Das Schubfachprinzip Seminararbeit im Wintersemester

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1 Seminararbeit im Wintersemester Januar 2015 Gabriel Ehmer HTW Aalen Jan Winz HTW Aalen

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Das Schubfachprinzip Die Anwendungen Einfache Anwendungen Hashing Die Socken von Professor Mathemix Theoretische Informatik Zahlentheoretische Probleme Differenzen von Zahlen Summen Teilen oder nicht Teilen Monotone Unterfolgen Approximation irrationaler Zahlen Beispiele aus der Geometrie Punkte im Quadrat Punkte in einem Würfel Punkte im gleichseitigen Dreieck Punkte in einer Ebene Aussagen über Bekanntschaften Cliquen Satz von Ramsey Dreiecksfreie Graphen Quellen ii

3 Abbildungsverzeichnis 1 Beispiel eines endlichen Automaten Aufteilung in Teilquadrate Aufteilung des Dreiecks Leere Kategorie Fall Fall Beispiel für n + 1 = iii

4 1 Einleitung Diese Seminararbeit beschäftigt sich mit dem Schubfachprinzip. Es wurde erstmals im Jahre 1834 von Dirichlet angewendet. Die englischsprachige Literatur bezeichnet dieses Prinzip als P igeonhole P rinciple, weitere Sprachen verwenden den Namen Dirichlet P rinzip. Das Schubfachprinzip scheint auf den ersten Blick keine große Bedeutung für die Mathematik zu haben, es erlaubt jedoch den Beweis vieler Existenzaussagen ( x : P (x) ) für endliche Mengen M. Dies ist auch dann möglich, wenn kein spezielles Element a M angeben ist. [Juk08, Aig04, Tö06, Kri12] Der Teil 2 befasst sich mit der Definition des Schubfachprinzips. Der darauf folgende Teil 3 beinhaltet Probleme der Mathematik und der Informatik in denen das Schubfachprinzip Anwendung findet. 2 Das Schubfachprinzip Wir betrachten folgende Aussagen: Unter 13 Personen gibt es mindestens zwei Personen, die im selben Monat Geburtstag haben. Unter 367 Personen haben mindestens zwei Personen am selben Tag Geburtstag. Unter 85 Zahlen aus der Menge N gibt es drei Zahlen, die denselben Rest besitzen, nachdem sie durch 42 geteilt wurden. Hinter diesen Aussagen erkennen wir folgendes allgemeines Schema: Theorem 2.1: Das Schubfachprinzip Werden n > m Objekte auf m Schubfächer aufgeteilt, so gibt es mindestens ein Schubfach, welches mehr als ein Objekt enthält. Wir stellen das Schubfachprinzip als eine Funktion f dar. f : N M mit N = n > m = M (1) N, M sind zwei Mengen, wobei M die Menge der Schubfächer darstellt. Diese Funktion ist nicht injektiv. Es existieren damit mindestens zwei verschiedene Objekte der Menge N, die auf dasselbe Schubfach der Menge M abgebildet werden. Betrachten wir die Unkehrfunktion f 1, so stellen wir fest, dass f 1 nicht eindeutig ist. Das bedeutet, es existiert mindestens ein Schubfach a M mit f 1 (a) 2. 1

