1. Schularbeit 3HL 12. Nov. 2013

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1 1. Schularbeit 3HL 12. Nov Der Abbau von Koffein im Ko rper ist ein exponentieller Prozess. Die Abbaurrate kann von Person zu Person stark variieren. a) Fu r Lena liegt die Halbwertszeit bei 1,5 Stunden. Stellen Sie eine Funktionsgleichung fu r den Abbau von 80 mg Koffein in Abha ngigkeit von der Zeit (in Stunden) auf. 2, 1 2,, 0,5 0,62996, oder 2 e, 1 2 e, ln0,5 1,5 ln0,5 1,5 0,46210, b) Klara hat eine große Prüfung vor sich und muss dafür lernen. Um beim Lernen fit zu sein, trinkt sie um 16 Uhr einen Energydrink, der 80 mg Koffein enthält. Um 17:30 Uhr isst sie eine Tafel Bitterschokolade, die 90 mg Koffein enthält. Der Abbau von Koffein kann für Klara mit folgender Funktionsgleichung beschrieben werden: 0,39685 Zeit in Stunden Koffeinmenge in mg zum Zeitpunkt Koffeinmenge in mg zum Zeitpunkt 0 Berechnen Sie, wie viel Koffein Klara um 20 Uhr in ihrem Körper hat. Lesen Sie aus der Funktionsgleichung ab, wie viel Prozent der vorhandenen Koffeinmenge Klaras Körper pro Stunde abbaut. Restkoffein vom Energydrink um 17:30: 1,5 80 0,39685, 20 mg Nach Verzehr der Schokolade: mg Restkoffein um 20:00: 2, ,39685,, mg 1 0, ,60315 Pro Stunde werden 60,315 % der vorhandenen Koffeinmenge angebaut. 2 P. AB 2 P. AB C

2 c) Die untenstehende Grafik zeigt den exponentiellen Abbau von Koffein im Körper von Samir, nachdem er 100 mg Koffein zu sich genommen hat. Die Koffeinmenge in mg nach Stunden lässt sich für Samir durch 100 e beschreiben. Stellen Sie einen Ansatz zur Berechnung der Zerfallskonstante auf. (Entnehmen Sie benötigte Werte aus der Grafik.) Skizzieren Sie in der Grafik den Verlauf der Exponentialfunktion für Sabine, die 100 mg Koffein zu sich nimmt und mit einer Halbwertszeit von 6 Stunden abbaut. N(t) in mg Ablesen aus der Grafik: 1 40 (oder ein beliebiges anderes Wertepaar) Ansatz zur Berechnung von : Abbauprozess für Sabine: N(t) in mg t in h t in h A A

3 d) Der Abbau von Koffein in Klaras Körper kann mit folgender Funktionsgleichung beschrieben werden: 0,39685 Zeit in Stunden Koffeinmenge in mg zum Zeitpunkt Koffeinmenge in mg zum Zeitpunkt 0 Eine Menge von 500 mg Koffein kann z. B. Schlafstörungen, Unruhen und Nervosität hervorrufen. Berechnen Sie, wie viele ganze Dosen Energydrink (mit je 80 mg Koffein) Klara eine halbe Stunde vor dem Zubettgehen trinken müsste, sodass sie Schlafstörungen wegen des Koffeins zu erwarten hat. 2 P. B, 9, ,39685, ,70 mg 0,39685, Sie müsste 10 Dosen Energydrink trinken. 2. Im Jahr 2000 gab es in O sterreich 6,13 Mio. Mobiltelefonvertra ge. Bis zum Jahr 2005 kamen 2,54 Mio. Vertra ge hinzu (was einer Steigerung um ca. 41 % entspricht). Von 2005 bis 2010 stieg die Zahl der Vertra ge nochmals um 3,57 Mio. (eine neuerliche Steigerung um ca. 41 %). Begru nden Sie, ob diese Entwicklung besser durch eine lineare oder durch eine exponentielle Funktion beschrieben werden kann. Argumentieren Sie, warum zur Beschreibung der Entwicklung der Mobiltelefonvertra ge auf lange Sicht weder ein lineares, noch ein unbegrenztes exponentielles Wachstumsmodell geeignet ist. Die Entwicklung la sst sich besser durch eine exponentielle Funktion beschreiben, da die Anzahl der Vertra ge in gleichen Zeiteinheiten um denselben Prozentsatz (um denselben Faktor) wa chst. Lineares und unbegrenztes exponentzielles Wachstum sind nach oben hin nicht beschra nkt, die Funktionswerte steigen sta ndig weiter an. Das ist nicht realistisch, da eine Person vielleicht 1 2, in Ausnahmefa llen eventuell noch mehr, aber nicht unbegrenzt viele Mobilfunkvertra ge abschließt. Ein begrenztes Wachstumsmodell scheint auf lange Sicht geeigneter. D D

