Lösungen Leistungskurs Stochastik, Elemente der Mathematik Kapitel 1

Transkript

1 Lösungen Leistungskurs Stochastik, Elemente der Mathematik Kapitel K.. ÜA 7. p0,4 p0,7 p0,5 n n n n K.. ÜA 8. a) Es gibt 4 x Karten mit Bild (Bube, Dame und König). Es gibt also mögliche Ergebnisse, jedes hat Wahrscheinlichkeit / b) Es gibt 8 Herzkarten. Es gibt also 8 mögliche Ergebnisse, jedes hat Wahrscheinlichkeit / 8 c) Es gibt 4 x 5 Karten ohne Bilder (7, 8, 9, 0 und Ass). Es gibt also 0 mögliche Ergebnisse, jedes hat Wahrscheinlichkeit / 0 d) Es gibt x 8 schwarze Karten (Kreuz und Pik). Es gibt also 6 mögliche Ergebnisse, jedes hat Wahrscheinlichkeit / 6 e) Es gibt 5 Karokarten ohne Bild (7, 8, 9,0 und Ass). Es gibt also 5 mögliche Ergebnisse, jedes hat Wahrscheinlichkeit / 5 f) Es gibt 4 Kreuzkarten mit Zahl (7, 8, 9 und 0). Es gibt also 4 mögliche Ergebnisse, jedes hat Wahrscheinlichkeit / 4 K.. ÜA 9. a) () 900 0, () 0, 975 0, 6 0, b) 90 () , () 0, 856 0, 68 0, () 76 0, () 0, 94 0, 6 0, K.. ÜA 0. a) zu gleich 0, zu gleich 0, b) gleich zu + 4 gleich zu + zu gleich 0, a a zu b gleich a + b 6 gleich zu c d c c + (d c) gleich c zu d-c zu gleich 0, % gleich zu 5 + K.. ÜA. P Zahl P + P + P + P 4 0,5 + 0,5 + 0,5 + 0,5 0, a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 860 b) P ( Pr imzahl oder O) P( ) + P( ) + P( O ) 0,5 + 0,5 + 0,09 0, 50 K.. ÜA 4. 5 P 50 5 P( E ) P( { 9, 8,7,6,45} ) 0, P( E ) P( Ungerade) P( {,,5,...,47,49} ) 0, ( E ) P( Primzahl) P( {,,5,7,,, 7, 9,,9,,7,4,4,47} ) 0, 00

2 4 P P( E 5 ) P( Durch 5 teilbar ) P { 5,0,5,...50} 0, 50 P( E 6 ) P( kleiner ) P( {,,,...,} ) 0, ( E ) P( Zweistellige Zahl) P( { 0,,,...,50} ) 0, 80 K.. ÜA x8 P E P RoteKarte 0, ( ) 00 4x4 () P( E ) P( Pik -Karte) 0, 50 () P( E ) P( Zahl) 0, 500 () ( ) ( ) 500 (4) P( E 4 ) P( Schwarzes Ass) 0, 065 K.. ÜA 6. P Gerade P + P 4 0,5 + 0,5 0, a) ( ) ( ) ( ) 400 b) P ( Gerade ) P( ) + P( 4) 0,5 + 0,5 0, 500 K.. ÜA 7. a) P ( A oder B) P( A) + P( B) 0,45 + 0,45 0, 570 b) P ( A Empf anger && ) P( A) + P( 0) 0,45 + 0,65 0, 790 P AB Empf anger && P 0 + P A + P B + P AB 0,65 + 0,45 + 0,45 + 0,065, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 000 K.. ÜA P Summe8 0, 8 b) Ohne 6 Augen, dann nur noch Steine. P Zwei gleiche Zahlen 6 0, 7 7 P Summe8 0, Ohne 5 oder 6 Augen, dann nur noch 5 Steine. () P ( Zwei gleiche Zahlen) 5 0, 5 5 P Summe8 0, 5 K.. ÜA 9. a) () Anteil der Mädchen in Sek I: 0 0, Also, Anteil der Jungen in Sek I gleich 0,55 a) () P ( Zwei gleiche Zahlen) 0, 50 () P ( Summe5) 0, 07 ( ) 07 () ( ) 86 () P ( Summe5) 0, 4 ( ) 095 () P ( Summe5) 0, 90 Anteil der Mädchen in Sek II: 0, Also, Anteil der Jungen in Sek II gleich 0,44 ( ) () Anteil der Sek I Schüler(innnen): 0, 660, Also, Anteil der Sek II Schüler(innen) gleich 0,4. b) Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person aus Sek I ein Mädchen ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person aus Sek I ein Jungen ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person aus Sek II ein Mädchen ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person aus Sek II ein Jungen ist. 6

