Einführung der Quadratwurzel

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1 Einführung der Quadratwurzel In den 90er Jahren wurde als Werbemaßnahme ein Bungeespringen aus der Eibsee- Seilbahn veranstaltet. Die Gondel wurde direkt über der Riffelriss zum Stehen gebracht, sodass eine Sprunghöhe von 200 m erzielt wurde. Der Ort, an dem sich der Springer befindet ist von der Zeit abhängig und wird durch eine Funktion mit der Funktionsgleichung h : x h(x) = 5 x 2 beschrieben. Arbeitsaufträge 1. Fülle die folgende Tabelle aus x s h(x) m 2. Zeichne den Graphen der Funktion für D = Q + 3. Bestimme rechnerisch den Zeitpunkt x, an welchem der Springer 125 m erreicht hat. 4. Überlege, ob die gefundene Lösung eindeutig ist. Lösung der Arbeitsaufträge 1. Ausfüllen der Tabelle: Die Werte der leeren Zellen errechnet man dadurch, dass man in die Gleichung h(x) = 5x 2 den jeweils vorgegebenen Wert einsetzt und dann den so entstandenen Zahlenterm ausrechnet. 2. Zeichnung des Graphens x s 1 1,5 2,0 2,5 3,0 h(x) m 5 11, ,25 45 c by Markus Baur using L A TEX Seite: 1

2 3. Um die Zeitpunkt herauszufinden, wann der Springer 125 m in die Tiefe gesprungen ist, bleiben zwei Möglichkeiten: Graphische Lösung Wir kennen den y-wert und wollen den x- Wert herausfinden. Deshalb ziehen wir bei y = 125 eine Parallele zur x- Achse. Man Markiert den Schnittpunkt mit dem Funktionsgraphen. Durch diesen Schnittpunkt zeichnet man eine Parallele zur y- Achse. Der Schnittpunkt dieser Gerade mit der x- Achse liefert den gesuchten x- Wert: Man erkennt x = 5. Damit benötigt der Springer 5 s, um 125 m zu springen. Normalerweise ordnet die Funktion jedem x ein bestimmtes y zu, im Zeichen x y. In unserem Fall sind wir aber genau anders herum vorgegangen. Dieses Vorgehen hat den folgenden Fachnamen: Unter der umgekehrten Zuordnung versteht man das Vorgehen, dass man einem vorgegeben y ein x zuordnet, im Zeichen: h 1 : y x c by Markus Baur using L A TEX Seite: 2

3 Die rechnerische Methode. Es ist bekannt, dass h(x) = 125 Setzt man diesen Wert ein, dann erhält man die folgende Gleichung: 125 = 5x 2 Schreibt man die Gleichung noch in der gewohnten Form an, dass die Unbekannte links steht, dann ergibt sich: 5x 2 = 125 :5 x 2 = 25 Gesucht ist demnach eine Zahl, deren Quadrat 25 ist. Durch Probieren erhält man x = 5, da x 2 = 25. Auch hier geht man gegenüber der früheren Vorgehensweise umgekehrt vor: Man sucht zu einer Quadratzahl eine passende Zahl. Dies gesuchte Zahl heißt Quadratwurzel. Im Zeichen schreibt man: 25 = 5 Definition 4. Uneindeutigkeit der Lösung Die nichtnegative Lösung der Gleichung x 2 = a mit a aus Q + heißt Quadratwurzel. Im Zeichen schreibt man a. a ist der Radikant der Quadratwurzel. Neben der gefundenen Lösung gibt es noch eine zweite Lösung. Setzt man nämlich x = 5, dann gilt ebenfalls x 2 = ( 5) 2 = 25 Die mathematische Begründung dafür findet man in der Umformung der Gleichung: x 2 = 25 x 2 25 = 0 Die linke Seite der Gleichung kann man durch Anwendung der dritten binomischen Formel umformen zu: (x 5)(x + 5) = 0 Ein Produkt ist immer dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist Unser Produkt hat die Faktoren x 5 und x + 5. Damit muss gelten: x 5 = 0 x = 5 Damit ist die Lösungsmenge x + 5 = 0 x = 5 L = { 5; 5} c by Markus Baur using L A TEX Seite: 3

