Übungen XV: Unternehmensgründung und Innovation

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1 Übungen XV: Unternehmensgründung und Innovation Christian Keuschnigg Universität St.Gallen, FGN Dezember 24 Exercise 1 (Preisindex) (a) Leiten Sie aus dem Ausgabenminimierungsproblem der Konsumenten die Nachfrage in (15.2) unter Verwendung von (15.1) ab. Verwenden Sie die Definition von q D. (b) Zeigen Sie auch, dass q D mit dem Lagrange-Multiplikator des Problems identisch ist. Wie interpretieren Sie das? (c) Zeigen Sie schliesslich, dass die minimalen Ausgaben gleich dem Produkt q D D i aus Preisindex und Mengenindex sind. Lösung: (a) Das Ausgabenminimierungsproblem lautet Z ( N min q j x j dj + λ D (x j ) ()/σ dj x j σ/() ). (i) Der Einfachheit halber unterdrücken wir den Konsumentenindex i. DieBEOlauten h R i (a) x j : q j = λ σ N (x j) 1 σ dj (x σ j) 1/σ, h R i σ/() N (b) λ : D = (x j) ()/σ dj. Die Bedingung (a) muss für jede Variante gelten. Wir dividieren q j durch q N und erhalten nach einer Umformung µ " σ Z N qn x j = x N D = q j µ qn q j (x N ) σ Institut für Nationalökonomie, Varnbüelstrasse 19, CH-9 St.Gallen. (ii) dj # σ. (iii) 1

2 Die zweite Gleichung ersetzt x j in (ii.b). Wir können konstante Terme (jene mit q N und x N ) aus dem Integral herausziehen und erhalten D = x N (q N ) σ Ã q 1 σ j dj 1/(1 σ)! σ. (iv) Nach (15.2) im Text entspricht die runde Klammer dem Preisindex q D,sodasswiraus D = x N q N /q D σ die abgeleitete Nachfrage nach der N-ten Variante in (15.2) erhalten. Für alle anderen Varianten tauscht man den Index N mit j. (b) Man setze für x j die Nachfragefunktion (15.2) in die BEO (ii.a) ein und erhalte 1/() q j = λ q D /q j D ()/σ dj q j /q D D 1/σ. (v) Man kürze q j, ziehe die konstanten Terme q D und D aus der eckigen Klammer heraus und forme um, λ = q 1 σ j dj 1/(1 σ) q D. (vi) Der Schattenpreis λ zeigt, um wieviel der Wert der Zielfunktion (die minimalen Ausgaben) zunimmt, wenn ein zusätzlicher Warenkorb erworben wird. Mit anderen Worten: Der Schattenpreis λ = q D gibt die Kosten für einen Warenkorb bzw. den Preisindex an. (c) Man setze wiederum die Nachfragefunktion x j = q D σ /q j D in die Zielfunktion (minimale Ausgaben) ein und erhalte unter Verwendung der Definition von q D die minimalen Ausgaben als Produkt von Preisindex und Mengenindex: Z N q j x j dj = qj 1 σ dj q Dσ D = q D1 σ q Dσ D = q D D. (vii) Exercise 2 (Kreditfinanzierung) Nach (15.11) muss das erwartete Unternehmereinkommen vor Pauschalsteuer gleich V = pπ 1 z I I w (i) sein. Die Firma nehme einen Kredit D = 1 z I I + w in der Startphase auf und muss in der Reifephase R zurückzahlen. (a) Wie hoch muss R sein, damit die Banken im 2