3 K.. ÜA 4. Tetraeder Hexaeder Oktaeder Dodekaeder Ikosaeder P( Keine Primzahl ) 4 0, 500 0, 500 0, , 47 0, P( Durch oder teilbar ) 4 0, , 667 0, 65 0, 667 0, P( Durch 4 oder 6 teilbar ) 0, , 0, 75 0, 0, P( Weder durch 4 noch 5 teilbar ) 4 0, 750 ; 0, 667 ; 5 0, 65 7 ; 0, 58 ; 0, K.. ÜA 5. P Durch 8 teilbar P 8;6;4;;40;48;56;64;7;80;88;96 0, a) ( ) ({ }) P ( Durch 5 teilbar ) P( { 5;0;45;60;75;90} ) 0, 06 P ( Durch 8 und durch 9 teilbar ) P( { 7} ) 0, 0 P ( Durch 9 und durch 5 teilbar ) P( { 45;90} ) 0, 0 P ( Durch und durch 5 teilbar ) P( { 60} ) 0, 0 P ( Durch und durch 7 teilbar ) P( { }) 0, 00 b) P ( Weder durch 8 noch durch teilbar ) 0, 84 P ( Durch 8 teilbar, aber nicht durch teilbar ) 0, 08 P ( Nicht durch 8 teilbar oder nicht durch teilbar ) 0, 96 P ( Durch teilbar, aber nicht durch 8 teilbar ) 0, 04 P ( Durch 8 teilbar und durch teilbar, aber nicht durch 6 teilbar ) 0, 0 P ( Durch 8 teilbar oder durch teilbar oder durch 6 teilbar ) 0, 6 K.. ÜA 6. P Weder Bruder nochschwester ( ) P( Bruder oder Schwester) ( P( Bruder ) + P( Schwester) P( Bruder und Schwester) ) ( 0,+ 0,0 0,08) 0, 47 K.. ÜA 7. P Weder Spulmaschine && nochvideorecorder P Spulmaschineoder && Videorecorder P Spulmaschine && + P Videorecorder P Spulmaschine && und Videorecorder ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( )) ( 0,48 + 0,66 0,9) 0, 5 K.. ÜA 8. Wenn, dann mindestens 6%. Wenn, dann höchstens 6%+8%8%. K.. ÜA 9. P Prufer && A oder Prufer && B P Prufer && A + P Prufer && B P Prufer && A und Prufer & B 0,70 + 0,80 0,60 0, ( ) ( ) ( ) ( ) 90 K.. ÜA 0. () : () : () : (4) : E Die Zahl ist nicht durch teilbar ( E) 0, P P ( E) 0, 0, 67 E Die Zahl ist keine Primzahl ( E) 0, 5 P E 0,5 Primzahl: { ;;5;7;;;7;9;;9;;7;4;4;47;5;59;6;67;7;7;79;8;89;97} E Die Zahl ist nicht kleiner als 70 ( E) 0, 69 E Die Zahl liegt nicht zwischen und 66 ( E) 0, 5 P ( ) 0, 75 P P ( E) 0,69 0, P P ( E) 0,5 0, 47

4 K.. ÜA. () Von 0 zufällig ausgesuchten Personen haben nicht mindestens am gleichen Tag Geburtstag. Von 0 zufällig ausgesuchten Personen hat höchstens am gleichen Tag Geburtstag. () Beim 5fachen Werfen eines Würfels wird nicht mindestens einmal Augenzahl 6 geworfen. Beim 5fachen Werfen eines Würfels wird keinmal Augenzahl 6 geworfen. () Beim 0fachen Werfen einer Münze tritt nicht höchstens 8-mal Wappen auf. Beim 0fachen Werfen einer Münze tritt mindestens 9-mal Wappen auf. (4) Beim 50fachen Werfen einer Münze tritt nicht mehr als 0-mal Zahl auf. Beim 50fachen Werfen einer Münze tritt höchstens 0-mal Zahl auf. (5) Beim 50fachen Werfen einer Münze tritt nicht weniger als 0-mal Wappen auf. Beim 50fachen Werfen einer Münze tritt mindestens 0-mal Wappen auf. K.. ÜA. P E oder F P E () ( ) ( ) + P( F) P( E und F) 0,85 + 0, P( E und F),00 P( E und F) mindestens 0,7 F E P( E und F) P( F) 0, P( E und F) hochstens & 0, () P( E oder R ) P( E) + P( R ) P( E und R ) 0,85 + 0, P( E und F),00 P( E und R) mindestens 0,08 R E P( E und R) P( R) 0, P( E und F) hochstens && 0, () P( F oder R ) P( F) + P( R) P( F und R) 0, + 0, P( F und R),00 P( F und R) mindestens 0,00 R F P( F und R) P( R ) 0, P( F und R) hochstens & 0, (4) Da. R E und R F { } und P( E und F) 0, 7 R F E P( E und F und R ) P( R ) 0, P( E und R und F) hochstens && 0, K.. ÜA 4. a) () P ( Einmal Wappen ) P( WZ) + P( ZW ) + 0, 500 () P ( Mindestens einmal Wappen ) P( Keinmal Wappen ) P( ZZ ) 0, b) () P ( Mehr als zweimal Wappen ) P( Dreimal Wappen ) P( WWW) 0, P Hochstens && zweimalwappen P Dreimal Wappen P WWW 0, 8 () ( ) ( ) ( ) P Einmal Wappen P WZZ + P ZWZ + P ZZW + + 0, 8 P Zweimal 6 Augen P 66 0, P Einmal 6 Augen P 66 + P , P Zweimal eine gerade Augenzahl 9 P GG 0, P Zwei gleich e Augenzahlen 6 P + P +...P , () P ( Mindestens einmal Zahl) P( Keinmal Zahl) P( WWW) 0, 875 (4) ( ) ( ) ( ) ( ) 75 c) () ( ) ( ) 08 () ( ) ( ) ( ) 78 () ( ) ( ) 50 (4) ( ) ( ) ( ) ( ) 67 K.. ÜA 5. () P ( Antw. richtig) P( rrff ) + P( rfrf) + P( rffr ) + P( ffrr ) + P( frfr ) + P( frrf ) 0, 96 () P ( Antw. richtig) P( rfff ) + P( frff ) + P( ffrf ) + P( fffr ) 0, 95 () P ( Mindestens Antw. richtig) P( Keine Antw. richtig) P( ffff ) 0,

