Bachelor Thesis. Optimierung des Messprozesses für Hochdruckpumpenteile auf einem 3D-Koordinatenmessgerät. Dr.-Otto-Nuschke-Str Lichtenstein

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1 Bachelor Thesis Optimierung des Messprozesses für Hochdruckpumpenteile auf einem 3D-Koordinatenmessgerät Vorgelegt am : Von : Robin Feiler Dr.-Otto-Nuschke-Str Lichtenstein Studiengang : Industrielle Produktion Studienrichtung: Fertigungsmesstechnik und Qualitätsmanagement Seminargruppe : FQ 2011 Matrikelnummer: Praxispartner : Technify Motors GmbH Platanenstraße Lichtenstein Gutachter : Dipl. Ing. Stefan Fleischer (Technify Motors GmbH) Prof. Dr. Heiko Enge (Staatliche Studienakademie Glauchau)

2 Sperrvermerk Die vorgelegte Bachelor Thesis mit dem Titel: Optimierung des Messprozesses für Hochdruckpumpenteile auf einem 3D-Koordinatenmessgerät beinhaltet vertrauliche und interne Daten des Unternehmens. Die Einsicht in die Bachelor Thesis ist Unbefugten nicht gestattet. Ausgenommen hiervon sind die Gutachter sowie berechtigte Mitglieder des Prüfungsausschusses. Die Vervielfältigung und Veröffentlichung der Bachelor Thesis auch auszugsweise ist grundsätzlich nicht erlaubt. Eine Ausnahme von dieser Regelung bedarf der Erlaubnis der Technify Motors GmbH. ii

3 Inhaltsverzeichnis Abbildungsverzeichnis Symbole und Abkürzungen v vi 1 Einleitung Unternehmen und Produktpalette Problemstellung Vorbetrachtungen Bewertung von Prüfprozessen Messsystemanalyse Verfahren Verfahren Prüfprozesseignung nach VDA Allgemeine Grundlagen Erweiterte Messunsicherheit des Messsystems Erweiterte Messunsicherheit des Messprozesses Optimierungsstrategien Allgemeiner Ansatz Robustheit von Prozessen optimieren Versuchspläne und ihre Eigenschaften Hilfsmittel für die Auswertung Signal-Rausch-Verhältnis Boxplot Feststellung des Istzustandes Messsystemanalyse Verfahren Verfahren Messprozesseignung nach VDA Beurteilung des Messsystems Beurteilung des Messprozesses Bewertung der Ergebnisse Optimierung 27 iii

4 Inhaltsverzeichnis 5.1 Bestimmung der relevanten Einflussgrößen Sammlung von Einflussgrößen Ermittlung des Einflusses von Störgrößen Bestimmung der zu untersuchenden Steuergrößen Versuchsdurchführung Auswahl der Versuchspläne Organisation und Durchführung Auswertung der Versuchsergebnisse Bewertung der Optimierungen Messsystemanalyse Verfahren Verfahren Prüfprozesseignung nach VDA Vergleich und Bewertung der Ergebnisse Wirtschaftliche und technologische Betrachtungen Aufspannkonzept Messstrategie und Auswertung Vergleich zum bisherigen Messverfahren Messprozesseignung Kostenvergleich Zusammenfassung Durchgeführte Untersuchungen und Ergebnisse Ausblick Quellenverzeichnis 56 Anhang 57 iv

5 Abbildungsverzeichnis 1.1 Aufbau einer Hochdruckpumpe Untersuchte Komponenten Prinzip der Lehrenkalibrierung Prinzip des Robust Parameter Design Aufbau eines Matrixversuches Beispiel für einen Matrixversuchsplan Auswertung eines Matrixversuches Beispiel für einen fraktionellen Versuchsplan Beispiel für einen Boxplot Messsystemanalyse des Istzustandes Ergebnisse der Prüfprozesseignung nach VDA Mögliche Einflüsse auf das Messergebnis Einfluss der Störgrößen Untersuchte Steuergrößen Auswahl des geeigneten Versuchsplans Effektdiagramm für die Signal/Rausch-Verhältnisse Optimale Einstellung der Steuergrößen Vorher-Nachher-Vergleich MSA Verfahren Veranschaulichung der Optimierungsergebnisse Vorher-Nachher-Vergleich MSA Verfahren Vorher-Nachher-Vergleich Messystemeignung nach VDA Vorher-Nachher-Vergleich Messprozesseignung nach VDA Auswirkungen der Messunsicherheit auf die Messergebnisse Palettenaufspannung für HDP-Kolben Vergleich der Prozesseignung verschiedener Messverfahren Vergleich der Kosten verschiedener Messverfahren v

6 Symbole und Abkürzungen BKS KMG TMG a AV %AV b C g C gk EV %EV Basiskoordinatensystem Koordinatenmessgerät Technify Motors GmbH Fehlergrenzwert Anwenderstreuung (Apraiser Variation) prozentualer Anteil der Anwenderstreuung an der Toleranz Transformationskoeffizient einer statistischen Verteilung Messmittelfähigkeitskennzahl Kritische Messmittelfähigkeitskennzahl Gerätestreuung (Equipment Variation) prozentualer Anteil der Gerätestreuung an der Toleranz GRR Gesamtstreuung des Messprozesses (Gage R & R) %GRR k m N n ndc P p Q MP Q MS S T prozentualer Anteil der Gesamtstreuung an der Toleranz Erweiterungsfaktor für Unsicherheiten Anzahl der Faktorstufen Gesamtanzahl der Versuchsreihen Anzahl der Realisierungen einer Versuchsreihe Anzahl unterscheidbarer Klassen (number of distinct classes) Vertrauensniveau einer statistischen Größe Anzahl der Ersetzungen von Wechselwirkungen durch zusätzliche Faktoren Eignungskennwert des Messprozesses nach VDA Eignungskennwert des Messsystems nach VDA Spiel zwischen Kolben und Zylinder Toleranz vi

7 Symbole und Abkürzungen u AV u BI U CAL u CAL u EV O u EV R U MP u MP U MS u MS u RE u T x N x α N α P T 20 T N η Standardunsicherheit durch Anwenderstreuung Standardunsicherheit durch systematische Messabweichung Erweiterte Unsicherheit des Kalibriernormals Standardunsicherheit des Kalibriernormals Standardunsicherheit durch Gerätestreuung am Objekt Standardunsicherheit durch Gerätestreuung am Normal Erweiterte Unsicherheit des Messprozesses Standardunsicherheit des Messprozesses Erweiterte Unsicherheit des Messsystems Standardunsicherheit des Messsystems Standardunsicherheit der Auflösung Standardunsicherheit durch Temperatureinfluss Nominalwert Mittelwert Temperaturausdehnungskoeffizient des Normals Temperaturausdehnungskoeffizient des Prüfobjektes Temperaturunterschied es Prüfobjekts zu 20 o C Temperaturunterschied zwischen Prüfobjekts und Normal Signal/Rausch-Verhältnis (S/N-Verhältnis) µ sicher erkennbarer Effekt einer Einflussgröße σ Standardabweichung vii

