Sachverzeichnis. Eigenraum, 120, 125, 128, 129, 155, 156, 211, 212

Transkript

1 Sachverzeichnis A-Erzeuger, 131 A-invariant, 128 A-zyklisch, 131 Abbildung adjungierte, 137 Bild, 108 duale, 117 Kern, 108 lineare, 69, 108 selbstadjungierte, 137 Abbildungsmatrix, 137, 156, 211 Ableitung, 48 im Mehrdimensionalen, 68, 149, 196 partielle, 68, 150 adjungierte Abbildung, 137 Anlehre kognitive, 10 Anpassen, Prüfen der Passung, 18 Articulation, 10 Aufgabenanalyse, 13 ausführliche Musterlösungen, 5, 27, 143, 159 äußere Belastung, 8 Austauschlemma, 106 Austauschsatz von Steinitz, 204 Basis duale, 117 Faktorraum, 105 Kern, 102 Orthonormal-, 220 Unterraum, 96 Vektorraum, 153, 203 zyklische, 123 Basisergänzung, 105, 153, 203 Basiswechselmatrix, 120, 123 begleitende Kommentare, 20 Begleitmatrix, 132 Belastung äußere, 8 innewohnende, 8 kognitive, 7 lernbezogene, 8 Bild einer Abbildung, 108 Bildungswissenschaften, 7 Binomialkoeffizient, 151, 199 Blautöne, 28 Cauchyfolge, 36 charakteristisches Polynom, 120, 128, 155, 156, 211, 212 Coaching, 10 Cognitive Apprenticeship, 9 Cognitive Load Theory, 7 Darstellungsmatrix, 137, 156, 211 Determinante, 113 Berechnungsverfahren, 114 Jacobi, 80 Vandermondesche, 113 Diagonalisierbarkeit, 128, 156, 212 Differentialquotient, 20, 49 Differenzenquotient, 17 Differenzierbarkeit, 48 im Mehrdimensionalen, 68, 149, 196 Dimension, 108 Unterraum, 105 Dimensionsformel für Faktorräume, 106 fur lineare Abbildungen, 108 Diskontinuität, 3 duale Abbildung, 117 duale Basis, 117 Dualraum, 117 Eigenraum, 120, 125, 128, 129, 155, 156, 211, 212 C. Ableitinger, A. Herrmann, Lernen aus Musterlösungen zur Analysis und Linearen Algebra, DOI / , Vieweg+Teubner Verlag Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

2 242 Sachverzeichnis verallgemeinerter, 122, 125, 128 Eigenwert, 74, 120, 125, 155, 211 Eigenwertkriterium, 16, 74 Einschließungskriterium, 36, 44, 61 Elementarmatrix, 137 Endomorphismus, 123, 137, 158, 218 Entwicklungssatz nach Laplace, 114 Epsilon-Delta-Stetigkeit, 44, 145, 188 Erzeugendensystem, 96 Example-based Learning, 8 Exploration, 11 extraneous Load, 8 Extremstelle lokale, 15, 74 Faktorraum, 106, 216 Basis, 105 Farbnuancen, 28 Fixpunkt, 4 flexibles Uminterpretieren, 24 Folgengrenzwert, 15, 33 Folgenkonvergenz, 15, 33 Folgenstetigkeit, 42 Funktion implizite, 79 Funktionenfolge, 147, 192 Funktionengrenzwert, 18, 57, 146, 148, 190, 195 Funktionenreihe, 53 Gauß-Jordan-Algorithmus, 103, 152, 201 germane Load, 8 gleichmäßige Konvergenz, 53, 147, 192 gleichmäßige Stetigkeit, 15, 46 Gleichungssystem, 152, 201 Grenzwert Folge, 15, 33 Funktion, 18, 57, 146, 148, 190, 195 Grundlagen lerntheoretische, 7 Handwerk, 19 handwerkliches Lernen, 10 Hausaufgaben, 10 hermitesche Matrix, 137 Hesse-Matrix, 72, 74 Homomorphiesatz, 108, 216 Homomorphismus, 108 implizite Funktion, 79 implizite Konventionen, 23 Induktion vollständige, 83, 151, 199 Infimum, 29 injektiv, 86 innewohnende Belastung, 8 Integral uneigentliches, 64 Integration durch Substitution, 16, 61 partielle, 16, 61 Integrationskonstante, 62 Integrationsmethoden, 16, 61 intrinsic Load, 8 invarianter Unterraum, 128 Invertierbarkeit lokale, 76, 77, 150, 198 Invertierbarkeit von Matrizen, 154, 206 irreduzibel, 133 Jacobi-Determinante, 80 Jacobi-Matrix, 69, 72, 74, 78 Jordanblock, 120 Jordansche Normalform, 120, 123 rationale, 131 Kern Basis, 102 einer Abbildung, 108 einer Matrix, 102 Kettenregel, 70, 150, 197 Klärung der Handlungsoptionen, 15 Koeffizientenmatrix, 201 Kognitionspsychologie, 7 kognitive Anlehre, 10 kognitive Belastung, 7 kommutierende Matrizen, 154, 207 komplexe Zahl, 17, 138 komprimierte Musterlösungen, 4, 143, 159 konjugiert komplexe Zahl, 138 Konventionen implizite, 23 Konvergenz Folge, 15, 33 gleichmäßige, 53, 147, 192 punktweise, 147, 192