5 Falls jedes der m Schubfächer maximal ein Objekt enthalten würde, gäbe es insgesamt nicht mehr als m Objekte. Für die Umkehrfunktion f 1 gilt in diesem Fall f 1 (a) 1 a M. (2) Dies ist ein Widerspruch, da das Schubfachprinzip mehr Objekte als Schubfächer voraussetzt. Das Theorem 2.1 zeigt den speziellen Fall. Im allgemeinen gibt es ein Schubfach mit n m Objekten, falls n Objekte auf m Schubfächer aufgeteilt werden. Für die Umkehrfunktion f 1 der Funktion f gilt im allgemeinem Fall: n a M : f 1 (a). m Würde jedes Schubfach höchstens r = n m Objekte enthalten, gäbe es insgesamt maximal r m Objekte. Dies ist wie im speziellem Schubfachprinzip ein Widerspruch, da das allgemeine Schubfachprinzip mehr als r m Objekte voraussetzt. Wir werfen noch einen Blick auf das unendliche Schubfachprinzip. Es zeigt die Existenz einer unendlichen Menge, falls unendlich viele Objekte auf eine endliche Anzahl disjunkter Mengen abgebildet werden. [BZ14, Aig04, Tö06, Kok14, Kri12, Ehm14] 3 Die Anwendungen 3.1 Einfache Anwendungen Hashing Das Prinzip des Hashing ist die Abbildung einer unendlichen Menge U auf eine endliche Menge. Es wird in der Verwaltung von großen Datenmengen mit Hilfe von Zugriffsschlüsseln und in der Kryptographie angewendet. Wir berechnen, zum verwalten unterschiedlicher Objekte aus der Menge U (Datensätze), den Hashwert des Objekts x U durch eine Hashfunktion h(x). Das Ergebnis der Hashfunktion h ist der Zugriffsschlüssel. Er bestimmt die Position des Objekts x in der Hashtabelle. Die Hashtabelle ist dabei ein Feld, dessen Größe der Mächtigkeit der Wertemenge von h entspricht. Hashing bereitet jedoch das Problem der Kollision. Sie entsteht, falls verschiedene Objekte aus der Menge U, denselben Hashwert besitzen. x, y U x y : h(x) = h(y) Wir betrachten als U die Menge der natürlichen Zahlen N. Aus dem Schubfachprinzip folgt, dass eine Kollision spätestens mit dem (n + 1). Objekt aus U auftritt. 2

6 Definieren wir jeden Hashwert als ein Schubfach, so gibt es mindestens ein Schubfach, das mehr als ein Objekt enthält. Das unendliche Schubfachprinzip ist in diesem P roblem ebenfalls anwendbar. Durch die Aufteilung einer unendlichen Menge wie N auf endlich viele Schubfächer, enthält mindestens ein Schubfach unendlich viele Objekte. [Kar13] Die Socken von Professor Mathemix Dieses einfaches Anwendungsbeispiel hat folgenden Aufbau. In einer Kiste liegen 2n einzelne Socken die bis auf ihre Farbe völlig identisch sind. Das bedeutet, n Socken sind schwarz und n Socken sind weiß. Wie viele Socken müssen ausgewählt werden, um garantiert ein Paar in derselben Farbe zu erhalten? Wir definieren die Socken als Objekte und die zwei verwendeten Farben (schwarz und weiß) als Schubfächer. Nach dem Schubfachprinzip (Theorem 2.1) enthält eines der beiden Schubfächer mehr als ein Objekt, wenn die Anzahl der Objekte die Anzahl der Schubfächer übersteigt. Um ein Paar Socken in der selben Farbe zu erhalten, werden drei Socken ausgewählt. Die Anzahl garantiert, dass entweder zwei schwarze, oder zwei weiße Socken enthalten sind. Eine weitere Bedingung an die Auswahl ist folgende: Wie viele Socken müssen ausgewählt werden, um garantiert ein schwarzes Paar erhalten? Die Antwort ist hier n + 2, da im ungünstigstem Fall alle n weiße Socken gezogen werden, bevor zwei schwarze Socken ausgewählt werden. [BZ14] Theoretische Informatik Eine weitere, jedoch triviale Anwendung ist die Feststellung der Minimalität deterministischer endlicher Automaten (DFA). Ein DFA M = (Z, Σ, δ, z, E) ist ein Fünf-tupel. Dabei ist Z eine endliche Zustandsmenge, Σ ein Alphabet, δ : Z a Σ Z eine Überführungsfunktion, z Z der Startzustand des Automaten M und E Z die Menge der akzeptierenden Zustände. Endliche Atomaten entscheiden nach dem lesen der Eingabe x, durch die Überführung in einen entsprechenden Zustand, ob x in einer Sprache L enthalten ist oder nicht. Einer Sprache L Σ kann eine Äquivalenzrelation R L auf Σ zugeordnet werden. Die Äquivalenzrelation ist wie folgt definiert. Definition 3.1: Sei L Σ xr L y z Σ : xz L yz L Die Relationen R L lässt sich in verschiedene Äquivalenzklassen aufteilen. Ist die Anzahl der Äquivalenzklassen von R L endlich, wird die Sprache L durch einen endlichen Automaten entschieden. Diese Tatsache beschreibt der Satz von Myhill und Nerode. 3