8 1 Einleitung 1.1 Unternehmen und Produktpalette Die Technify Motors GmbH ist ein mittelständisches Industrieunternehmen mit Standort in Lichtenstein (Sachsen). Gegründet wurde sie 2000 unter dem Namen Thielert Aircraft Engines durch den Hamburger Unternehmer Frank Thielert. Nach einer Insolvenz im Jahre 2008 wurde das Unternehmen 2013 durch den chinesischen Staatskonzern Avic übernommen. Das Hauptgeschäftsfeld von Technify Motors ist die Entwicklung und Herstellung von Kolbenflugmotoren für die allgemeine Luftfahrt. Diese Motoren werden in verschiedenen Leistungsstufen unter dem Markennamen Centurion vertrieben. Die Besonderheit gegenüber traditionellen Flugmotoren ist die Nutzung von Diesel bzw. Kerosin als Treibstoff. Dadurch ergibt sich eine deutliche Verbrauchs- und damit Kostenreduzierung im Vergleich zu herkömmlichem Flugbenzin. In diesem Segment ist Technify Motors momentan Marktführer bzw. werden keine vergleichbaren Produkte von anderen Herstellern angeboten. 1.2 Problemstellung Diese Arbeit beschäftigt sich mit einem zentralen Bestandteil moderner Dieselmotoren, nämlich der Hochdruckpumpe des Kraftstoffsystems. Genauer gesagt geht es um bestimmte Komponenten der Pumpe und den hierfür verwendeten Prüfprozess. Zunächst sollen kurz der Aufbau und die Funktion einer Hochdruckpumpe erläutert werden (vergl. Abb. 1.1). Es handelt sich hierbei um eine Hubkolbenpumpe. Bei Abwärtsbewegung des Kolbens wird Kraftstoff durch ein Einwegventil angesaugt. Bei Aufwärtsbewegung des Kolbens wird der Kraftstoff verdichtet und durch ein zweites Einwegventil ausgestoßen. Eine Pumpe enthält 3 solcher Zellen. Die Hubbewegung des Kolbens wird durch ein auf einer Exzenterwelle umlaufendes Polygon gesteuert. Der Kraftstoff aller drei Zellen wird in einer Ringleitung gesammelt und einem Druckspeicher zugeführt, aus dem die Einpritzdüsen mit Kraftstoff versorgt werden.. Der erreichbare Druck ist neben Hub und Drehzahl der Pumpe auch abhängig vom Leckspalt der Kolben-Zylinder-Paarung in einer Zelle. Je kleiner dieser Spalt ist desto geringer ist der Druckverlust. Wird der Spalt jedoch zu klein, kann es zu Mischreibung an den Zylinderwänden kommen, wodurch erhöhter Verschleiß auftritt. Das Spiel muss 1

9 Einleitung Abb. 1.1: Aufbau einer Hochdruckpumpe: 1 Gehäuse, 2 Zylinder, 3 Kolben, 4 Stößelplättchen, 5 Polygon, 6 Exzenterwelle Quelle: TM Intranet also gut ausbalanciert und vor allem an die Viskosität des verwendeten Kraftstoffes angepasst sein. Hochdruckpumpen, wie die Abgebildete, werden in großem Umfang in der Automobilindustrie für Dieselmotoren eingesetzt. Zunächst wurden daher Versuche mit entsprechenden Großserienbaugruppen unternommen. Diese Pumpen stellten sich jedoch für die Verwendung mit Kerosin als ungeeignet heraus. Es kam zu erhöhtem Verschleiß und regelmäßigem Totalausfall der Pumpen. Der Grund liegt in der geringeren Viskosität und den schlechteren Schmiereigenschaften von Kerosin. Aus diesem Grund ist Technify Motors dazu übergegangen nur die Gehäuse zuzukaufen und die beweglichen Teile der Pumpe selbst herzustellen. Diese Komponenten werden durch geeignete Oberflächenbehandlungen vor Verschleiß geschützt. Insbesondere die Fertigung der Kolben und Zylinder stellen dabei eine Herausforderung dar. Die sehr enge Toleranz für das Spiel beider Komponenten (2,5-3,2 µm) kann mit den verwendeten Fertigungsprozessen nicht sichergestellt werden. Aus diesem Grund müssen die Teile zu 100% vermessen und zusortiert werden. Der Messprozess der beiden Einzelteile wurde bisher auf einer manuell zu bestückenden pneumatischen Prüfvorrichtung realisiert. Um Personalaufwand zu sparen, werden die Teile aktuell mittels automatischer Palettenmessung auf einer 3D-Koordinatenmessmaschine geprüft. Bei diesem Prozess gibt es jedoch erhebliche Probleme mit der Messgenauigkeit. Zu diesem Problemkreis wurde bereits eine Bachelorarbeit durchgeführt (vergl. Vogel 2013) in deren Verlauf die Messunsicherheit deutlich reduziert werden konnte. Leider ist die verbleibende Unsicherheit immer noch zu hoch um den Prozess als stabil ansehen zu können. Ziel dieser Arbeit ist es daher die Qualität der Messergebnisse weiter zu verbessern. Zu diesem Zweck soll zunächst der Istzustand des Prozesses analysiert werden. Im weiteren Verlauf wird versucht, festzustellen, welche äußeren Störfaktoren das Messergebnis beeinflussen. Anschließend soll untersucht werden, wie die Auswirkungen dieser Störfaktoren minimiert werden können. 2

10 Zylinder S = D-d 2,5 bis 3,2 µm S/2 S/2 Kolben Einleitung D d D = 7,204±0,002 d = 7,201±0,004 Abb. 1.2: In dieser Arbeit untersuchte Komponenten der Hochdruckpumpe Quelle: Autor 1.3 Vorbetrachtungen An dieser Stelle soll zunächst die Ausgangssituation festgehalten werden. Abb. 1.2 zeigt die beiden Komponenten, deren Messprozess in dieser Arbeit untersucht wird. Bereits an die Einzelteile werden hohe Anforderungen an Maßgenauigkeit und Formabweichungen gestellt. Entscheidend für die Funktion ist jedoch das resultierende Spiel beider Komponenten. Hier ist die Toleranzspanne äußerst gering. Sie beträgt gerade 0, 7 µm. Für die Vermessung der Einzelteile wird zur Zeit ein 3D-Koordnatenmessgerät der Firma Zeiss (Typ Prismo) verwendet. Dieses verfügt laut Herstellerangaben über eine maximale Messunsicherheit von ±1,5 L/350µm. Da dies für die vorliegende Messaufgabe nicht ausreichend ist, wurden bereits Optimierungsmöglichkeiten ausgeschöpft. Die wichtigste davon ist die Lehrenkalibrierung/Lehrenkorrektur. Abb. 1.3 veranschaulicht das zugrunde liegende Prinzip. Zunächst wird ein Normal (die Lehre) vermessen. Das Ergebnis ist ganz links zu erkennen. Das Messelement ist unrund und entspricht nicht dem Solldurchmesser. Diese Abweichungen resultieren sowohl aus tatsächlichen Abweichungen des Normals als auch aus Unzulänglichkeiten der Messung (Nachführung des Tastelementes, Regulierung der Messkraft etc.). Für diese Abweichungen werden nun Korrekturwerte festgelegt (Lehrenkalibrierung). Das Ergebnis entspricht einem ideal runden Normal mit Solldurchmesser (2. Abb. von links). Diese Korrekturen werden zukünftig auf andere Messelemente angewendet (Lehrenkorrektur). Dabei werden die Messfehler anhand der festgelegten Korrekturwerte herausgerechnet (3. u. 4. Abb. von links). Wichtig ist, das Lehre und Messelement annähernd den gleichen Durchmesser besitzen und die Antastparameter möglichst ähnlich sind. Bei der Umstellung des Prüfprozesses auf 3D-Koordinatenmesstechnik wurden natürlich auch die Fragen der Prüfprozesseignung untersucht. Zu diesem Problemkreis exis- 3

