A N H A N G. Zusammenstellung der analytischen Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktionen für die Extremwertstatistik

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Julius Brandt
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1 Abtilung: Hdrologi A N H A N G B Zuantllung dr analtichn Wahrchinlichkitvrtilungunktionn ür di Etrwrttatitik Analtich Wahrchinlichkitvrtilungunktionn

2 Abtilung: Hdrologi INHALTSVERZEICHNIS Litratur Statitich Knngrößn...B- NORMAL-Vrtilung...B- LOG-NORMAL-II-Vrtilung...B-3 LOG-NORMAL-III-Vrtilung...B-4 PEARSON-III-Vrtilung...B-5 LOG-PEARSON-III-Vrtilung...B-6 GAMMA-Vrtilung...B-7 LOG-GAMMA-Vrtilung...B-8 WEIBULL-III-Vrtilung...B-9 LOG-WEIBULL-III-Vrtilung...B- WEIBULL-II-Vrtilung...B- LOG-WEIBULL-II-Vrtilung...B- EXPONENTIAL-Vrtilung...B-3 EXPONENTIAL-II-Vrtilung...B-4 GUMBEL-Vrtilung...B-5 LOG-GUMBEL-Vrtilung...B-6 LITERATUR Abraowitz,Stgun, 968: "Handbook o Mathatical Function", Applid Mathatical Sri, National Burau o Standard, Wahington Baugartnr, Caprlin, 986: "Anwndung von Vrtilungunktionn in dr Hochwartatitik", Warwirtchat, 986, Ht DVWK, 999: "Statitich Anal von Hochwarablü ", DVWK Mrkblättr 5, Koiionvrtrib Wirtchat- und Vrlaggllchat Ga und War bh, Bonn Dck, S., 976: "Angwandt Hdrologi, Til ", VEB Vrlag ür Bauwn, Brlin Krzig, E., 965: "Statitich Mthodn und ihr Anwndung", Vrlag Vandnhock & Ruprcht, Göttingn Plat, E.J., 993: "Statitik und angwandt Wahrchinlichkitlhr ür Bauingniur", Vrlag Ernt & Sohn, Brlin Analtich Wahrchinlichkitvrtilungunktionn

3 Abtilung: Hdrologi Statitich Knngrößn Zur Anpaung dr analtichn Vrtilungunktionn wrdn olgnd tatitich Knngrößn vrwndt: Mittlwrt: n i n i n Varianz: ( i ) n i Standardabwichung: Variationkoizint: C v Schikoizint: C n ( n ) ( n ) n ( i ) i 3 3 Untrchritungwahrchinlichkit: P { X < } P ( X) F ( X) ( )d Übrchritungwahrchinlichkit: P { X } P ( X) P ( X) F ( X) u ü u X Tranoration: F () F () wnn gilt: g () Zur Schätzung dr Paratr dr analtichn Vrtilungunktionn thn di Montn-Schätzung und di Maiu-Liklihood-Schätzung zur Vrügung. Dr Anpaungtt rolgt wahlwi übr dn Kologorov-Sirnov-Tt odr dn nω -Tt. Analtich Wahrchinlichkitvrtilungunktionn Sit: B-

4 Abtilung: Hdrologi NORMAL - Vrtilungn allgin For: d d () ; it : g () π NORMAL-Vrtilung (-paratrig) Entthung: d ; d Dichtunktion: () π Vrtilungunktion: F ( X) π X d Gültigkitbrich: < < Paratr: Ukhrunktion: z + it: z Di Quantil dr Vrtilungunktion wrdn rittlt durch Anwndung von Tablln ür di norirt Größ z (Krzig 965, Plat 993) odr durch Nährungorln ür di tandardiirt Noralvrtilung (Abraowitz, Stgun 965). Analtich Wahrchinlichkitvrtilungunktionn Sit: B-

5 Abtilung: Hdrologi NORMAL - Vrtilungn allgin For: d d () ; it : g () π LOG-NORMAL-II-Vrtilung (-paratrig) Entthung: ln() ; d d Dichtunktion: () π ( ) ln Vrtilungunktion: F ( X) π X ( ) ln d Gültigkitbrich: < < ; < < Paratr: Ukhrunktion: ln + C [ C ] ln v + z + it: v ln z () Di Quantil dr Vrtilungunktion wrdn rittlt durch Anwndung von Tablln ür di norirt Größ z (Krzig 965, Plat 993) odr durch Nährungorln ür di tandardiirt Noralvrtilung (Abraowitz, Stgun 965). Analtich Wahrchinlichkitvrtilungunktionn Sit: B-3