7 Theorem 3.2: Myhill, Nerode Eine Sprache L Σ ist genau dann regulär, wenn die Anzahl ihrer Äquivalenzklassen endlich ist. Ein minimaler endlicher Automat M(L) besitzt genau so viele Zustände wie Äquivalenzklassen. Habe M(L) mehr der Zustände als Äquivalenzklassen der Sprache die er entscheidet, folgt aus dem Schubfachprinzip die Existenz einer Äquivalenzklasse, für die es mehr als einen Zustand gibt. [Thi13, Mei01] Z 0 Z 1 Z 2 Z 3 0,1 0 Fig. 1: Beispiel eines endlichen Automaten. 3.2 Zahlentheoretische Probleme Differenzen von Zahlen Dieses Kapitel bezieht sich auf die Teilbarkeit natürlicher Zahlen. Theorem 3.3: Unter n+1 natürlichen Zahlen gibt es immer mindestens zwei Zahlen deren Differenz durch n teilbar ist. Beispiel: Im Beispiel setzen wir n = 5. Die Zahlen {9, 12, 22, 15, 8, 49} sind n + 1 zufällig gewählte Zahlen. Nun fällt auf, dass = 10 durch 5 teilbar ist. Somit wurde das Zahlenpaar aus diesem Beispiel bereits gefunden. Die Schubfächer (Kategorien) werden durch alle möglichen Ergebnisse des Rests bei einer Division bestimmt. Im obigen Beispiel gibt es 5 Kategorien, welche die möglichen Restwerte von 0 bis 4 abbilden. Nach dem Schubfachprinzip werden bei 6 Zahlen im Beispiel bzw. n + 1 Zahlen im Allgemeinen, immer mindestens zwei Zahlen der selben Kategorie zugeordnet. Diese Zahlen sind kongruent modulo n. Sie ergeben mit anderen Worten den selben Rest bei der Division durch n. Wenn man nun die Differenz dieser Zahlen bildet gibt es keinen Rest mehr und die Differenz ist durch n teilbar. Dies lässt sich durch folgende Gleichung veranschaulichen: 4

8 22 12 (mod 5) (mod 5) Oder allgemein: x y (mod n) x y 0 (mod n) [BZ14] Summen Theorem 3.4: Sei n N und a 1,..., a n eine beliebige Folge aus n ganzen Zahlen, dann gibt es unter den Summen l i=k+1 der aufeinanderfolgenden Elemente a k+1,... a l mit k < l n eine Summe, deren Summenwert ein Vielfaches von n ist. Die Objekte der Menge N sind die Summen der ersten i = 0, 1,..., n Elemente der im Theorem 3.4 beschriebenen Zahlenfolge. { } 1 2 n N = 0, a i, a i, a i i=1 Die n + 1 Summen aus N sind unsere Objekte. Als Schubfächer wählen wir die Elemente aus Z n. Dies sind die Zahlen 0, 1,..., n 1. Die Funktion a i i=1 f(x) = x (mod n) verwenden wir für die Zuordnung der Objekte auf die Schubfächer. Aus dem Schubfachprinzip folgt die Existenz von zwei Summen, deren Summenwerte kongruent modulo n sind. Das bedeutet, sie wurden durch f denselben Schubfächern zugeordnet. Der Wert der Summe l k+1 a i der Elemente a k+1,..., a l ist die Differenz der Summenwerte a a k und a a l mit k < l. l k+1 a i ist damit ein Vielfaches von n. [Tö06, Aig04] i=1 l l a i = a i i=k+1 l i=k+1 k i=1 i=1 a i 0 (mod n) a i 5