11 Einleitung Normal unkorrigiert Dmr. 6,993 Normal nach Lehrenkalibrierung Dmr. 7,000 Messobjekt unkorrigiert Dmr. 7,002 Messobjekt nach Lehrenkorrektur Dmr. 7,009 Abb. 1.3: Prinzip der Lehrenkalibrierung (stark überhöhte Darstellung) Quelle: Autor tiert bereits eine Bachelor Thesis (vergl. Vogel 2013). Dort vergleicht der Autor den bisherigen Prozess (pneumatische Messung) mit dem neuen Verfahren (3D-Koordinatenmessgerät). Als Werkzeuge wurden die Messmittelanalysen nach Verfahren 1 und 2 verwendet. In einer ersten Auswertung kommt der Autor zu dem Schluss, dass die Eignung des neuen Verfahrens deutlich schlechter ist und die gestellten Anforderungen nicht erfüllt. Die Einführung einer Lehrenkalibrierung verbesserte die Messunsicherheit deutlich und führte zu dem Ergebnis, dass das neue Verfahren marginal besser geeignet erscheint. Auf Basis dieser Feststellungen wurde der Wechsel zum neuen Verfahren vollzogen. Leider erwiesen sich die angestellten Betrachtungen als unvollständig. Das Problem besteht darin, dass von falschen Voraussetzung über die Zielstellung des Messprozesses ausgegangen wurde. Dies soll im folgenden kurz erläutert werden. Betrachten wir zunächst das Bauteil Kolben. Der Solldurchmesser beträgt 7,201 ± 0,004. Führt man nun eine Messmittelanalyse z.b. nach Verfahren 1 durch, würde man für die Auswertung eine Toleranzbreite von 8µm zugrunde legen. Dies ist der richtige Ansatz, wenn man wissen möchte ob der Messprozess ausreichend genau ist um mit Sicherheit festzustellen, dass das gemessene Teil innerhalb der Toleranz liegt. Für den vorliegenden Fall reicht diese Information jedoch nicht aus. Wie bereits erwähnt werden die Teile sortiert und mit einem Spiel von 2,5µm bis 3,2µm gepaart. Eigentliches Ziel des Messprozesses ist es also nicht, die Maßhaltigkeit des Bauteiles nachzuweisen 1 sondern das Spiel einer beliebigen Kolben-Zylinder-Paarung möglichst genau zu bestimmen. Was bedeutet nun möglichst genau? Grundlage ist hier die Spieltoleranz von 0, 7 µm. Mann erkennt schon, dass diese Toleranz wesentlich kleiner und daher eine schlechtere Prüfprozesseignung zu erwarten ist. Erschwerend kommt hinzu, dass die die Prüfgröße, die hier untersucht werden muss (das Spiel) das Ergebnis aus zwei unabhängigen Messprozessen (des Kolben und des Zylinders) ist, von denen jeder seinen eigenen Teil zur Messunsicherheit beiträgt. Zusammengefasst lässt sich also feststel- 1 Tatsächlich können auch Teile außerhalb der Toleranz verwendet werden, sofern sich ein geeignetes Gegenstück findet. 4

12 Einleitung len, dass die Grundlage für die Feststellung der Prüfprozesseignung die resultierende Prüfgröße Spiel mit ihrer zugehörigen Toleranz sein muss. Dabei steht zu erwarten, dass die Prüfprozesseignung im Vergleich zu den bisherigen Ergebnissen eher schlecht ausfallen wird. Dies stellt die Ausgangssituation für die in den folgenden Kapiteln angestellten Untersuchungen dar. 5

13 2 Bewertung von Prüfprozessen 2.1 Messsystemanalyse Verfahren 1 Bei der Messsystemanalyse nach Verfahren 1 wird die Eignung eines Messsystems auf Basis der Messung eines Referenzwerkstückes durch einen Prüfer ermittelt. Aus den Ergebnissen werden die Messmittelfähigkeitskennzahlen C g und C gk (siehe Gl. 2.1 u. 2.2 ) bestimmt, welche die Wiederholpräzision und die systematische Messabweichung widerspiegeln. Das Messsystem gilt dabei als fähig, wenn sowohl C g als auch C gk größer als 1,33 sind (Verfahren nach BOSCH). 1 C g = 0,2 T 6 σ (2.1) C gk = min { (xn + 0,1 T ) x 3 σ ; x (x } N 0,1 T ) 3 σ (2.2) Fähigkeitskennzahl... C g kritische Fähigkeitskennzahl... C gk Toleranzbreite... T Sollwert... x N Mittelwert... x Standardabweichung... σ Verfahren 2 Bei der Messsystemanalyse nach Verfahren 2 geht es um die Beurteilung der Reproduzierbarkeit von Messergebnissen unter verschiedenen Prüfbedingungen (Prüfereinfluss). Es wird also nicht nur das Messgerät sondern der Messprozess als solcher bewertet. In der Regel verwendet man dafür Serienteile. Üblicherweise werden 10 Bauteile von 3 verschiedenen Prüfern in jeweils 2-3 Wiederholungen gemessen. Aus den Ergebnissen werden folgende Werte ermittelt: 2 1 vergl. Dietrich u. a., 2014, S. 56 ff 2 vergl. ebd., S. 79 ff 6

14 Bewertung von Prüfprozessen Wiederholpräzision (Equipment Variation, EV): Anteil der Gesamtstreuung, der aus den Messwiederholungen des gleichen Prüfers am gleichen Teil resultiert (Messsystemstreuung). Vergleichspräzision (Apraiser Variation, AV): Anteil der Gesamtstreuuung, der aus der Messung gleicher Teile durch verschiedene Prüfer resultiert (Anwenderstreuung, Streuung der Messbedingungen). Teilestreuung: Teile resultiert. Anteil der Gesamtstreuung, der aus der Variation der verwendeten Kombinierte Streuung (GRR): Summe aus Wiederhol- und Vergleichspräzision (geometrische Addition). Das Messverfahren gilt als geeignet, wenn %GRR weniger als 10% der Toleranzbreite ausmacht. Bis 30% der Toleranzbreite spricht man von bedingt geeignet. Anzahl unterscheidbarer Klassen (ndc): Auf Basis dieses Wertes lässt sich beurteilen, ob die Auflösung des Messgerätes fein genug ist bzw. ob die Variation der verwendeten Bauteile groß genug ist um sinnvolle Ergebnisse zu erhalten. Er sollte mindestens 5 betragen. 2.2 Prüfprozesseignung nach VDA Allgemeine Grundlagen In der VDA-Richtlinie zur Prüfprozesseignung wird zur Bewertung die sogenannte erweiterte Messunsicherheit vorgeschlagen. Auch hier wird grundsätzlich zwischen der Eignung des Messsystems und der Eignung des Messprozesses unterschieden. Dies entspricht der klassischen Vorgehensweise der Messsystemanalyse mit dem Verfahren 1 (Messsystemeignung) und den darauf aufbauenden Verfahren 2 bis 5 (Messprozesseignung). Tatsächlich können hierfür auch die bei der Messsystemanalyse ermittelten Messreihen verwendet werden. Für beide Fälle wird eine erweiterte Messunsicherheit berechnet, die jeweils einen festgelegten Anteil der Toleranzbreite nicht überschreiten darf. Im Gegensatz zur klassischen Messsystemanalyse werden die Unsicherheiten teilweise anders bestimmt bzw. werden Unsicherheitskomponenten berücksichtigt, die in die klassische Messsystemanalyse nicht einfließen. Am Ende des Verfahrens erhält man einen sogenannten Eignungskennwert, der eine Aussage über die Qualität des Prüfprozesses ermöglicht. Im folgenden sollen die einzelnen Schritte des Verfahrens näher erläutert werden. 3 3 vergl. Dietrich u. a., 2014, S