3 Kreditgeschäft keinen Verlust machen? (b) Welche Dividenden kann nun die Firma an den Unternehmer in den beiden Phasen auszahlen? (c) Wie weit kann bei freiem Marktzutritt π absinken, damit die Gründung gerade noch interessant ist? Wie hoch sind dann die Auszahlungen an den Unternehmer in den beiden Phasen? Lösung: (a) Die Banken zahlen in der Startphase einen Kredit von D aus, erhalten die Rückzahlung aber nur mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p, da im Misserfolgsfall das Unternehmen keine Einnahmen erzielt und daher die Schuld nicht bedienen kann (Bankrott). Der Kredit ist schon für Investitionen ausgegeben worden. Der vereinbarte Rückzahlungsbetrag muss daher die Bedingung pr D erfüllen. Für die Bank ist nur die erwartete Rückzahlung relevant. Sie kann bei unabhängigen Risiken mit dem Gesetz der grossen Zahlen arbeiten, wonach insgesamt mit Sicherheit ein Teil 1 >p> der Gründungen die Startphase überlebt und R > Dzurückbezahlt und der Rest 1 p scheitert und den Kredit nicht bedient. Im Wettbewerb der Banken gilt die Nullgewinnbedingung pr = D. (b) Die Kreditfinanzierung erhöht die Einnahmen des Unternehmens in der Startphase um D und reduziert sie in der Reifephase im Durchschnitt um pr,d.h.umr im Erfolgsfall und um im Falle des Scheiterns. Der Unternehmenswert beträgt daher nach (i) V = p (π R)+ D 1 z I I w. (ii) Wenn der Unternehmer keine Eigenmittel hat, muss die Gründungsinvestition vollständig fremdfinanziert werden. Die vereinbarte Kreditsumme reicht gerade zur Finanzierung der Startinvestition aus. In Ermangelung eigener Einnahmen zahlt die Firma in der Startphase eine Dividende von D 1 z I I =aus. Die Auszahlung in der Reifephase beträgt nach (ii) p (π R). MitpR = D = 1 z I I erhält man also aus (ii) den Unternehmenswert wie in (15.11) bzw. (i). (c) DerfreieMarktzutrittdrücktdieGewinneπ solange, bis die erwartete Auszahlung in der Reifephase gerade p (π R) =w beträgt, damit der Unternehmer für seine Opportunitätskosten, also den entgangenen Löhnen im traditionellen Sektor, entschädigt 3

4 wird und überhaupt erst zur Gründung bereit ist. Unter dieser Bedingung erhalten wir aus (ii) einen Unternehmenswert V = w, der gerade so gut wie das Lebenseinkommen bei unselbständiger Beschäftigung ist. Indem wir pr = D in (ii) einsetzen, erhalten wir wieder (15.12) als Bedingung für Unternehmensgründungen im Wettbewerbsgleichgewicht. Exercise 3 (Walras Gesetz) Es gelte (15.6), 1 = L + E. Gehen Sie von der aggregierten Version der privaten Budgetbeschränkung in (15.3) aus und zeigen Sie (15.17). Lösung: Aus (15.3) und (15.5) leitet man die aggregierte Version der privaten Budgetbeschränkung her, Y = Z + q D D = Z + qxn D, wobei die von den Haushalten nachgefragte Zahl von Varianten mit N D bezeichnet wird. Setze Y aus (15.16) ein und verwende N = pe mit dem Ergebnis Z + qxn D = Y = wl +(q 1) xn IE G. (i) Nachdem der Lohn im traditionellen Sektor w = 1 beträgt, folgt nach einer leichten Umformung die Identität (15.17). Exercise 4 (Komparative Statik) Im Gleichgewicht gilt V = w gemäss (15.12) und E + L =1nach (15.6). Das Gesamteinkommen in (15.16) beträgt daher Y =1 T und die aggregierte Wohlfahrt in (15.3) U =1 T + u (D) q D D.SetzenSienundie Erlössubvention z X =und betrachten Sie die komparativ statischen Auswirkungen einer höheren Gewinnsteuer τ und einer Startsubvention z I, wobei in der Ausgangssituation τ = z I =sei. Verwenden Sie die Dachnotation für prozentuelle Änderungen, d.h., ˆV dv/v etc. Für die Steuervariablen definieren Sie ẑ I dz I / 1 z I und ˆτ dτ/ (1 τ). (a) Bilden Sie das Differential von U und des Staatsbudgets in (15.15) und zeigen Sie du = dt qxn ˆq D, dt = IE ẑ I πn ˆτ. (i) (b) Zeigen Sie, dass die beiden Politikinstrumente folgende Wirkungen entfalten: ˆq D = 1 σ 1 ˆN, ˆN = 1 μ ˆx, 4 I ˆx =ˆτ pπ ẑi. (ii)

