2 Wertemengen Zweck: Modellierung WS (64) 2.1 Mengen Zweck: Modellierung WS (64)

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1 2 Wertemengen 2 Wertemengen Zweck: Beschreibung von Klassen von Gegenständen und Beschreibung von Begriffen Mengen Relationen und Funktionen Algebren Modellierung WS (64) 2.1 Wertemengen : Mengen 2.1 Mengen Zweck: Mengen beschreiben Sammlungen von Objekten M Menge: M ist eine genau abgegrenzte Gesamtheit von realen oder gedachten Objekten, d.h. für jedes vorstellbare Objekt trifft genau eine der folgenden Möglichkeiten zu: a) gehört zu der Gesamtheit b) gehört nicht zu der Gesamtheit. Die Objekte, die zur Gesamtheit gehören, heißen Elemente der Menge; wir schreiben M für die Aussage ist Element der Menge M und M für die Negation der Aussage. Mengen können in Form von Mengendiagrammen dargestellt werden: M Modellierung WS (64)

2 2.1 Wertemengen : Mengen Mengen bezeichnen wir in der Regel mit Großbuchstaben wie M,N,..., gegebenenfalls auch indiziert M 1,M 2,... Elemente von Mengen bezeichnen wir mit Kleinbuchstaben wie,y,...für feste, aber beliebige Elemente und a,b,...für feste Elemente. Die Bezeichnung für ein Element verwenden wir, wenn wir alle Elemente einer Menge M betrachten wollen. Mit der Aussage Sei M. drücken wir aus, dass als Repräsentant der Elemente der Menge M ausgewählt wird. Modellierung WS (64) 2.1 Wertemengen : Mengen Definiton von Mengen M = {A,B,C,...,Z} etensionale Angabe Eine Menge wird beschrieben durch eine eplizite Angabe ihrer Elemente. (vgl. Begriffsumfang) M = { N ist durch 2 teilbar} intensionale Angabe Eine Menge wird beschrieben durch eine charakterisierende Eigenschaft der Elemente, häufig durch Angabe einer Obermenge und eine zusätzliche Eigenschaft, die die Elemente besitzen sollen. M = {2, 4, 6, 8,...} induktive Definiton Eine Menge wird durch einen Konstruktionsprozess für ihre Elemente beschrieben. Die etensionale Schreibweise von Mengen eignet sich für endliche Mengen. In der Verwendung für unendliche Mengen handelt es sich meist um versteckte induktive Definitionen. Die leere Menge (auch mit {}bezeichnet) ist die einzige Menge, die kein Element enthält. Modellierung WS (64)

3 2.1 Wertemengen : Mengen Grundlegende Eigenschaften von Mengen Alle Elemente von Mengen sind verschieden. M = {a, a} enthält das Element a nur einmal. (Weitergehendes Konzept: Multimengen) Die Elemente einer Menge sind ungeordnet. M = {a, b, c} hat kein erstes, zweites und drittes Element, sondern nur ein Element, dass als erstes bzw. zweites oder drittes genannt wurde. Es gibt Mengen, die geordnet werden können, z.b. M = {1, 2, 3, 4, 5}. Die Ordnung auf den Elementen ist aber eine zusätzliche Eigenschaft, die die Menge aufweist. Modellierung WS (64) 2.1 Wertemengen : Mengen Russel s Paradoon Die angegebene Mengenbegriff stammt von Cantor. Russel zeigte, dass diese Art der Definition nicht eakt genug ist, da sie Mengendefinitionen erlaubt, für die die Elementbeziehung nicht entschieden werden kann. Russel gab dazu die folgende Menge an: M sei die Menge alle Mengen, die sich selbst nicht als Element enthalten. Beispiel: Die lieferbaren Bücher werden in einem Verzeichnis aufgelistet. Dieses Verzeichnis selbst hat wieder Buchform, ist über den Buchhandel bestellbar und kann damit ebenfalls in Verzeichnissen lieferbarer Bücher aufgelistet werden. Wir erstellen nun ein Verzeichnis von Verzeichnissen, die sich selbst nicht als lieferbares Buch nennen. Problem: Gilt M M? Wenn ja, dann enthält M sich selbst, also muss gelten M M. Wenn nein, dann enthält M sich nicht selbst, also muss gelten M M. Dieses Dilemma konnte erst durch Einführung der Aiomatischen Mengenlehre behoben werden, die die Definiton von Mengen einschränkt. Meist wird das Aiomensystem von Zermelo und Fränkel verwendet. Modellierung WS (64)

4 2.1 Wertemengen : Mengen Aussagen über Mengen Elementbeziehungen, Teilmengenbeziehungen und Mengengleichheit sind Möglichkeiten, Aussagen mit Mengen zu machen. Seien M und N Mengen. a) Teilmengenbeziehung (Inklusion) M N (M ist eine Teilmenge von N ): Für alle M gilt N. N ist dann eine Obermenge von M. b) Mengengleichheit M = N (M und N sind gleich) : M N und N M. c) Echte Teilmengenbeziehung M N (M ist eine echte Teilmenge von N ): M N und M N. Die Definitonen der Mengenbeziehungen liefern sofort die Möglichkeiten ihres Nachweises mit: Teilmengenbeziehungen zeigt man, indem man nachweist, dass jedes Element der Teilmenge in der Obermenge liegt. Um eine echte Teilmengenbeziehung zu zeigen muss man zusätzlich ein Element angeben, das in der Obermenge, aber nicht in der Teilmenge enthalten ist. Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge: Für alle Mengen M gilt M. Modellierung WS (64) 2.1 Wertemengen : Mengen Einfache Mengenoperationen Mengenoperationen sind Operationen, die aus bekannten Mengen neue Mengen erzeugen. Seien M und N Mengen. a) Durchschnitt M N := { M und N} b) Vereinigung M N := { M oder N} c) Mengendifferenz M \ N := { M N} d) Symmetrische Differenz M N := (M N) \ (M N) e) M und N heissen disjunkt genau dann, wenn M N =. M N Durchschnitt M N Vereinigung M N Differenz M N Symmetrische Differenz Modellierung WS (64)

5 2.1 Wertemengen : Mengen Das Komplement M c einer Menge M besteht aus allen Elementen, die nicht zu M gehören, d.h. M c := { M} Dann gehören aber zu M c mehr Elemente, als man meist beabsichtigt. Das Komplement der Menge der geraden natürlichen Zahlen sollte die Menge der ungeraden natürlichen Zahlen sein. Daher wird das Komplement meist in Bezug auf eine zuvor festgelegte Gesamtmenge U (Definitonsbereich) festgelegt. Man versteht dann unter dem Komplement M c einer Menge M U bzgl. U die Menge M c := { U M} = U \ M Modellierung WS (64) 2.1 Wertemengen : Mengen Kardinalität von Mengen Für endliche Mengen können wir durch Abzählen die Anzahl der Elemente feststellen. Für eine Menge M sei M (auch mit #M oder card(m) bzeichnet) die Anzahl der Elemente in M. Wir sagen M ist die Kardinalität von M. Es gilt: a) =0 b) M N min{ M, N } c) M N = M + N M N d) M \ N M N e) M N = M N M N f) Falls M und N disjunkt, gilt M N =0 Modellierung WS (64)