15 Grundsätzlich besteht der Verfahrensablauf aus 5 Schritten: 4 Bewertung von Prüfprozessen 1. Beschreibung der Messaufgabe Hier wird angegeben was geprüft werden soll (Bauteil, Sollmaß, Toleranzen). 2. Angaben zum Messsystem An dieser Stelle werden alle bekannten Angaben zum Messsystem zusammengetragen (z.b. Typ, Hersteller, Messbereich, verwendetes Normal etc.) 3. Nachweis der Messsystemeignung Es müssen alle relevanten Unsicherheitskomponenten des Messsystems angegeben und die Werte der zugehörigen Unsicherheiten bestimmt werden. Daraus wird die erweiterte Messunsicherheit des Messsystems U MS ermittelt. 4. Nachweis der Messprozesseignung Es müssen alle relevanten Unsicherheitskomponenten des Messprozesses angegeben und die Werte der zugehörigen Unsicherheiten bestimmt werden. Daraus wird die erweiterte Messunsicherheit des Messprozesses U MP ermittelt. 5. Berücksichtigung der erweiterten Messunsicherheit an den Toleranzgrenzen Aufgrund der Unsicherheit des Messwertes an der Toleranzgrenze müssen die Toleranzen eingeschränkt werden (Hersteller) oder erweitert werden (Abnehmer). Für die Ermittlung der verschiedenen Unsicherheitskomponenten gibt es zwei grundsätzliche Verfahren: 5 Methode A: Die Methode A basiert auf realen Messergebnissen. Es müssen Versuchsreihen durchgeführt werden. Aus den aufgenommenen Messwerten wird die jeweilige Unsicherheitskomponente bestimmt. Die Berechnungsmethode kann je nach Komponente unterschiedlich sein. Methode B: Die Methode B basiert auf Erfahrungswerten oder nachprüfbaren Angaben. Dazu können z.b. Herstellerangaben, Kalibrierzertifikate oder Erfahrungen mit ähnlichen Messprozessen gehören. Auf Basis dieser Angaben findet eine theoretische Abschätzung der Unsicherheitskomponente statt. 4 vergl. Dietrich u. a., 2014, S. 197 ff 5 vergl. ebd., S

16 2.2.2 Erweiterte Messunsicherheit des Messsystems Bewertung von Prüfprozessen Die erweiterte Messunsicherheit des Messsystems U MS berücksichtigt alle Einflüsse, die aus dem Messsystem selbst resultieren und ist daher mit der Messsystemanalyse nach Verfahren 1 vergleichbar. Es werden jedoch zusätzliche Einflüsse berücksichtigt. Im folgenden wird kurz die Ermittlung der einzelnen Unsicherheitskomponenten erläutert. 6 Unsicherheit des Normals u CAL : u CAL gibt die Unsicherheit an, die aus der Kalibrierung des verwendeten Normals resultiert. Üblicherweise wird hier die erweiterte Messunsicherheit U CAL aus dem Kalibrierzeugnis zugrunde gelegt. Die Ermittlungsmethode ist also B. Die Standardunsicherheit u CAL ergibt sich dann zu u CAL = U CAL /k. Dabei ist k abhängig vom Vertrauensniveau P der erweiterten Messunsicherheit. In der Regel wird P = 95% (k = 2) verwendet. Bei abweichenden Angaben sollte dies im Kalibrierzeugnis vermerkt sein. Unsicherheit der Auflösung u RE : u RE gibt die Unsicherheit an, die aus der Skalenteilung bzw. Auflösung des Maßstabes resultiert ( Zwischenwerte werden auf die Skalenteilung gerundet). Die Standardunsicherheit u RE ergibt sich dann zu u RE = a b. Dabei ist der Fehlergrenzwert: a = 1/2 Auflösung. b ist ein sogenannter Transformationskoeffizient, der abhängig ist von der Verteilung innerhalb der Fehlergrenzen. Bei der Unsicherheit der Auflösung geht man davon aus, dass der wahre Wert innerhalb der Fehlergrenzen gleichmäßig verteilt ist (Rechteckverteilung). Es ist also für jeden Wert innerhalb der Fehlergrenzen gleich wahrscheinlich, dass er den wahren Wert repräsentiert. Für diesen Fall ist b = 1/ 3 0,6. Systematische Messabweichung u BI : u BI beschreibt die Unsicherheit aus einer systematischen Abweichung des Messsystems. Liegen dazu keine verlässlichen Daten vor, muss der Wert nach Methode A ermittelt werden. Die erforderlichen Messreihen entsprechen denen für die Messsystemanalyse bzw. können die dort ermittelten Werte verwendet werden. Notwendig sind 25 oder 50 Messungen an einem Normal unter Wiederholbedingungen. Die systematische Abweichung (Bias) ergibt sich dann zu Bi = x Nominalwert. Die Berechnung von u BI erfolgt wie im vorherigen Punkt: u BI = a b. Der Fehlergrenzwert a entspricht hier Bi und b ist wieder der Transformationskoeffizient der Rechteckverteilung. Unsicherheit der Gerätestreuung am Normal u EV R : u EV R resultiert aus der Streuung des Messgerätes bei der Messung eines Normals unter Wiederholbedingungen. Dies entspricht der zufälligen Messabweichung aus der Messsystemanalyse. Auch 6 vergl. Dietrich u. a., 2014, S. 205 ff 9

17 Bewertung von Prüfprozessen hier können daher die entsprechenden Daten herangezogen werden. Die Standardunsicherheit u EV R entspricht hier der Standardabweichung σ. Aus den oben beschriebenen Standardunsicherheiten wird die Standardunsicherheit des Messsystems wie folgt bestimmt: u MS = u 2 CAL + u2 BI + max{u EV R, u RE } 2 (2.3) Die erweiterte Messunsicherheit des Messsystems ergibt sich dann zu: U MS = k u MS mit k = 2 für P = 95% (2.4) Zur Bewertung des Messsystems wird der Eignungskennwert Q MS gebildet. Q MS = 2 U MS T oleranz 100% Q MS,max = 15% (2.5) Erweiterte Messunsicherheit des Messprozesses Die erweiterte Messunsicherheit des Messprozesses U MP versucht alle Einflüsse, die unter normalen Prozessbedingungen auftreten können, zu erfassen. Sie ist daher vergleichbar mit der Messsystemanalyse nach Verfahren 2. Allerdings werden auch hier weitergehende Einflüsse berücksichtigt. Ergänzend zu bzw. abweichend von den in Abschnitt definierten Unsicherheitskomponenten werden hier zusätzlich die folgenden Einflüsse herangezogen: 7 Unsicherheit durch Temperatur u T : u T berücksichtigt die Messunsicherheit, die aus Temperaturabweichungen entsteht. Beurteilt werden dabei Abweichungen der Bauteiltemperatur zur Referenztemperatur (20 C) sowie Temperaturunterschiede zwischen Bauteil und Kalibriernormal. Die Unsicherheit wird nach Methode B abgeschätzt. Der Fehlergrenzwert a ergibt sich wie folgt: a = R (α P α N ) 2 T α2 N T N 2 (2.6) Temperaturausdehnungskoeffizient des Prüflings... α P Temperaturausdehnungskoeffizient des Normals... α N maximal erwartetertemperaturunterschied Prüfling zu 20 C... T 20 maximal erwarteter Temperaturunterschied Prüfling zu Normal... T N 7 vergl. Dietrich u. a., 2014, S. 205 ff 10