6 Abtilung: Hdrologi NORMAL - Vrtilungn allgin For: d d () ; it : g () π LOG-NORMAL-III-Vrtilung (3-paratrig) Entthung: ln( ) ; d d Dichtunktion: () ( ) π ln ( ) Vrtilungunktion: F ( X) π X ln ( ) d Gültigkitbrich: Paratr: < < ; < < ( ) ln + C v C 3 C + C v 3 v * [ C ] ln v + A C + C + 4 * Cv A 3 B 3 + B C C + 4 Ukhrunktion: z + + it: ln z ( ) Di Quantil dr Vrtilungunktion wrdn rittlt durch Anwndung von Tablln ür di norirt Größ z (Krzig 965, Plat 993) odr durch Nährungorln ür di tandardiirt Noralvrtilung (Abraowitz, Stgun 965). Analtich Wahrchinlichkitvrtilungunktionn Sit: B-4

7 Abtilung: Hdrologi GAMMA - Vrtilungn [ λ ( ) ] Γ() r r allgin For: λ d () λ d ( ) ; it: g() ; λ, r PEARSON-III-Vrtilung (GAMMA-III) (3-paratrig) Entthung: Dichtunktion: () d ; ; d λ Vrtilungunktion: F ( X) ( ) X [ λ ( )] Γ() r d r λ ( ) Gültigkitbrich: < it: C Paratr: 4 r it: C, λ C C C C v Ukhrunktion: + k( C,F () z ) it: z z Di Quantil dr Vrtilungunktion wrdn rittlt durch Anwndung von Tablln ür di norirt Größ z al Funktion von C (Plat 993) odr durch nurich Intgration dr Vrtilungunktion. Analtich Wahrchinlichkitvrtilungunktionn Sit: B-5

8 Abtilung: Hdrologi GAMMA - Vrtilungn [ λ ( ) ] Γ() r r allgin For: λ d () λ d ( ) ; it: g() ; λ, r LOG-PEARSON-III-Vrtilung (LOG-GAMMA-III) (3-paratrig) Entthung: ln() ; ln( ) Dichtunktion: () ; λ Vrtilungunktion: F ( X) ( ) X [ λ ( ln() ln( )] Γ() r d r d d λ ( ln( ) ln( )) Gültigkitbrich: < ; < it:.; C. Paratr: 4 r it: C λ C C C C v ( ) Ukhrunktion: + k C,F () z it: z z ; Di Quantil dr Vrtilungunktion wrdn rittlt durch Anwndung von Tablln ür di norirt Größ z al Funktion von C (Plat 993) odr durch nurich Intgration dr Vrtilungunktion. Analtich Wahrchinlichkitvrtilungunktionn Sit: B-6

9 Abtilung: Hdrologi GAMMA - Vrtilungn [ λ ( ) ] Γ() r r allgin For: λ d () λ d ( ) ; it: g() ; λ, r GAMMA-Vrtilung (PEARSON-II) (-paratrig) Entthung: ; Dichtunktion: () ; d d λ r [ λ ] Γ() r Vrtilungunktion: F ( X) ( ) X d λ Gültigkitbrich: < Paratr: C C v 4 r it: C λ C Ukhrunktion: + k ( C,F () z ) it: z z Di Quantil dr Vrtilungunktion wrdn rittlt durch Anwndung von Tablln ür di norirt Größ z al Funktion von C (Plat 993) odr durch nurich Intgration dr Vrtilungunktion. Analtich Wahrchinlichkitvrtilungunktionn Sit: B-7

10 Abtilung: Hdrologi GAMMA - Vrtilungn [ λ ( ) ] Γ() r r allgin For: λ d () λ d ( ) ; it: g() ; λ, r LOG-GAMMA-Vrtilung (LOG-PEARSON-II) (-paratrig) Entthung: ln() ; Dichtunktion: () ; d d λ [ λ ln() ] Γ() r Vrtilungunktion: F ( X) ( ) X d r λln ( ) Gültigkitbrich: < ; < Paratr: C C v 4 r it: C λ C ( ) Ukhrunktion: + k C,F () z it: z z Di Quantil dr Vrtilungunktion wrdn rittlt durch Anwndung von Tablln ür di norirt Größ z al Funktion von C (Plat 993) odr durch nurich Intgration dr Vrtilungunktion. Analtich Wahrchinlichkitvrtilungunktionn Sit: B-8

11 Abtilung: Hdrologi WEIBULL - Vrtilungn allgin For: d d λ( ) () λ ( ) ; it : g() ; λ, WEIBULL-III-Vrtilung (3-paratrig) Entthung: d ; ; d ( ) Dichtunktion: () ( ) λ λ λ( ) Vrtilungunktion: () F Gültigkitbrich: Paratr: < < it: 3 Γ 3 ( 3 ) 6 Γ( 3) Γ( ) + Γ ( ) Γ( ) Γ ( ) C 3 Γ( ) ( ) [ ] Cvh it : h Γ Cvh h h it: λ Γ + Ukhrunktion: ln F () h + λ ( ) Analtich Wahrchinlichkitvrtilungunktionn Sit: B-9