5 K.. ÜA 6. Tabelle () P ( An das Ehepar geht) P(Mann lebt) P( Frau lebt) 0, () P ( An die Frau geht) P(Mann lebt nicht) P( Fraulebt) 0, () P ( An den Mann geht) P(Mann lebt) P( Frau lebt nicht) 0, P Nicht ausgezahlt wird P(Mann lebt nicht) P Fraulebt nicht 0, (4) ( ) ( ) 005 K.. ÜA () P( E ) P(Keine Sechs) - 0, () P( E ) P(Kein Sechserpasch) ,509 0, K.. ÜA 8. () Mit Zurücklegen: P () Ohne Zurücklegen: P Gleiche Farbe P(rr) + P bb + P gg + + 0, ( Gleiche Farbe) P(rr) + P( bb) + P( gg) + + 0, 80 ( ) ( ) ( ) K.. ÜA 9. () Karten P ( Herz Ass als erste) P( HA) 0, 05 P ( Herz Ass als zweite) P( HA HA ) 0, P Herz Ass als funfte && PHA HA HA HA HA 0, () 5 Karten P ( Herz Ass als erste) P( HA) 0, P ( Herz Ass als zweite) P( HA HA) 0, P Herz Ass als funfte && P HA HA HA HA HA 0, ( ) ( ) 05 ( ) ( ) 09 K.. ÜA 0. () Mit Zurücklegen: P Eine rot und zweiblau P rbb + P brb + P bbr , P Hochstens && eine Kugel rot P bbb + P Eine rot und zwei blau 0,6 + 0,4 0, a) P ( Alle Kugeln blau) P( bbb) 0, 6 b) P ( Eine blau und zwei rot) P( brr ) + P( rbr) + P( rrb) 0, 88 c) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 d) ( ) ( ) ( ) 648 4

6 () Ohne Zurücklegen: a) P ( Alle Kugeln blau) P( bbb) 0, P Eine blau und zweirot P brr + P rbr + P rrb 0, P Eine rot und zweiblau P rbb + P brb + P bbr 0, P Hochstens && eine Kugel rot P bbb + P Eine rot und zwei blau 0,07 + 0,444 0, b) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 c) ( ) ( ) ( ) ( ) 444 d) ( ) ( ) ( ) 65 K.. ÜA. 4 P ( brauchbar ) P( bbbb) + P( bbbb ) + P( bbbb) + Pbbbb ( ) 0,8 0,8 0,8 0, 0, P ( brauchbar ) P( bbbb) + P( bbbb ) + P( bbbb ) + P( bbbb) + P( bbbb ) + Pbbbb ( ) 0,8 0,8 0, 0, 0, 56 K.. ÜA. () P ( Schon bei der ersten Kontrolle entdeckt ) 0, 9 P spatestens && bei der zweiten Kontrolle entdeckt P.K + P.K 0,9 + 0, 0,9 0, () ( ) ( ) ( ) 99 () P ( Erst bei der dritten Kontrolle entdeckt ) 0, 0, 0,9 0, 009 (4) P ( Nicht entdeckt ) 0, 0, 0, 0, 00 K.. ÜA. FORM FARBE OBERFLÄCHE 0,80 0,85 + 0,0 + 0,5 0,80-0,75 0,0 0,80 0,5 0,85 + 0,0-0,5 0,80-0, (. Wahl ) P( ) 0,75 0,85 0,8 0, 5 (. Wahl ) P( + + ) + P( + + ) + P( + + ) 0,5 0,85 0,8 + 0,75 0,5 0,8 + 0,75 0,85 0, 0, 875 ( Ausschussw are) P(. Wahl ) P(. Wahl ) 0,50 0,875 0, 05 P P P K.. ÜA 4. a) Es gibt zwei Möglichkeiten: Der erste Stein hat zwei verschiede Ziffern (AB) oder der erste Stein hat zwei gleiche Ziffern AA. 7 P ( AB), P ( AA )

7 Wenn der erste Stein zwei verschiedene Ziffern hat, dann gibt es noch 7 Steine, davon haben noch 6 Steine Ziffer A und noch 6 Steine Ziffer B. Also, die Wahrscheinlichkeit ist: P ( A oder B) 7 9 Wenn der erste Stein zwei gleiche Ziffern hat, dann gibt es 7 Steine, davon haben noch 6 Steine 6 Ziffer A. Also, die Wahrscheinlichkeit ist: P ( A) Dass ergibt: P ( AB) P( A oder B) + P( AA ) P( A) + 0, b) Es gibt wieder zwei Möglichkeiten: Die ersten zwei Steine (AA+AB) oder (AB+BC) P ( AA + AB ) ; P ( AB + ( BCof AC) ) Wenn (AA+AB), dann gibt es noch 6 Steine, davon haben noch 5 Steine Ziffer A und noch 6 Steine Ziffer B. Also, die Wahrscheinlichkeit ist: P ( A oder B) 6 6 Wenn (AB+BC), dann gibt es noch 6 Steine, davon haben noch 6 Steine Ziffer A und noch 6 Steine Ziffer C. Aber ein Stein wird doppelt gezählt: 6 6 Also, die Wahrscheinlichkeit ist: P ( A oder C) P( A) + P( B) P( A B) Dass ergibt: 44 P ( AA + AB ) P( A oder B) + P( AB + BC) P( A oder C) + 0, K.. ÜA 5 Für jedes Spiel gilt P(gut angekreuzt) / und P(falsch angekreuzt) / P(alle falsch) 0, 056 K.. ÜA 6 Alle gleich gut P(A gewinnt Gold) P(B gewinnt Gold)... / 8 P(A Gold, B Silber, C Bronze) 0, ! 5 P(alle gut aber Falschen Reihenfolge) 0, K.. ÜA 7 P(4 Asse), , P(8 Kreuzkarten) 9, , K.. ÜA 8 7 P(.Rang) P(7 aus 5 gut), P(.Rang) P(6 aus 4 gut),

