Finanz- und Risikomanagement I

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1 Finanz- und Risikomanagement I Fakultät Grundlagen März 2009 Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement I

2 Grundbegrie Basisgüter Handel Zeitliche Unterteilung Forward/Future Optionen Arbitrage Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement I Folie: 2

3 Grundbegri e Basisgüter Handel Zeitliche Unterteilung Bär und Bulle als Symbol Bulle: steigende Kurse Bär: fallende Kurse Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement I Folie: 3

4 Basisgüter Handel Zeitliche Unterteilung Basisgüter auf Finanzmärkten Gebräuchliche Basisgüter auf Finanzmärkten sind Aktien (z.b. Aktie auf Daimler, BASF,... ) Aktienindizes (z.b. DAX, TecDAX, EURSTOXX50,... ) Anleihen (z.b. Bundeswertpapiere, Länderanleihen, Industrieanleihen,... ) Devisen (z.b. EUR gegen USD, USD gegen GBP,... ) Waren (z.b. Stahl, Schweinebäuche, Getreide, Rohstoe,... ) Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement I Folie: 4

5 Basisgüter Handel Zeitliche Unterteilung Börsen/OTC-Handel Finanzgeschäfte kann man je nachdem, wo die Produkte gehandelt werden, einteilen in Börsengeschäfte: Börse ist ein organisierter Markt für Aktien, Anleihen, Devisen oder Waren. An der Börse werden für alle gehandelten Produkte ein Kaufkurs (Geldkurs) und ein Verkaufskurs (Briefkurs) angegeben. Treen sich Geld- und Briefkurs, so kommt ein Geschäft zustande. Die Produkte an der Börse sind standardisiert. Parkettbörse Elektronische Börse OTC-Geschäfte (OTC = Over The Counter = über den Tresen): Individuell abgesprochene Transaktionen zwischen zwei Finanzmarkt-Teilnehmern. Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement I Folie: 5

6 Basisgüter Handel Zeitliche Unterteilung Börse: Parkettbörse Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement I Folie: 6

7 Basisgüter Handel Zeitliche Unterteilung Börse: Elektronische Börse Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement I Folie: 7

8 Basisgüter Handel Zeitliche Unterteilung Spotgeschäft/Termingeschäft Finanzgeschäfte kann man je nachdem, ob Basisgüter oder in die Zukunft reichende Kontrakte (z.b. Optionen oder Futures) gehandelt werden, einteilen in Spot-Geschäfte: Austausch Basisgüter gegen Geld zum aktuellen Zeitpunkt Termingeschäft: Beim Termingeschäft liegen Vertragsabschluss und Vertragserfüllung zeitlich auseinander. Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement I Folie: 8

9 Forward/Future Optionen Arbitrage Forward Ein Forward ist ein Vertrag zwischen zwei Parteien darüber, ein bestimmtes Basisgut (z.b. Aktie, eine Währung, eine Ware genannt underlying) an einem zukünftigen Zeitpunkt T zu einem jetzt schon festgelegten Preis K zu kaufen bzw. zu verkaufen. Derjenige Kontrahent, der die Aktie zum Zeitpunkt T verkauft, hat eine short position inne (short forward contract). Derjenige Kontrahent, der die Aktie zum Zeitpunkt T kauft, hat eine long position inne (long forward contract). Ein Forward Kontrakt ist immer ein OTC-Kontrakt, d.h. Laufzeit und Verkaufspreis können individuell ausgehandelt werden. Forward-Kontrakte kann man z. B. benutzen, um Währungsrisiken abzusichern. Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement I Folie: 9

10 Forward/Future Optionen Arbitrage Forward; Beispiel Ein Investor geht eine short forward position in einem Devisen-Forward ein. Darin verpichtet er sich, gegen $ zu einem Wechselkurs von $ 1,50 pro zu verkaufen. Welchen Gewinn oder Verlust macht er, wenn am Ende der Laufzeit der Wechselkurs bei a) $ 1,49 pro steht? Investor macht Gewinn: (1, 50 1, 49) = 1000 $ b) $ 1,52 pro steht? Investor macht Verlust: (1, 50 1, 52) = 2000 $ Der Käufer des Devisen-Forward kann damit eine in eingegangene Zahlungsverpichtung gegen Wechselkursschwankungen absichern. Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement I Folie: 10

11 Forward/Future Optionen Arbitrage Future Im Unterschied zum Forward ist ein Future standardisiert, d. h. nur bestimmte Basisgüter Laufzeiten Verkaufspreise. Future wird nur an einer Börse gehandelt. Schon während der Laufzeit eines Futures muss zu festgesetzten Zeitpunkten Geld (Margin) an die Börse bezahlt werden; als Sicherheit für unrealisierte Verluste. Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement I Folie: 11

