Statistik - Übungen WS 2015/16

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1 Statistik - Übungen WS 2015/16 Blatt 1: Beschreibende Statistik 1. Wir unterscheiden verschiedene Arten von Merkmalen. Nennen Sie für jedes Erhebungsmerkmal eine zulässige Ausprägung, geben Sie jeweils eine (sachlogisch) plausible Skalierung an und bestimmen Sie, ob das Merkmal stetig oder diskret ist: Merkmal Ausprägung Skalenniveau diskret/stetig Lebensalter (vollendete Jahre) Geschlecht Nationalität Monatliche Miete Familienstand Beruf Unternehmensrating Akademischer Grad Einkommen Postleitzahl Schuhgröße Erwerbslosenanteil Statistik Übungen Blatt 1 1 WS 2015

2 2. Zum Abschluss einer Statistikübung wurden die 48 Studierenden aufgefordert, diese Lehrveranstaltung zu beurteilen. Eine zu beurteilende Aussage lautete: Der vermittelte Sto war gut verständlich. Die Beurteilung erfolgte in einer fünfteiligen Skala mit den möglichen Antworten: 1: stimme sehr zu 2: stimme eher zu 3: weder noch 4: stimme weniger zu 5: stimme gar nicht zu Die Beurteilungen wurden in der nachfolgenden Tabelle zusammengefasst: a) Wie ist das Merkmal skaliert? b) Wie lautet die (ursprüngliche) Tabelle der absoluten und der relativen Häufigkeiten? c) Stellen Sie die Daten in einem Kreisdiagramm dar. d) Bestimmen Sie den geeigneten Lageparameter. 3. Die Größe von Familien, die in einem Dorf leben, sind in folgender Häufigkeitstabelle zusammengefasst: Familiengröße Anzahl a) Geben Sie die relativen und die kumulierten relativen Häufigkeiten an. P b) Stellen Sie die Daten durch ein Stabdiagramm dar. P c) Skizzieren Sie die empirische Verteilungsfunktion. d) Berechnen Sie geeignete Lagemaße und begründen Sie ihre Wahl. Statistik Übungen Blatt 1 2 WS 2015

3 4. Die acht Filialen eines Kaufhauskonzerns erzielten 2014 folgende Umsätze (in Mio. Euro): Filiale i Umsatz x i a) Von welchem Typ und welcher Skalierung ist das Merkmal Umsatz? b) Berechnen Sie (ohne Excel!) Modalwert, Median, Mittelwert, Varianz und Standardabweichung, Variationskoe zient und Quartilsabstand und interpretieren Sie all diese Zahlen! Welche dieser Kennzahlen sind aussagekräftig? c) Zeichnen und interpretieren Sie einen Boxplot zu diesen Daten. d) Wie verändert eine falsche Zahl, wenn etwa statt 58 der Wert 580 eingegeben wurde, die Kennzahlen Median, Mittelwert, Quartilsabstand und Standardabweichung? 5. Das jährliche Haushaltseinkommen der Privathaushalte einer bestimmten Stadt für das Jahr 2014 ist in der folgenden Tabelle zusammengefasst: Jährl. Haushaltseinkommen in 1000 Ä [10, 25[ [25, 30[ [30, 40[ [40, 60[ [60, 90] Anzahl der Haushalte (in 1000) a) Zeichnen Sie das zugehörige Histogramm! b) Zeichnen Sie die approximierende Verteilungsfunktion und markieren Sie in der Zeichnung den Median sowie das erste und dritte Quartil! c) Errechnen Sie den Median genau. Was bedeutet diese Zahl? Wie sinnvoll ist deren genaue Berechnung? 6. In der nachstehenden Tabelle sind die Mietpreise (in Ä/m 2 ) von 110 Zwei-Zimmer-Mietwohnungen in vergleichbarer Wohnlage, die im ersten Quartal auf dem Wohnungsmarkt einer Kleinstadt angeboten wurden, angegeben: Mietpreis (in Ä/m 2 ) [von, bis[ [2, 3[ [3, 6[ [6, 12[ [12, 18] Anzahl der Wohnungen a) Zeichnen Sie das zugehörige Histogramm! P b) Zeichnen Sie die approximierende Verteilungsfunktion und markieren Sie in der Zeichnung den Median. P c) Wie groß ist und was bedeutet die kumulierte relative Häufigkeit an der Stelle 12? P d) Berechnen sie soweit möglich Mittelwert und Standardabweichung. e) Aus einer weiteren Erhebung mit 70 Zwei-Zimmer-Mietwohnungen ergab sich ein Mittelwert von 5,26 Ä/m 2. Wie groß ist soweit berechenbar der mittlere Mietpreis in allen 180 Proben? Kann man auch die Varianz aller 180 Proben bestimmen, wenn man weiß, dass die neuen 70 Messungen eine Varianz von 10 aufweisen? Statistik Übungen Blatt 1 3 WS 2015