8 8 P(.Rang) P(7 aus 7 gut) 9, P(.Rang) P(5 aus 6 gut), P(.Rang) P(5 aus 5 gut), P(.Rang) P(6 aus 4 gut), Bei 5 aus 5 hat man die größte Gewinnchance, also in Polen. K.. ÜA 9 4! 6! P(4 aus 49 gut) 49 49! 49! 4 4! 6! 4! 6! P(6 aus 49 gut) 49 49! 49! 6 6! 4! K.. ÜA 0 P(Reihenfolge gut) 0, 008 5! K.. ÜA P(alle gut, in gute Reihenfolge) 0, K.. ÜA 5 () Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten die Karten zu verteilen. 0 Hierbei ist es vollkommen egal ob er die 0 Studenten einzeln auswählt oder die zehn gleichzeitig auswählt. () Wenn es die Freikarten zu nummerierten Plätze gehören, ist die Reihenfolge wichtig, also wird die 5 Anzahl Möglichkeit 0! mal größer, also. 0! 0 Wenn die Plätze nicht nummeriert sind, ist die gesuchte Anzahl er Möglichkeiten die Anzahl, die wir bei 5 () gefunden haben. Also. 0 K.. ÜA mal die gleiche Person: 4 Möglichkeiten mal die gleiche Person und eine zweite Person: 4x Möglichkeiten Unterschiedliche Personen: 4 4 Möglichkeiten Also, insgesamt 0 Möglichkeiten.

9 K..4 ÜA P(0 Richtige) P(Aus den 4 Falschen werden 6 gewählt und aus den 6 Richtigen wird keine gewählt) , P( Richtige) P(Aus den 4 Falschen werden 5 gewählt und aus den 6 Richtigen wird gewählt) , P( Richtige) P(Aus den 4 Falschen werden 4 gewählt und aus den 6 Richtigen werden gewählt) , P( Richtige) P(Aus den 4 Falschen werden gewählt und aus den 6 Richtigen werden gewählt) , P(4 Richtige) P(Aus den 4 Falschen werden gewählt und aus den 6 Richtigen werden 4 gewählt) , P(5 Richtige) P(Aus den 4 Falschen wird gewählt und aus den 6 Richtigen werden 5 gewählt) , P(6 Richtige) P(Aus den 4 Falschen wird keine gewählt und aus den 6 Richtigen werden alle gewählt) , P(4 Richtige mit Zusatzzahl) 4, P(5 Richtige mit Zusatzzahl) 4,

10 K..4 ÜA P( Asse) 0, P( Asse) 0, P(4 Asse) 0, P(Kein Ass bei Karten) 0, P(Genau ein Ass bei Karten) 0, K..4 ÜA P(5 Freikarten an die Mädchen) 0, P(4 Freikarten an die Mädchen) 0, P( Freikarten an die Mädchen) 0, P( Freikarten an die Mädchen) 0, P( Freikarte an die Mädchen) 0,

11 P(0 Freikarten an die Mädchen) 0, K..4 ÜA 5 6 rote, 5 blaue, 4 grüne zusammen 5 Kugeln entnehmen P( rot, blau und grün) 0, P( rot, blau und 0 grün) 0, P( grün und nicht grün) 0, P(0 grün und nicht grün) 0,

12 K.. ÜA 4 Mengen Mädchen Jungen Gesamt Mit schulischen Abschluss () 95.4 (4).56 () Ohne schulischen Abschluss 5.76 () Gesamt.74 (5) Wahrscheinlichkeiten Mädchen Jungen Gesamt Mit schulischen Abschluss 0,74 0,440 0,754 Ohne schulischen Abschluss 0,0884 0,60 0,486 Gesamt 0,458 0,584,0000 0,7874 Mit schulischen Abschluss Mädchen 0,458 0,6 Ohne schulischen Abschluss 0,584 0,758 Mit schulischen Abschluss Jungen 0,74 Ohne schulischen Abschluss 0,457 Mädchen Mit schulischen Abschluss 0,754 0,564 Jungen 0,486 Ohne schulischen Abschluss 0,556 Mädchen 0,6444 Jungen

13 K.. ÜA 5 Mengen Geburtsstatistik Staatsangehörigkeit der Mutter Gesamt Deutsch Ausländisch Staatsangehörigkeit Deutsch () des Vaters Ausländisch.40 (4) 9.0 ().44 Gesamt () (5) Wahrscheinlichkeiten Geburtsstatistik Staatsangehörigkeit der Mutter Gesamt Deutsch Ausländisch Staatsangehörigkeit Deutsch 0,744 0,060 0,7947 des Vaters Ausländisch 0,059 0,54 0,05 Gesamt 0,788 0,7,0000 Mutter Vater 0,96 Deutsch Deutsch 0,788 0,0684 Ausländisch 0,7 Ausländisch P(Mutter ist eine Deutsche) 0,788 K.. ÜA 6 Lehrerberuf 0,846 0,754 0,648 Deutsch Ausländischen Frau 0,7 0,5 Man 0,88 Übrigen Studien 0,86 0,64 Frau Man