12 Forward/Future Optionen Arbitrage Marginzahlungen bei Börsentermingeschäften Margin (englisch: Spanne, Rand, Vorsprung) bezeichnet eine Sicherheitsleistung, die bei börsengehandelten Termingeschäften wie Futures oder Optionen durch die jeweilige Börse vom einzelnen Handelsteilnehmer verlangt wird. Der Sinn der Margin besteht darin, sicherzustellen, dass der Inhaber einer Kauf- oder Verkaufspostion (long oder short) seiner Verpichtung auch dann nachkommen wird, wenn der Kursverlauf für ihn ungünstig ist. Initial Margin (englisch: Einschuss-Spanne): wird bei Abschluss des Geschäfts fällig. Additional Margin (englisch: Nachschuss-Spanne): kann jederzeit mittels eines Margin Call abgerufen werden, wenn sich das Geschäft für den Investor negativ entwickelt. Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement I Folie: 12

13 Forward/Future Optionen Arbitrage Optionen I Eine Option ist ein Vertrag zwischen zwei Parteien. Der Käufer der Option erwirbt das Recht aber nicht die Picht ein bestimmtes (Finanz-)Gut Basiswert oder Underlying in einer vereinbarten Menge Kontraktgröÿe zu einem festgelegten Preis Ausübungspreis oder Strike innerhalb einer Frist oder zu einem festgelegten Zeitpunkt Ausübungsfrist bzw. Verfallstermin zu kaufen (Call-Option) oder zu verkaufen (Put-Option). Der Verkäufer der Option übernimmt die Picht, den Basiswert zum vereinbarten Preis zu kaufen bzw. zu verkaufen, falls der Käufer der Optionvon seinem Recht Gebrauch macht. Als Gegenleistung zahlt der Käufer der Option dem Verkäufer eine Prämie den Optionspreis. Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement I Folie: 13

14 Forward/Future Optionen Arbitrage Optionen II Beim Optionshandel gibt es vier Arten von Marktteilnehmern: Käufer einer Call-Option Verkäufer einer Call-Option Käufer einer Put-Option Verkäufer einer Put-Option Bei der Ausübung der Option gibt es folgende Varianten: europäische Optionen können nur am Ende ihrer Laufzeit ausgeübt werden. amerikanische Optionen können jederzeit während ihrer Laufzeit ausgeübt werden. Bermuda Optionen haben nicht nur einen Ausübungstermin, sondern können an mehreren Terminen ausgeübt werden. Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement I Folie: 14

15 Forward/Future Optionen Arbitrage Europäische Call-Option Optionsverkäufer K Kurs Call- Option Call-Option Underlying (Aktien) Kontraktgröÿe M Strike-Preis K Laufzeit T Optionsprämie Optionskäufer G Ausübung keine Ausübung 10 Optionsverkäufer 10 T M Aktien Strike M Optionskäufer Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement I Folie: 15

16 Forward/Future Optionen Arbitrage Europäische Put-Option Optionsverkäufer K Kurs Put- Option Put-Option Underlying (Aktien) Kontraktgröÿe M Strike-Preis K Laufzeit T Optionsprämie Optionskäufer G Ausübung keine Ausübung 10 Optionsverkäufer 10 T M Aktien Strike M Optionskäufer Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement I Folie: 16

17 Forward/Future Optionen Arbitrage Auszahlungsprole Call-Option Payo ohne Prämie Put-Option Payo ohne Prämie K K P K Kurs P K Kurs Übersteigt der Kurs die Schranke K, so wird die Option ausgeübt. Bleibt der Kurs unterhalb der Schranke K, so wird die Option ausgeübt. Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement I Folie: 17

18 Forward/Future Optionen Arbitrage Call-Option; Beispiel I Ein Spekulant setzt darauf, dass der Kurs der L A TEX-Aktie in den nächsten zwei Monaten ansteigen wird. Er hat $ 2000 in bar zur Verfügung. Er überlegt sich entweder die L A TEX-Aktien direkt zu kaufen oder eine Call-Option auf L A TEX zu kaufen. Der Aktienkurs der L A TEX-Aktie beträgt derzeit $ 20. Eine Call-Option auf L A TEX mit einem Strike von $ 22,50 wird an der Börse derzeit für $ 1 angeboten. Der Spekulant hat 1. Kauf von 100 L A TEX-Aktien zwei Alternativen: 2. Kauf von 2000 Call-Optionen auf L A TEX Welchen Gewinn oder Verlust macht der Spekulant, wenn sich der Aktienkurs von L A TEX in zwei Monaten auf a) $ 27 erhöht? b) $ 15 fällt? Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement I Folie: 18