6 2.1 Wertemengen : Mengen Auch Mengen, die nicht endlich sind, haben eine Kardinalität. Man unterscheidet häufig aber nur abzählbar unendlche Mengen: Jedem Element von M kann eine natürliche Zahl zugewiesen werden, die Elemente also gewissermaßen abgezählt werden. Wenn kein Element von M doppelt gezählt wird und jedes ELement auch an die Reihe kommt, dann gilt M = N. Ein Beispiel für eine abzählbare Menge ist Q, die Menge der rationalen Zahlen. überabzählbare Mengen: Mengen, deren Elemente nicht abgezählt werde können. Ein Beispiel für eine überabzählbare Menge ist R, die Menge der reellen Zahlen. Der Umgang mit Kardinalitäten unendlicher Mengen ist nicht unbedingt intiuitiv: Es gilt beispielsweise, dass die Kardinalität der geraden natürlichen Zahlen N gerade gleich der Kardinalität der Menge der ungeraden natürlichen Zahlen N ungerade ist, und zwar gilt N gerade = N ungerade = N Andererseits gilt N gerade N ungerade = N Also gibt es doch so viele natürliche Zahlen wie gerade und ungerade Zahlen zusammen. Modellierung WS (64) 2.1 Wertemengen : Mengen Potenzmengen Beispiel: Wir würfeln mit 6 Würfeln und fassen die gewürfelten Augenzahlen in der Menge M Wurf zusammen. Wie kann M Wurf aussehen? (Achtung: {1, 1, 2, 3, 3, 3} = {1, 2, 3}) Bis auf die leere Menge kann M Wurf jede Teilmenge von {1, 2, 3, 4, 5, 6} sein. Für eine Mengen M definieren wir die Potenzmenge P(M) (auch mit Pow(M) bezeichnet) durch P(M) :={N N M} Die Potenzmenge P(M) ist die Menge aller Teilmengen von M. Die Elemente von P(M) sind Mengen: für N M gilt N P(M). Es gilt: a) P(M) und M P(M) b) P(M) 1 c) Für endliche Mengen M mit M = n N gilt P(M) =2 n Modellierung WS (64)

7 2.1 Wertemengen : Mengen Kartesisches Produkt Oft begegnen uns Elemente von Mengen nicht einzeln, sondern in fester Kombination mit Elementen anderer Mengen, z.b. Student und Sitzplatz im Hörsaal. Solche Kombinationen drücken wir in geordneten Paaren aus: (Student, Sitzplatz) Die Menge M N der geordneten Paare mit erster Komponente aus M und zweiter Komponente aus N definiert man durch M N := {(, y) M und y N} Verallgemeinert definiert man für festes n N,n 2 und Mengen M 1,...,M n M 1... M n := {( 1,..., n ) i M i für 1 i n} Die Elemente dieser Menge heißen n-tupel. Abkürzung: Falls M 1 =...= M n = M gilt, schreibt man kurz M n = M... M.Der Vollständigkeit halber ergänzt man M 1 := {() M}. Für die Kardinalität gilt: M 1... M n = M 1... M n Modellierung WS (64) 2.1 Wertemengen : Mengen Eigentlich ist für die Defintion von n-tupeln eine induktive Definition nötig, die immer wieder Paare von n-tupeln als erster Komponente und einem Element als zweiter Komponente bildet: Statt (1, 2, 3, 4, 5) müssten wir eigentlich schreiben ((((1, 2), 3), 4), 5). Diese Schreibweise ist mühselig und wird daher wie in der Definition gezeigt, durch ( 1,..., n ) abgekürzt. Zu beachten ist, dass die Reihenfolge im Tupel festgelegt ist. Auch wenn wir M M betrachten, so sind mit a, b M und a b die Paare (a, b) und (b, a) verschieden! Natürlich kannn man Kartesische Produkte ebenfalls verwenden, um neue kartesische Produkte zu bilden. Dann sind die Komponenten der Tupel ihrerseits wieder Tupel. Hier sollten wir aber NICHT abkürzen: ((Name,Vorname),(BMW,520i,PB - XY 123)) Modellierung WS (64)

8 2.1 Wertemengen : Mengen Endliche Folgen Wenn wir variable Anzahlen von Objekten modellieren wollen, beispielsweise die Schlange der Personen an einer Kinokasse, so reicht die Menge nicht dafür aus. Die Reihenfolge der Personen ist wichtig. Tupel kommen nicht Frage, da sie nur feste Kombinationen modellieren. Die Menge M + der nicht-leeren endlichen Folgen über einer Menge M definiert man M + := { M i mit i N,i>0} Mit ε oder auch ()bezeichnet man die leere Folge. Die Menge M aller endlichen Folgen über einer Menge M definiert man M := M + {ε} Modellierung WS (64) 2.1 Wertemengen : Mengen Auch für die endlichen Folgen ist eigentlich eine induktive Definition nötig. Aber zugunsten der einfacheren und intuitiv klaren Definition wird gern darauf verzichtet. Die endlichen Folgen dürfen nicht mit den unendlichen Folgen verwechselt werden, mit denen man sich in der Analysis beschäftigt. Wie zuvor angesprochen, können wir Paare von endlichen Folgen bilden. Aber wieder dürfen wir KEINE Klammern weglassen: ((1, 2, 3, 4), (5, 4, 3, 2, 1)) ((1, 2, 3, 4, 5), (4, 3, 2, 1)) Modellierung WS (64)

9 2.2 Wertemengen : Relationen 2.2 Relationen Zweck: Relationen beschreiben Beziehungen zwischen Elementen von (nicht notwendigerweise verschiedenen) Wertemengen. Rn-stellige Relation: R W 1... W n Für ( 1,..., n ) W 1... W n bedeutet ( 1,..., n ) R : Zwischen den Elementen 1,..., n besteht die Beziehung R. 4-stellige Relation R mit 2 Elementen: R Modellierung WS (64) 2.2 Wertemengen : Relationen Schreibweisen Für eine Relation R sind folgende Schreibweisen gleichbedeutend: ( 1,..., n ) R R( 1,..., n ) Die Relation R gilt für ( 1,..., n ). ( 1,..., n ) gehört zu R. Für zweistellige Relationen sind auch infie Beschreibungen Ry üblich, z.b. y für teilt y <yfür ist kleiner als y Sprechweisen Für R M n sprechen wir auch von einer Relation R über M. In der Schreibweise R( 1,..., n ) bezeichnen wir ein i mit 1 i n als i-tes Argument von R. Andere Relationen Auch die vorgestellten Teilmengenbeziehungen A B, A B und die Mengengleichheit A = B sind Relationen. Der Grundbereich dieser Relationen müsste die Gesamtheit aller Mengen sein. Um hier nicht in Probleme zu geraten, die auch in Russel s Paradoon auftreten, stellen wir uns eine Grundgesamtheit U von Elementen vor und arbeiten mit Teilmengenbeziehungen und Mengengleicheit NUR auf der Potenzmenge P(U) von U. Modellierung WS (64)

10 2.2 Wertemengen : Relationen Beschreibung von Relationen Nach Definition sind Relationen nichts anderes als Teilmengen von Mengen, also Mengen. Daher kommen zur Beschreibung einer Relation R die üblichen Mengenschreibweisen in Frage: intensionale Beschreibung Die Art der Beziehung zwischen den Elementen wird beschrieben, die für R vorliegen muss. R(, y) : teilt y R = {(, y) teilt y} etensionale Beschreibung Die Elemente der Relation R werden aufgezählt. R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} induktive Definitonen Ein Konstruktionsprozess für die Elemente von R wird angegeben. R(w 1,w 2 ): w 1 ist Anfangswort von w 2 1.) (w, w) R für alle w Σ 2.) (w 1,w 2 ) R und s Σ (w 1,w 2 s) R 3.) Keine anderen Wortpaare gehören zu R. Modellierung WS (64) 2.2 Wertemengen : Relationen Beispiele: 1. R 1 N R mit R 1 (, y) gilt, falls der ganzzahlige Anteil von y ist. 2. R 2 N 3 mit R 2 (, y, z) gilt, falls + y = z gilt. 3. Datum Wochentag Monat Jahr: (12, März, 1999) ist ein gültiges Datum, d.h. (12, März, 1999) Datum 4. befreundet_mit Personen 2 : Für alle, y aus Personen gilt befreundet_mit y genau dann, wenn y befreundet_mit gilt. Schreibweisen: ( 1,..., n ) R oder R( 1,..., n ), speziell bei n =2: (, y) R oder R(, y), aber auch Ry (Infinotation). Modellierung WS (64)