4 3. Erga nzen Sie den Text richtig mit den folgenden Begriffen: exponentiell / quadratisch / linear Die Jahresringe eines Baumes lassen den Stamm pro Jahr um 1 cm dicker werden. Der Stammdurchmesser wa chst in Abha ngigkeit von der Zeit linear. Die kreisfo rmige Stammquerschnittsla che wa chst in Abha ngigkeit von der Zeit quadratisch. Das Herz pumpt pro Jahr etwa m³ Blut. Die gepumpte Blutmenge nimmt in Abha ngigkeit von der Zeit linear zu. Ein Kapital wird mit 3 % pro Jahr verzinst. Der Wert des Kapitals wa chst in Aha ngigkeit von der Verzinsungsdauer exponentiell. 4. Eine bestimmte Bakterienkultur wa chst exponentiell. Innerhalb von 5 Stunden wa chst die Anzahl der Bakterien um 20 %. Berechnen Sie, um wieviel Prozent die Bakterienanzahl pro Stunde zunimmt. Zunahme pro Stunde: 3,71 % 1,2 1,2 1,2 1, P. C B

5 1. Schularbeit 3HL 12. Nov Der Abbau von Koffein im Ko rper ist ein exponentieller Prozess. Die Abbaurrate kann von Person zu Person stark variieren. a) Fu r Lena liegt die Halbwertszeit bei 2,5 Stunden. Stellen Sie eine Funktionsgleichung fu r den Abbau von 60 mg Koffein in Abha ngigkeit von der Zeit (in Stunden) auf. 2, 1 2,, 0,5 0,75786, oder 2 e, 1 2 e, ln0,5 2,5 ln0,5 2,5 0,27726, b) Klara hat eine große Prüfung vor sich und muss dafür lernen. Um beim Lernen fit zu sein, trinkt sie um 15 Uhr einen Espresso, der 100 mg Koffein enthält. Um 17:30 Uhr isst sie eine Tafel Vollmilchschokolade, die 15 mg Koffein enthält. Der Abbau von Koffein kann für Klara mit folgender Funktionsgleichung beschrieben werden: 0,57435 Zeit in Stunden Koffeinmenge in mg zum Zeitpunkt Koffeinmenge in mg zum Zeitpunkt 0 Berechnen Sie, wie viel Koffein Klara um 19 Uhr in ihrem Körper hat. Lesen Sie aus der Funktionsgleichung ab, wie viel Prozent der vorhandenen Koffeinmenge Klaras Körper pro Stunde abbaut. Restkoffein vom Espresso um 17:30: 2, ,57435, 25 mg Nach Verzehr der Schokolade: mg Restkoffein um 19:00: 1,5 40 0,57435,, mg 1 0, ,42565 Pro Stunde werden 42,565 % der vorhandenen Koffeinmenge angebaut. 2 P. AB 2 P. AB C