4 Die Gleichung x 2 a = 0 hat immer zwei Lösungen, nämlich x = a und x = a Wurzeln sind nicht rationale Zahlen Knobelaufgabe In den drei gezeichneten Quadraten ist jeweils die Diagonale eingezeichnet. Ermittle jeweils durch Konstruktion die Länge der Diagonalen. 1. Überlege, welche Wurzelzahlen du damit bestimmen kannst. 2. Suche einen Bruch, dessen Wert die Wurzelzahlen nährungsweise ausdrückt. Man kann die Länge zeichnerisch ermitteln, in dem man in der folgende Schritte vornimmt: 1. Zeichne in die Zeichnung die Diagonale des Quadrats: 2. Ermittle die Fläche des ursprünglichen Quadrats: A Quadrat = 3 cm 3 cm = 9cm 2 c by Markus Baur using L A TEX Seite: 4

5 3. Die Diagonale halbiert die Fläche und damit kann man die Fläche Dreiecksfläche bestimmen: A Dreieck = cm2 = 4,5 cm 2 4. Unterteile das Diagonalenquadrat in kongruente Dreiecke und ermittle deren Anzahl: Das Diagonalenquadrat besteht aus 4 kongruenten Dreiecke mit der Fläche A = 4,5 cm Die Fläche des Diagonalenquadrats ist A Diagonalenquadrat = 4 4,5 cm 2 = 18 cm 2 Damit gilt also d 2 = 18 Das vorgestellte Verfahren ist damit ein Verfahren zur konstruktiven Verfahren von 18, denn wegen der Definition der Wurzel gilt: d 2 = 18 d = 18 Nach dem gleichen Verfahren hat die Diagonale des ersten Quadrats eine Länge von d = 2 Im folgenden Text wird begründet, dass 2 keine rationale Zahl ist: Wir nehmen zunächst das Gegenteil an und gehen also davon aus, dass 2 eine rationale Zahl ist. Daher kann man 2 als Bruch schreiben: 2 = p. Weil 2 keine ganze Zahl sein kann sind p und q teilerfremde Zahlen. Quadriert die Gleichung, dann ist 2 = p2 q 2 q c by Markus Baur using L A TEX Seite: 5

6 oder 2q 2 = p 2 Damit ist p 2 durch die Zahl 2 teilbar und daher kann man die Zahl p durch 2 teilen und daher gilt p = 2r. Setzt man dies in die erste Gleichung ein, dann erhält man: 2q 2 = (2r) 2 q 2 = 2r 2 Man stellt also fest, dass man auch q 2 durch 2 teilen kann. Somit sind aber p und q nicht teilerfremd. Wir haben also einen Widerspruch zur Annahme festgestellt. Aus diesem Grund muss die Annahme, dass 2 eine rationale Zahl ist, falsch. Damit hat man indirekt gezeigt: 2 ist keine rationale Zahl. Im allgemeinen sind Wurzelzahlen a mit a b 2 keine rationalen Zahlen, sondern irrationale Zahlen. Die rationalen Zahlen Q ergeben zusammen mit den irrationalen Zahlen die Zahlenmenge der reellen Zahlen, kurz R. Näherungsverfahren zur Bestimmung von Wurzeln In der folgenden Gruppenarbeit erlernt man Methoden, wie man die Wurzelzahl näherungsweise bestimmen kann: Gegeben sind die beiden Funktionen und f : x f(x) = x g : x g(x) = 1 2 ( x + 12 ) x 1. Zeichne die Graphen der beiden Funktionen f(x) und g(x), wobei du für die Funktion g(x) eine Wertetabelle anlegen musst. 2. Ermittle graphisch die Koordinaten des Schnittpunkts der beiden Funktionsgraphen und erkläre mit Hilfe des gezeichneten Schaubilds, dass man damit 12 näherungsweise bestimmen kann. 3. Zeige allgemein, dass der Schnittpunkt der Funktionen f : x f(x) = x ( und g : x g(x) = 1 2 x + a x) eine Näherung für a ist. 4. Gib die Abweichung dieser Näherung für 12 in % an. Lösungsvorschlag für diese Gruppe: 1. Die Zeichnung der beiden Funktionsgraphen ergibt das folgende Schaubild: c by Markus Baur using L A TEX Seite: 6

