Märkte und Preise. Ein wenig Mathematik. Harald Wiese WS Universität Leipzig/Dresden International University

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1 Märkte und Preise Ein wenig Mathematik Harald Wiese UL/DIU Universität Leipzig/Dresden International University WS 2013 Harald Wiese (UL/DIU Universität Ein Leipzig/Dresden wenig Mathematik International University) WS / 21

2 Gliederung der Vorlesung Einführung Spieltheorie Ein wenig Mathematik Preispolitik im Monopol Preiswettbewerb und Kostenwettbewerb Mengenpolitik im Monopol Mengenwettbewerb und Kostenwettbewerb Innovationswettbewerb Varianten-, Standort- und Qualitätswettbewerb Harald Wiese (UL/DIU Universität Ein Leipzig/Dresden wenig Mathematik International University) WS / 21

3 Überblick Ein wenig Mathematik Koordinatensystem Funktionen Steigungen Maximierung: max und argmax Harald Wiese (UL/DIU Universität Ein Leipzig/Dresden wenig Mathematik International University) WS / 21

4 Koordinatensystem x x 1 Wo be nden sich die Punkte (7, 0), (1, 6), (4, 5), (0, 0)? Harald Wiese (UL/DIU Universität Ein Leipzig/Dresden wenig Mathematik International University) WS / 21

5 Funktionen Argument (was wird reingesteckt?) > Outputmenge, Preis, FuE-Ausgaben Wert (was kommt raus?) > Nachfragemenge, Gewinn, Kosten Berechnungsvorschrift (wie genau hängt die nachgefragte Menge vom Preis ab?) > X (p) = 100 2p Harald Wiese (UL/DIU Universität Ein Leipzig/Dresden wenig Mathematik International University) WS / 21

6 Eine Preis-Absatz-Funktion X 100 ( 0,100) ( p) = 100 p X 2 ( 50,0 ) 50 p Harald Wiese (UL/DIU Universität Ein Leipzig/Dresden wenig Mathematik International University) WS / 21

7 Eine weitere Preis-Absatz-Funktion Gehen Sie von der Preis-Absatzfunktion X (p) = 200 4p aus. Problem Bestimmen Sie den Abszissenabschnitt (hier: p-achsen-abschnitt) und den Ordinatenabschnitt (hier: X-Achsen-Abschnitt). Skizzieren Sie diese Funktion. Anstelle von konkreten Zahlen (wie 100) kann man auch Parameter nehmen... arald Wiese (UL/DIU Universität Ein Leipzig/Dresden wenig Mathematik International University) WS / 21

8 noch eine Preis-Absatz-Funktion X d ( 0,d) X ( p) = d ep d,? 2e d,0 e d 2e d e p Problem Bestimmen Sie X d 2e! Steigung? arald Wiese (UL/DIU Universität Ein Leipzig/Dresden wenig Mathematik International University) WS / 21

9 Steigungen gra sch-diskret Π positive Steigung Π Steigung = x x Π Π x negative Steigung x positive Steigung > Je höher x, desto höher Π. > Je geringer x, desto niedriger Π. negative Steigung > Je höher x, desto niedriger Π. > Je niedriger x, desto höher Π. arald Wiese (UL/DIU Universität Ein Leipzig/Dresden wenig Mathematik International University) WS / 21

10 Steigungen analytisch-diskret Problem Bestimmen Sie die Steigung zwischen den Punkten (x, Π) = (3, 10) und ˆx, ˆΠ = (5, 16) Problem Bestimmen Sie die Steigung zwischen den Punkten (x, Π) = (3, 10) und ˆx, ˆΠ = (5, 2) arald Wiese (UL/DIU Universität Ein Leipzig/Dresden wenig Mathematik International University) WS / 21

11 Steigungen gra sch-kontinuierlich Π positive Steigung dπ Steigung = dx * x Steigung 0 negative Steigung x positive Steigung > Je höher x, desto höher Π. > Je geringer x, desto niedriger Π. negative Steigung > Je höher x, desto niedriger Π. > Je niedriger x, desto höher Π. Steigung 0 > Π verändert sich (so gut wie nicht), wenn x variiert wird. arald Wiese (UL/DIU Universität Ein Leipzig/Dresden wenig Mathematik International University) WS / 21