14 Wahrscheinlichkeiten Frau Man Gesamt Lehrerberuf 0,7*0,648 0,7*0,5 0,7 0,0758 0,04 Übrigen Studien 0,88*0,86 0,88*0,64 0,88 0,408 0,54 Gesamt 0,466 0,584,0000 K.. ÜA 7 Eltern Kind Eltern zum Gymnasium Gymnasium 0,5 0,7 0,65 Eltern nicht zum Gymnasium 0,6 Haupt oder Realschule 0,08 0,9 Eltern zum Gymnasium Eltern nicht zum Gymnasium Wahrscheinlichkeiten Eltern zum Gymnasium Eltern nicht zum Gymnasium Gesamt Gymnasium 0,7*0,5 0,95 0,7*0,65 0,405 0,7 Haupt oder Realschule 0,6*0,08 0,0504 0,6*0,9 0,5796 0,6 Gesamt 0,799 0,80,00 Diese Tabelle ist berechnet mit die Daten aus das Baumdiagram, der erstellt ist mit die Daten von den Artikel an die linke Seite. Wenn man die Tabelle erstellt mit den Artikel an die linke Seite kriegt man folgende Werte: Wahrscheinlichkeiten Eltern zum Gymnasium Eltern nicht zum Gymnasium Gesamt Gymnasium () 0,8*0,7 0,96 (6) 0,404 0,700 Haupt oder Realschule (5) 0,0478 () 0,8*0,7 0,58 (4) 0,600 Gesamt 0,774 () 0,86,0000 Wenn man die Werte auf Dezimalen schreibt sind die in die beiden Tabellen gleich.

15 K.. ÜA a) HIV 0,999 positiv 0,0999% 0,00 0,00 negativ 0,000% 0,999 0,00 positiv 0,997% Kein HIV 0,997 negativ 99,600% Wahrscheinlichkeiten Positiv Negativ Gesamt HIV 0,0999% 0,000% 0,00% Kein HIV 0,997% 99,600% 99,900% Gesamt 0,996% 99,6004% 00,000% b) Häufigkeiten Positiv Negativ Gesamt HIV Kein HIV Gesamt P(positiv undhiv ) 0,0999 c) P positiv (HIV) 0,5 5% P(positiv) 0,996 P negativ (HIV) P (negativ undhiv ) 0,000,004 *0 6 0,000% P(negativ) 99,6004 positiv 5% HIV 0,996% 75% Kein HIV 99,6004% 99,9999% HIV negativ 0,000% Kein HIV

16 K.. ÜA 4 () P(positiv) P(HIV und pos) + P(Kein HIV und pos) 0,998*0,00+0,00*0,9990,00995 P(positiv und HIV ) 0,998 *0,00 P positiv (HIV) 0,498 5% P(positiv) 0,00995 P(negativ und HIV ) 0,00* 0,00 P negativ (HIV),008 *0 6 0,000% P(negativ) 0,00995 HIV positiv 5% 0,995% 75% Kein HIV 99,6005% negativ 99,9998% 0,000% HIV Kein HIV () P(positiv) P(HIV und pos) + P(Kein HIV und pos) 0,999*0,00+0,00*0,9990,00997 P(positiv und HIV ) 0,999 *0,00 P positiv (HIV) 0, % P(positiv) 0,00997 P(negativ und HIV ) 0,00* 0,00 P negativ (HIV),006 *0 6 0,000% P(negativ) 0,00997 positiv % HIV 0,997% 67% Kein HIV 99,700% negativ 99,9998% 0,000% HIV Kein HIV

17 () P(positiv) P(HIV und pos) + P(Kein HIV und pos) 0,999*0,00+0,00*0,99880,00495 P(positiv und HIV ) 0,999 * 0,00 P positiv (HIV) 0,858 9% P(positiv) 0,00495 P(negativ undhiv ) 0,00 *0,00 P negativ (HIV),65 *0 6 0,0004% P(negativ) 0,00495 HIV positiv 9% 0,495% 7% Kein HIV 99,5805% negativ 99,9996% 0,0004% HIV Kein HIV (4) P(positiv) P(HIV und pos) + P(Kein HIV und pos) 0,995*0,0005+0,0*0,99950,0049 P(positiv und HIV ) 0,995 * 0,0005 P positiv (HIV) 0,0474 5% P(positiv) 0,0049 P(negativ und HIV ) 0,0* 0,0005 P negativ (HIV) 5,050 *0 6 0,0005% P(negativ) 0,0049 HIV positiv 5%,049% 95% Kein HIV 98,95% negativ 99,9995% 0,0005% HIV Kein HIV

18 K.. ÜA 5 P HIV (pp) 0,999 0,99800 P kein HIV (pp) 0,00 0, HIV 99,8% pp 0,% 0,% Sonstig 99,9% Kein HIV 99,999% 0,0009% pp sonstig K.. ÜA 6 () Die Zeitungsmeldung Jeder vierte Wähler der Partei A ist unter 0 kann man übersetzen mit der Formel P A (unter 0) / 4 0,5 5% Mit Hilfe von der Tabelle kann man berechnen : P(A und unter 0) 0,045 P A (unter 0) 0,75 7,5% P(A) 0, Die Werte sind nicht gleich, also die Meldung stimmt nicht. () Die Zeitungsmeldung Jeder vierte Wähler unter 0 entschied sich für Partei A kann man übersetzen mit der Formel P unter 0 (A) / 4 0,5 5% Mit Hilfe von der Tabelle kann man berechnen : P(A und unter 0) 0,045 P unter 0 (A) 0,5 5% P(unter 0) 0, 8 Die Werte sind gleich, also die Meldung stimmt.

