Geodätische Woche 2014 Session 6 Theoretische Geodäsie
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- Oskar Reuter
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1 Enrico Mai (IfE/LUH) & Robin Geyer (ZIH/TUD) Numerische Integration mittels Lie Reihen unter Verwendung von Parallelem Rechnen Geodätische Woche 2014 Session 6 Theoretische Geodäsie Berlin,
2 MOTIVATION Lösung von Bewegungsproblemen, z.b. - in der Satellitengeodäsie (Satellitenbahn-Berechnung) - analytische Bahntheorien (Stumpff, Kaula, Cui/Schneider, ) - numerische Integration (UTOPIA/MSODP, BERNESE, ) - semi-analytische Bahntheorien (Dallas,, in Arbeit ) - in der Himmelsmechanik (Ephemeriden-Rechnung) - analytische (Planeten-)Bahntheorien (VSOP/TOP, ) - numerische Integration (DE, INPOP, EPM,, in Arbeit ) - symplektische Integratoren (SWIFT, MERCURY, ) - semi-analytische Bahntheorien (s.o.)
3 ALTERNATIVE INTEGRATIONSMETHODEN (BEISPIELE) basierend auf Lie-Reihen bzw. Lie-Algebra - semi-analytische Bahntheorie, d.h., numerische Integration unter Verwendung von Lie-Reihen - Hamilton-Funktion für relativistisches N-Körper Problem - Hill Variablen (als Beispiel für kanonischen Variablensatz) - symplektische Integratoren (höherer Ordnung) - gute Stabilitätseigenschaften - Koordinatenwahl zur Aufspaltung der Hamilton-Funktion - Potential für Verbesserungen: Korrektor, Kombinationen Softwarepakete für Langzeit-Integrationen: SWIFT, MERCURY
4 IDEALISIERTE BEWEGUNGSPROBLEME linearer harmonischer Oszillator gedämpfter linearer Oszillator Standard-Lösung bzw. als Sonderfall bekannte exakte Lösung äquivalente Lösung, z.b. über Laplace-Transformation
5 IDEALISIERTE BEWEGUNGSPROBLEME generalisierter (Duffing) Oszillator Eigenfrequenz Dämpfung Nicht-Linearität Äußere Anregung
6 IDEALISIERTE BEWEGUNGSPROBLEME Duffing Oszillator (ohne Dämpfung, ohne äußere Anregung) Auswahl von Lösungstechniken: - modifizierte Methode nach Cui - Eliminationsmethode - Propagator - Renormierung (wg. Poisson-Termen) - Laplace-Transformation - Neumann-Reihe -
7 DEFINITION DER POISSON-KLAMMER Poisson-Klammer vs Anmerkung:
8 BEWEGUNGSGLEICHUNGEN MITTELS POISSON-KLAMMERN totales Differential einer beliebigen Funktion (Phasenraum: n = 3) Anwendung der kanonischen / Hamilton schen Gleichungen Anmerkung: Cui s Vorzeichenkonvention F = -H mit H = T + V Spezialfall voll-symmetrisch so dass mit
9 LIE-ABLEITUNG <> POISSON-KLAMMERN Annahme zweier beliebiger Funktionen und Definition der Lie-Ableitung der Funktion f
10 LIE-REIHEN Kommutationsgesetz wichtig für Lie-Transformation Anmerkung: Parameter s (z.b. als Zeit t ) Anmerkung ist unabhängig von q und p Beispiel für die Definition einer Lie-Reihe Ersetzung der allgemeinen Funktion durch die Parameter selbst
11 LIE-OPERATOR Zusammenhang mit Darstellung von Hanslmeier & Dvorak (1984) Definition des Lie-Operators falls mehr-dimensional Zustandsvektor
12 LIE-REIHEN : ANWENDUNG ZUR NUMERISCHEN INTEGRATION 1-dimensional
13 LIE-REIHEN : ANWENDUNG ZUR NUMERISCHEN INTEGRATION Duffing oscillator
14 LIE-REIHEN : ANWENDUNG ZUR NUMERISCHEN INTEGRATION Duffing oscillator
15 LIE-REIHEN : ANWENDUNG ZUR NUMERISCHEN INTEGRATION gedämpfter linearer Oszillator / erinnere: exakte Lösung ist bekannt Term-weise äquivalent zu