9 3.2.3 Teilen oder nicht Teilen Damit zwei Zahlen teilerfremd sind muss ihr größter gemeinsamer Teiler eins sein. Nun lassen sich für n + 1 Zahlen der Menge {1, 2, 3,..., 2n} zwei Behauptungen beweisen. Theorem 3.5: Wählt man n + 1 Zahlen der Menge {1, 2, 3,..., 2n} so gibt es unter diesen Zahlen immer zwei teilerfremde. Da unter n + 1 Zahlen mehr als die Hälfte des Gesamtintervalls abgedeckt werden, sind laut Schubfachprinzip zwei dieser Zahlen aufeinanderfolgend. Zwei aufeinanderfolgende Zahlen sind immer teilerfremd. Theorem 3.6: Wählt man n + 1 Zahlen der Menge {1, 2, 3,..., 2n} so gibt es unter diesen Zahlen immer zwei von denen eine Zahl die andere teilt. Seien {a 0, a 1,..., a n } die gewählten Zahlen. Diese n + 1 Zahlen werden im Folgenden als Produkt einer Zweierpotenz geschrieben a i = 2 e i u i. Dabei ist e i eine natürliche Zahl und darf den Wert Null annehmen. Die Zahl u i ist die ungerade Zahl. Nun unterscheidet man zwei Fälle, ist a i ungerade dann ist e i = 0 und u i = a i. Wenn a i gerade ist, zum Beispiel a i = 12 dann wäre e i = 2 und u i = 3. Da in der Menge {1, 2,..., 2n} nur n ungerade Zahlen vorkommen, gibt es ein i und ein j mit i j für die gilt u i = u j. Dargestellt in der oben festgelegten Darstellung wäre dann a i = 2 e i u i und a j = 2 e j u j. Konkret bedeutet dies, dass u i in zwei Zahlen als ungerader Faktor vorhanden ist. Somit ist die Zahl mit der kleineren Zweierpotenz Teiler der Zahl mit der größeren Zweierpotenz. [BZ14] 3.3 Monotone Unterfolgen Die Zahlenfolge a 1,..., a n 2 +1 besteht aus n reellen Zahlen. Unter diesen Zahlen gibt es immer entweder eine monoton steigende oder eine monoton fallende Teilfolge der Länge n + 1. Es gibt zu jedem a i eine Zahl t i, die die Länge der längsten monoton steigende Teilfolge ab a i ist. Die Zahl t i liegt zwischen 1 und n Falls t i n + 1 ist, so 6

10 haben wir die gesuchte monoton ansteigende Teilfolge bereits gefunden. Nun untersuchen wir den Fall für t i n für alle i. Dazu definieren wir eine Funktion f(a i ) = t i [n], die Werte aller a i auf die t i abbildet. Das bedeutet n Elemente werden n Werten zugeordnet. Im Durchschnitt würden dann n2 +1 n = n + 1 n pro t i [n] vorkommen. Daraus folgt nach dem Schubfachprinzip, dass es ein t i gibt, dem n + 1 Elemente zugeordnet werden. Das bedeutet es gibt eine Teilfolge, die n + 1 Elemente enthält. Jetzt muss noch gezeigt werden, dass diese Folge monoton fallend ist. Nehmen wir Elemente a i1,..., a in+1, die von links nach rechts in der Folge sind i 1,..., i n+1. Somit gilt, die Folge ist monoton fallend a i1 > a i2 > > a in+1. Falls a ij < a ij+1 gelten würde, hätte ab a ij+1 die längste monoton wachsende Folge die Länge t i. Daraus folgt, dass auch ab a ij eine längste Folge der Länge t i existieren würde. Da aber dann a ij < a ij+1 gelten würde, hätte diese Folge die Länge t i + 1. Somit muss die Folge a i1 > a i2 > > a in+1 monoton fallend sein. [Aig04, Kri12, Tö06] 3.4 Approximation irrationaler Zahlen Das Theorem 3.7 zeigt die Existenz der Approximation (Näherung) reeller und irrationaler Zahlen, durch rationale Zahlen. Diese Approximation ist beliebig genau. Theorem 3.7: Sei x eine reelle und irrationale Zahl, so existiert für jede natürliche Zahl n, eine rationale Zahl p/q mit 1 q n und x p q < 1 nq 1 q 2 (3) Sei x R\Q so definieren wir die Zahl L(x) als den Abstand zwischen der Zahl x und der ersten ganzen Zahl die kleiner ist als x. Dieser Abstand liegt zwischen 0 und 1. L(x) = x x 0 < L(x) < 1 (4) Zur Anwendung des Schubfachprinzips definieren wie die Zahlen L(ax) mit a = 1, 2,..., n + 1 als Objekte und die Intervalle ( 0, 1 ) ( 1, n n, 2 ) ( ) n 1,..., n n, 1 als Menge der Schubfächer. Diese n Intervalle unterteilen das Intervall (0, 1) in n Teile der Größe 1/n Durch die Definitionen von L(ax) und den Intervallen erhalten wie n + 1 Objekte 7