19 Forward/Future Optionen Arbitrage Call-Option; Beispiel II a) Der Aktienkurs erhöht sich von $ 20 auf $ Alternative: Gewinn von 100 (27 20) = 700 $ 2. Alternative: Durch Ausüben von 2000 Optionen erhält man 2000 max(27 22, 50, 0) = 9000 $. Nach Abzug der ursprünglichen Kosten für die Optionsprämie macht der Spekulant also einen Gewinn von ( ) = 7000 $. b) Der Aktienkurs fällt von $ 20 auf $ Alternative: Verlust von 100 (20 15) = 500 $. 2. Alternative: Die Call-Option wird nicht ausgeübt. Daraus folgt ein Verlust von $ Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement I Folie: 19

20 Forward/Future Optionen Arbitrage Call-Option; Beispiel III Payo Aktien Optionen Kurs Man erkennt, dass Optionen gegenüber einer direkten Investition in Aktien eine gröÿeren Gewinn- und Verlustmöglichkeit besitzen. In Anlehnung an physikalische Gesetzmäÿigkeiten spricht man von einem gröÿeren Hebel (Leverage). Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement I Folie: 20

21 Forward/Future Optionen Arbitrage Arbitrage Als Arbitrage wird ganz allgemein ein risikoloser Gewinn ohne eigenen Kapitaleinsatz beim Handel mit Finanzgütern bezeichnet. Eine Arbitragemöglichkeit entsteht z. B. durch Kursunterschiede gleicher Werte wie z. B. Aktien, Devisen an verschiedenen Finanzplätzen. Man kauft solche Werte auf dem Markt mit dem niedrigeren Preis mit geliehenem Geld und verkauft diese dann auf dem Markt zu einem höheren Preis. In gut funktionierenden Märkten sorgt die Transparenz dafür, dass es keine oder nur kleine und kurzzeitig vorhandene Arbitragemöglichkeiten gibt. No-Arbitrage Prinzip Es ist auf dem Finanzmarkt nicht möglich, einen risikolosen Gewinn ohne eigenen Kapitaleinsatz zu erzielen Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement I Folie: 21

22 Forward/Future Optionen Arbitrage Arbitrage; Beispiel I Angenommen, Händler A bietet in New York an, Euros in einem Jahr für eine Rate von $ 1,58 pro e zu kaufen. Gleichzeitig bietet Händler B in Frankfurt Euros zum sofortigen Verkauf bei einem Wechselkurs von $ 1,60 pro e an. Weiterhin sei angenommen, dass US-Dollars zur Zeit mit einer jährlichen Zinsrate von 4% geliehen werden können und Euros zu einem jährlichen Zinssatz von 6% angelegt werden können. Wie kann ein Investor, der kein Geld hat, mit geliehenem Geld zu einem kleinen Vermögen kommen? Untersuchen Sie die Auswirkung von Kurs- und Zinsdierenz! Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement I Folie: 22

23 Forward/Future Optionen Arbitrage Arbitrage; Beispiel II $ ,00 4 % $ , ,00 Händler B Händler A e 6.250,00 6 % e 6.625,00 1. Der Investor leiht sich $ zu einem jährlichen Zinssatz von 4%. 2. Der Investor wechselt die $ unmittelbar bei Händler B in Euro und erhält = 6250 e Der Investor legt e 6250 für ein Jahr auf einem Bankkonto zu einem Zinssatz von 6% an. Gleichzeitig schlieÿt er mit Händler A einen Forward Kontrakt ab (Händler A hat die long forward position auf Euro inne, der Investor hat die short forward position auf Euro inne). 4. Nach einem Jahr erhält der Investor e 6250 plus e 375 an Zinsen zurück. 5. Der Investor verkauft im Zuge seines Forward Kontraktes e 6625 an Händler A und erhält dafür , 58 = , 50$. 6. Der Investor zahlt an die Bank $ plus $ 400 an Zinsen zurück Risikoloser Gewinn des Investors: $ 67,50. Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement I Folie: 23