19 K.. ÜA 7 a) 8 4 Uhr 4 8 Uhr Gesamt Alkohol () 0,0*0,68 0,0694 (6) 0,06 () 0,0 Kein Alkohol (4) 0,898*0,46 0,09 (7) 0,677 () -0,0 0,898 Gesamt (5) 0,0694+0,090,90 (8) 0,7097,000 b) 8 4 Uhr 4% Alkohol 9% 76% Kein Alkohol 7% 4 8 Uhr 4,6% 95,4% Alkohol Kein Alkohol K.. ÜA 8 Anzahl CDU/CSUStimmer in West Anzahl CDU/CSUStimmer in Ost Anzahl SPDStimmer in West Anzahl SPDStimmer in Ost ,49 4,454 Die zwei Werte sind nicht gleich, damit ist Wahlergebnis abhängig von die Region. K.. ÜA 9 Zu gebrauchen % Neg. Testergebnis 90% 98% Pos. Testergebnis 0% Nicht zu gebrauchen 95% 5% Neg. Testergebnis Pos. Testergebnis

20 a) () P neg Testergebnis (nicht zu gebrauchen) P(neg.Testergebnis und nicht zugebrauchen) P(neg. Testergebnis) 0, 0 *0,95 0,0 * 0,95 + 0,90 *0,0 0,8407 () P pos Testergebnis (zu gebrauchen) P(pos.Testergebnis und zugebrauchen) P(pos.Testergebnis) b) () P neg neg (nicht zu gebrauchen) 0,90 * 0,98 0,90 *0,98 + 0, 0 * 0,05 0,9944 P(mal neg. Testergeb nis und nicht zu gebrauchen) 0, 0* 0,95*0,95 0, 9960 P(mal neg.testergebni s) 0, 0*0,95*0, 95+ 0,90*0,0*0,0 () P pos pos (zu gebrauchen) P(mal pos.testergebnis und zugebrauchen) P(malpos.Testergebnis) 0,90 * 0,98 *0,98 0,90 * 0,98 * 0,98 + 0, 0 *0,05 * 0,05 0,9997 K.. ÜA 0 A 0% Abonnenten 45% 90% Kiosk 7% B 60% Abonnenten 40% Kiosk 8% C 75% 5% Abonnenenten Kiosk a) P(Abonnent) P(A und Abonnent) + P(B und Abonnent) + P(C und Abonnent) 0,45 * 0,0 + 0,7 * 0,60 + 0,8 * 0,75 0,40 P(B und Kiosk) 0,7 *0,40 0,7 *0,40 b) P Kiosk (B) 0, 475 P(Kiosk) P(Abonnent ) 0,40

21 K.. ÜA a) A 85% Brauchbar 0% 5% Unbrauchbar 0% B 8% Brauchbar 8% Unbrauchbar 50% 9% Brauchbar C 9% Unbrauchbar P(Unbrauchbar) P(A und Unbrauchbar) + P(B und Unbrauchbar) + P(C und Unbrauchbar) 0,0 * 0,5 + 0,0 * 0,8 + 0,50 * 0,09 0,9 b) A B C gesamt Brauchbar 0,7 0,46 0,455 0,87 Unbrauchbar 0,0 0,054 0,045 0,9 Gesamt 0,0 0,00 0,500,000 P(A und Unbrauchbar) 0,0 P Unbrauchbar (A) 0, P(Unbrauchbar) 0,9 P(B und Unbrauchbar) 0,054 P Unbrauchbar (B) 0, 4 P(Unbrauchbar) 0, 9 P(Cund Unbrauchbar) 0,045 P Unbrauchbar (C) 0, 5 P(Unbrauchbar) 0,9

22 K.. ÜA a) () Erste schwarz und zweite weiß gibt Kugeln, 0 schwarz und weiß P(weiß) 6 () Erste weiß und zweite schwarz gibt Kugeln, 0 schwarz und weiß P(weiß) 6 () Erste schwarz und zweite schwarz gibt Kugeln, schwarz und weiß P(weiß) (4) Erste weiß und zweite weiß gibt Kugeln, 9 schwarz und weiß P(weiß) b) P(sss) 0,75 75% c) P(wwww) 0,0099 0,4% 0 75 K... ÜA a) X : Maximum der Augenzahlen beim Wurf von zwei Würfeln a Xa /6 /6 5/6 7/6 9/6 /6 Bsp. X (,) (,) (,) (,) (,) b) X : Produkt der Augenzahlen beim zweifachen Würfeln a Xa /6 /6 /6 /6 /6 4/6 a Xa /6 /6 /6 4/6 /6 /6 a Xa /6 /6 /6 /6 /6 /6 Bsp. X (,6) (,4) (4,) (6,)