11 und n Schubfächer. Damit existiert nach dem Schubfachprinzip ein Intervall das mindestens zwei Zahlen enthält. Die Zahlen seien L(ax), L(bx). Ihr Abstand ist durch 0 und der Intervallgröße beschränkt. L(ax) L(bx) = (ax ax ) (bx bx ) nach 4 = (a b)x ( ax bx ) < 1 n Wir wählen q = (a b) und p = ( ax bx ). Dadurch haben wir haben zwei ganze Zahlen p, q gefunden, welche die Ungleichungen qx p < 1 n, x p q < 1 nq erfüllen. Die Zahl q ist die Differenz zweier Zahlen der Menge {1, 2,... n + 1}. Für q gilt damit auch 1 < q < n. [Juk08] 3.5 Beispiele aus der Geometrie Punkte im Quadrat Betrachtet man ein Quadrat der Seitenlänge 3 kann man mithilfe des Schubfachprinzips beweisen, dass es unter zehn Punkten in diesem Quadrat stets zwei Punkte gibt mit dem Abstand 2. Ein Quadrat mit der Seitenlänge 3 lässt sich in neun Quadrate der Seitenlänge 1 aufteilen. Wenn man nun die zehn Punkte auf diese neun Quadrate aufteilt erhält eines der neun Quadrate laut dem Schubfachprinzip zwei Punkte, da in die neun Kategorien (Teilquadrate) zehn Werte (Punkte) eingeordnet werden. Der größte Abstand den zwei Punkte in einem Quadrat haben können ist die Diagonale des Quadrats. Die Diagonale bei einem Quadrat der Seitenlänge 1 ist 2 und somit gibt es unter 10 Punkten auf einem Quadrat der Seitenlänge 3 immer zwei Punkte mit Abstand 2. [BZ14] Punkte in einem Würfel Das Beispiel des Quadrats lässt ähnliche Eigenschaften bei einem Würfel vermuten. Die Behauptung ist herbei, dass unter neun Punkte auf einem Würfel der Kantenlänge 2 stets zwei Punkte gibt deren Abstand 3 ist. Einen Würfel der Kantenlänge 2 kann man in acht Würfel der Kantenlänge 1 aufteilen. Wenn man nun neun Punkte auf diese acht Teilwürfel aufteilt enthält laut dem Schubfachprinzip mindestens ein Teilwürfel zwei Punkte. Der maximale Abstand zweier Punkte in einem Würfel entspricht höchstens der Raumdiagonalen und ist bei einem Würfel der Kantenlänge 1 also 3. [BZ14] 8

12 Fig. 2: Aufteilung in Teilquadrate Punkte im gleichseitigen Dreieck Ähnlich der beiden vorherigen Eigenschaften lässt sich für ein gleichseitiges Dreieck eine Eigenschaft nachweisen. Verteilt man fünf Punkte auf ein gleichseitiges Dreieck der Seitenlänge 1 so gibt es stets zwei Punkte deren Abstand 1 2 ist. Wie in den vorherigen Beispielen teilt man das Dreieck wieder in vier kleinere gleichseitige Dreiecke der Seitenlänge 1 2 auf. Das Schubfachprinzip zeigt nun, dass bei fünf Punkten eines der vier Dreiecke mindestens zwei Punkte enthält. Da es sich um gleichseitige Dreiecke der Seitenlänge 1 2 handelt haben die beiden Punkte den höchstens den Abstand 1 2. [BZ14] Fig. 3: Aufteilung des Dreiecks Punkte in einer Ebene Theorem 3.8: Unter 5 Punkten einer Ebene, dessen Koordinaten ganzzahlig sind. gibt es zwei Punkte deren Mittelpunkt ebenfalls ganzzahlige Koordinaten besitzt. Wir betrachten die Koordinaten der Punkte. Mit dessen Hilfe konstruieren wir vier Kategorien (die Schubfächer). 9