24 Forward/Future Optionen Arbitrage Arbitrage Folgerung aus dem No-Arbitrage Prinzip: Haben zwei s (Ansammlung von Basisgütern und n) morgen den gleichen Wert, wie immer sich der Markt von heute auf morgen entwickelt (d. h. Kursschwankungen etc. gleichen sich gegenseitig aus!), dann haben sie auch heute den gleichen Wert. Dies wird sich bei der Bewertung von Optionen zum entscheidenden Grundgedanken entwickeln! Beweis der Folgerung: Wenn die Folgerung nicht zutreen würde, dann könnte man heute das teurere verkaufen und das billigere kaufen. Morgen verkauft man dann das ursprünglich billigere wieder und kauft das ursprünglich teurere zurück. Damit ist die Ausgangssituation wieder hergestellt und es bleibt ein risikoloser Gewinn, der gleich der Dierenz der beiden werte ist. Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement I Folie: 24

25 Aktienkurse Frage: Sind Aktienkurse prognostizierbar? Antwort: Nein! Das Auf und Ab der Aktienkurse ist ein Zufallsprozess (Random Walk) Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement I Folie: 25

26 Aktienkurse; einfache eines Aktienkurses: Ertrag eines Aktiengeschäftes über einen gewissen Zeitraum. Bei Aktien ohne Dividendenzahlung gibt es zwei Möglichkeiten: einfache : = (Endkurs - Anfangskurs) Anfangskurs bzw. Endkurs = (1+einfache ) Anfangskurs Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement I Folie: 26

27 Aktienkurse; logarithmische Kursfolge: S 0, S 1, S 2, S 3,... einfache : S 1 = (1 + r einfach ) S 0 logarithmische : S 1 = e r log S 0 e r log = 1 + r einfach Reihenentwicklung: e x = 1 + x + x 2 2! + x 3 3! x n n! x für x 1 r log und r einfach unterscheiden sich für kleine Veränderungen nur wenig! Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement I Folie: 27

28 einfache versus logarithmische einfache Kurs logarithmische Wert Berechnung Berechnung Wert 100 0, = , = ln ( ) ln ( , 4055 ) = ln ( ) 0, 4055 Vorteil der logarithmischen : Gleichwertiges Anwachsen und Absinken werden durch betragsmäÿig gleiche Kennzahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen beschrieben. Symmetrie: Logarithmischen n liegen symmetrisch zu 0. Additivität: E 2 = e r2 E 1 = e r2 (e r1 E 0 ) = e (r 1+r 2) E 0 = In der Regel wird logarithmische benutzt. Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement I Folie: 28

29 Beispiel Volkswagen AG Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement I Folie: 29

30 Beispiel Allianz Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement I Folie: 30

31 Beispiel Daimler-Benz AG Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement I Folie: 31

32 Beispiel BASF I Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement I Folie: 32

33 Beispiel BASF II Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement I Folie: 33

34 Beispiel BASF III Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement I Folie: 34

35 Aufgrund der bisherigen statistischen Analysen scheint bei normalen Verhältnissen die folgende Modellannahme für die Entwicklung eines Aktienkurses gerechtfertigt: Black-Scholes Modell: ( S t Für die R t = ln einer Aktie mit Kurs S t zum Zeitpunkt t und Kurs S 0 zum Startzeitpunkt t = 0 wird angenommen R t N(µ t, σ 2 t), wobei µ und σ > 0 Konstanten sind. S 0 ) Erwartungswert der im Intervall [0, t]: E(R t ) = µ t. Der Parameter µ gibt die mittlere für die Zeiteinheit t = 1 an. Er wird Drift genannt. Varianz der im Intervall [0, t]: Var(R t ) = σ 2 t. Die auf die Zeiteinheit t = 1 bezogene Standardabweichung σ heiÿt Volatilität der Aktie Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement I Folie: 35

36 ; Beispiel Für eine Aktie wird das Black-Scholes Modell mit Drift µ = 0, 15 und Volatilität σ = 0, 35 bezogen auf ein Jahr angenommen. µ wöchentlich = 0, 00288; σ wöchentlich = 0, 0485; [231, 48; 271, 56] Wie Es Mit seiwelcher groÿ S 0 = 250e. ist Wahrscheinlichkeit der In wöchentliche welchem Intervall übersteigt Drift? liegtder dann Kurs der270 Aktienkurs e? mit einer wöchentlicher Wahrscheinlichkeit, Wahrscheinlichkeit Drift: dassvon Sµ wöchentlich = 0, 15 1 t gröÿer 90 % nach 270 e einer : P(S Woche? t > 270) 52 = 0, % Wie P(S -Zufallsstreubereich für die logarithmische des Aktienkurses hoch t > 270) ist die = Volatilität P(250 bezogen e Rt > 270) auf eine Woche? in einer Woche: wöchentliche 250 e Rt [µ Volatilität: > 270 e Rt > wöchentlich z 0,95 σ1 wöchentlich ; µ R t > ln ( ) wöchentlich + z 0,95 σ wöchentlich ] σ wöchentlich = 0, = 0, = [0, , 65 0, = 0485; P(R 0, t > ln ( 270 1, 250) 65 0, ) 0485] = P(Rt = [ 0, > 077; 0, 0, 0770) 083] Der Aktienkurs in einer = Woche 1 liegt P(R mit t einer 0, Wahrscheinlichkeit 0770) von 90% ( ) im Bereich: [ 250 e 0,077 = ; 250 e 0,083] 1 Φ 0,0770 0, ,0485 = [231, 48; 271, 56] = 1 Φ(1, 53) = 0, 063 6, 3% Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement I Folie: 36