11 2.2 Wertemengen : Relationen Relationen werden mit Großbuchstaben bezeichnet P,Q,R,... Formal ist eine Relation eine Teilmenge eines Grundbereiches. Meist ist der Grundbereich ein kartesisches Produkt von Mengen. Mit Hilfe von Relationen formalisieren wir Aussagen über einem Grundbereich, Aussagen, die wir mit wahr oder falsch bewerten können. Für ein Tupel ( 1,..., n ) W 1... W n ist die Aussage ( 1,..., n ) R wahr sein, wenn ( 1,..., n ) tatsächlich Element der mit R bezeichneten Teilmenge von W 1... W n ist, ansonsten ist die Aussage falsch. Zusammengefasst: Die Relation R gilt für die Tupel in R. Man beachte, dass die Elemente einer Relation R Tupel von Elementen sind, d.h. für ( 1,..., n ) R ist die Reihenfolge 1,..., n der Komponenten des Tupels wichtig. Als Spezialfall der obigen Definition können Relationen auch über nur einer Menge definiert sein: R M n Gerade bei solchen Relationen R M n ist die Reihenfolge der Komponenten im Argumenttupel wichtig: R( 1, 2,..., n ) und R( 2, 1,..., n ) sind verschiedene Aussagen, wenn 1 und 2 verschieden sind. Für ( 1,..., n ) R spielt jedes i eine Rolle in der durch R beschriebenen Beziehung zwischen den Elementen 1,..., n aus M. Modellierung WS (64) 2.2 Wertemengen : Relationen Kardinalität von D B Wie viele verschiedene Relationen über den Wertemengen W 1,...,W n gibt es? Genauer: Wie viele verschiedene Relationen über W 1... W n gibt es? Die Wertemenge aller Relationen über W 1... W n ist Pow(W 1... W n ) Falls alle Wertemengen W i endliche Mengen sind, können wir die Kardinalität bestimmen: Pow(W 1... W n ) =2 W 1... W n =2 W 1... W n =2 n i=1 W i Modellierung WS (64)

12 2.2 Wertemengen : Relationen Die Kardinalität der Wertemenge Pow(W 1... W n ) wird entsprechend der Struktur dieser Menge ermittelt: Pow(W 1... W n ) ist Potenzmenge einer anderen Menge. Die Kardinalität der Potenzmenge Pow(M) für eine endliche Menge ist Pow(M) =2 M Also müssen wir die Kardinaltität der Grundmenge M bestimmen. Der Menge M entspricht hier das kartesische Produkt W 1... W n. Die Kardinalität der Wertemenge W 1... W n für endliche Mengen W 1,...,W n ist W 1... W n = W 1... W n = Die Kardinalitäten der Mengen W 1,...,W n setzen wir als bekannt voraus. n W i Die Kardinaltität der Menge Pow(W 1... W n ) ergibt sich also durch Zusammensetzen der Rechenregeln zum Bestimmen der Kardinalität entsprechend dem Aufbau der Menge. i=1 Modellierung WS (64) 2.2 Wertemengen : Relationen Eigenschaften von Relationen R M M Refleivität R ist refleiv : Für alle M gilt R(, ). R refleiv : M : R(, ) Symmetrie R ist symmetrisch : Für alle, y M gilt mit R(, y) auch R(y, ). R symmetrisch :, y M :(R(, y) R(y, )) Transitivität R ist transitiv : Für alle, y, z M gilt mit R(, y) und R(y, z) auch R(, z). R transitiv :, y, z M :((R(, y) und R(y, z)) R(, z)) Eine refleive, symmetrische und transitive Relation heißt auch Äquivalenzrelation. Modellierung WS (64)

13 2.2 Wertemengen : Relationen Zweistellige Relationen R M 1 M 2 über endlichen Mengen M 1 und M 2 können in einer Matridarstellung beschrieben werden: M 1... M 2 R y 1 y 2... y n n + + Ein Eintrag + bedeutet, dass das Tupel zur Relation gehört. Viele Eigenschaften zweistelliger Relationen lassen sich anhand der Matridarstellung erläutern und überprüfen. Beispielsweise bedeutet die Refleivität, dass die Diagonale komplett mit Einträgen+ gefüllt sein muss. Modellierung WS (64) 2.2 Wertemengen : Relationen Beispiele: Refleivität Gleichheit von Zahlen: = y Wahrnehmung: Ich nehme mich als Person wahr. Symmetrie Gleichheit von Zahlen: = y Ungefähre Position: Die Balhornstraße ist in der Nähe des Bahnhofs. Transitivität Gleichheit von Zahlen: = y Verwandtschaft: Peter ist verwandt mit Paul. Aber: Ungefähre Position: Der Bahnhof ist in der Nähe vom Kump. Der Kump ist in der Nähe vom Auld Triangle. Das Auld Triangle ist in der Nähe der Lötlampe. Der Lötlampe ist in der Nähe vom Salue. Das Salue ist in der Nähe der Uni. Also ist die Uni in der Nähe vom Bahnhof. Modellierung WS (64)

14 2.2 Wertemengen : Relationen Weitere Eigenschaften von Relationen R M M (1) Irrefleivität (Antirefleivität) R ist irrefleiv : Für kein M gilt R(, ). R irrefleiv : M : nicht R(, ) Antisymmetrie (Identitivität) R ist antisymmetrisch : Für alle, y M folgt aus R(, y) und R(y, ) auch = y. R antisymmetrisch :, y M :((R(, y) und R(y, )) = y) Asymmetrie R ist asymmetrisch : Für alle, y M folgt aus R(, y), dass R(y, ) nicht gilt. R asymmetrisch :, y M :(R(, y) nicht R(y, )) Modellierung WS (64) 2.2 Wertemengen : Relationen Beachte: Refleivität und Irrefleivität sind verwandte, aber verschiedene Eigenschaften. Insbesondere ist Irrefleivität nicht die Negation der Refleivität. Beispiel: Eine Tür kann offen oder geschlossen (= nicht offen) sein, andererseits kann sie abgeschlossen und nicht abgeschlossen sein. Beide Eigenschaften können in beliebiger Kombination zusammen auftreten. Modellierung WS (64)

15 2.2 Wertemengen : Relationen Weitere Eigenschaften von Relationen R M M (2) Konneität R ist konne : Für alle, y M gilt R(, y) oder R(y, ). R konne :, y M :(R(, y) oder R(y, )) Alternativität R ist alternativ : Für alle, y M mit y gilt entweder R(, y) oder R(y, ). R alternativ :, y M, y :(R(, y) nicht R(y, )) Eine refleive, antisymmetrische und transitive Relation heißt auch Halbordnung oder partielle Ordnung. Modellierung WS (64) 2.2 Wertemengen : Relationen Schwache Konneität (Semikonneität) R ist konne : Für alle, y M gilt = y oder R(, y) oder R(y, ). R konne :, y M :( = y oder R(, y) oder R(y, )) Eine irrefleive und transitive Relation heißt auch strenge Halbordnung. Eine refleive und transitive Relation heißt auch Quasiordnung. Eine konnee, refleive, antisymmetrische und transitive Relation heißt auch totale Ordnung oder lineare Ordnung. Modellierung WS (64)