3 Sachverzeichnis 243 Reihe, 16, 38, 53 Konvergenzkriterien, 38 Leibniz-Kriterium, 40 Majorantenkriterium, 40 Minorantenkriterium, 38 Quotientenkriterium, 39 Wurzelkriterium, 39 kritischer Punkt, 74 Kroneckersymbol, 118 Laplacescher Entwicklungssatz, 114 Lehr- und Lernstrukturen, 3 Leibniz-Kriterium, 40 lernbezogene Belastung, 8 Lernen aus Musterlösungen, 7 im Handwerk, 10 lerntheoretische Grundlagen, 7 l Hospital Regeln von de, 18, 20, 146, 190 lineare Abbildung, 69, 108 lineare Abhängigkeit, 93 lineare Unabhängigkeit, 93 Linearform, 119, 157, 216 Linearkombination, 93 Lipschitz-Stetigkeit, 46 Literatur zum Weiterlesen, 9, 11, 24 lokale Extremstelle, 15, 74 lokale Invertierbarkeit, 76, 77, 150, 198 lokale Umkehrbarkeit, 76, 77, 150, 198 Majorantenkriterium, 40 von Weierstraß, 53 Markierung der Phasen, 28 Mathematik besser verstehen, 3, 5 Matrix Abbildungs-, 137, 156, 211 Basiswechsel-, 120, 123 Begleit-, 132 Darstellungs-, 137, 156, 211 Elementar-, 137 hermitesche, 137 Hesse, 72, 74 invertieren, 154, 206 Jacobi, 69, 72, 74, 78 Kern, 102 Koeffizienten-, 201 kommutierende, 154, 207 Rang, 206 Transformations-, 120, 123 transponierte, 118 Meister-Schüler-Schema, 10 Mengeninklusion, 17 Minimalpolynom, 120, 132, 155, 156, 211, 212 Minorantenkriterium, 38 Mittelwertsatz der Differentialrechnung, 18 Modelling, 10 Musterlösungen ausführliche, 5, 27, 143, 159 komprimierte, 4, 143, 159 Mut zum Risiko, 23 Nichteindeutigkeit der Phasen, 28 Normalform Jordansche, 120, 123 rationale Jordan-, 131 Treppen-, 103 obere Schranke, 17, 29 Orthonormalbasis, 220 partielle Ableitung, 68, 150 partielle Integration, 16, 61 Permutation, 110 Phase A, 18 B, 20 H, 19 K, 15 P, 14 T, 19 Z, 16 Phasen beim Aufgabenlösen, 13 Phasenmodell, 13 Polarkoordinaten, 20, 60 Polynom charakteristisches, 120, 128, 155, 156, 211, 212 irreduzibles, 133 Minimal-, 120, 132, 155, 156, 211, 212 Taylor-, 51 Präsenzaufgaben, 10 Primärkomponente, 131

