie Grundmodelle Modellerweiterungen Stochastische Volatilitätsmodelle 346 Modellidentifikation Vorarbeiten Differenzenfilter Grenzstabile Filter Wahl eines Filters Überdifferenzierung Differenzen- versus Trendstationarität Implikationen der beiden Trendtypen Folgen einer Fehlspezifikation der Trendtyps Einheitswurzeltests Tests von DlCKEY/FULLER Probleme und Erweiterungen des DF-Tests Weitere Testverfahren Saisonale Einheitswurzeln Strukturbrüche und Einheitswurzeln Festlegung der AR-und MA-Polynomgrade Ansatz von BOX und JENKINS 375

7 XX Inhaltsverzeichnis Inverse Autokorrelationsfunktion Erweiterte SAKR und sonstige Techniken Weitere Spezifikationstests Normalverteilungstests im Überblick Autokorrelationstests BDS-Test., Parameterschätzung und Modellwahl Schätztechniken Momentenmethode AR-Prozesse MA-Prozesse ARMA-Prozesse Maximum-Likelihood-Methode Bedingte ML-Schätzungen Unbedingte ML-Schätzung Exakte ML-Schätzung Vergleich der ML-Ansätze Nichtlineare Schätzung und numerische Optimierung Diagnostische Tests Selektionskriterien Prognosen MMSE-Prognosen ARMA-Modelle ARIMA-Modelle Prognoseformeln für diverse Modelle ARMA-Modelle ARIMA-und SARIMA-Modelle Volatilitätsmodelle Aktualisierung von Prognosen Prognosen aus der AR-Darstellung Eventualprognosen Fallstudien Sonnenfleckenzahl

8 Inhaltsverzeichnis XXI 12.2 Reales saisonbereinigtes BIP 1968/1-1994/IV Realer privater Verbrauch 1968/1-1994/IV Zinssatz für Tagesgeld 1976/1-2002/III Volatilitätsanalyse von DAX und DM/GBP-Kurs, Interventions- und Transferfunktionsmodelle Interventionsmodelle Ausreißermodelle Transferfunktionsmodelle Univariate dynamische Modelle mit Inputvariablen Transferfunktionsmodelle mit einer Inputvariable Identifikation und Kreuzkorrelationsfunktionen Schätzung und Diagnose Prognose Fallstudie: Auftragseingang und Umsatz Transferfunktionsmodelle mit mehreren Inputvariablen Vektorielle Zeitreihenmodelle 485 * 14.1 Charakterisierung gemeinsam stationärer Vektorprozesse Kovarianz-und Korrelationsmatrix-Funktion MA- und AR-Darstellung vektorieller Prozesse Vektorielle ARMA-Modelle VAR-Prozesse VMA-Prozesse VARMA-Prozesse Instationäre VARMA-Prozesse Identifikation von VARMA-Prozessen Bestimmung der Ordnungen p und q Eindeutigkeit einer VARMA-Darstellung Schätzung und Prognose Vektorielle Zeitreihen in der Ökonometrie 515» 15.1 Dynamische Gleichungssysteme VARMA-Modelle und weitere Formen dynamischer Gleichungssysteme Exogenität und Kausalität 520

9 L XXII Inhaltsverzeichnis 15.2 VAR-Modelle in der Ökonometrie Stationäre VAR-Prozesse Schätzung und Spezifikation Prognose mit einem VAR(p)-Modell Test auf GRANGER-Kausalität Impuls-Antwort-Funktion und Innovationsrechnung Zerlegung der Prognosefehlervarianz Instationäre VAR-Prozesse Integration und Kointegration Fehlerkorrekturmodelle Zustandsraummodelle und der KALMAN-Filter Zustandsraummodelle Die allgemeine Form eines Zustandsraummodells Einige Zeitreihenmodelle und ihre Zustandsraumformulierung Komponentenmodelle ARMA-und VARMA-Modelle Der KALMAN-Filter Darstellung des KALMAN-Filters ML-Schätzung und Zerlegung des Prognosefehlers Prädiktion Glättung Strukturelle Zeitreihenmodelle Allgemeiner Ansatz für univariate Zeitreihen Beispiele Reine Trendmodelle Modelle mit Zyklus Modelle mit Trend und Saison 574 Literaturverzeichnis 577 Namensverzeichnis 591 Stichwortverzeichnis 597

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