16 2.2 Wertemengen : Relationen Weitere Eigenschaften von Relationen R M 1 M 2 (1) Rechtseindeutigkeit R ist rechtseindeutig : Für alle M 1 und alle y, y M 2 folgt aus R(, y) und R(, y ) sofort y = y. R rechtseindeutig : M 1 y, y M 2 :((R(, y) und R(, y )) y = y ) Linkseindeutigkeit R ist linkseindeutig : Für alle, M 1 und alle y M 2 folgt aus R(, y) und R(,y) sofort =. R linkseindeutig :, M 1 y M 2 :((R(, y) und R(,y)) = ) Modellierung WS (64) 2.2 Wertemengen : Relationen Weitere Eigenschaften von Relationen R M 1 M 2 (2) Links-Totalität R ist links-total : Für alle M 1 gibt es ein y M 2 mit R(, y). R links-total : M 1 y M 2 : R(, y) Rechts-Totalität R ist rechts-total : Für alle y M 2 gibt es ein M 1 mit R(, y). R rechts-total : y M 2 M 1 : R(, y) Modellierung WS (64)

17 2.2 Wertemengen : Relationen Überprüfung von Eigenschaften Liegt mit R eine zweistellige Relation über einem endlichen Grundbereich M vor, lassen sich die angegebenen Eigenschaften in der Matridarstellung einfach veranschaulichen: Sei M = {1, 2, 3, 4, 5} R In der Zeile steht das erste Argument, in der Spalte das zweite. Ein Eintrag + bedeutet, dass das Tupel zur Relation gehört. Modellierung WS (64) 2.2 Wertemengen : Relationen 1. Refleivität: Die Diagonale muss mit +-Zeichen gefüllt sein. 2. Irrefleivität: In der Diagonalen darf kein +-Zeichen stehen. 3. Symmetrie: Das Muster der +-Zeichen ist symmetrisch zur Diagonalen. 4. Asymmetrie: Von zwei symmetrisch zur Diagonalen liegenden Feldern darf nur eines ein +-Zeichen enthalten. Insbesondere ist die Diagonale leer. 5. Antisymmetrie: Mit Ausnahme der Felder auf der Diagonalen darf von zwei symmetrisch zur Diagonalen liegenden Feldern nur eines ein +- Zeichen enthalten. 6. Konneität: Von zwei symmetrisch zur Diagonalen liegenden Feldern muss eines ein +-Zeichen enthalten. Insbesondere ist die Diagonale komplett gefüllt. 7. Alternativität: Von zwei symmetrisch zur Diagonalen liegenden verschiedenen Feldern muss GENAU eines ein +-Zeichen enthalten. Über die Diagonale wird nichts gesagt. 8. Rechts-Eindeutigkeit: Pro Zeile gibt es nur maimal ein +-Zeichen. 9. Links-Totalität: Pro Zeile gibt es nur mindestens ein +-Zeichen. Modellierung WS (64)

18 2.2 Wertemengen : Relationen 10. Links-Eindeutigkeit: Pro Spalte gibt es nur maimal ein +-Zeichen. 11. Rechts-Totalität: Pro Spalte gibt es nur mindestens ein +-Zeichen. 12. Transitivität: Keine ganz so offensichtliche graphische Korrespondenz. Modellierung WS (64) 2.3 Wertemengen : Funktionen 2.3 Funktionen Zweck: Funktionen beschreiben Zuordnungen von Elementen einer Wertemenge auf Elemente einer anderen (nicht notwendigerweise verschiedenen) Wertemenge. f Funktion: f D B und f rechtseindeutig Für (, y) D B bedeutet (, y) f : Dem Elemente D wird durch f das eine Element y B zugeordnet. D heißt Definitionsbereich (engl. domain) und B Bildbereich oder Wertebereich (engl. range). Funktion f mit 3 Elementen: D f Von jedem Element der Menge D darf nur ein Pfeil starten. B Modellierung WS (64)

19 2.3 Wertemengen : Funktionen Schreibweisen für Funktionen D B bezeichnet die Wertemenge der Funktionen, die von D nach B abbilden. Nach Definition der Funktionen als spezielle zweistellige Relationen gilt: D B Pow(D B) f : D B ist die Signatur der Funktion f und steht für f D B. f() =y steht für (, y) f, f() y steht für (, y) f. Mit f() bezeichnen wir den zugeordneten Wert aus B für den Wert aus D. Im Sinne der Zuordnung sagt man auch, f wird auf D angewendet. Für liefert f das Ergebnis f(). D und B können zusammengesetzte Wertebereiche sein. Ist D ein kartesisches Produkt aus n Wertemengen, so sprechen wir von einer n-stelligen Funktion. fn-stellige Funktion: f : D 1... D n B Modellierung WS (64) 2.3 Wertemengen : Funktionen Beschreibung von Funktionen Nach Definition sind Funktionen ebenfalls nichts anderes als Teilmengen von Mengen, also Mengen. Daher kommen zur Beschreibung einer Funktion f die üblichen Mengenschreibweisen in Frage: intensionale Beschreibung Die Art der Beziehung zwischen den Elementen wird beschrieben, die für f vorliegen muss. f() = 2 + f = {(, y) y = 2 + } etensionale Beschreibung Die Elemente der Relation f werden aufgezählt. f = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} induktive Definitonen Ein Konstruktionsprozess für die Elemente von f wird angegeben. f(w) =n : w hat n Zeichen 1.) f(ε) :=0 2.) w Σ und s Σ f(ws) :=f(w)+1 Modellierung WS (64)

20 2.3 Wertemengen : Funktionen In der Logik und der Mathematik wird manchmal der Begriff der n-stelligen Funktion auch für n = 0 verwendet. Aus der Sicht der Abbildungsvorschrift ist der zugeordnete Wert des Bildbereichs abhängig von den Argumenten der Funktion. Bei einer 0-stellige Funktion haben wir keine Argumente, also ist der zugeordnete Wert konstant. Damit stehen 0-stellige Funktionen für konstante Funktionen, d.h. Funktionen, die genau einen Wert annehmen. Natürlich können auchn-stellige Funktionen mit n>0 konstant sein! Modellierung WS (64) 2.3 Wertemengen : Funktionen Einschränkung von Funktionen In manchen Fällen interessiert nicht die Funktion f D B auf dem gesamten Bereich D, sondern nur auf einem Teilbereich D D. f D auf D eingeschränkte Funktion: f D := {(, y) f D } f D hat die Signatur f D : D B Funktion f mit 3 Elementen: D f Eingeschränkte Funktion f D : D B mit nur noch 2 Elementen. D' D' B Modellierung WS (64)

21 2.3 Wertemengen : Funktionen Eigenschaften von Funktionen f : D B (1) total f ist total : Für alle D gibt es ein y B mit f() =y. f total : D y B : f() =y partiell f ist partiell : Es gibt ein D, so dass für alle y B gilt f() y. f partiell : D y B : f() y Aus Sicht der Funktion als Abbildungsvorschrift ist für eine partielle Funktion die Zuordnung nicht für alle Elemente des Grundbereiches definiert. Wir sagen f ist an diesen Stellen undefiniert. Die Totalität einer Funktion f ist nichts anderes als die bereits definierte Links-Totalität zweistelliger Relationen. Modellierung WS (64) 2.3 Wertemengen : Funktionen In der Mathematik werden Funktionen meist als totale Funktionen eingeführt, ohne dies eplizit als Eigenschaft zu erwähnen. Singularitäten wie die Stelle 0 für die Funktion f() = 1 werden in der Signatur eplizit entfernt: f : R \{0} R. Modellierung WS (64)