4 244 Sachverzeichnis Problembewusstsein schaffen, 14 Problemzustand, 13 punktweise Konvergenz, 147, 192 Quotientenkriterium, 39 Quotientenraum, 106, 216 Basis, 105 Rang einer Matrix, 206 rationale Jordannormalform, 131 Reflection, 10 Regeln von de l Hospital, 18, 20, 146, 190 Reihenkonvergenz, 16, 38, 53 Satz implizite Funktionen, 79 Jacobi- und Hesse-Matrix, 72 lokale Umkehrbarkeit, 77 von Steinitz, 204 Schranke obere, 17, 29 untere, 29 selbstadjungierte Abbildung, 137 Self-Explaining, 9 Skalarprodukt, 158, 218 Standardskalarprodukt, 158, 219 Stetigkeit, 15, 57 gleichmäßige, 15, 46 Lipschitz, 46 mit Epsilon und Delta, 44, 145, 188 mit Folgen, 42 StructureSense,22 Substitution, 16, 61 Supremum, 29 Supremumsnorm, 53 surjektiv, 86 Symbol Sense, 23 Taylorformel, 51 Taylorpolynom, 51 Transformationsmatrix, 120, 123 transponierte Matrix, 118 Transposition, 110 Treppennormalform, 103 Tricks, 19 Trigonalisierbarkeit, 123, 128 Übergangsproblematik, 3 Übungen, 29 Uminterpretieren flexibles, 24 Umkehrbarkeit lokale, 76, 77, 150, 198 uneigentliches Integral, 64 untere Schranke, 29 Unterraum, 88, 216 Basis, 96 Dimension, 105 invarianter, 128 zyklischer, 123, 132 Unterraumkriterium, 88 Vandermondesche Determinante, 113 Vektorraum, 88 Basis, 153, 203 verallgemeinerter Eigenraum, 122, 125, 128 Verständnisfragen, 28 vollständige Induktion, 83, 151, 199 Vorbehalte gegen Musterlösungen, 8 Vorbildwirkung, 9 Weierstraßsches Majorantenkriterium, 53 Wurzelkriterium, 39 Zeichenerklärung (Phasen), 28 Zugriff herstellen, 16 Zwischenwertsatz, 5, 146, 189 zyklische Basis, 123 zyklischer Unterraum, 123, 132

5 Symbolverzeichnis N Menge der natürlichen Zahlen {1, 2, 3,... } leere Menge #M Anzahl der Elemente der Menge M L Lösungsmenge ( n! ) Fakultät n Binomialkoeffizient k δ ij Kroneckersymbol! = wird gleichgesetzt? = noch zu beweisende Gleichheit konstant gleich = isomorph 0. 9 Periode z komplex konjugiert [x] nächstkleinere ganze Zahl zu x (Gaußklammer) ln(x) natürlicher Logarithmus {x n } n N bzw. {x n } bzw. x n Folge lim sup Limes superior n x n lim inf n n Limes inferior f (x) bzw. Df(x) erste Ableitung von f (Jacobi-Matrix) f (x) bzw. D 2 f (x) zweite Ableitung von f (Hesse-Matrix) f (n) (x) n-te Ableitung von f 2 f y x zweite partielle Ableitung, wobei zunächst nach x und dann nach y abgeleitet wird T n, f,x0 (h) Taylorpolynom n-ten Grades zur Funktion f mit Entwicklungspunkt x 0 f Supremumsnorm von f lim f (x) x x 0 rechtsseitiger Grenzwert lim f (x) x x 0 linksseitiger Grenzwert f 1 Umkehrfunktion zu f 0 V Nullvektor des Vektorraumes V direkte Summe v 1,...,v m Erzeugnis/Lineare Hülle der Vektoren v 1,...,v m M m n (K) Menge der (m n)-matrizen über K. rg(a) Rang der Matrix A (n n)-einheitsmatrix E n C. Ableitinger, A. Herrmann, Lernen aus Musterlösungen zur Analysis und Linearen Algebra, DOI / , Vieweg+Teubner Verlag Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

6 246 Sachverzeichnis A T A 1 Hom K (V, W) ker( f ) im( f ) MB C( f ) V(λ, A) V (λ, A) charpol A (x) minpol A (x) JNF(A) rjnf(a) V/U ( ) 1 2 n σ = σ(1) σ(2) σ(n) V B f kgv K[x] f ad transponierte Matrix zu A inverse Matrix zu A Menge der linearen Abbildungen von V nach W über dem Körper K Kern der Abbildung f Bild der Abbildung f Darstellungs-/Abbildungsmatrix von f : V W bzgl. der Basen B von V und C von W. Eigenraum von A zum Eigenwert λ verallgemeinerter Eigenraum charakteristisches Polynom von A Minimalpolynom von A Jordansche Normalform von A rationale Jordannormalform von A Faktorraum (Quotientenraum) von V nach U Permutationsabbildung (i σ(i)) Dualraum zum Vektorraum V duale Basis zur Basis B duale Abbildung zu f kleinstes gemeinsames Vielfaches Menge der Polynome über dem Körper K adjungierte Abbildung zu f