Nichtparametrische statistische Verfahren MusterlösungÜbungsblatt 3

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Ewald Fried
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1 Technische Universität Dortmund Sommersemester 2014 Fakultät Statistik Dr. Th. Ziebach Dipl.-Stat. K. Pape Dipl.-Stat. M. Tzislakis Nichtparametrische statistische Verfahren MusterlösungÜbungsblatt 3 Aufgabe 1 (Verteilung von Ordnungsstatistiken; 5 Punkte) (a) Seien X 1,..., X n mit n > 3 u.i. Re[0, 1]-verteilte Zufallsvariablen. Bestimmen Sie die gemeinsame Dichte von X (i) und X (j) für 1 i < j n. Betrachte zunächst die gemeinsame Verteilungsfunktion von X (i) und X (j) (vgl. Satz 2.16): { F(j) (y), falls x y F (i,j) (x, y) n s sj ki k!(s k)!(n s)! F k (x) [F (y) F (x)] s k [1 F (y)] n s, falls x < y. Betrachte den Fall x y: F (i,j) (x, y) F (j) (y) f (i,j) (x, y) Betrachte den Fall x < y: n kj ( ) n F k (y) [1 F (y)] n k k n kj ( ) n y k [1 y] n k k 2 x y F (i,j)(x, y) 2 x y F (j)(y) 0 (Die Ableitung nach x ist 0.) Verwende dazu Satz 2.24 (b) (alternativ kann auch abgeleitet werden): f (i,j) (x, y) (i 1)!(j i 1)!(n j)! [F (x)]i 1 [F (y) F (x)] j i 1 [1 F (y)] n j f(x)f(y) (i 1)!(j i 1)!(n j)! xi 1 (y x) j i 1 (1 y) n j 1 [0,1] (x)1 [0,1] (y) f (i,j) (x, y) { (i 1)!(j i 1)!(n j)! xi 1 (y x) j i 1 (1 y) n j, falls 0 x < y 1 0, sonst

2 (b) Zeigen Sie, dass die Spannweite W : X (n) X (1) die folgende Dichte besitzt: f W (w) n(n 1)w n 2 (1 w), w [0, 1]. Nutzen Sie dazu Aufgabenteil a) und eine geeignete Transformation. Bestimmung der Dichte von X (n) X (1) mit Hilfe des Transformationssatzes für Dichten: Gegeben: Zwei Zufallsvariablen X (1) und X (n). Gesucht: Dichte von W X (n) X (1). Vorgehen: Bestimme die gemeinsame Dichte von W und X (1) (oder von W und X (n) ) und intergiere die Variable X (1) (bzw. X (n) ) heraus. ( ( ( ) w 1 1 x x) 1 0) y ( ) 1 ( ) ( ) 1 1 w x 1 0 x y ( ) ( ( 0 1 w x 1 1 x) y) }{{} :A Die gemeinsame Dichte von W und X (1) ergibt sich dann als f W,X(1) (w, x) det(a) f X(1),X }{{} (n) (x, w + x) 1 f (1,n) (x, w + x). (Setze x x und y w + x ein.) Somit ergibt sich die Randdichte von W als f W (w) f W,X(1) (x, w + x)dx. Die gemeinsame Dichte von X (1) und X (n) ist (mit Teil (a)): f (1,n) (x, y) (1 1)!(n 1 1)!(n n)! x1 1 (y x) n 1 1 (1 y) n n 1 [0,1] (x)1 [x,1] (y) (n 2)! (y x)n 2 1 [0,1] (x)1 [x,1] (y) n(n 1)(y x) n 2 1 [0,1] (x)1 [x,1] (y)

3 Mit dem Transformationssatz und y x + w folgt dann: f W (w) 1 w 0 f (1,n) (x, x + w)dx n(n 1)(x + w x) n 2 1 [0,1 w] (x)dx n(n 1)w n 2 dx 1 w n(n 1)w n 2 1dx 0 n(n 1)w n 2 (1 w), für w [0, 1]. (Da 0 x x + w 1 x 1 w.) Alternative Lösung über die Großzwischenräume: Verwende 2.25(c), da die U i u.i. Re [0, 1]-verteilt sind. k,l U (k) U (l) U (k l) Beta(k l, n + 1 (k l)) U (n) U (1) U (n 1) Beta(n 1, n + 1 (n 1)) Beta(n 1, 2) f W (w) 1 B(n 1, 2) wn 2 (1 w) 1 1 [0,1] (w) 1 (n 2)! w n 2 (1 w)1 [0,1] (w) n(n 1)w n 2 (1 w)1 [0,1] (w)