16 LIE-REIHEN : ANWENDUNG ZUR NUMERISCHEN INTEGRATION mehr-dimensional für x k = f k bzw. g k, und h = x bzw. p gilt:
17 ANWENDUNG: KEPLER-PROBLEM (IDEALISIERTES 2-KÖRPER-PR.) unter Verwendung von kartesischen Koordinaten
18 ANWENDUNG: KEPLER-PROBLEM (IDEALISIERTES 2-KÖRPER-PR.) unter Verwendung von Hill-Variablen
19 ANWENDUNG: KEPLER-PROBLEM (IDEALISIERTES 2-KÖRPER-PR.)
20 ANWENDUNG: KEPLER-PROBLEM (IDEALISIERTES 2-KÖRPER-PR.)
21 ANWENDUNG: ALLGEMEINERE KEPLER-PROBLEM PROBLEMSTELLUNGEN (IDEALISIERTES 2-KÖRPER-PR.) Möglichkeiten zur Rechenkontrolle - Vergleich mit analytischen Lösungen, z.b. Stumpff-Lösung existieren nur für Spezialfälle - Testen von Integralen der Bewegung - Drehimpuls-Vektor - Energie - Laplace- (Runge-Lenz / Exzentrizitäts-) Vektor - sonstige: -- Testen kinematischer Beziehungen - sonstige: -- Vergleich Vorwärts- <> Rückwärts-Rechnung - sonstige: -- Vergleich mit unabhängigen Berechnungen Dritter
22 ANWENDUNG: KLASSISCHES HAUPTPROBLEM (NUR J 2 = -c 20 ) Hill-Variablen Anmerkung: Kepler-Variablen denkbar ungeeignet, selbst bei Anmerkung: Beschränkung auf Terme bis zur Ordung O(e 2 )!
23 ANWENDUNG: KLASSISCHES HAUPTPROBLEM (NUR J 2 = -c 20 ) Modifizierte kanonische Kugelkoordinaten Elliptische Parametrisierung (cf. Schneider HM III)
24 BEISPIEL: 4x4 IM ERWEITERTEN PHASENRAUM
25 BEISPIEL: 4x4 IM ERWEITERTEN PHASENRAUM
26 BEISPIEL: 4x4 IM ERWEITERTEN PHASENRAUM mit semi-analytische Bahntheorie
27 NUMERISCHE ERGEBNISSE: KEPLER-PROBLEM Bewegungsgleichung der Relativbewegung Kraftmodell-Parameter Startwerte
28 NUMERISCHE ERGEBNISSE: KEPLER-PROBLEM Einzelschritt-Genauigkeit lokal global
29 NUMERISCHE ERGEBNISSE: KEPLER-PROBLEM
30 NUMERISCHE ERGEBNISSE: KEPLER-PROBLEM erinnere alternative Kontrollmöglichkeiten - kinematische Beziehungen - Bewegungsintegrale, z.b.