5 (c) Nach (ii) erfordert eine Gewinnsteuer eine höhere Absatzmenge und reduziert damit im Gleichgewicht die Produktvielfalt. Die Startsubvention hat gerade die gegenteilige Wirkung. Zeigen Sie nun, indem Sie folgendes Ergebnis herleiten, dass die Gewinnsteuer die Wohlfahrt mindert, während die Startsubvention wohlfahrtssteigernd wirkt: du = q + μ μ IE ẑi λ πn ˆτ. σ λ (iii) Hinweis: Verwenden Sie für den Koeffizienten von ˆτ die Ausdrücke q = σ in (15.1) und μ σ λ > in (15.18). Achtung: Dieses Ergebnis gilt nur unter der Voraussetzung, dass der Staat den monopolistischen Preisaufschlag q>1 nicht korrigiert, indem er auf eine Erlössubvention z X verzichtet. Im Falle einer optimal gesetzten Erlössubvention ist der Konsumentenpreis auf dem effizienten Niveau, so dass die Einführung einer Gewinnsteuer oder Startsubvention keine Wohlfahrtseffekte (in erster Ordnung) haben kann. Lösung: (a) Das Wohlfahrtsdifferential beträgt du = dt + u (D) q D dd D dqd. Wegen der BEO in (15.4) ist die eckige Klammer Null. Mit D dq D = q D D ˆq D und q D D = qxn nach (15.5) folgt die erste Gleichung. Mit z X =lautet das Staatsbudget in (15.15) T = z I IE τ (q 1) xn + G. Wegen der Annahme, dass die Ausgangssituation mit z I = τ =gegeben ist (d.h., die öffentliche Grundlagenforschung ist zunächst mit Pauschalsteuern finanziert, T = G), kann die Wirkung von Änderungen in der Bemessungsgrundlage auf das Steueraufkommen vernachlässigt werden. Daher beträgt das Differential dt = IE dz I (q 1) xn dτ. Weiters gilt wegen z I = τ =auch ẑ I = dz I / 1 z I = dz I und ˆτ = dτ. Wegen π =(q 1) x gemäss (15.1) folgt die zweite Gleichung in (i). (b) Die Änderung des Preisindex erhalten wir aus (15.5). Der Zusammenhang zwischen Produktvielfalt (Anzahl der reifen Firmen) und Absatzmenge folgt unmittelbar aus der Nachfragefunktion in (15.18). Das letzte Ergebnis folgt, indem wir die Änderung des Gewinns nach (15.1), ˆπ =ˆx ˆτ, mit dem logarithmischen Differential der Nullgewinnbedingung (15.12) kombinieren, ˆπ = IdzI w+i = I pπẑi, wobei für die Ausgangssituation 5

6 z I =angenommen und daher w + I = pπ ist. Die so ermittelten Auswirkungen auf Absatzmenge und Produktvielfalt entsprechen der graphischen Analyse in Abbildung 2. (c) Wir kombinieren nun die Ergebnisse in (i) und (ii) und erhalten nach entsprechenden Substitutionen und leichten Umformungen du 1 = qxn σ 1 1 μ I pπ + IE ẑ I + π qx 1 σ 1 1 N ˆτ. (iv) μ In der ersten Klammer verwenden wir N = pe und heben IE heraus. Mit τ =in der Ausgangssituation gilt nach (15.1) π = x/ (σ 1), so dass wir den Effekt der Startsubvention erhalten. In der zweiten Klammer verwenden wir ebenfalls π = x/ (σ 1) und heben π heraus, du =(1+q/μ) IE ẑ I +(1 q/μ) πn ˆτ. Nun beachten wir den Hinweis und erhalten 1 q/μ = λ/ (σ λ) mit σ λ> wegen μ> in (15.18). Es folgt das Ergebnis in (iii). (v) 6