23 c) X : Augensumme beim dreifachen Würfeln a Xa /6 /6 6/6 0/6 5/6 /6 a Xa 5/6 7/6 7/6 5/6 /6 5/6 a Xa 0/6 6/6 /6 /6 X X4 X5 X X X X X X X X X X X X X8 666 K.. ÜA 4 X X K.. ÜA 5 X : Anzahl Mädchen Familie mit drei Kindern P(X0) /8 (JJJ) P(X) (JJM)(JMJ)(MJJ) 8 P(X) (JMM)(MJM)(MMJ) 8 P(X) /8 (MMM)

24 K.. ÜA 6 a) P(X9) 6/0 P(X0) 6/0 P(X) /0 P(X) 8/0 P(X) 8/0 P(X4) 8/0 P(X5) 8/0 P(X6) /0 P(X7) 6/0 P(X8) 6/0 P(X9) P(X0) P(X) P(X) P(X) P(X4) P(X5) P(X6) P(X7) P(X8) b) kleiner P(X9) + P (X0) + P(X) 4/0 /5 größer 7 P(X9) + P (X0) P(X8) mindestens gleich 4 P(X4) + P (X5) P(X8) 60/0 / K.. ÜA 7 X : Anzahl der notwendigen Spiele zum Sieg X P(X) X P(X) K.. ÜA 8 4 AA BB ABA ABB BAB BAA X : Augensumme beim zweifachen Würfeln a Xa /6 /6 /6 4/6 5/6 6/6 5/6 4/6 /6 /6 /6 () höchstens gleich 9 P(X<9) 0/6 () kleiner als 0 P(X<0) 0/6 () mindestens gleich 5 P(X>5) 0/6 (4) mind. gleich 6, aber höchstens gleich 0 P(6 < X < 0) /6 (5) größer als 9, aber kleiner als 5 P({ })0/6 (6) kleiner als 0 und größer als P({ })0/6

25 K.. ÜA 9 X : Augensumme kann sowohl beim Werfen zweier regulärer Hexaeder (Würfel) als auch beim gemeinsamen Werfen eines regulären Tetraeders (4 gleiche Dreiecke) oder Oktaeders (acht Seiten) die Werte k,, 4,..., annehmen a) zweier regulärer Hexaeder (Würfel) a Xa /6 /6 /6 4/6 5/6 6/6 5/6 4/6 /6 /6 /6 eines regulären Tetraeders (4 gleiche Dreiecke) oder Oktaeders (acht Seiten) a Xa / / / 4/ 4/ 4/ 4/ 4/ / / / X X X4 X5 4 4 X X X X X X 8 74 X 84 Die Verteilungen stimmen nicht überein. b) zweier regulärer Hexaeder (Würfel) HH eines regulären Tetraeders (4 gleiche Dreiecke) oder Oktaeders (acht Seiten) TO () Augensumme 4 P(HH)/6/ P(TO)/ () Augensumme kleiner als 7 P(HH)5/65/ P(TO)4/7/6 () Augensumme 7 P(HH)6/6/6 P(TO)4//8 (4) Gerade Augensumme P(HH)8/6/ P(TO)6// c) X : Augensumme beim Werfen zweier Oktaeder a Xa /64 /64 /64 4/64 5/64 6/64 7/64 a Xa 8/64 7/64 6/64 5/64 4/64 /64 /64 /64 X X X4 X5 4 4 X X X

26 X X X X X X X X6 88 K.. ÜA 5 a) E(X) 0, + 0, , b) 0, ,75 Euro 60 c) E(X) 0, + 0, + 0, , % van 0,0 0,4 > Nein, die Bestimmungen sind nicht erfüllt, da im Mittel min. 4 Euro Cent ausbezahlt werden müssen. K.. ÜA 6 E (X) ( ) 4,5 8 m( m + ) m E (X) ( m + ) m m K.. ÜA ,5 40 Auschüttung insgesamt 40 Euro: 5 Teilnehmer,6 Europro Los K.. ÜA 8 8 Eigentlich P(X),da 0 weder rot noch schwarz ist. Dennoch ist es ein Unterschied ob man auf die 7 8 roten Felder jeweils einen Euro legt oder 8 Euro auf Rot, da bei 0 alle 8 Einzelfelder verlieren, von dem Feld Rot allerdings verlieren Sie nur den halben Einsatz E (X) also nicht fair K.. ÜA 9 a 4 5 Xa 0, 0,8*0,0,6 0,8 *0,0,8 0,8 *0,0,04-0,59040,4096 E (X) 0, + 0, , , , ,7

27 K.. ÜA a) b) 4: 5: 4: 4: 5: 4: 4: 4:4 5:4 4 4: 4: 4:4 4:5 5 : 4: 5: 6 : 4: 4:4 5:4 7 : 4: 4:4 4:5 8 : :4 4:4 5:4 9 : :4 4:4 4:5 0 : :4 :5 P(A gewinnt)/4+/4+/6/6 P(B gewinnt)/6+/85/6 k P[kk] k*p[kk] /4 0,50 /8,5 4 /8,500 Summe,5 k P[kk] 5: /4 5: /4 5:4 /6 4:5 /6 :5 /8 K.. ÜA X Wochenend-Tag im Januar an dem man nicht Skilaufen kann a) P(X 0) 0, P(X ) 0,09 0 P(X ) 0,00 P(X ) 0, b) P(X 0) 0, Euro 8, 0 0 P(X ) 5, Euro,6 0 P(X ) 0, Euro 0,0 P(X ) 5, Euro 0,0007 9,5