13 Die erste Kategorie enthält alle Punkte dessen x und y Koordinate geradzahlig ist. Die zweite, enthält die Punkte mit gerader x und ungerader y Koordinate. Die dritte enthält die Punkte mit ungerader x und gerader y Koordinate. Ungerade x und y Koordinaten haben die Punkte der vierten Kategorie. Durch die Einsortierung von fünf Punkten in vier Kategorien, gibt es nach dem Schubfachprinzip mindestens eine Kategorie, in diese mehr als ein Punkt einsortiert wurde. Im nächsten Schritt berechnen wir den Mittelpunkt der Strecke zwischen zwei Punkten P 1, P 2 der selben Kategorie wie folgt: ( x1 + x 2 2, y 1 + y 2 2 Sei x 1, x 2 bzw. y 1, y 2 entweder gerade oder ungerade, so ergibt die Summe der x und y Koordinaten der Punkte in einer Kategorie jeweils eine gerade Zahl. Damit sind die Koordinaten des Mittelpunkts der Strecke P 1, P 2 ganzzahlig. [BZ14] ). 3.6 Aussagen über Bekanntschaften Theorem 3.9: In jedem ungerichteten Graphen G = (V, E) mit V 2 Knoten, gibt es mindestens zwei Knoten mit der selben Anzahl an Nachbarn. Ein Knoten v i ist ein Nachbarknoten von v j, falls diese zwei Knoten durch eine ungerichtete Kante verbunden sind. Das bedeutet (v i, v j ) (v j, v i ) E. Eine andere Formulierung oben stehenden Aussage ist: In jeder Gruppe mit n 2 Personen gibt es zwei Personen, mit der gleichen Anzahl an Bekannten innerhalb der Gruppe. Die Bekanntschaft ist symmetrisch. Das Bedeutet, falls die Person P i die Person P j kennt, so ist P i auch ein bekannter von P j. Wir definieren dazu die Kategorien (Schubfächer) K 0, K 1,..., K n 1 so, dass in jeder Kategorie K i die Knoten mit i Nachbarknoten liegen. Durch diese Definition erhalten wir mit n Knoten, n Kategorien. Das Schubfachprinzip scheint auf den ersten Blick jedoch nicht anwendbar, da die Anzahl der Objekte (Knoten) nicht größer der Anzahl verschiedener Kategorien ist. Aus diesem Grund ist eine Kategorie gesucht, dessen Verwendung, eine leere Kategorie impliziert. Gäbe es einen Knoten v i ohne einen Nachbarknoten, welcher sich in der Kategorie K 0 befindet, so kann es keinen Knoten v j in der Kategorie K n 1 geben, der mit allen anderen n 1 Knoten verbunden ist. Einer der Nachbarn von v n 1 wäre somit 10