37 ; Simulation Modell für Zufallsvariable R der Tagesrendite R = µ + σ Z mit µ: Tagesdrift; σ: Tagesvolatilität und Z: standardnormalverteilte Zufallsvariable Simulation eines Aktienkurses mit Startwert S 0 Erzeugung 1 einer N(0, 1)-verteilten Zufallszahl z Berechnung der Tagesrendite R = µ + σ z Bestimmung des nächsten Kurswerts S k+1 = S k e R Erzeugt Kursfolge S 0, S 1, S 2, S 3,... 1 Der standardisierte Zufallszahlengenerator erzeugt [0, 1]-gleichverteilte Zufallszahlen. Daraus werden dann N(0, 1)-verteilte Zufallszahlen errechnet, z. B. mit der Box-Müller-Methode. (Vgl. OR-Skript) Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement I Folie: 37

38 ; Beispiel Deutsche Bank Simulation Aktienkurse mit Drift: ; Volatilität: ; 110 Vergleich von simulierten Kursen und dem historischen Kursverlauf 105 am Beispiel: Kurs 100 tägliche Drift und tägliche Volatilität wird aus dem historischen Kursverhalten zwischen und geschätzt: µ = σ = Simulation von 20 möglichen Kursverläufen mit 80 dem realen Startwert am S 0 = Der echte Kursverlauf wird zusammen mit dem σ-, 2σ-, 3σ-Bereich eingezeichnet. real dbank 70 Erwartungswert σ Bereich 2σ Bereich 65 3σ Bereich sim. Aktienkurse Tage ab Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement I Folie: 38

39 ; Verteilung der Kurse Die Normalverteilungsannahme für die logarithmischen n eines Aktienkurses bei der Simulation bedeutet, dass der Aktienkurs nach t Zeitschritten log-normalverteilt ist. Erwartungswert und Varianz (µ+ σ2 E(S t ) = S 0 e e2 ( Var(S t ) = S0 2 2 µ+ σ2 ) t 2 ) ( ) t e σ2 t 1 Erwartungswert und Varianz identisch! Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement I Folie: 39

40 ; Simulation Kurse Kurs Simulation Aktienkurse mit Drift: 0.002; Volatilität: ; Anzahl: 2000; 54.5 simulierte Kurse; gemittelt 54 Erwartungswert Tage Simulation Aktienkurse mit µ End = ; σ End = ; Anzahl: 2000; (µ+ E(S t) = S 0 σ2 ) e 2 t = e ( ) 30 = e2 ( Var(S t) = S 2 µ+ σ2 ) ( ) 2 t e σ2 t 1 0 ( ) = E(S t) 2 e = = Simulation Aktienkurse mit µ End = ; σ End = ; Anzahl: 2000; Häufigkeit log. Häufigkeit Endkurs Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement I Folie: 40

41 s In der Praxis besitzen Investoren viele Anlagemöglichkeiten: Staatsanleihen, Aktien, Optionen, Edelmetalle, Währungen etc. In der Regel wird ein Investor nicht sein ganzes Geld in eine Anlage investieren, sondern es auf mehrere Anlagen verteilen. Alle Anlagen zusammen bilden ein. In diesem Abschnitt sollen Verfahren entwickelt werden, wie man in einfachen Fällen in Bezug auf und Risiko optimierte s zusammenstellt. Staatsanleihen von wirtschaftlich entwickelten Staaten betrachtet man als risikolos. Sie werfen eine sichere, den sogenannten risikolosen Zinssatz ab. Dieser dient als Messlatte für risikobehafteten Anlagen, die längerfristig eine höhere einbringen sollten. Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement I Folie: 41