28 K.. ÜA backen 0% % % % verkaufen E gebacken und 00 verkauft 00 * 4 Cent 50 * 7 Cent 850 Profit X: gebackte Brötchen P(X 00) 0, , , , 00,00 Euro P(X 50) 0, , , , 400,90 Euro P(X 400) 0, , , , 600,5 Euro P(X 450) 0, , , , 800 9,0 Euro Also 50 Brötchen backen. K.. ÜA a) Tetraeder (4 Seiten): E(X) E(X ) *P(X) + *P(X) + *P(X) + 4*P(X4) * / 4 + * / 4 + * / * / 4 (+++4)* / 4 0 / 4,5 *P(X) + *P(X) + *P(X) + 4 *P(X4) * / * / * / * / 4 (+4+9+6)* / 4 0 / 4 7,5 V(X) E(X ) (E(X)) 7,5,5,5 b) Oktaeder (8 Seiten): E(X) E(X ) *P(X)+*P(X)+*P(X)+4*P(X4)+5*P(X5)+6*P(X6)+7*P(X7)+8*P(X8) * / 8 + * / 8 + * / * / * / * / * / * / 8 ( )* / 8 6 / 8 4,5 *P(X) + *P(X) + *P(X) +4 *P(X4) +5 *P(X5) + 6 *P(X6) +7 *P(X7) +8 *P(X8) * / * / * / * / * / * / * / * / 8 ( )* / 8 04 / 8 5,5 V(X) E(X ) (E(X)) 5,5 4,5 5,5 c) Dodekaeder ( Seiten): E(X) *P(X)+*P(X)+*P(X)+4*P(X4)+5*P(X5)+6*P(X6)+7*P(X7)+ + 8*P(X8)+9*P(X9)+0*P(X0)+*P(X)+*P(X) * / + * / + * / + 4 * / + 5 * / + 6 * / + 7 * / + 8 * / + 9 * / + 0 * / + * / + * / ( )* / 78 / 6,5

29 E(X ) *P(X) + *P(X) + *P(X) + 4 *P(X4) + 5 *P(X5) + 6 *P(X6) *P(X7)+8 *P(X8)+9 *P(X9)+0 *P(X0)+ *P(X)+ *P(X) * / + 4 * / + 9 * / + 6 * / + 5 * / + 6 * / + 49 * / + 64 * / * / + 00 * / + * / + 44 * / ( )* / 650 / 54,667 V(X) E(X ) (E(X)) 54,667 6,5,967 d) Ikosaeder (0 Seiten): E(X) E(X ) *P(X)+*P(X)+*P(X)+4*P(X4)+5*P(X5)+6*P(X6)+7*P(X7)+8*P(X8)+9*P(X9) +0*P(X0)+*P(X)+*P(X)+*P(X)+4*P(X4)+5*P(X5)+6*P(X6) +7*P(X7)+8*P(X8)+9*P(X9)+0*P(X0) * / 0 + * / 0 + * / * / * / * / * / * / * / * / 0 + * / 0 + * / 0 + * / 0 +4 * / 0 +5 * / 0 +6 * / 0 +7 * / 0 +8 * / 0 +9 * / 0 +0 * / 0 ( )* / 0 / 0 0,5 *P(X) + *P(X) + *P(X) + 4 *P(X4) + 5 *P(X5) + 6 *P(X6) +7 *P(X7) +8 *P(X8)+9 *P(X9)+0 *P(X0)+ *P(X)+ *P(X)+ *P(X)+4 *P(X4) + 5 *P(X5) + 6 *P(X6) + 7 *P(X7) + 8 *P(X8) + 9 *P(X9) + 0 *P(X0) * / * / * / * / * / * / * / * / * / * / 0 + * / * / * / * / * / * / * / * / * / * / 0 ( )* / / 0 4,5 V(X) E(X ) (E(X)) 4,5 0,5,5 K.. ÜA 4 gleichgroße Sektoren, also jede Wahrscheinlichkeit / E(X) *P(X) + *P(X) + *P(X) * / + * / + * / (++)* / 6 / E(X ) *P(X) + *P(X) + *P(X) * / + 4 * / + 9 * / (+4+9)* / 4 / 4,667 V(X) E(X ) (E(X)) 4,667 0,667 K.. ÜA 5 Würfel : Seiten,,,5,5,6 Würfel : Seiten,,,4,4,5 a) Würfel E(X) E(X ) *P(X) + *P(X) + 5*P(X5) + 6*P(X6) * / 6 + * / * / * / 6 (++0+6)* / 6 0 / 6, *P(X) + *P(X) + 5 *P(X5) + 6 *P(X6) * / * / * / * / 6 ( )* / 6 9 / 6 5, V(X) E(X ) (E(X)) 5,, 4,

30 Würfel E(X) E(X ) *P(X) + *P(X) + 4*P(X4) + 5*P(X5) * / 6 + * / * / * / 6 (+6+8+5)* / 6 0 / 6, *P(X) + *P(X) + 4 *P(X4) + 5 *P(X5) * / * / * / * / 6 (+9++5)* / 6 67 / 6,6667 V(X) E(X ) (E(X)),6667, 0,0558 b) Summe von die Augen muss 0 sein. Möglichkeit ist also: Seiten,,,,4,4 E(X) *P(X) + 4*P(X4) * 4 / * / 6 (+8)* / 6 0 / 6, E(X ) *P(X) + 4 *P(X4) 9 * 4 / * / 6 (6+)* / 6 68 / 6, V(X) E(X ) (E(X)),, 0,