31 NUMERISCHE ERGEBNISSE: KLASSISCHES HAUPTPROBLEM (c 20 ) Bewegungsgleichung der Relativbewegung Kraftmodell-Parameter Bewegungsintegrale
32 NUMERISCHE ERGEBNISSE: KLASSISCHES HAUPTPROBLEM (c 20 ) Einzelschritt Bahnbogen (Länge = 1Tag)
33 NUMERISCHE ERGEBNISSE: KLASSISCHES HAUPTPROBLEM (c 20 ) Bahnbogen (Länge = 1Tag)
34 NUMERISCHE ERGEBNISSE: KLASSISCHES HAUPTPROBLEM (c 20 )
35 NUMERISCHE ERGEBNISSE: 4x4-PROBLEM (n max = m max = 4) Bewegungsgleichung Kraftmodell-Parameter Startwerte Bewegungsintegral
36 NUMERISCHE ERGEBNISSE: 4x4-PROBLEM (n max = m max = 4) Lie-Reihe: Kompromiss zwischen Entwicklungsgrad und Schrittweite
37 PARALLEL-PROGRAMMIERUNG (z.b. mittels OpenMP)
38
39 MOTIVATION Lösung von Bewegungsproblemen, z.b. - in der Satellitengeodäsie (Satellitenbahn-Berechnung) - analytische Bahntheorien (Stumpff, Kaula, Cui/Schneider, ) - numerische Integration (UTOPIA/MSODP, BERNESE, ) - semi-analytische Bahntheorien (Dallas,, in Arbeit ) - in der Himmelsmechanik (Ephemeriden-Rechnung) - analytische (Planeten-)Bahntheorien (VSOP/TOP, ) - numerische Integration (DE, INPOP, EPM,, in Arbeit ) - symplektische Integratoren (SWIFT, MERCURY, ) - semi-analytische Bahntheorien (s.o.)
40 BEISPIEL: EPHEMERIDENRECHNUNG (ANALYTISCH vs. NUMERISCH) analytisch IMCCE (France) INPOPxxx numerisch JPL (USA) DExxx IPA (Russia) EPMxxxx
41 ORDNUNG EINER (SEMI-)ANALYTISCHEN BAHNTHEORIE Kleinheitsparameter e - Satellitenbahn-Integration (z.b. klassisches Hauptproblem ) e = c 20 = O(10-03 ) Ordnung/Fehler einer Theorie - 0 th Terme berücksichtigt bis O(e 0 ) Fehler O(10-03 ) - 1 st Terme berücksichtigt bis O(e 1 ) Fehler O(10-06 ) - 2 nd Terme berücksichtigt bis O(e 2 ) Fehler O(10-09 ) - 3 rd Terme berücksichtigt bis O(e 3 ) Fehler O(10-12 ) GPS: a = km mm
42 HAMILTONISIERUNG gedämpfter Duffing Oszillator) Ansatz
43 GENERALISIERUNG (1-DIMENSIONAL <> MEHR-DIMENSIONAL) Mehrkörperproblem mehr-dimensional 1-dimensional Einkörperproblem Substitution kanonische Gleichungen
44 BAHNVARIABLEN (BEISPIELE) nicht-kanonisch - Kepler-Elemente - äquinoktische Elemente kanonisch - kartesische Koordinaten - kanonische / modifizierte kanonische Kugelkoordinaten - Hill-Variablen - Delaunay-Variablen - Poincaré-Variablen /
45 MATRIX DER LAGRANGE-KLAMMERN Langrange-Klammer Kepler-Elemente
46 MATRIX DER LAGRANGE-KLAMMERN Langrange-Klammer kanonische Kepler-Elemente Hill-Variablen Kugelkoordinaten Kanonizität
47 ANWENDUNG: KLASSISCHES HAUPTPROBLEM (NUR J 2 = -c 20 ) Abspaltung der geschlossenen Kepler-Lösung (da bereits bekannt) 9 Anmerkung: Beschränkung auf Terme bis O(c 20 )
48 PHASENRAUM: REDUZIERT vs ERWEITERT reduzierter Phasenraum vs erweiterter Phasenraum
49 NUMERISCHE ERGEBNISSE: 4x4-PROBLEM (n max = m max = 4) Notwendigkeit konsistenter Kraftmodell-Parameter, z.b.
50 NUMERISCHE ERGEBNISSE: 4x4-PROBLEM (n max = m max = 4) Notwendigkeit einer geeigneten Integrationsschrittweite(-nsteuerung) BZ BZ BZ UT UT UT h UT = 90, 96, 100, 108, 120 seconds
51 NUMERISCHE ERGEBNISSE: KEPLER-PROBLEM Bewegungsgleichung der Relativbewegung Kraftmodell-Parameter Startwerte
52 NUMERISCHE ERGEBNISSE: KEPLER-PROBLEM globaler Fehler in mm vs. Bahnbogenlänge in Tagen
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