12 Abtilung: Hdrologi WEIBULL - Vrtilungn allgin For: d d λ( ) () λ ( ) ; it : g() ; λ, LOG-WEIBULL-III-Vrtilung (3-paratrig) Entthung: ln() ; ln( ) ; d d λ ln( ) ln( ) Dichtunktion: () ( ln() ln( ) λ ( ) λ ln( ) ln( ) Vrtilungunktion: () F o ( ) Gültigkitbrich: Paratr: < ; < it: 3 Γ 3 ( 3 ) 6 Γ( 3) Γ( ) + Γ ( ) Γ( ) Γ ( ) C 3 Γ( ) ( ) [ ] Cvh it : h Γ Cvh h h it: λ Γ + h Ukhrunktion: ln F () λ ( ) + ; Analtich Wahrchinlichkitvrtilungunktionn Sit: B-

13 Abtilung: Hdrologi WEIBULL - Vrtilungn allgin For: d d λ( ) () λ ( ) ; it : g() ; λ, WEIBULL-II-Vrtilung (-paratrig) Entthung: ; Dichtunktion: () Vrtilungunktion: F () ; d d λ λ λ Gültigkitbrich: Paratr: < Γ Cv Γ( ) ( ) λ Γ + it: λ ( ) Ukhrunktion: ln F () Analtich Wahrchinlichkitvrtilungunktionn Sit: B-

14 Abtilung: Hdrologi WEIBULL - Vrtilungn allgin For: d d λ( ) () λ ( ) ; it : g() ; λ, LOG-WEIBULL-II-Vrtilung (-paratrig) Entthung: ln() ; ; d d λ ln( ) Dichtunktion: () ( ln() ) λ ( ) λ ln( ) Vrtilungunktion: () F ( ) Gültigkitbrich: < ; < Paratr: Γ Cv Γ( ) ( ) λ Γ + it: Ukhrunktion: ln F () λ ( ) ; Analtich Wahrchinlichkitvrtilungunktionn Sit: B-

15 Abtilung: Hdrologi WEIBULL - Vrtilungn allgin For: d d λ( ) () λ ( ) ; it : g() ; λ, EXPONENTIAL-Vrtilung (-paratrig) Entthung: ; Dichtunktion: () ; d d und: λ λ Vrtilungunktion: () F λ Gültigkitbrich: < Paratr: λ it: λ λ λ ( ) Ukhrunktion: ln F () Analtich Wahrchinlichkitvrtilungunktionn Sit: B-3

16 Abtilung: Hdrologi WEIBULL - Vrtilungn allgin For: d d λ( ) () λ ( ) ; it : g() ; λ, EXPONENTIAL-II-Vrtilung (-paratrig) Entthung: λ( ) Dichtunktion: () d ; ; und: d λ λ( ) Vrtilungunktion: () F Gültigkitbrich: < Paratr: λ it: + λ λ Ukhrunktion: ln F () + λ ( ) Analtich Wahrchinlichkitvrtilungunktionn Sit: B-4

17 Abtilung: Hdrologi EXTREMAL-I - Vrtilungn allgin For: ( ) ( ) d () ; it : d g() GUMBEL-Vrtilung (-paratrig) Entthung: d ; ; d ( ) ( ) Dichtunktion: () Vrtilungunktion: F () ( ) Gültigkitbrich: < Paratr: π 6 it: γ, 5776 λ (Eulr'ch Kontant) ( ( ) Ukhrunktion: ln ln F () Analtich Wahrchinlichkitvrtilungunktionn Sit: B-5

18 Abtilung: Hdrologi EXTREMAL-I - Vrtilungn allgin For: ( ) ( ) d () ; it : d g() LOG-GUMBEL-Vrtilung (-paratrig) Entthung: ln() ; ln( ) ; d d ln( ) ln( ) Dichtunktion: () Vrtilungunktion: F () ( ) ln( ) ln( ) ( ) ( ln( ) ln( )) Gültigkitbrich: Paratr: < ; < it: π 6 it: γ, 5776 λ (Eulr'ch Kontant) Ukhrunktion: ln ( ln( F () ) und: Analtich Wahrchinlichkitvrtilungunktionn Sit: B-6

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Anpassung einer Funktion an Messwerte Anpssung inr Funktion n Msswrt Di Mthod dr klinstn Fhlrqudrt Crl Fridrich Guß (777-855 Brnd Hitznn Msswrt inr Größ wurdn bstit! 8 6 4 8 6 4 3 4 5 6 7 Zit [in] Msswrt t t t 3 3 t 4 4 t n n Funktion zur