22 2.3 Wertemengen : Funktionen Eigenschaften von Funktionen f : D B (2) Injektivität f ist injektiv : Für jedes y B gibt es höchstens ein D mit f() =y. f injektiv : y B, D :((f() =y und f( )=y) = ) Surjektivität f ist surjektiv : Für jedes y B gibt es ein D mit f() =y. f surjektiv : y B D : f() =y Bijektivität (meist nur in Zusammenhang mit totalen Funktionen) f ist bijektiv : Für jedes y B gibt es genau ein D mit f() =y. f bijektiv : y B D :(f() =y und D(f( )=y) = )) Wenn eine totale und bijektive Funktion f : D B eistiert, dann sind die beiden Wertemengen D und B gleichmächtig. Modellierung WS (64) 2.3 Wertemengen : Funktionen Für Funktionen sind andere Begriffe zur Beschreibung von Eigenschaften üblich als für 2-stellige Relationen. Folgende Übereinstimmungen bestehen: Funktion rechts-eindeutige Relation totale Funktion links-totale und rechts-eindeutige Relation injektive Funktion links-eindeutige und rechts-eindeutige Relation surjektive Funktion rechts-totale und rechts-eindeutige Relation totale bijektive Funktion links-totale, rechts-totale, links-eindeutige und rechts-eindeutige Relation Modellierung WS (64)

23 2.3 Wertemengen : Funktionen Beispiele für Funktionen id m : M M mit id M = {(, ) M} identische Funktion auf M Sei ein Grundbereich U gegeben und M U. { w falls M χ M : U {w, f} mit χ M () = f sonst charakteristische Funktion für M +:N N N mit +={((, y),+ y), y N} Addition auf N Modellierung WS (64) 2.3 Wertemengen : Funktionen Kardinalität von D B Wie viele verschiedene Funktionen f : D B gibt es? Genauer: Wie viele verschiedene rechtseindeutige Relationen über D B gibt es? Kurz: Was ist die Kardinalität von D B? Die Wertemenge der Relationen über D B hat für endliche Mengen D und B die Kardinalität Pow(D B) =2 D B Hier sind aber auch Relationen berücksichtigt, die keine Funktionen sind! Für endliche Mengen D und B kann man die Anzahl der totalen Funktionen leicht bestimmen: {f : D B f total } = B D Partielle Funktionen können wir als totale Funktionen auffassen, die an den undefinierten Stellen den neuen Wert zuweisen. Für endliche Mengen D und B ist dann die Anzahl der Funktionen: D B = {f : D B} =( B +1) D Modellierung WS (64)

24 2.3 Wertemengen : Funktionen Die Kardinalität der Wertemenge D B kann hier nicht über die Struktur der Menge ermittelt werden wie bei der Anzahl der Relationen, da hier eine Einschränkung der Menge Pow(D B) über die zusätzlich verlangte Eigenschaft der Rechts-Eindeutigkeit vorliegt. Daher müssen wir versuchen, die definierende Eigenschaft der Wertemenge D B zur Ermittlung der Kardinalität heranzuziehen. Betrachten wir zunächst die totalen Funktionen. Wir gehen von endlichen Mengen D und B aus. Graphisch betrachtet geht bei einer totalen Funktion von jedem Element der linken Menge D ein Zuordnungspfeil aus. Das Ziel eines Zuordnungspfeiles kann jedes Element der rechten Menge B sein. Für jeden Zuordnungspfeil haben wir unabhängig von allen anderen die freie Auswahl des Zielpunktes. Falls D ein Element enthält, können wir diesem Element genau ein Element aus B zuordnen. Dafür haben wir B viele Möglichkeiten. Also gibt es für D =1insgesamt B = B 1 = B D verschiedene Zuordnungen, d.h. totale Funktionen von D auf B. Modellierung WS (64) 2.3 Wertemengen : Funktionen Falls D zwei Elemente enthält, können wir den beiden Elementen unabhängig voneinander jeweils ein Element aus B zuordnen. Dafür haben wir jeweils B viele Möglichkeiten. Also gibt es für D =2insgesamt B B = B 2 = B D verschiedene Zuordnungen, d.h. totale Funktionen von D auf B. Mit Hilfe der Induktion lässt sich die Anzahl der verschiedenen totalen Funktionen von D auf B für eine n-elementige Menge D bestimmen: {f : D B f total } = B n = B D Modellierung WS (64)

25 2.3 Wertemengen : Funktionen Betrachten wir nun alle Funktionen, also die partiellen Funktionen. Graphisch betrachtet geht bei einer partiellen Funktion von jedem Elemnt der linken Menge D höchstens ein Zuordnungspfeil aus. Das Ziel eines Zuordnungspfeiles kann wieder jedes Element der rechten Menge B sein. Für jeden Zuordnungspfeil haben wir unabhängig von allen anderen die freie Auswahl des Zielpunktes. Also besteht der einzige Unterschied zu den totalen Funktionen darin, dass wir zunächst eine Teilmenge D u von D festlegen, die alle die Elemente enthält, von denen kein Zuordnungspfeil ausgehen soll. D sei eine n-elementige Menge. Falls D u = {a 1,...,a k } Dgenau k Elemente enthält, sind dies die einzigen undefinierten Stellen von f. Die auf D \D eingeschränkte Funktion f D\D ist dann total. Die Anzahl der Auswahlmöglichkeiten für D u aus D ( n ist genau k). ( n (Der Binomialkoeffizient k) gibt die Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge an.) Die Anzahl der totalen Funktionen f D\D : D B ist B D = B D k Modellierung WS (64) 2.3 Wertemengen : Funktionen Aufsummiert über die Anzahl der möglichen undefinierten Stellen, also über 0,...,nergibt sich nach Binomi {f : D B} = n k=0 ( n k) B D k =(1+ B ) D Der alternative Ansatz, partielle Funktionen als totale Funktionen aufzufassen, die an den undefinierten Stellen den neuen Wert zuweisen, führt zum gleichen Ergebnis. Wir sehen, dass wir die definierende Eigenschaft der Rechts-Eindeutigkeit für die Wertemenge {f : D B} intensiv zur Kardinalitätsbestimmung nutzen müssen. Modellierung WS (64)

26 2.4 Wertemengen : Terme und Termalgebren 2.4 Terme und Termalgebren Zweck: Schachtelungen von Funktionsanwendungen manipulieren (19 + y 2 )=19 + y 2 Wir unterscheiden: den Wert einer (geschachtelten) Funktionsanwendung, z.b. 7 (5 + 9), und die Zeichenreihe, z.b. 7 (5 + 9), die die Funktionsanwendung beschreibt. In Beweisen treten in Funktionsanwendungen aber (fest, aber beliebig gewählte) Variablen auf, daher ist eine Auswertung nicht möglich! Zweck: Symbolische Verarbeitung von Beschreibungen von Funktionsanwendungen Welches Wissen über Funktionen haben wir zur Verfügung? Modellierung WS (64) 2.4 Wertemengen : Terme und Termalgebren Sorten Die Signatur einer Funktion gibt uns Informationen über Definitions- und Bildbereich. f : D B D kann ein kartesisches Produkt von Mengen sein. Da wir für ein fest, aber beliebig aus D gewähltes das Ergebnis, also den Wert von f() nicht bestimmen können, sind die Wertemengen D und B nicht relevant, es ist nur ihr Name wichtig. Eine Sorte ist ein Name für einen Wertebereich. Der Wertebereich muss nicht weiter definiert sein. Beispiele für Sorten sind N, BOOL,STACK,... Modellierung WS (64)