14 der Knoten v i. Daraus folgt, unter den Kategorien K 0 und K n 1 bleibt eine leer. Damit existieren mehr Knoten als Kategorien die Knoten enthalten. Dies impliziert, nach dem Schubfachprinzip, die Existenz von mindestens zwei Knoten in einem ungerichteten Graphen, dessen Anzahl der Nachbarn identisch ist. [BZ14] v 1 v 2 v 0 v 3 v 6 v 5 v 4 Fig. 4: Leere Kategorie 3.7 Cliquen Wir fragen uns, ob Aussagen über die Existenz größerer Bekanntschaftskreise möglich sind. Dazu zeigen wir: Theorem 3.10: Jeder ungerichtete Graph G = (V, E) mit V = 6 Knoten, enthält den vollständigen Graphen K 3 oder eine unabhängige Knotenmenge der Größe 3. In einer Gruppe mit 6 Personen gilt nach der Behauptung 3.10: Unter 6 Personen gibt es 3 Personen die sich paarweise kennen, oder 3 Personen die sich paarweise nicht kennen. Wir betrachten den Knoten v 0 des Graphen G. Aus dem allgemeinen Schubfachprinzip folgt, dass v 0 entweder mindestens V 1 5 = = Nachbarn besitzt, oder zu mindestens drei Knoten nicht benachbart ist. v 0 habe hier drei Nachbarn, nämlich die Knoten v 1, v 4, v 5. Wir unterscheiden nun zwei einfache Fälle. Im 1. Fall existieren keine Kanten zwischen je zwei der Knoten v 1, v 4, v 5. Diese Knoten bilden somit eine Unabhängige Knotenmenge der Größe 3. Im 2. Fall sind mindestens zwei der drei Nachbarn von v 0 selbst benachbart. Es seien die Knoten v i und v j. Diese beiden Knoten v i, v j bilden zusammen mit v 0 11

15 den vollständigen Graphen K 3. Beide Fälle zeigen die Korrektheit der Behauptung [BZ14, Kri12] v 1 v 2 v 0 v 3 v 5 v 4 Fig. 5: 1. Fall v 1 v 2 v 0 v 3 v 5 v 4 Fig. 6: 2. Fall 3.8 Satz von Ramsey Die Beobachtungen aus 3.7 sind der Beginn der Ramseytheorie. Innerhalb der Ramseytheorie betrachten wir Färbungen der Objekte einer Menge mit r verschiedenen Farben. Dabei entspricht die Menge der r Farben in der Theorie, der Menge der Schubfächer im Schubfachprinzip. Der Satz von Ramsey ist eine weitere Verallgemeinerung des Schufachprinzips. Theorem 3.11: Ramsey Sei k, l, r N, so existiert eine kleinste Zahl R(k, l, r) N, so dass für jede Menge N, mit N R(k, l, r) gilt: Durch jede Färbung ( ) N f : [r] l 12

16 existiert eine Menge K ( ) N k und eine Farbe r0 [r], mit der Eigenschaft f(l) : ( ) N [r 0 ] l L ( ) K. l Sei l = 1, so beschreibt der oben stehende Satz von Ramsey (Theorem 3.11) das Schubfachprinzip. Für l 2, färben wir jeweils Teilmengen der Größe l mit je einer Farbe r i r. Der Satz von Ramsey ist aussagekräftiger als das Schubfachprinzip. Er zeigt die Existenz einer Teilmenge K N der Größe k, dessen l-tupel mit der selben Farbe gefärbt sind. Den Satz von Ramsey werden wir in dieser Arbeit nicht beweisen oder weiter erklären. Wir zeigen aber ein Anwendungsbeispiel. Nach dem Problem aus 3.7 gilt: R(k, l, r) = 6 für k = 3, l = 2, r = 2. Wir färben in der Knotenmenge eines ungerichteten Graphen G = (V, E) alle Tupel (v i, v j ) mit einer Farbe r i r. Ein Tupel wird mit r 0 gefärbt, falls die ungerichtete Kante (v i, v j ) nicht existiert. Sei ein Tupel mit r 1 gefärbt, sind die Knoten v i, v j durch eine ungerichtete Kante verbunden. Der Satz 3.11 zeigt, das in jedem ungerichteten Graphen, dessen Knotenmenge V mindestens 6 Knoten enthält, eine Teilmenge K V der Größe K = 3 existiert, dessen Tupel mit einer Farbe r i r gefärbt sind. [Tar09, Tö06] 3.9 Dreiecksfreie Graphen Die folgende Anwendung kombiniert das Schubfachprinzip mit der vollständigen Induktion. Diese Technik lohnt sich um komplizierte Existenzaussagen zu beweisen. Theorem 3.12: Mantel Falls ein ungerichteter Graph G mit 2n Knoten mindestens n ungerichtete Kanten besitzt, dann besitzt G ein Dreieck. Beweis durch Induktion: Wir betrachten im Induktionsanfang n = 1 einen Graphen G mit 2 Knoten. Dabei bemerken wir, dass ein ungerichteter Graph mit 2 Knoten nur eine Kante besitzt. Die Existenz eines Dreiecks erfordert außerdem mindestens drei Knoten. Der Satz 3.12 ist für n = 1 jedoch wahr. Er beschreibt eine Implikation deren Voraussetzung für n = 1 falsch ist. Wir nehmen im Induktionsschritt von n nach n + 1 an, dass der Satz 3.12 für n gilt und betrachten einen beliebigen ungerichteten Graphen G = (V, E) mit V = 2(n + 1) Knoten und E = (n + 1) Kanten. Die mit dem Induktionsschritt hinzugefügten Knoten x, y sind durch eine ungerichtete Kante verbunden 13