18 Bewertung von Prüfprozessen Daraus berechnet sich die Standardunsicherheit durch Multiplikation mit dem Transformationskoeffizienten für die Rechteckverteilung (alle Temperaturabweichungen sind gleich wahrscheinlich). u T = a b a 0,6 (2.7) Unsicherheit durch Bedienereinfluss u AV : u AV gibt die Messunsicherheit wieder, die aus dem Einfluss unterschiedlicher Prüfer auf den Messprozess entsteht. Sie entspricht der Apraiser Variation aus der Messsystemanalyse nach Verfahren 2. Auch die Ermittlung erfolgt in gleicher Weise. Erfahrungsgemäß gehen dabei neben dem Bedienereinfluss auch andere Umgebungseinflüsse mit ein, die nicht konstant gehalten werden können. Unsicherheit der Gerätestreuung am Objekt u EV O : u EV O resultiert aus der Streuung des Messgerätes bei der Messung an realen Objekten. Dies entspricht der Equipment Variation aus der Messsystemanalyse Verfahren 2. Auch hier erfolgt die Ermittlung in gleicher Weise. Aus den bisher angegebenen Standardunsicherheiten wir die erweiterte Standardunsicherheit des Messprozesses wie folgt bestimmt: u MP = u 2 CAL + u2 BI + max{u EV O, u RE } 2 + u 2 AV + u2 T (2.8) Die erweiterte Messunsicherheit des Messsystems ergibt sich dann zu: U MP = k u MP mit k = 2 für P = 95% (2.9) Zur Bewertung des Messprozesses wird der Eignungskennwert Q MP gebildet. Q MP = 2 U MP T oleranz 100% Q MP,max = 30% (2.10) 11

19 3 Optimierungsstrategien 3.1 Allgemeiner Ansatz Da wie in der Einleitung bereits geschildert die Erwartung besteht, dass der Messprozess die gestellten Anforderungen nicht erfüllt, sollen in diesem Abschnitt mögliche Optimierungsstrategien erörtert werden. Grundsätzlich sind abgesehen von den physikalischen Limitationen des Messprinzips in der Regel äußere Faktoren für die Schwankung von Messwerten verantwortlich. Um also Ansätze zur Optimierung zu finden besteht die Notwendigkeit einer systematischen Untersuchung dieser äußeren Einflüsse. Für diese Aufgabe gibt es eine Reihe von Werkzeugen, die in einem eigenen Gebiet der Statistik zusammengefasst sind der Statistischen Versuchsplanung. Diese sind nicht nur auf Messprozesse anwendbar sondern werden überall eingesetzt, wo es darauf ankommt, systematisch Informationen über Prozesse oder Produkte zu gewinnen. Im folgenden sollen einige dieser Werkzeuge vorgestellt werden, die dem Autor für die Anwendung im vorliegenden Fall als geeignet erscheinen. 3.2 Robustheit von Prozessen optimieren Ein interessanter Ansatz für die Optimierung von Prozessen ist das sogenannte Robust Parameter Design. Der Grundgedanke ist, dass man die Parameter eines Prozesses so anpasst, dass er unempfindlich (robust) gegen äußere Einflüsse wird. Abb. 3.1 verdeutlicht das zugrunde liegend Prinzip. In der Mitte befindet sich der Messprozess. Dieser liefert ein Messergebnis, dessen Güte charakterisiert wird durch seinen Mittelwert (systematische Abweichung) und seine Streuung (Wiederholgenauigkeit). Störgrößen z.b. Temperatur Prüfereinfluss Stellgrößen - z.b. Messbereich Messprozess Steuergrößen z.b. Messpunkteanzahl Antastkraft Ergebnis Mittelwert Streuung Abb. 3.1: Prinzip des Robust Parameter Design am Beispiel eines Messprozesses (Eigene Darstellung in Anlehnung an Klein, 2007, S.7) 12

20 Optimierungsstrategien Auf diesen Prozess wirken nun verschiedene Einflussgrößen. Als erstes gibt es den Komplex der Stellgrößen. Diese geben den Einsatzbereich des Systems an. Im Fall des Messprozesses kann dies z.b. der Durchmesserbereich sein in dem die zu prüfenden Teile liegen. Eine weitere wichtige Gruppe sind die Störgrößen. Darunter versteht man alle Faktoren, die während des laufenden Prozesses nicht kontrolliert werden können und Auswirkungen auf die Qualität des Prozessergebnisses haben. Am Beispiel eines Messprozesses sind das unter anderem die Einflüsse von Umgebungsbedingungen wie Temperatur, Verschmutzung etc. Stell- und Störgrößen liegen liegen immer außerhalb des Systems, sind also nicht im Messprozess selbst zu suchen. Im Gegensatz dazu liegt die dritte Gruppen von Einflussgrößen, die Steuergrößen, immer innerhalb des Systems. Es handelt sich um prozessinterne Parameter, die in gewissen Grenzen das Prozessergebnis beeinflussen. Für einen taktilen Messprozess können dies z.b. die Geschwindigkeit der Abtastung oder die Anzahl der aufgenommenen Messpunkte sein. 1 Das Robust Prozess Design geht nun davon aus, dass ein Zusammenhang zwischen den Einstellungen der Steuergrößen und den Auswirkungen der Störgrößen auf das Prozessergebnis besteht. Wenn dem so ist, muss es eine oder mehrere optimale Einstellungen für die Steuergrößen geben, bei denen der Einfluss der Störgrößen besonders gering ist. Ziel ist es diese optimalen Einstellungen zu finden. Dazu ist es zunächst notwendig, eine möglichst vollständige Liste der Störgrößen zu erstellen. Je mehr Störgrößen berücksichtigt werden, desto aussagefähiger wird das Ergebnis sein. Anschließend muss man aus den Steuergrößen diejenigen auswählen bei denen ein Zusammenhang mit den gefunden Störgrößen vermutet wird. Bei dieser Auswahl sollte man sich auf eine überschaubare Menge beschränken, da sonst die Anzahl notwendiger Versuche schnell ansteigt. Die eigentlichen Versuche zur Bestimmung des Einflusses der Steuergrößen sind sogenannte Matrixversuche, die in Abschnitt 3.3 näher erläutert werden. Abb. 3.2 zeigt die prinzipielle Versuchsanordnung. Dabei werden die Störgrößen in verschiedenen Kombinationen variiert (äußere Matrix). Für jede Störgrößenkombination werden verschiedene Kombinationen von Steuergrößen getestet (innere Matrix). Aus den Messergebnissen der einzelnen Kombinationen lassen sich dann Rückschlüsse auf den Einfluss der Steuergrößen ziehen Versuchspläne und ihre Eigenschaften Im vorhergehenden Abschnitt wurde der Begriff Matrixversuche eingeführt. Diese Form von Versuchen soll hier ausführlicher vorgestellt werden. Dabei soll zunächst das grundlegende Prinzip erläutert und anschließend die verschiedene Arten von Versuchsplänen mit ihren Vor- und Nachteilen vorgestellt werden. 1 vergl. Siebertz u. a., 2010, S. 139 ff 2 vergl. ebd., S. 142 ff 13