27 2.4 Wertemengen : Terme und Termalgebren Signaturen Für eine Funktion f : D B oder f : D 1... D n B liefert die Signatur einer Funktion also die Sorten von Definitions- und Bildbereich, sowie die Stelligkeit von f. Im Bereich der Algebren spricht man von Operationen statt von Funktionen. Eine Signatur Σ=(S, F ) besteht aus einer abzählbaren Menge S von Sorten und einer abzählbaren Menge F von Signaturen von Operationen mit Sorten aus S. Wir werden im folgenden nur Signaturen Σ=(S, F ) mit endlichen Mengen S und F betrachten. In F sind auch 0-stellige Operationen enthalten, die sogenannten Konstanten. Diese Operationen dienen als Bezeichner für besondere Elemente aus ihrem Bildbereich. Modellierung WS (64) 2.4 Wertemengen : Terme und Termalgebren Korrekte Terme Eine Signatur Σ=(S, F ) liefert uns die Informationen, die nötig sind, um symbolische Beschreibungen für die Anwendung von Operationen auf Elemente von Grundbereichen zu bilden. Zusätzlich verwenden wir Variable, denen wir jeweils eine Sorte als Grundbereich zuordnen. Für eine Signatur Σ=(S, F ) und eine abzählbare Menge von Variablen wird die Menge T Σ (V ) der korrekten Terme wird induktiv definiert durch 1. Für jede Sorte s S ist eine Variable der Sorte s ein korrekter Term der Sorte s. 2. Für jede Signatur a : s ist a ein korrekter Term der Sorte s. 3. Für jede Signatur f : s 1... s n s und korrekte Terme t i der Sorte s i für 1 i n ist f(t 1,...,t n ) ein korrekter Term der Sorte s. 4. Für jede Sorte s S sind nur so gebildete Zeichenketten korrekte Terme der Sorte s. Die Menge aller korrekten Terme der Sorte s für ein s S bezeichnen wir mit T Σ (V ). Meist sprechen wir kurz von Termen, statt von korrekten Termen. Terme ohne Variable heißen Grundterme. f(t 1,...,t n ) heißt n-stelliger Term, diet i seine Unterterme. Wir nehmen an, dass wir zu jeder Sorte s S abzählbar unendlich viele Variablen zur Verfügung haben. Modellierung WS (64)

28 2.4 Wertemengen : Terme und Termalgebren Nach Definition gilt also V T Σ (V ) Für jede 0-stellige Operation a F gilt a T Σ (V ). Wenn keine mindestens einstelligen Operationen vorhanden sind, so sind dies die einzigen Terme. Damit auch in diesem Fall wenigstens ein Grundterm vorhanden ist, fordert man, dass mindestens eine 0-stellige Operation in F vorhanden ist, also eine Konstante eplizit benannt ist. Wenn die Signatur aus dem Zusmmenhang klar ist und keine besonderen Anforderungen an die Menge der Variablen gestellt werden soll, dann bezeichnen wir T Σ (V ) auch kurz mit T. Modellierung WS (64) 2.4 Wertemengen : Terme und Termalgebren Kantorowitsch-Bäume für Terme Ein Term ist eine Zeichenreihe und enthält NUR Strukturinformation auf Basis der Signatur: Welche Operationen sind nacheinander auszuführen. Diese Struktur ist baumorientiert: 1. Für eine Variable oder eine Konstante a besteht der Baum, der den Term repräsentiert, aus einem Blattknoten mit Label bzw. a. 2. Für f(t 1,...,t n ) besteht der ein repräsentierende Baum aus einem Wurzelknoten mit dem Label f, der als Nachfolger von links nach rechts die Bäume hat, die die Unterterme t 1,...,t n repräsentieren. Die Struktur von nach Definition gebildeten Termen ist eindeutig! Modellierung WS (64)

29 2.4 Wertemengen : Terme und Termalgebren Notationen für Terme Gegeben seien eine n-stellige Operation f und Terme t 1,...,t n der passenden Sorten. Funktionsform: f(t 1,...,t n ) Präfiform: ft 1...t n Postfiform: t 1...t n f Infiform: t 1 ft 2 für zweistellige Operationen Nur die Funktionsform benutzt Hilfszeichen wie Klammern und Kommata, daher ist für das Verständnis dieser Notation kein weiteres Wissen nötig. Nur für die Prüfung der Korrektheit der Sorten in den Argumenten wird die Signatur benötigt. Für die Präfi- und Postfiform wird für mehrfach geschachtelte Terme auch Information über die Stelligkeit der Operationen benötigt. Infinotationen haben sich für häufig benutzte zweistellige Operationen eingebürgert: + y, < y, y,... Modellierung WS (64) 2.4 Wertemengen : Terme und Termalgebren Ablesen der Termnotation Präfi-Notation: Schreibe Label bei erstem Besuch des Knotens f Infi-Notation: Schreibe Label bei vorletztem Besuch des Knotens + * Postfi-Notation: Schreibe Label bei letztem Besuch des Kno- - 5 tens 3 y Modellierung WS (64)

30 2.4 Wertemengen : Terme und Termalgebren Vorsicht bei Infi-Notation! Hier wird zusätzlich Information über benötigt über Präzedenz: Welche Operation bindet stärker? Beispiel: Punktrechnung vor Strichrechnung. über Assozoativität: Welche Operation ist aus einer Reihe gleicher Operationen zuerst auszuführen?? Beispiel: von links nach rechts ausrechnen. In Situationen, in denen die Lage nicht klar ist, sollte man immer Klammern verwenden, um die gewünschte Struktur eakt zu beschreiben: 5+6 7= ( 5) + 6(6 7) ( (5 + 6)) 7 (5 + (6 7))... Auch in Mischungen verschiedener Schreibweisen sind solche Zusatzangaben über Präzedenz und Assoziativität und gliedernde Klammern häufig nötig. Modellierung WS (64) 2.4 Wertemengen : Terme und Termalgebren Grundbereiche der Variablen Für die Variablen aus V, die zur Bildung von Termen verwendet wurden, sollen beliebige Werte der passenden Sorte eingesetzt werden. Über welche Objekte mit passenden Sorten verfügen wir??? Zu jeder Sorte gibt es Terme dieser Sorte! (Die Annahme, dass zu jeder Sorte abzählbar viele Variablen zur Verfügung stehen, liefert uns passende Terme, auch wenn keine passenden Operationen vorhanden sind.) Ziel: Eakte Beschreibung des Vorgehens bei Ersetzungen von Variablen durch Terme Modellierung WS (64)

31 2.4 Wertemengen : Terme und Termalgebren (Simultane) Substitution Für eine Signatur Σ und die Menge der korrekten Terme T Σ (V ) definieren wir die simultane Ersetzung aller Vorkommen einer Variablen (der Sorte s) durch einen Term (der Sorte s): Sei V eine Variable (der Sorte s) und t T Σ (V ) ein Term (der Sorte s). Das Ergebnis der (simultanen) Substitution von durch t, in Zeichen [/t], wird induktiv definiert durch { t falls = y Für eine Variable y ist y[/t] :=. y sonst Für eine Konstante a ist a[/t] :=a. Für einen zusammengesetzten Term f(t 1,...,t n ) ist f(t 1,...,t n )[/t] :=f(t 1 [/t],...,t n [/t]). Achtung: Für t [/t] werden nur die Vorkommen von in t ersetzt, keine Vorkommen in t. Nur eine Ersetzung von Variablen durch Terme ist erlaubt, nicht umgekehrt und nicht Term durch Term. Für t [/t] werden alle Vorkommen von in t simultan ersetzt. Modellierung WS (64) 2.4 Wertemengen : Terme und Termalgebren Mehrfache (Simultane) Substitution Für eine Signatur Σ und die Menge der korrekten Terme T Σ (V ) definieren wir die simultane Ersetzung aller Vorkommen mehrerer, paarweise verschiedener Variablen (auch verschiedener Sorten) durch Terme (der passender Sorten) analog zum obigen Fall: t[ 1 /t 1,..., n /t n ] ist das Ergebnis der simultanen Ersetzung aller Vorkommen von 1,..., n durch die entsprechenden Terme t 1,...,t n analog zur vorherigen Definiton. Vorgehensweise: 1. Markiere in t alle Vorkommen der Variablen 1,..., n. 2. Ersetze in beliebiger Reihenfolge, z.b. von links nach rechts, die markierten Vorkommen von 1,..., n durch die entsprechenden Terme t 1,...,t n. Eine Substitution ersetzt immer nur eine endliche Menge von Variablen durch Terme. Alle Variablen in der Substitution müssen paarweise verschieden sein! Modellierung WS (64)