4 7. In einer Umfrage wurde nach der Zustimmung zur Meinung: Soziale Unterschiede sind gerecht gefragt. (V168 ALLBUS 1998: die allgemeine Bevölkerungsumfrage der Sozialwissenschaften (ALLBUS) - ist eine seit 1980 in Deutschland durchgeführte repräsentative Bevölkerungsbefragung mit ca Personen). Die Beurteilung erfolgte in einer vierteiligen Skala mit den möglichen Antworten: P 1: stimme voll zu 2: stimme eher zu 3: stimme eher nicht zu 4: stimme gar nicht zu Die folgenden 20 Rohdaten sind dieser Umfrage entnommen: Person Antwort In derselben Umfrage wurde auch das Einkommen erhoben. Die Rohdaten für das Einkommen (in Euro) der oben befragten Personen lauten: Person Einkommen Person Einkommen a) Erstellen Sie jeweils eine geeignete Häufigkeitsverteilung. b) Geben Sie jeweils die absoluten, relativen und die kumulierten relativen Häufigkeiten an. c) Zeichnen Sie die empirische Verteilungsfunktion Statistik Übungen Blatt 1 4 WS 2015

5 8. Die folgenden Häufigkeitstabellen stammen aus zwei Umfragen, die über die Zustimmung zur Meinung: Soziale Unterschiede sind gerecht einmal in Deutschland (V168 ALLBUS 1998) und einmal in den USA (USCLASS8 im GSS = General Social Survey der USA 1984) durchgeführt wurden. P Soziale Unterschiede sind gerecht Häufigkeit Gültig STIMME VOLL ZU 145 STIMME EHER ZU 623 STIMME EHER NICHT ZU 1132 STIMME GAR NICHT ZU 1023 Gesamt 2923 Fehlend WEISS NICHT 132 KEINE ANGABE 6 Gesamt 138 Gesamt 3061 Social Di erences are acceptable Häufigkeit Gültig STRONGLY AGREE 115 SOMEWHAT AGREE 623 SOMEWHAT DISAGREE 474 STRONGLY DISAGREE 165 Total 1375 Fehlend NO OPINION 58 NO ANSWER 4 Total 84 Total 1437 Lassen sich hinsichtlich der Meinung Unterschiede zwischen den USA und Deutschland feststellen? Begründen Sie ausführlich! Statistik Übungen Blatt 1 5 WS 2015

6 9. Ein Anleger kauft am 15.1., am und am eines Jahres jeweils Aktien eines Ölkonzerns. Der Kurs der Aktie betrug an diesen Börsetagen: Börsentag i Kurs (Ä/Aktie) x i Wie hoch ist der durchschnittliche Kaufpreis pro Aktie, wenn der Anleger: a) am Aktien, am Aktien und am noch einmal 30 Aktien kauft. P b) am und am für jeweils Ä und am für 8000 Ä Aktien kauft? 10. In Deutschland wird das Abitur zentral gestellt und mit Punkten von 0 bis 15 bewertet. Sieben Abiturienten erreichten in den Fächern Deutsch und Mathematik die folgenden Punktezahlen: Deutsch Mathematik a) Berechnen Sie den Pearson-Korrelationskoe zienten b) Berechnen Sie den Pearson-Korrelationskoe zienten der Ränge c) Berechnen Sie den Rangkorrelationskoe zienten gemäß Spearman-Formel! 11. Folgendes Streudiagramm ist zu beurteilen: Gibt es einen (starken? schwachen?) linearen Zusammenhang? Lesen Sie so gut wie möglich die Daten ab und berechnen Sie damit den Pearson-Korrelationskoe zienten und die Gleichung der Regressionsgeraden: P Statistik Übungen Blatt 1 6 WS 2015