4 Aufgabe 2 (Großzwischenräume; 6 Punkte) Seien X 1,..., X n u.i. Exp(λ)-verteilte Zufallsvariablen. (c) Interpretieren Sie die Aussage von Aufgabenteil (b) in Bezug auf eine Lebensdaueruntersuchung von n Glühbirnen mit exponentialverteilten Lebensdauern. Die exponentialverteilten Zufallsvariablen X 1,..., X n beschreiben die Lebensdauer, d.h. die Länge des Zeitraums der Funktionstüchtigkeit, von n Glühbirnen. X (1) bezeichnet die Lebensdauer derjenigen Glühbirne, die als erstes ausfällt. X (n) bezeichnet die Lebendauer derjenigen Glühbirne, die am längsten funktioniert. Mit k < l gibt X (l) X (k) die Zeit an, um die die Glühbirne mit der l-längsten Lebensdauer diejenige mit der k-längsten Lebensdauer überlebt (bzw. länger funktionstüchtig ist). Die stochastische Unabhängigkeit von X (k) und X (l) X (k) besagt nun, dass die Zeit, um die die am l-längsten funktionierende Glühbirne die am k-längsten funktionierende übertrifft, nicht von der Lebensdauer der am k-längsten funktionierenden Glühbirne abhängt. Aufgabe 3 (Betaverteilung; 5 Punkte) Seien X 1,..., X n unabhängige Beta(a, b)-verteilte Zufallsvariablen. (a) Bestimmen Sie die gemeinsame Dichte von X 1,..., X n sowie die gemeinsame Dichte von X (1),..., X (n) und erklären Sie den Unterschied zwischen diesen beiden Dichten. Gegeben: X 1,..., X n sind u.i. Beta(a, b)-verteilte Zufallsvariablen. f Xi (x) mit B(a, b) Γ(a)Γ(b) Γ(a + b) 1 B(a, b) xa 1 (1 x) b 1 1 [0,1] (x) mit Γ(x) (x 1)! für x N. Gesucht: gemeinsame Dichte der Zufallsvariablen X 1,..., X n und gemeinsame Dichte der Ordnungsstatistiken X (1),..., X (n). gemeinsame Dichte von X 1,..., X n : f X1,...,X n (x 1,..., x n ) st.u. n f Xi (x i ) i1 ( 1 B(a, b) ) n n i1 ( x a 1 i (1 x i ) b 1) 1 [0,1] n(x 1,..., x n )

5 gemeinsame Dichte von X (1),..., X (n) : Unterschiede: f X(1),...,X (n) (x 1,..., x n ) 2.24(c) n f Xi (x i )1R n (x 1,..., x n ) i1 ( ) n 1 n B(a, b) i1 ( ) n 1 n B(a, b) i1 ( x a 1 i (1 x i ) b 1) 1 [0,1] n(x 1,..., x n )1R n (x 1,..., x n ) ( x a 1 i (1 x i ) b 1) 1 [0,1] n (x 1,..., x < n ) Die gemeinsame Dichte der X i, i 1,..., n, ist wegen der stochastischen Unabhängigkeit gleich dem Produkt der Randdichten. Die gemeinsame Dichte besitzt auf dem kompletten n-dimensionalen Würfel [0, 1] n positive Werte. Die gemeinsame Dichte der X (i), i 1,..., n, enthält das Produkt der Randdichten der X i, i 1,..., n, nimmt jedoch nur auf dem n-dimensionalen Ordnungskegel [0, 1] n {(x 1,,..., x n ) [0, 1] n, 0 x 1 x 2..., x n 1} positive Werte an. Damit das Integral über f X1,...,X n tatsächlich Eins ergibt, muss mit multipliziert werden. Beispiel im R 2 : Die gemeinsame Dichte f (1,2) (x 1, x 2 ) ist nur für x 1 < x 2 echt positiv, d.h. auf dem oberen Dreieck der Fläche [0, 1] 2. Dies entspricht der Hälfte des Definitionsbereichs auf dem die gemeinsame Dichte von X 1 und X 2 positive Werte annimmt. Somit müssen die Werte von f X1,X 2 auf diesem Dreieck noch mit 2! 2 multipliziert werden, damit das Integral über f X1,X 2 Eins ergibt und f X1,X 2 tatsächlich eine Dichte ist. (b) Geben Sie diese beiden Dichten für n 2, a 4 und b 4 an und plotten Sie die Dichten in R. Gegeben: X 1, X 2 uiv Beta(4, 4) Nebenrechnung: f Xi (x i ) B(4, 4) Γ(4)Γ(4) Γ(4 + 4) 1 B(4, 4) B(4, 4) x4 1 i (1 x i ) [0,1] (x i ) 140x 3 i (1 x i ) 3 1 [0,1] (x i ) (4 1)!(4 1)! (8 1)!

6 Dann ergibt sich die gemeinsame Dichte von X 1 und X 2 als f X1,X 2 (x 1, x 2 ) uiv f X1 (x 1 )f X2 (x 2 ) x 3 1(1 x 1 ) 3 x 3 2(1 x 2 ) 3 1 [0,1] 2(x 1, x 2 ) Die gemeinsame Dichte von X (1) und X (2) ergibt sich als f X(1),X (2) (x 1, x 2 ) 2!140 2 x 3 1(1 x 1 ) 3 x 3 2(1 x 2 ) 3 1 [0,1] 2 (x 1, x < 2 ) { 2f X1,X 2 (x 1, x 2 ), für x 1 < x 2 0, sonst Rest der Aufgabe als R-Code! Weitere Informationen zur Veranstaltung finden Sie unter:

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