42 Risiko eines s Bewertung des Risikos einer Anlage: Standardabweichung 2 σ der n bei den historischen Kursverläufen, d. h. aus den Schwankungen der Vergangenheit wird auf die Zukunft geschlossen. (In der Regel wird hier die einfache benutzt.) Jahr Schlusskurs in e Aktie A einfache Aktie B Schlusskurs in e einfache % % % % % % % % % % Arith. Mittel Standardabw % 8.52 % Beobachtung: Gute n von A korrespondieren mit schlechteren n von B und umgekehrt. Grundidee: Mischen der beiden Anlageformen verkleinert Risiko! 2 Dabei benutzt man im Allgemeinen den Maximum-Likelihood-Schätzer, d. h. man dividiert durch n und nicht durch (n 1). Häug wird auch ein exponentiell gewichtetes Mittel benutzt. Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement I Folie: 42

43 Zwei Anlageformen I Der Betrag von e werde zu 60 % in Aktien A und zu 40 % in Aktien B angelegt. einfache Wert in e Verhältnis Wert in e Jahr Aktie A Aktie B Aktie A Aktie B (A : B) (60 : 40) % 5.88 % (61 : 39) % % (55 : 45) % 5.00 % (58 : 42) % % (64 : 36) % % (63 : 37) Beobachtung: Die Anteile von A und B schwanken. Umschichtung: Verkauf einer Aktiensorte und Wiederanlage in die andere Sorte mit dem Ziel das Verhältnis konstant zu halten. EXCEL Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement I Folie: 43

44 Zwei Anlageformen; Varianz einer Summe? Aktienkurse als Realisierung zweier Zufallsvariabler X 1, X 2 var(x 1 + X 2 ) = var(x 1 ) + var(x 2 ) + 2 cov(x 1, X 2 ) = σ 2 A + σ2 B + 2 ρ A,B σ A σ B ρ A,B : Korrelationskoezient zwischen den beiden n Varianz bzw. Standardabweichung ist Maÿ für Risiko Ein mit den Anteilen α, β 0 an Aktien A bzw. B mit n µ a, µ B, Standardabweichungen σ A, σ B und dem Korrelationskoezienten ρ A,B ergibt die µ p mit Varianz σ 2 : P µ P = αµ A + βµ B σ 2 P = α 2 σ 2 A + β2 σ 2 B + 2 α β ρ A,B σ A σ B bzw. mit α = t, β = 1 t, 0 t 1 µ P = t µ A + (1 t) µ B σ 2 P = t 2 σ 2 A + (1 t)2 σ 2 B + 2 t (1 t) ρ A,B σ A σ B Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement I Folie: 44

45 Zwei Anlageformen; Beispiel EXCEL: µ A = 8, 52 µ B = 5, 65 σ A = 12, 82 σ B = 8, 52 ρ A,B = 0, 4036 Die Korrelation ist die Schlüsselgröÿe der -Theorie! Variiert ρ A,B zwischen -1 und 1, so ergibt sich der grau unterlegte Bereich. µ P ρ = ρ = 0.9 ρ = σ B σ A = B 5 10 A σ P Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement I Folie: 45

46 Zwei Anlageformen; minimales Risiko I F (t) = σ 2 P = t2 σ 2 A + (1 t)2 σ 2 B + 2 t (1 t) ρ A,B σ A σ B F (t) = 2t σ 2 A 2(1 t) σ2 B + 2 (1 2t) ρ A,B σ A σ B F (t)! = 0 t min = σ B (σ B ρ A,B σ A ) σ 2 A + σ2 B 2ρ A,B σ A σ B Wann gilt: 0 t min 1 o. B. d. A. σ A σ B Ungleichung 1: σ B (σ B ρ A,B σ A ) σ 2 A + σ2 B 2ρ A,B σ A σ B 1 σ B (σ B ρ A,B σ A ) σ 2 A + σ2 B 2ρ A,B σ A σ B 0 σ 2 A ρ A,B σ A σ B ; wegen ρ A,B 1 Ungleichung 2: 0 σ B (σ B ρ A,B σ A ) ρ A,B σ B σ A Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement I Folie: 46

47 Zwei Anlageformen; minimales Risiko II Risikoverkleinerung möglich, wenn 1 ρ A,B σ B σ A Aufteilung: α min = t min = β min = 1 t min = σ B (σ B ρ A,B σ A ) σ 2 A + σ2 B 2ρ A,B σ A σ B σ A (σ A ρ A,B σ B ) σ 2 A + σ2 B 2ρ A,B σ A σ B Minimales Risiko: σ 2 P = σ 2 A σ2 B (1 ρ2 A,B ) σ 2 A + σ2 B 2ρ A,B σ A σ B Zugehörige : µ P = α min µ A + β min µ B EXCEL Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement I Folie: 47