21 Optimierungsstrategien Störgrößen Ergebnisse Steuergrößen Kombination 1 Kombination 2 Kombination 3 Kombination 4 Kombination 1 MW MW MW MW Kombination 2 MW MW MW MW Kombination 3 MW MW MW MW Kombination 4 MW MW MW MW Mittelwert Standardabw S/N Verhältnis Abb. 3.2: Aufbau eines Matrixversuches zur Ermittlung des Einflusses der Steuergrößen (Eigene Darstellung in Anlehnung an Siebertz u. a., 2010, S.142) Die Stärke von Matrixversuchen besteht in der gleichzeitigen Untersuchung des Einflusses von mehreren Eingangsgrößen (Faktoren) auf eine oder mehrere Ausgangsgrößen (z.b. Qualitätsmerkmale). Würde man eine solche Konstellation mittels klassische Korrelationsanalyse untersuchen, könnte man immer nur eine Einflussgröße variieren und müsste die anderen konstant halten. Da pro Faktor eine Mindestanzahl an Versuchen notwendig ist, um ein statistisch gesichertes Ergebnis zu erhalten, kann die Anzahl der Versuche bei mehreren Faktoren schnell ansteigen. Hinzu kommt, dass die Korrelation einer Einflussgröße immer nur bei einer speziellen (konstanten) Kombination der anderen Einflussgrößen durchgeführt werden kann. Man erhält keine Information darüber, wie sich dass System bei anderen Kombinationen verhält. Die Korrelation könnte hier aufgrund von Wechselwirkungen zwischen den Einflussgrößen ganz anders ausfallen. Selbsverständlich kann man mehrere Korrelationen der gleichen Einflussgröße bei verschiedenen Kombinationen der andern Größen durchführen. Die Anzahl notwendiger Versuche steigt dabei jedoch schnell auf einen praktisch nicht mehr realisierbaren Umfang an. Matrixversuche bieten die Möglichkeit mit einer vergleichsweise geringen Anzahl von Versuchen sowohl den Einfluss einzelner Faktoren als auch deren Wechselwirkungen zu untersuchen. Dies wird dadurch erreicht, dass in einer Matrix alle Kombinationsmöglichkeiten der Faktoren untersucht werden. So wird der Einfluss eines Faktors bei allen möglichen Kombinationen der anderen Faktoren getestet. Dieses Mehr an Information hat natürlich seinen Preis. Während bei der Korrelationsanalyse ein konkreter Funktionszusammenhang gefunden wird, erhält man bei Matrixversuchen i.d.r. nur Größe und Richtung des Einflusses. Das liegt daran, dass diese Versuche nur relativ wenige Faktorstufen (i.d.r. nur 2) verwenden. Häufig sind aber Größe und Richtung des Einflusses auch alles, was man an Information benötigt. Meistens sind in der Praxis die Zusammenhänge annähernd linear. So kann zwischen den Faktorstufen linear interpoliert werden. Hat man die Faktorstufen geschickt gewählt (i.d.r die Grenzen des sinnvollen Arbeitsbereiches), so erhält man ein lineares Modell, welches die Aus- 14

22 Optimierungsstrategien Versuch Nr. Faktoren f1 f2 f3 Ausgangsgrößen a1 a Abb. 3.3: Beispiel für einen Matrixversuchsplan mit 3 Faktoren und 2 Einstellstufen pro Faktor Quelle: Autor gangsgröße für den gesamten Arbeitsbereich in Abhängigkeit der Einflussgrößen beschreibt. 3 Im folgenden soll der prinzipielle Aufbau eines Matrixversuchsplanes erläutert werden (vergl. Abb.3.3). Dazu müssen zunächst noch einige Begriffe präzisiert werden. Als erstes geht es um den Begriff Faktor. Ein Faktor ist eine Größe deren Einfluss auf das Ergebnis untersucht werden soll. Dies setzt voraus, das die Größe reproduzierbar auf feste Werte einstellbar ist und keinen zufälligen Schwankungen unterliegt. Diese Einstellwerte werden als Faktorstufen bezeichnet. Pro zu untersuchendem Faktor können beliebig viele Stufen gewählt werden. Die Anzahl richtet sich nach der Gesamtanzahl möglicher Versuche und danach, ob lineare oder nicht lineare Abhängigkeiten vermutet werden. Für lineares Verhalten werden in der Regel 2 Faktorstufen gewählt die standardmäßig mit - und + oder mit 0 und 1 bezeichnet werden. Bei nicht linearem Verhalten ist die Wahl einer oder mehrerer Zwischenstufen sinnvoll. Ein Versuchsplan besteht also aus k Faktoren mit m Faktorstufen.Werden alle möglichen Kombinationen von Faktorstufen untersucht ergibt sich die Gesamtanzahl der Versuche: 4 N = m k (3.1) Wenn man sich den Plan aus Abb. 3.3 genau anschaut, wird man feststellen, dass jeder Stufe eines Faktors gleich viele Plus- und Minusstufen der anderen Faktoren zugeordnet sind. Diese wichtige Eigenschaft bezeichnet man als Orthogonalität. Sie sorgt für die Ausgewogenheit des Versuchsplans. Alle Faktoren werden mit gleicher Gewichtung berücksichtigt. 5 Jede der Faktorstufenkombinationen kann zur Erhöhung der statistischen Sicherheit auch mehrfach realisiert werden. Für Versuche mit zweistufigen Faktoren gilt folgende 3 vergl. Siebertz u. a., 2010, S. 21 ff 4 vergl. ebd., S. 5 ff 5 vergl. ebd., S. 7 ff 15

23 Optimierungsstrategien Regel. Möchte man einen Effekt auf die Ausgangsgröße von µ sicher erkennen, so müssen N = 60 ( ) 2 σ (3.2) µ Versuche durchgeführt werden. σ ist dabei die Standardabweichung der Ausgangsgröße. In Kombination mit Gl. 3.1 erhält man somit die Anzahl der notwendigen Realisierungen: 6 n = 60 ( σ µ ) 2 m k (3.3) Sind die Versuche mit den festgelegten Faktorkombinationen, gegebenenfalls in mehrfacher Realisierung, durchgeführt worden, müssen die Daten entsprechend ausgewertet werden. In der Regel werden solche Auswertungen mit Hilfe von spezialisierter Software vorgenommen. Hier soll daher nur das Prinzip am Beispiel des Versuchsplans aus Abb. 3.3 erläutert werden. Aus der Versuchsdurchführung erhält man für jede Faktorstufenkombination einen oder mehrere Messwerte der Ausgangsgröße. Diese werden nun den Stufen des Faktors zugeordnet dessen Einfluss man bestimmen möchte (vergl. Abb. 3.4). Für jede Stufe wird der Mittelwert der zugehörigen Messwerte gebildet. Die Differenz der Mittelwerte der Plus- und der Minusstufe gibt Auskunft über den Einfluss des Faktors. Man nennt diesen Wert auch Effekt des Faktors. Er gibt an, wie stark sich die Ausgangsgröße bei Verstellung des Faktors von minus auf plus im Mittel ändert. Man erkennt in diesem Beispiel gut, dass die Messwerte für eine Faktorstufe stark streuen. Das liegt daran, das gleichzeitig die Stufen der beiden anderen Faktoren variiert wurden. Dies ist ein Hinweis auf eine starke Wechselwirkung zwischen den 3 Faktoren. Hätte man die beiden nicht interessierenden Faktoren jeweils auf konstanten Werten gehalten, wäre wahrscheinlich ein ganz anderes Ergebnis entstanden, das von der zufälligen Wahl dieser konstanten Werte abhängt. In ähnlicher Weise wie die Faktoreffekte können auch die Effekte der Wechselwirkungen zwischen den einzelnen Faktoren berechnet werden. Darauf soll aber an dieser Stelle nicht näher eingegangen werden. 7 Alle bisher in diesem Abschnitt angestellten Betrachtungen gelten für eine bestimmte Sorte von Versuchsplänen, die sogenannten vollständigen faktoriellen Versuchspläne. Vollständige faktorielle Pläne sind dadurch gekennzeichnet, dass alle möglichen Faktorstufenkombinationen realisiert werden. Daraus ergibt sich der Vorteil, dass alle Wechselwirkungen, auch Mehrfachwechselwirkungen zwischen drei oder vier Faktoren, exakt bestimmt werden können. Der Nachteil ist eine relativ hohe Anzahl von Einzelversuchen. Möchte man mit weniger Versuchen auskommen, kann man soge- 6 vergl. Kleppmann, 2009, S vergl. Siebertz u. a., 2010, S. 9 ff 16