32 2.4 Wertemengen : Terme und Termalgebren Substitution als Funktion Man kann eine Substitution auch als Abbildung σ : V T Σ (V ) auffassen, die für fast alle Variablen, d.h. mit Ausnahme von höchstens endlich vielen Variablen mit der identischen Abbildung auf V übereinstimmt. Diese Abbildung σ kann man dann mit den zuvor angegebenen Definitionen auf T Σ (V ) fortsetzen: σ : T Σ (V ) T Σ (V ) σ() a a σ(f(t 1,...,t n )) f(σ(t 1 ),...,σ(t n )) Substitutionen sind damit induktiv definierte Funktionen auf T Σ (V ). Modellierung WS (64) 2.4 Wertemengen : Terme und Termalgebren Hintereinanderausführung von Substitution Betrachte t[ 1 /t 1,..., m /t m ][y 1 /t 1,...,y n /t n] Zunächst werden alle Vorkommen von 1,..., m durch die entsprechenden Terme t 1,...,t m ersetzt. Dann werden alle Vorkommen von y 1,...,y n durch die entsprechenden Terme t 1,...,t n ersetzt, also insbesondere in den zuvor eingesetzten Vorkommen von t 1,...,t m. Also muss die Gesamtsubstitution zunächst folgendermaßen aussehen: [ 1 /t 1 [y 1 /t 1,...,y n /t n],..., m /t m [y 1 /t 1,...,y n /t n],...] Der hintere Teil der Substitution ist noch nicht festgelegt. Alle Variablen, die zum im Schnitt { 1,..., m } {y 1,...,y n } gehören, werden duch beide Substitutionen ersetzt. Für die zweite Substitution bleiben für solche Variablen nur die Vorkommen in den zuvor eingesetzten Vorkommen von t 1,...,t m. Alle solchen Vorkommen sind in der teilweise bestimmten Gesamtsubstitution schon berücksichtigt. Es fehlen also nur die Variablen in {y 1,...,y n }\{ 1,..., m }. Dies seien y i1,...,y ik. [ 1 /t 1 [y 1 /t 1,...,y n /t n],..., m /t m [y 1 /t 1,...,y n /t n],y i1 /t i 1,...,y ik /t i k ] Modellierung WS (64)

33 2.4 Wertemengen : Terme und Termalgebren Hintereinanderausführung von Substitution Betrachte [ 1 /t 1,..., m /t m ][y 1 /t 1,...,y n /t n] Vorgehensweise: 1. Wende die zweite Substitution auf die zu ersetzenden Terme der ersten Substituion an. 2. Füge die Ersetzungen y i /t i für alle y i hinzu, die unter den 1,..., m nicht vorkommen. Seien σ und τ zwei Substitutionen. tστ bezeichnet das Ergebnis der Substitutionen σ und τ, wobei zuerst σ und dann τ ausgeführt wird. Beachte die umgekehrte Reihenfolge in Funktionsschreibweise: τ(σ(t)). Beispiel: 1. [/f(y),y/][y/z] =[/f(z),y/] 2. [/f(y, y)][y/g(z,z)] = [/f(g(z,z),g(z,z)),y/g(z,z)] 3. [/y, y/][/y, y/] =[/, y/y] =[] Modellierung WS (64) 2.4 Wertemengen : Terme und Termalgebren Term Matching Durch Anwendung einer Substitution wird ein Term spezialisiert. s umfasst t, falls s durch Anwendung einer Substitution σ zu t spezialisiert werden kann: sσ = t Die Relation s umfasst t definiert eine Halbordnung auf T Σ (V ). Ziel: Verfahren, um Substitutionen zu bestimmen, die s zu t spezialisieren Eine solche Substitution σ heißt Matching Substitution und der Sachverhalt sσ = t heißt Matching. Für zwei Terme s und t ist ein Abweichungspaar (s,t ) ein Paar von verschiedenen Untertermen s von s und t von t, die an korrespondierenden Stellen in den Kantorowitch-Bäumen von s und t auftreten und für die die Labelfolgen oberhalb von s bzw. t bis zur Wurzel übereinstimmen. Die Menge aller Abweichungspaare bezeichnen wir mit A(s, t). Beispiel: f(, g(h(, a))) und f(h(a, b),g(h(y, a))) haben die Abweichungspaare (, h(a, b)) und (, y). Ausgehend von der Funktionsform besteht ein Abweichungspaar aus den Teiltermen, die von links nach rechts gelesen an der ersten Stelle beginnen, an der sich die beiden Terme unterscheiden. Modellierung WS (64)

34 2.4 Wertemengen : Terme und Termalgebren Algorithmus für das Matching Es seien zwei Terme s und t gegeben, die keine Variable gemeinsam haben. Gesucht ist eine Substitution mit sσ = t. Algorithmus: 1. Setze σ =[], also die leere Substitution (identische Abbildung). 2. Solange A(sσ, t) gilt (a) Wähle (s,t ) A(sσ, t). (b) Falls s eine Variable aus s ist, setze σ = σ[s /t ]. (c) Sonst eistiert kein Matching, Abbruch des Algorithmus. 3. Bei Erfolg gilt sσ = t und σ ist eine Matching Substitution. Man beachte, dass in jeder Iteration die (ggf. ergänzte) Substitution auf den Anfangsterm s angewendet wird. Wenn man sich den bisher aus s erzeugten Term merkt, muss nur noch die Ergänzung der Substituion angewendet werden. Modellierung WS (64) 2.4 Wertemengen : Terme und Termalgebren Beispiel für ein Matching Gesucht ist eine Matching Substitution für f(, g(y, z)) und f(g(a, b),g(g(b, b),a)) It. Term s Term t σ (Ergänzung) 1 f(, g(y, z)) f(g(a, b), g(g(b, b), a)) [/g(a, b)] 2 f(g(a, b),g(y,z)) f(g(a, b),g(g(b, b),a)) [y/g(b, b)] 3 f(g(a, b),g(g(b, b),z)) f(g(a, b),g(g(b, b),a)) [z/a] 4 f(g(a, b),g(g(b, b),a)) f(g(a, b),g(g(b, b),a)) Damit ist σ =[][/g(a, b)][y/g(b, b)][z/a] =[/g(a, b),y/g(b, b),z/a] eine Matching Substitution. Modellierung WS (64)

35 2.4 Wertemengen : Terme und Termalgebren Unifikation Durch Anwendung einer Substitution wird ein Term spezialisiert. Beim Matching wird durch Spezialisierung des einen Terms der zweite Term gebildet. Ziel: zwei Terme zu einem für beide gleichen dritten Term spezialisieren s und t sind unifizierbar, falls es eine Substitution σ gibt, die s und t zu einem Term spezialisiert: σ heißt Unifikator von s und t sσ = tσ Falls σ ein Unifikator von s und t ist und τ eine weitere Substitution, dann ist auch die Gesamtsubstitution στ ein Unifikator von s und t. Eine Substitution σ 1 heißt allgemeiner als eine zweite Substitution σ 2, falls es eine Substitution τ gibt mit σ 1 τ = σ 2 Beispiel: [/f(y)] ist allgemeiner als [/f(g(a)),y/g(a)]. Modellierung WS (64) 2.4 Wertemengen : Terme und Termalgebren Allgemeinster Unifikator Die allgemeinere Substitution spezialisiert die Terme weniger stark. Da Substitutionen nur endlich viele Variablen verändern, muss es daher einen allgemeinsten Unifikator geben. Ziel: Verfahren, um allgemeinste Unifikatoren für s und t zu bestimmen für s und t Zwei allgemeinste Unifikatoren σ 1 und σ 2 für s und t unterscheiden sich nur durch die noch vorkommenden Variablen in sσ 1 und sσ 2. Eine Umbenennung der Variablen unifiziert die Ergebnisse. Beispiel: [/y] und [y/] sind allgemeinste Unifikatoren für f(, y) und f(y, ). Die Variablenumbenennung [/y, y/] liefert f(, y)[/y][/y, y/] =f(y, y)[/y, y/] =f(, ) =f(, y)[y/] und Es gilt f(, y)[y/][/y, y/] =f(, )[/y, y/] =f(y, y) =f(, y)[/y] [/y][/y, y/] =[y/] Modellierung WS (64)