17 (x, y) (y, x) E. Wir definieren den Graphen H als Teilgraphen von G der die Knoten x, y und alle von diesen Knoten ausgehenden Kanten nicht enthält. Die Anzahl der Knoten von H ist 2n. Wir betrachten zwei Fälle: Im 1.Fall enthält der Graph H mehr als n 2 +1 ungerichtete Kanten. Die Induktionsvoraussetzung ist erfüllt. Der Teilgraph H enthält hiermit ein Dreieck und damit auch G. Im 2.Fall enthält H maximal n 2 Kanten. Die Existenz eines Dreiecks in H kann ausgeschlossen werden. Wir wenden hier das Schubfachprinzip an. Die Kantenmenge F enthält alle Kanten die von den Knoten x, y G in den Graphen H führen. Die Mächtigkeit der Kantenmenge F schätzen wir durch die Ungleichung ab. F E n 2 1 ((n + 1) 2 + 1) n 2 1 = 2n + 1 Der Graph H enthält 2n Knoten welche wir als Schubfächer definieren. Die Kanten aus F, welche ausgehend der Knoten x, y, in den Graphen H führen, seien die verschiedenen Objekte. Aus dem Schubfachprinzip folgt die Existenz eines Knoten z im Graphen H, der mit beiden Knoten x, y durch eine ungerichtete Kante verbunden ist. Die Knoten x, y, z bilden das Dreieck. [Juk08, Ehm14] x v 0 v 1 y v 2 v 3 Fig. 7: Beispiel für n + 1 = 3 14

18 4 Quellen Die in dieser Arbeit verwendeten Graphiken wurden innerhalb der Arbeit mit der Umgebung TikZ erstellt, falls sie keine Quellenangabe besitzen. Literatur [Aig04] Martin Aigner. Diskrete Mathematik. Springer Verlag, [BZ14] Albrecht Beutelspacher and Marc-Alexander Zschiegner. Diskrete Mathematik für Einsteiger. Springer Verlag, 5 edition, [Ehm14] Gabriel Ehmer. Grundlagen der mathematik. Mitschrieb der Vorlesung von Prof. Dr. habil. Thomas Thierauf, gelesen im Sommersemester 2013, [Juk08] Stasys Jukna. Crashkurs Mathematik für Informatiker. B.G. Teubner Verlag, 1 edition, [Kar13] Christoph Karg. Algo2: Hashing. Vorlesungsskript, HTW Aalen, [Kok14] Nobert Koksch. Das schubfachprinzip. Vorlesungsskript, TU Dresden, [Kri12] [Mei01] Klaus Kriegel. Logik und diskrete mathematik. Vorlesungsskript, FU Berlin, Christoph Meinel. Automatentheorie und formale sprachen. Vorlesungsskript, UNI Trier, [Tar09] Anusch Taraz. Ramsey theorie. Vorlesungsskript, TU Muenchen, [Thi13] [Tö06] Thomas Thierauf. Minimierung von endlichen automaten. Vorlesungsskript, HTW Aalen, Günter Törner. Algebraische strukturen und diskrete mathematik 1. Vorlesungsskript, UNI Duisburg,