24 Optimierungsstrategien 7,2040 Messwerte Mittelwerte der Faktorstufen Durchmesser in mm 7,2036 7,2032 7,2028 7,2024 7,2020 7,2016 7,2012 7,2008 7,2004 7,2000 Effekt des Faktors 7, Faktor Faktor Faktor 3 Abb. 3.4: Auswertung eines Matrixversuches am Beispiel eine Versuchsplanes mit 3 Faktoren auf 2 Stufen Quelle: Autor nannte fraktionelle oder gesättigte Versuchspläne verwenden. Hier wird zugunsten einer geringeren Versuchsanzahl auf die Möglichkeit verzichtet alle Wechselwirkungen detailliert aufzulösen. Es werden also verschiedene Faktorstufenkombinationen nicht realisiert. Allerdings kann man nicht beliebige Kombinationen auslassen. Der neue Versuchsplan muss weiterhin orthogonal (ausgewogen) sein. Daher folgt das Auslassen von Kombinationen einem bestimmten Schema. Wie dies funktioniert, zeigt Abb Man erkennt hier den um die Wechselwirkungen ergänzten Plan aus Abb Die Vorzeichen der Wechselwirkungen erhält man einfach durch Multiplikation der Vorzeichen der beteiligten Faktoren. Ist man nun an einer dieser Wechselwirkungen nicht interessiert, kann man die entsprechende Spalte mit einem anderen Faktor belegen, der entsprechend den angegebenen Vorzeichen variiert wird. Allerdings kann man nun nicht mehr unterscheiden, ob der resultierende Effekt dem neuen Faktor oder der ursprünglichen Wechselwirkung zweier anderer Faktoren zuzuschreiben ist. Faktor und Wechselwirkung werden vermengt. Je nach Anzahl solcher Ersetzungen wird der ursprüngliche Versuchsplan mehr oder weniger gesättigt. Maximal können in einem solchen Versuchsplan mit N Versuchen N 1 Faktoren untersucht werden. Allerdings werden dabei alle Faktoreffekte mit Wechselwirkungseffekten vermengt. Je nach Sättigungsgrad des Versuchsplanes treten unterschiedliche Vermengungsstrukturen auf. Diese werden als Auflösung des Plans bezeichnet. Pläne der Auflösung III vermengen Faktoren mit Zweifachwechselwirkungen, Pläne der Auflösung IV mit Dreifachwechselwirkungen und Pläne der Auflösung V mit Vierfachwechselwirkungen. In der Praxis sind Wechselwirkungen zwischen 3 und mehr Faktoren selten relevant und verfälschen das Ergebnis meistens nur gering. Zweifachwechselwirkungen sind jedoch häufiger anzu- 17

25 Optimierungsstrategien Versuch Faktoren Wechselwirkungen Nr. f1 f2 f3 f1 f2 f1 f3 f2 f3 f1 f2 f Ersatz der 3-fach WW durch neuen Faktor f Versuchsplan 2 3 Versuchsplan Abb. 3.5: Beispiel für die Entwicklung eines fraktionellen Versuchsplans mit 4 Faktoren aus einem vollständigen Plan mit 3 Faktoren Quelle: Autor treffen und können daher bestimmte Faktorwirkungen stark verfälschen. Versuchspläne der Auflösung III sollten deswegen nach Möglichkeit vermieden werden. 8 Ein fraktioneller Versuchsplan für eine bestimmte Anzahl an Faktoren entsteht also dadurch, dass man einen vollständigen Versuchsplan für eine geringere Faktorzahl nimmt und einige der Wechselwirkungen durch zusätzliche Faktoren ersetzt. Dem entsprechend ergeben sich auch die Bezeichnungen von Versuchsplänen. Ein vollständiger Plan für k Faktoren auf 2 Stufen wird als 2 k -Plan bezeichnet. Ein fraktioneller Plan wird entsprechend als 2 k p -Plan bezeichnet. Dabei ist k die Anzahl der untersuchten Faktoren und p die Anzahl der Ersetzungen von Wechselwirkungen durch zusätzliche Faktoren. Das ganze soll kurz an einem Beispiel verdeutlicht werden. Der vollständige Plan aus Abb. 3.3 ist ein 2 3 -Plan der 2 3 = 8 Versuche benötigt um k = 3 Faktoren zu untersuchen. Die gleichen 3 Faktoren können aber auch mit einem Plan untersucht werden. Dies entspricht einem 2 2 -Plan mit 2 Faktoren, bei dem die Zweifachwechselwirkung mit einem dritten Faktor belegt wurde. Dafür werden nur = 4 Versuche benötigt. Was an diesem Beispiel auch deutlich wird, ist dass die Anzahl von Versuchen nicht beliebig gewählt werden kann. Sie ist immer eine Potenz von 2 (für 2-stufige Pläne). 9 Die bisher besprochenen fraktionellen Versuchspläne heißen reguläre Pläne nach dem Yates-Standard. Sie sind dadurch gekennzeichnet, dass immer ein Faktoreffekt mit einer ganz bestimmten Wechselwirkung vermengt ist, was je nach Signifikanz der Wechselwirkung eine starke Verfälschung dieses Effektes bewirken kann. Um dieses Problem zu vermeiden, gibt es noch eine weitere Gruppe fraktioneller Versuchspläne, die irregulären Pläne nach dem Plackett-Burman-Standard. Diese Pläne haben grundsätz- 8 vergl. Siebertz u. a., 2010, S. 26 ff 9 vergl. ebd., S