48 Zwei Anlageformen; minimales Risiko; Spezialfall Es sei σ A = σ B = σ. Aufteilung: α min = t min = σ (σ ρ A,B σ) 2 σ 2 2ρ A,B σ 2 = 1 2 = β min Minimales Risiko: σ 2 P = σ4 (1 ρ 2 A,B ) 2σ 2 2ρ A,B σ 2 = σ2 1 + ρ A,B 2 Zugehörige : µ P = 1 2 µ A µ B vollständig korrelierte Anlagen, d. h. ρ A,B = 1 σ P = σ negativ korrelierte Anlagen, d. h. ρ A,B = 1 σ P = 0 unkorrelierte Anlagen, d. h. ρ A,B = 0 σ P = σ 2 Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement I Folie: 48

49 mehrere Anlagen; Matrizenformulierung mit n Anlagen Gewichte: w = [w 1, w 2,..., w n ] ; n: m = [µ 1, µ 2,..., µ n ] c 1,1 c 1,2... c 1,n c 2,1 c 2,2... c 2,n Kovarianzmatrix: C = ; c n,1 c n,2... c n,n n w k = 1 k=1 c i,k = ρ i,k σ k σ i : µ P = m w T σ 2 P = w C w T 1 = w u T 0 w, mit u = [1, 1,..., 1] Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement I Folie: 49

50 mehrere Anlagen; Matrizenformulierung; minimales Risiko Benutzt werden Matrizenkalkül und Lagrangeformalismus. Lagrangefunktion: F (w, λ) = w C w T + λ(1 w u T ) F (w, λ) w F (w, λ) λ = 2w C λu w = λ 2 u C 1 (1) = 1 w u T 1 = w u T = λ 2 u C 1 u T (2) aus (2): λ 2 = 1 u C 1 u T eingesetzt in (1) ergibt die optimale Gewichtung: w = u C 1 u C 1 u T Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement I Folie: 50

51 minimales Risiko bei vorgegebener µ (1) Lagrangefunktion: F (w, λ 1, λ 2 ) = w C w T + λ 1 (1 w u T ) + λ 2 (µ w m T ) F (w, λ 1, λ 2 ) w = 2w C λ 1 u λ 2 m w = λ 1 2 u C 1 + λ 2 m C 1 (1) F (w, λ 1, λ 2 ) λ 1 = 1 w u T 1 = w u T (2) F (w, λ 1, λ 2 ) λ 2 = µ w m T µ = w m T (3) (1) in (2) und (3) eingesetzt, ergibt LGS für λ i in Abhängigkeit von µ. λ 1 2 λ 2 = = 1 m C 1 u T µ m C 1 m T D u C 1 u T 1 u C 1 m T µ D 1 = λ 1 2 u C 1 u T + λ 2 m C 1 u T µ = λ 1 2 u C 1 m T + λ 2 m C 1 m T mit D = u C 1 u T u C 1 m T m C 1 u T m C 1 m T Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement I Folie: 51

52 minimales Risiko bei vorgegebener µ (2) Insgesamt erhält man für die optimalen Gewichte: 1 m C 1 u T µ m C 1 m T u C 1 + u C 1 u T 1 u C 1 m T µ w = u C 1 u T m C 1 u T u C 1 m T m C 1 m T m C 1 w hängt linear von der vorgegebenen µ ab. Die Nichtnegativitätsbedingung wurde nicht berücksichtigt. Ebenso wurde die Existenz der Inversen C 1 vorausgesetzt. Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement I Folie: 52

53 mit 3 Anlagen; Beispiel (1) Parameter der Anlagen: µ 1 = 0.10, σ 1 = 0.28, ρ 1,2 = ρ 2,1 = 0.10 µ 2 = 0.15, σ 2 = 0.24, ρ 2,3 = ρ 3,2 = 0.20 µ 3 = 0.20, σ 3 = 0.25, ρ 3,1 = ρ 1,3 = 0.25 m = [ ], u = [1 1 1]; Berechnung von c i,j = ρ i,j σ i σ j ( 0.10) C = ( 0.10) Kovarianzmatrix: C = Weitere Berechnung gerundet! Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement I Folie: 53