7 2. Für die Bestimmung der Koordinaten des Schnittpunkts der beiden Funktionsgraphen ergibt sich folgende Gleichung: x = 1 ( x + 12 ) 2 x Nach Definition x = 1 2 x + 6 x x 2 = 1 2 x x2 = 6 x 2 = 12 x = 12 Die grau schraffierte Fläche gezeichneten Schaubild ist also ein Quadrat mit dem Flächeninhalt x 2 = Der allgemeine Nachweis: x = 1 ( x + a ) 2 x x = 1 2 x + a 2x x 2 = 1 2 x2 + a 2 c by Markus Baur using L A TEX Seite: 7

8 Nach Definition also 1 2 x2 = a 2 x 2 = a x = a Weitere Näherungsmethoden zur Wurzelbestimmung Methode der Intervallhalbierung Methodenbeschreibung Die Beschreibung dieser Näherungsmethode wird am besten am Zahlenstrahl erläutert: 1. Schritt: Die gesuchte Wurzelzahl wird in einem Intervall eingesperrt. 2. Schritt: Man bildet den Mittelwert des Startintervalls und quadriert den Mittelwert. 3. Ist das Quadrat des Mittelwerts größer als das Quadrat der Wurzelzahl, dann ist der errechnete Mittelwert die obere Grenze des neuen Intervalls, andernfalls die untere Grenze des neuen Intervalls. 4. Schritt: Gemäß der in 3. angegebenen Regel wird nun eine Grenze des Startintervalls ersetzt und man erhält Intervall Schritt: Nun führt man die Schritte 1 bis 3 für Intervall 1 durch. 6. Schritt: Durch Anwendung der Regel aus 3. erhält man nun das nächste Intervall 2 und verfährt mit diesem genauso wie mit Intervall 1 Das Ergebnis dieser Methode sieht für 2 folgendermaßen aus: c by Markus Baur using L A TEX Seite: 8

9 Gruppenarbeit Gesetze der Wurzelrechnung mit PDA Gruppenausstattung Jede Gruppe erhält die folgenden Ausrüstungsgegenstände: 1. Ein Class- PAD mit Computeralgebrasystem 2. Zwei Folien zur Präsentation 3. Drei Plakatelemente für das Lernplakat Gesetze der Wurzelrechnung. Allgemeine Arbeitsaufträge an alle Gruppen Ziel dieser Gruppenarbeit ist es, dass jede Gruppe ein Wurzelgesetz entdeckt und es der Klasse präsentiert. Als Präsentationsmittel stehen einmal der Tageslichtprojektor und ein Plakat zur Verfügung. Auf das Plakat klebt jede Gruppe ihr entdecktes Wurzelgesetz. Arbeitet in euren Gruppen arbeitsteilig, d.h. teilt die Arbeitsaufträge untereinander auf. Gruppe 1 Arbeitsaufträge Einstiegsaufgabe: Der Lehrling eines Schreiners muss in ein Werkstück eine diagonale Stütze einbauen. Das erste quadratische Werkstück hat eine Länge von 3 dm, das zweite quadratische Werkstück hat eine Länge von 5 dm. Der Lehrling schneidet aus dem Holz eine Latte heraus, die 8 dm heraus. Überlege, ob er damit die beiden Stützbalken in die Werkstücke einbauen kann. Arbeitsaufträge: 1. Fülle die folgende Tabelle aus: 2. Fülle die folgende Tabelle aus: Zahl a Zahl b ( a) 2 + ( b) c by Markus Baur using L A TEX Seite: 9