12 Steigungen analytisch-kontinuierlich I Analytisch lässt sich die Steigung bei x (in einem Punkt (x, Π (x))) durch Ableiten bestimmen. f (x) = 3x > f 0 (x) = df dx = 3 f (x) = 7 > f 0 (x) = df dx = 0 f (x) = 7x 2 + 4x + 6 > f 0 (x) = df dx = 2 7x + 4 f (x) = ax b > f 0 (x) = df dx = b axb 1 Harald Wiese (UL/DIU Universität Ein Leipzig/Dresden wenig Mathematik International University) WS / 21

13 Steigungen analytisch-kontinuierlich II Problem Bestimmen Sie die Steigung bei x = 2 und x = 3 für die Funktionen f, die durch f (x) = 7 x 2, f (x) = 18 f (x) = ax b gegeben sind. arald Wiese (UL/DIU Universität Ein Leipzig/Dresden wenig Mathematik International University) WS / 21

14 Steigungen analytisch-kontinuierlich III Wir werden die Produktregel benötigen: d (fg) (x) dx = df (x) g (x) dx = df (x) g (x) + dx Beispiel: f (x) = 7 x 2, g (x) = 18 > (fg) 0 (x) = 2x x 2 = 36x Problem Bestimmen Sie die Ableitung (fg) 0 (x) für f (x) = 100 g (x) = x. dg (x) f (x) dx 2x und Harald Wiese (UL/DIU Universität Ein Leipzig/Dresden wenig Mathematik International University) WS / 21

15 Steigungen ökonomischer Sprachgebrauch Ökonomen sagen für die erste Ableitung der Kostenfunktion: Grenzkosten der Gewinnfunktion: Grenzgewinn der Erlösfunktion: Grenzerlös egal, ob man die diskrete oder die kontinuierliche De nition im Kopf hat. Grenzgewinn ist der zusätzliche Gewinn durch den Verkauf einer zusätzlichen (kleinen) Outputeinheit. Harald Wiese (UL/DIU Universität Ein Leipzig/Dresden wenig Mathematik International University) WS / 21

16 Steigungen diskret versus kontinuierlich Wir sprechen häu g diskret: eine Erhöhung des Preises um eine kleine Einheit, eine Erhöhung der FuE-Ausgaben um einen Euro auch wenn wir mit Ableitungen arbeiten, die häu g leichter zu berechnen sind. Harald Wiese (UL/DIU Universität Ein Leipzig/Dresden wenig Mathematik International University) WS / 21

17 Eine Gewinnfunktion Der Gewinn bei der Ausbringungsmenge x : Der maximale Gewinn: max x Π (x) Π (x) Die Menge derjenigen Entscheidungen x, die zum maximalen Gewinn führen: arg max Π (x) x Also max x Π (x) = Π (x ) für alle x aus arg max x Wie das beste x bestimmen? Π (x). Harald Wiese (UL/DIU Universität Ein Leipzig/Dresden wenig Mathematik International University) WS / 21

18 Maximierungsproblem lösen I Π Bei x ist die Steigung 0. Π( x * ) * x x Also: > x Ableiten von Π nach x Π 0 (x) gleich null setzen nach x au ösen arald Wiese (UL/DIU Universität Ein Leipzig/Dresden wenig Mathematik International University) WS / 21

19 Maximierungsproblem lösen II Problem Bestimmen Sie die gewinnmaximale Ausbringungsmenge x für die Gewinnfunktion Π (x) = ax bx 2, a > 0, b > 0, 0 x a b. Problem Bestimmen Sie die maximale Ausbringungsmenge für die Preis-Absatz-Funktion X (p) = 100 2p, 0 p 50. arald Wiese (UL/DIU Universität Ein Leipzig/Dresden wenig Mathematik International University) WS / 21

20 Weitere Übungen Problem 1 Bestimmen Sie die Steigung der folgenden Preis-Absatz-Funktion: X d ( 0,d) X ( p) = d ep d,? 2e d,0 e d 2e d e p Harald Wiese (UL/DIU Universität Ein Leipzig/Dresden wenig Mathematik International University) WS / 21

21 Weitere Übungen Problem 2 Bestimmen Sie die Steigung zwischen den Punkten (x, Π) = (4, 10) und ˆx, ˆΠ = (8, 10) Problem 3 Bestimmen Sie die gewinnmaximale Ausbringungsmenge x für die Gewinnfunktion Vorsicht! Π (x) = ax + bx 2, a > 0, b > 0, 0 x a b. Harald Wiese (UL/DIU Universität Ein Leipzig/Dresden wenig Mathematik International University) WS / 21