36 2.4 Wertemengen : Terme und Termalgebren Algorithmus für den Allgemeinsten Unifikator Es seien zwei Terme s und t gegeben. Gesucht ist eine Substitution mit sσ = tσ. Algorithmus: 1. Setze σ =[], also die leere Substitution (identische Abbildung). 2. Solange A(sσ, tσ) gilt (a) Wähle (s,t ) A(sσ, tσ). (b) Falls s eine Variable ist und s nicht in t vorkommt, setze σ = σ[s /t ]. (c) Falls t eine Variable ist und t nicht in s vorkommt, setze σ = σ[t /s ]. (d) Sonst eistiert kein allgemeinster Unifikator, Abbruch des Algorithmus. 3. Bei Erfolg gilt sσ = tσ und σ ist ein allgemeinster Unifikator. Man beachte, dass in jeder Iteration die (ggf. ergänzte) Substitution auf die Anfangsterme s und t angewendet wird. Wenn man sich die bisher aus s und t erzeugten Terme merkt, muss nur noch die Ergänzung der Substituion angewendet werden. Modellierung WS (64) 2.4 Wertemengen : Terme und Termalgebren Beispiel für eine Unifikation Gesucht ist ein allgemeinster Unifikator für f(, g(y, z)) und f(g(a, y),g(g(b, b),)) It. Term s Term t σ (Ergänzung) 1 f(,g(y, z)) f(g(a, y),g(g(b, b),)) [/g(a, y)] 2 f(g(a, y),g(y,z)) f(g(a, y),g(g(b, b),g(a, y))) [y/g(b, b)] 3 f(g(a, g(b, b)),g(g(b, b),z)) f(g(a, g(b, b)),g(g(b, b),g(a, g(b, b)))) [z/g(a, g(b, b))] 4 f(g(a, g(b, b)),g(g(b, b),g(a, g(b, b)))) f(g(a, g(b, b)),g(g(b, b),g(a, g(b, b)))) Damit ist σ =[][/g(a, y)][y/g(b, b)][z/g(a, g(b, b))] = [/g(a, g(b, b)), y/g(b, b), z/g(a, g(b, b))] ein allgemeinster Unifikator. Modellierung WS (64)

37 2.4 Wertemengen : Terme und Termalgebren Aiome Zwei Terme aus T Σ (V ) sind nur dann gleich, wenn ihre Struktur gleich ist (Gleichheit der Zeichenketten). In der Mathematik kennen wir Gesetze, die uns Gleichheit von Termen liefern: 7+a = a +7 gilt aufgrund des Gesetzes + y = y + Im Bereich der Termalgebren verstehen wir unter einem Aiom eine Gleichung der Form t 1 = t 2 Aiome sind unbewiesene, aber als wahr akzeptierte Aussagen. Die in den Aiomen vorkommenden Variablen werden implizit als allquantifiziert aufgefasst: Für alle, y gilt + y = y + Modellierung WS (64) 2.4 Wertemengen : Terme und Termalgebren Anwendung von Aiomen Aiome induzieren Gleiheitsaussagen für Terme: Ein Aiom t 1 = t 2 kann auf einen Term s angewendet werden, wenn s einen Teilterm s enthält und eine Matching Substitution eistiert mit s = t 1 σ. Das Ergebnis ist der Term t, der durch Ersetzung des Teiltermes s in s durch t 2 σ entsteht. Wir schreiben s = t durch Anwendung von Aiom t 1 = t 2 s = t Anwendung s' t' s' = t 1 σ = t 2σ = t' Spezialisierung t1 = t 2 Aiom Das Aiom t 1 = t 2 kann auch in der Form t 2 = t 1 angewendet werden. Modellierung WS (64)

38 2.4 Wertemengen : Terme und Termalgebren Abstrakte Algebren Eine abstrakte Algebra A =(T Σ (V ), Σ,Q) ist ein Tripel bestehend aus Σ einer Signatur, T Σ (V ) der Menge der korrekten Terme und Q einer Menge von Aiomen. Eine abstrakte Algebra oder algebraische Struktur liefert einen Bereich von Strukturen, nämlich den Termen, die entsprechend der Signatur Σ gebildet wurden und den Aiomen aus Q gehorchen, d.h. zwei Terme t 1 und t 2 sind gleich, t 1 = t 2, wenn t 1 durch Anwendung der Aiome aus Q in t 2 umgewandelt werden kann. Modellierung WS (64) 2.4 Wertemengen : Terme und Termalgebren Beispiel: Boolesche Algebra B Signatur Σ=({Bool},F) Operationen F : true : Bool false : Bool : Bool Bool Bool : Bool Bool Bool : Bool Bool Aiome Q: Q1 ( y) z = (y z) Assoziativität ( y) z = (y z) Q2 y = y Kommutativität y = y Q3 = Idempotenz = Q4 ( y) = Verschmelzung ( y) = Q5 (y z) = ( y) ( z) Distributivität (y z) = ( y) ( z) Q6 true = Neutrale false = false Elemente true = true false = Q7 = false Komplement = true Q8 ( ) = Involution Q9 ( y) = y DeMorgan ( y) = y Modellierung WS (64)

39 2.4 Wertemengen : Terme und Termalgebren Konkrete Algebra Eine zu einer abstrakten Algebra A =(T Σ (V ), Σ,Q) passende konkrete Algebra A =(S A,F A,Q A ) ist ein Tripel bestehend aus S A einer Menge von konkreten Wertebereichen, die den Sorten in S aus Σ fest zugeordnet sind, F S einer Menge von Signaturen von konkreten (totalen) Funktionen auf Mengen in S A, die den Operationen in F zugeordnet sind, so dass die Signaturen in F S und F mit der Zuordnung der Wertebereiche konsistent sind, Q A einer Menge von Aiomen, die den Aiomen in Q entsprechen und die für die Funktionen in F S gelten. Eine konkrete Algebra stellt ein Modell der abstrakten Algebra dar. In der konkreten Algebra können die Werte der Terme in den Ergebnissorten berechnet werden. Die Einhaltung der Aiome bedeutet also, dass die Werte der Terme in den Aiomen gleich sind. Zwei Terme t 1 und t 2 aus T Σ (V ) mit der Eigenschaft, dass t 1 durch Anwendung der Aiome aus Q in t 2 umgewandelt werden kann, haben in A also den gleichen Wert. Modellierung WS (64) 2.4 Wertemengen : Terme und Termalgebren Beispiel: Konkrete Algebra B M zur Booleschen Algebra Sei M eine endliche Menge. Konkrete Algebra B Abstrakte Algebra B Sorten: P(M) Bool Signaturen: false M : M M M Durchschnitt : M M M Vereinigung. c : M M Komplement bzgl. M Aiome: true X M = X true = Modellierung WS (64)