10 Zahl a Zahl b ( a + b) Vergleicht die beiden ausgefüllten Tabellen miteinander und entscheidet, welche der folgenden Aussagen richtig ist: ( a) 2 + ( b) 2 = ( a + b 2 Die Summe von zwei Quadratwurzeln ist nicht identisch mit der Quadratwurzel aus der Summe der beiden Radikanten. a + b a + b Quadriert man die Summe von zwei Quadratwurzeln, dann erhlät man das gleiche Ergebnis wie die wenn man die Quadratwurzel aus der Summe der beiden Radikanten quadriert. Notiert das gefundene Wurzelgesetz mit eigenen Worten. Gruppe 2 Arbeitsaufträge 1. Fülle die folgende Tabelle aus. Schreibe in die Tabelle nur Wurzelzahlen und keine Kommazahlen. Zahl a Zahl b a b Fülle die Folgende Tabelle mit Hilfe des Computeralgebrasystems des PDA aus (Wähle dazu im Menü das Programm main ). Zahl a Zahl b a b c by Markus Baur using L A TEX Seite: 10

11 3. Vergleicht beide ausgefüllte Tabellen miteinander und sucht von den folgenden Aussagen die heraus, die richtig sind: Das Produkt zweier Wurzelzahlen ist gleich der Wurzel aus dem Produkt der Radikanten. a b ab Zwischen dem Produkt aus zwei Wurzelzahlen und der Wurzel aus dem Produkt der Radikanten dieser Wurzeln besteht keine Verbindung. a b = a b Arbeitsaufträge Gruppe 3 1. Fülle die folgende Tabelle aus. Schreibe in die Tabelle nur Wurzelzahlen und keine Kommazahlen. Zahl a Zahl b Fülle die Folgende Tabelle mit Hilfe des Computeralgebrasystems des PDA aus (Wähle dazu im Menü das Programm main ). a b Zahl a Zahl b a b 3. Vergleicht beide ausgefüllte Tabellen miteinander und sucht von den folgenden Aussagen die heraus, die richtig sind: Der Quotient zweier Wurzelzahlen ist gleich der Wurzel aus dem Quotient der gleichen Radikanten. a b a b Zwischen dem Quotienten aus zwei Wurzelzahlen und der Wurzel aus dem Quotient der gleichen Radikanten dieser Wurzeln besteht keine Verbindung. a b = a b c by Markus Baur using L A TEX Seite: 11

12 Gruppe 4 Arbeitsaufträge 1. Schreibe die folgenden Zahlen in der Form a 2 b, wobei a und b aus N: Gib die folgenden Wurzelzahlen in den PDA ein. Wähle dazu das Programm main aus dem Menü Notiere jeweils Eingabe und Ausgabe des Programms nebeneinander. 3. Ergänze das folgende Gesetz a2 b = Gib das gefundene Gesetz in einer wörtlichen Formulierung an. Gruppe 5 Arbeitsaufträge 1. Berechne die folgenden Terme mit dem PDA: ( 7 + 8) 2 ( 5 3) 2 ( 5 + 7) 2 ( 3 ( )) 3 ( 7 8) + ( 3 8) 2 5 ( 3 2,5) 2 2. Jedes Gruppenmitglied notiert sich einen Term und das zugehörige Ergebnis. 3. Finde mit deinen bisherigen Kenntnissen die notwendigen Zwischenschritte heraus. 4. Notiere die ganze Rechnung auf der Präsentationsfolie Gruppe 6 Arbeitsaufträge 1. Gib die folgenden Terme in den PDA ein: c by Markus Baur using L A TEX Seite: 12

13 2. Jedes Gruppenmitglied notiert sich einen Term und das zugehörige Ergebnis. 3. Überlege dir die notwendigen Zwischenschritte, damit du die Terme ohne Bruch schreiben kannst. 4. Notiere die ganze Rechnung auf der Präsentationsfolie. c by Markus Baur using L A TEX Seite: 13