6 c) Die untenstehende Grafik zeigt den exponentiellen Abbau von Koffein im Körper von Samir, nachdem er 100 mg Koffein zu sich genommen hat. Die Koffeinmenge in mg nach Stunden lässt sich für Samir durch 100 e beschreiben. Stellen Sie einen Ansatz zur Berechnung der Zerfallskonstante auf. (Entnehmen Sie benötigte Werte aus der Grafik.) Skizzieren Sie in der Grafik den Verlauf der Exponentialfunktion für Sabine, die 100 mg Koffein zu sich nimmt und mit einer Halbwertszeit von 5 Stunden abbaut. N(t) in mg Ablesen aus der Grafik: 1 60 (oder ein beliebiges anderes Wertepaar) Ansatz zur Berechnung von : Abbauprozess für Sabine: N(t) in mg t in h t in h A A

7 d) Der Abbau von Koffein in Klaras Körper kann mit folgender Funktionsgleichung beschrieben werden: 0,57435 Zeit in Stunden Koffeinmenge in mg zum Zeitpunkt Koffeinmenge in mg zum Zeitpunkt 0 Eine Menge von 500 mg Koffein kann z. B. Schlafstörungen, Unruhen und Nervosität hervorrufen. Berechnen Sie, wie viele ganze Dosen Energydrink (mit je 80mg Koffein) Klara eine halbe Stunde vor dem Zubettgehen trinken müsste, sodass sie Schlafstörungen wegen des Koffeins zu erwarten hat. 2 P. B, 8, ,57435, ,75 mg 0,57435, Sie müsste 9 Dosen Energydrink trinken. 2. Im Jahr 1970 waren in O sterreich 1,2 Mio. Pkws angemeldet. Bis zum Jahr 1975 kamen 0,5 Mio. Pkws hinzu (was einer Steigerung um ca. 42 % entspricht). Von 1975 bis 1980 stieg die Zahl angemeldeter Pkws nochmals um 0,5 Mio. (eine Steigerung um ca. 29 %). Begru nden Sie, ob diese Entwicklung besser durch eine lineare oder durch eine exponentielle Funktion beschrieben werden kann. Argumentieren Sie, warum zur Beschreibung der Entwicklung der angemeldenten Pkws auf lange Sicht weder ein lineares, noch ein unbegrenztes exponentielles Wachstumsmodell geeignet ist. Die Entwicklung la sst sich besser durch eine lineare Funktion beschreiben, da die Anzahl der Pkws in gleichen Zeiteinheiten um denselben Betrag (um denselben Summanden) wa chst. Lineares und unbegrenztes exponentzielles Wachstum sind nach oben hin nicht beschra nkt, die Funktionswerte steigen sta ndig weiter an. Das ist nicht realistisch, da eine Person vielleicht einen Pkw besitzt, in Ausnahmefa llen eventuell mehrere aber nicht unbegrenzt viele. Ein begrenztes Wachstumsmodell scheint auf lange Sicht geeigneter. D D

8 3. Erga nzen Sie den Text richtig mit den folgenden Begriffen: exponentiell / quadratisch / linear Die Geschwindigkeit eines Turmspringers im Sprung steigt pro Sekunde um ca. 5 m/s. Seine Geschwindigkeit nimmt in Abha ngigkeit von der Zeit linear zu. Die Helligkeit unter Wasser nimmt pro Meter Tiefe um etwa 7 % ab. Die Helligkeit sinkt in Aha ngigkeit von der Wassertiefe exponentiell. Die Fla che eines quadratischen Ackers ha ngt von seiner Seitenla nge ab. Der Umfang des Ackers wa chst in Abha ngigkeit von der Seitenla nge linear. Die Ackerla che wa chst in Abha ngigkeit von der Seitenla nge quadratisch. 4. Eine bestimmte Bakterienkultur wa chst exponentiell. Innerhalb von 4 Stunden wa chst die Anzahl der Bakterien um 30 %. Berechnen Sie, um wieviel Prozent die Bakterienanzahl pro Stunde zunimmt. Zunahme pro Stunde: 6,79 % 1,3 1,3 1,3 1, P. C B