26 Optimierungsstrategien lich die Auflösung III. Faktoren werden also mit Zweifachwechselwirkungen vermengt. Aufgrund einer speziellen Sortierung der Faktorstufenkombinationen wird jedoch die Vermengung von einem Faktor mit einer Wechselwirkung vermieden. Stattdessen wird die Wechselwirkung auf alle nicht beteiligten Faktoren gleichmäßig verteilt. Die Wechselwirkung zweier Faktoren findet sich daher in abgeschwächter Form allen Faktoreffekten wieder, außer in denen der beiden beteiligten Faktoren. Der Vorteil liegt natürlich auf der Hand. Da der Wechselwirkungseffekt auf viele Faktoren verteilt wird, ist die Verfälschung einzelner Faktoreffekte geringer. Zusätzlich werden durch die gleichmäßige Verteilung die Gewichtungen der Faktoreffekte untereinander kaum verändert. Ein zusätzlicher Vorteil der Plackett-Burman-Pläne ist, dass sie in feineren Abstufungen vorliegen als die regulären Pläne. Die Anzahl der Versuchsdurchläufe muss nicht einer Potenz von 2 entsprechen. So sind z.b. auch Pläne mit 12, 20 oder 24 Versuchen möglich. Die Bezeichnung von Plackett-Burman-Plänen besteht aus einem L gefolgt von der Anzahl der Versuche (z.b. L12). 10 Zu Abschluss dieses Abschnittes soll noch einmal eine kurze Zusammenfassung der Eigenschaften sowie der Vor- und Nachteile verschiedener Pläne gegeben werden. Vollständige faktorielle Versuchspläne Realisierung aller möglichen Faktorstufenkombinationen Vorteile: Auflösung aller Wechselwirkungen zwischen den Faktoren Nachteile: Hohe Anzahl an Versuchsdurchläufen (z.b. 128 Versuche bei 7 Faktoren) Anzahl der Versuche steigt exponentiell mit der Anzahl zu untersuchender Faktoren an Fraktionelle faktorielle Versuchspläne Es wird nur eine Auswahl aller möglichen Faktorstufenkombinationen realisiert Vorteile: geringe Anzahl an Versuchen notwendig (z.b. 8 Versuche bei 7 Faktoren) Nachteile: Vermengung von Faktoreffekten und Wechselwirkungseffekten (auflösungsabhängig) Reguläre Pläne (Yates-Standard) Vermengung von jeweils einem Faktor mit einer Wechselwirkung Abstufungen nur in 2 n -Schritten möglich Irreguläre Pläne (Plackett-Burman-Standard) 10 vergl. Siebertz u. a., 2010, S. 31 ff 19

27 Optimierungsstrategien immer Auflösung III Verteilung der Zweifachwechselwirkungen auf mehrere Faktoren feine Abstufungen der Versuchsanzahl möglich Gemäß dieser Eigenschaften muss der Anwender nun auf Basis der Anzahl zu untersuchender Faktoren, der Anzahl möglicher Versuche und der gewünschten Genauigkeit der Effekterkennung eine geeignete Auswahl treffen. 3.4 Hilfsmittel für die Auswertung Signal-Rausch-Verhältnis Das Signal-Rausch-Verhältnis ist eine Hilfsgröße zur Bestimmung der Qualität von Signalen (im vorliegenden Fall Messwerte). Ähnlich wie bei elektrischen oder akustischen Signalen wird hier das Nutzsignal (Mittelwert) mit dem Störsignal (Streuung) verglichen. Für die Definition des Signal-Rausch-Verhältnisses ist die konkrete Problemstellung maßgebend. Zunächst muss entschieden werden, ob es sich um ein statisches oder ein dynamisches Optimierungsproblem handelt. Der Unterschied liegt darin, dass bei dynamischen Problemen der angestrebte Zielwert zeitlich veränderlich ist. Im vorliegenden Fall ist der Zielwert der wahre Durchmesserwert des Bauteils oder des Normals. Dieser ist zeitlich konstant. Es liegt also ein statisches Optimierungsproblem vor. Für statische Probleme lassen sich drei verschiedene Typen unterscheiden: 11 Minimierungsprobleme: Das Qualitätsmerkmal soll minimiert werden. Ein typisches Beispiel ist die Anzahl von Oberflächendefekten an einem Bauteil. Zielwertprobleme: Das Qualitätsmerkmal soll einen definierten Wert erreichen, z.b. die Fertigung eines geometrischen Merkmal auf den Sollwert. Maximierungsprobleme: Das Qualitätsmerkmal soll maximiert werden. Ein Beispiel ist die Erzielung einer möglichst hohen Festigkeit bei einem Wärmebehandlungsprozess. Bei dem vorliegenden Problem handelt es sich eindeutig um ein Zielwertproblem. Der Messwert (Qualitätsmerkmal) soll den wahren Wert (Zielwert) erreichen. Für diesen Fall ist die Signal-Rausch-Funktion definiert als: η = 10 log µ2 σ 2 (3.4) Dabei ist µ der Mittelwert und σ die Standardabweichung der Versuchsreihe. Die Einheit ist wie bereits aus der Akustik bekannt das Dezibel (db) vergl. Klein, 2007, S. 88 ff 12 vergl. ebd., S. 89 ff 20

28 Optimierungsstrategien Aussendurchmesser Kolben Abb. 3.6: Beispiel für einen Boxplot Quelle: Autor Boxplot Der Boxplot ist ein grafisches Verfahren zur Untersuchung von Stichproben. Zunächst soll kurz der Aufbau erläutert werden. Abb. 3.6 gibt dazu einen Überblick. Der Boxplot besteht im wesentlichen aus 3 Elementen, dem Median, der Box und den Whiskern. Der Median (waagerechte Linie in der Mitte der grauen Box) entspricht dem in der Statistik definierten Median, nämlich dem mittleren Wert der aufsteigend geordneten Messreihe 13. Ober- und unterhalb des Medians erstreckt sich die Box. Um diese zu definieren, muss kurz der Begriff der Quantile erläutert werden. Ein Quantil ist ein Flächenstück unter dem Graph einer Verteilungsfunktion. Die Unterteilung einer solchen Funktion in eine beliebige Menge von Quantilen ist dann gleichmäßig, wenn diese alle den gleichen Flächeninhalt aufweisen. Dies korrespondiert mit einer gleichen Wahrscheinlichkeit aller Quantile. Im Falle des Boxplots wird die Verteilung der Stichprobe in 4 Quantile (sogenannte Quartile) unterteilt. Die untere Boxgrenze entspricht dem 1. Quartil der Stichprobe (25 % der Messwerte liegen unterhalb der Box). Die obere Boxgrenze repräsentiert das 3. Quartil (25 % der Messwerte liegen oberhalb der Box). Zu beiden Seiten der Box schließen sich die Whisker an (senkrechte Linie). Diese geben den kleinsten Wert des 1. Quartils bzw. den größten Wert des 4. Quartils an. In der Regel wird die Länge der Whisker jedoch auf maximal das 1,5-fache der Boxlänge beschränkt. Werte die noch kleiner bzw. größer sind werden als Ausreißer markiert (Stern). 14 Wie kann man nun den Boxplot zu Vergleich von Stichproben nutzen? Trägt man die Plots zweier Stichproben in das gleiche Diagramm ein so werden sich i.d.r. sowohl Median als auch Größe und Lage der Boxen unterscheiden. Stellt man nun fest, dass die Boxen deutlich getrennt sind (sich im Diagramm nicht überschneiden) so kann davon ausgegangen werden, dass sich beide Stichproben signifikant unterscheiden. Der Boxplot wird in dieser Arbeit hauptsächlich zur Bewertung von Störeinflüssen auf das Messergebnis genutzt. 13 Gegebenenfalls ist auch stattdessen die Angabe des Mittelwertes möglich (Kreuz). 14 vergl. Minitab Online-Hilfe