54 mit 3 Anlagen; Beispiel (2) C 1 = u C 1 = [ ] m C 1 = [ ] u C 1 u T = m C 1 m T = u C 1 m T = m C 1 u T = u C 1 u T u C 1 m T m C 1 u T m C 1 m T = Kleinste Varianz: w = u C 1 u C 1 T = [ ] u : µ = w m T = 0.146; Varianz: σ 2 = w C w T = Kleinste Varianz zu vorgegebenem µ 1 m C 1 u T µ m C 1 m T u C 1 + u C 1 u T 1 u C 1 m T µ m C 1 w = u C 1 u T m C 1 u T u C 1 m T m C 1 m T = [ ] + µ[ ] Varianz: σ 2 = w C w T = µ µ 2 Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement I Folie: 54

55 mit 3 Anlagen; Beispiel (3) Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement I Folie: 55

56 Eziente s Ein heiÿt P ezient, wenn: jedes andere Q mit mindestens gleich groÿer wie P (d. h. µ Q µ P ) ein gröÿeres Risiko als P (d. h. σ Q > σ P ) besitzt. jedes andere Q mit höchstens gleich groÿem Risiko wie P (d. h. σ Q σ P ) eine kleinere als P (d. h. µ Q < µ P ) besitzt. Beide Bedingungen sind äquivalent. Begrenzung: Ezienzkurve Die Menge aller ezienten s heiÿt ecient frontier. Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement I Folie: 56

57 Leerverkäufe; ausgeliehene Aktien werden verkauft einfache Wert in e vor Wert in e nach in % Umschichtung Umschichtung Aktie A Aktie B Aktie A Aktie B Aktie A Aktie B Wert in % Mittelwert in % Standardabweichung(Likelihood) in % Am Ende des 5. Jahres müssen die ausgeliehenen Aktien B für e wiederbeschat und zurückgegeben werden. Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement I Folie: 57

58 Leerverkäufe; höhere und höheres Risiko Die erwartete beträgt 9.96 %, das Risiko % ; also deutlich höher als bei den Einzelanlagen. Die Formeln für die erwartete rendite und das risiko gelten auch für Leerverkäufe. Dabei werden leerverkauften Komponenten mit negativen Anteilen, die überverkauften Komponenten mit Anteilen gröÿer als 1 versehen. µ P = αµ A + βµ B = ( 0.5) 5.65 = σ 2 P = α 2 σ 2 A + β2 σ 2 B + 2 α β ρ A,B σ A σ B = (1.5) 2 (0.1282) 2 + ( 0.5) 2 (0.0852) ( 0.5) ( ) = σ P = bzw % Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement I Folie: 58

59 Leerverkäufe in der Praxis I Beim Leerverkauf (auch short selling) werden Wertpapiere über die Börse verkauft, obwohl der Verkäufer zum Zeitpunkt des Verkaufs die Wertpapiere noch nicht besitzt. Mit dieser Strategie kann der Verkäufer mit überdurchschnittlichen n von fallenden Börsenkursen protieren. Im Gegensatz zu Optionsgeschäften mit festen Optionsterminen handelt es sich bei Leerverkäufen meist um sehr kurzfristige Geschäfte. Beispiel: Klassischer Leerverkauf Ein Leerverkäufer (Shortseller) verkauft über die Börse Aktien der L A TEX-AG zu einem Kurs von e 100. Liefern muss er die Wertpapiere aber erst drei Tage später. Sinkt der Kurs der Wertpapiere zwischen Verkauf und Liefertermin auf e 90, kann der Leerverkäufer e Gewinn erzielen. Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement I Folie: 59

60 Leerverkäufe in der Praxis II Beispiel: Leerverkauf mittels Wertpapierleihe Häug verfügen Leerverkäufer nicht real über das eingesetzte Kapital. Sie hinterlegen lediglich eine Deckungssumme. Dies könnte wie folgt aussehen: Der Leerverkäufer verkauft Aktien der L A TEX-AG zum Kurs von e 100. Er leiht sich die Aktien von seinem Broker und zahlt diesem eine Leihgebühr von e Diese e entsprechen also seinem tatsächlich eingesetzten Kapital. Am Tag, an dem der Leerverkäufer liefern muss, notieren die Aktien der L A TEX-AG z. B. bei e 90. Der Leerverkauf kann daher zu e glatt gestellt werden. Der Leerverkäufer erwirtschaftet auf sein eingesetztes Kapital (e 5.000) einen Gewinn von e , also 100 % (vor Transaktions- und Finanzierungskosten). Man spricht in diesem Falle auch von einer Hebelwirkung. Die reale Kursänderung von rund 10 % wurde für den Verkäufer zu 100 %, der Multiplikator (Hebel) betrug also 10. Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement I Folie: 60