7 12. Für 7 Unternehmen desselben Wirtschaftszweiges soll untersucht werden, welcher Zusammenhang zwischen Umsatz und Beschäftigtenzahl besteht. Im Jahr 2014 wurden folgende Zahlen festgestellt: Beschäftigte (in Tsd.) 0,4 0,5 0,8 1,0 1,3 1,4 2,2 Umsatz (in Mio. Euro) Bestimmen Sie den (Pearson-) Korrelationskoe zienten und die Regressionsgerade zur Beschreibung der Abhängigkeit des Umsatzes von der Anzahl der Beschäftigten. 13. Bei einem Bewerbungsgespräch wurden sechs Bewerber sowohl von einem externen Unternehmensberater als auch vom Leiter der Personalabteilung bewertet. Beide konnten dabei Bewertungen zwischen 1 (= sehr schlecht ) und 6 (= ausgezeichnet ) vergeben. Es ergab sich folgende Bewertung: P Bewerber Punkte des Unternehmensberaters Punkte des Leiters der Personalabteilung Bestimmen Sie geeignete Kennzahlen um den Zusammenhang zwischen den beiden Wertungen zu beschreiben! Begründen Sie Ihre Wahl und interpretieren Sie ihr Ergebnis. 14. Um eine möglicherweise vorhandene Abhängigkeit zwischen höchstem Schulabschluss und regionaler Herkunft aufzudecken, wurden dreißigjährige Personen befragt und man erhielt folgende Ergebnisse in Form einer Tabelle: Herkunft Universität oder FH Schulabschluss Matura Hauptschule Summe Wien, Salzburg, Graz Andere Bezirkshauptstädte Berechnen Sie eine geeignete Kennzahl, um eine Aussage über die Abhängigkeit tre en zu können! Statistik Übungen Blatt 1 7 WS 2015

8 15. Die Umsatzentwicklung eines Unternehmens für die ersten sechs Monate des Jahres 2014 ist in folgender Tabelle dargestellt: Monat Jan Feb Mär Apr Mai Jun Umsatz (in Mio.) a) Bestimmen Sie die Koe zienten der Regressionsgeraden (Trendgeraden) und prognostizieren sie damit den Umsatz für Juli und Dezember des Jahres b) Um wie viel Prozent ist der Umsatz jeweils in den Monatsabständen gewachsen? c) Um wie viel Prozent ist der Umsatz in den Monaten Januar bis Juni des Jahres 2014 insgesamt gewachsen, um wie viel Prozent im Monatsdurchschnitt? d) Prognostizieren sie auch mit Hilfe der Lösung von c) die Umsatzzahlen für die Monate Juli und Dezember des Jahres Preise p und Mengen q für einen Warenkorb aus drei Gütern sind für die Jahre 2013 und 2014 in der folgenden Tabelle angegeben: Gut Preis Menge Preis Menge Brot (1kg) 1,8 75 2,1 70 Käse (100g) 1,4 50 1,5 55 Wein (0,75l) 4, ,2 200 a) Bestimmen Sie zur Basis 2013 den Preisindex nach Laspeyres. P b) Berechnen Sie dazu auch den Umsatzindex. P c) Fassen Sie Brot und Käse jeweils zu einer Produktgruppe zusammen, Wein soll eine zweite Produktgruppe bilden. Berechnen Sie für diese Gruppen jeweils den (Sub)- Preisindex und damit den Gesamtindex. d) Bestimmen Sie die prozentuale Preisänderung dieses Warenkorbes von 1991 auf 2014, wenn von 1991 auf 2001 die Preise insgesamt 48 Prozent gestiegen sind und von 2001 auf 2013 der Preisindex 101,5 betrug! e) Bestimmen Sie für den gesamten Warenkorb den Preisindex nach Paasche! Statistik Übungen Blatt 1 8 WS 2015

9 17. In nachstehender Tabelle ist der durchschnittliche Verbraucherpreisindex (Preisindex für die Lebenshaltung) für Österreich für den Zeitraum 2005 bis 2014 wiedergegeben. Da dieser Index nach Laspeyres ermittelt wird, ist es nötig den zugrundeliegenden Warenkorb in bestimmten Abständen zu aktualisieren. Laut EU-Verordnung (EC Nr.2494/95), haben Revisionen in 5-Jahres-Intervallen zu erfolgen. Seit dem Jahr 2000 wird dies in Österreich umgesetzt: P Jahr I 05,i 100,0 101,5 103,7 107,0 107,5 109,5 I 10,i ,3 106,8 108,9 110,7 a) Um wie viel Prozent sind die Preise von 2005 bis 2006, 2011, 2012, 2013, 2014 gestiegen? b) Um wie viel Prozent sind die Preise von 2008 bis 2014 gestiegen? c) Warum kann die für 2011 durch Verknüpfung ermittelte Indexzahl zur Basis 2005 von der durch die Statistik Austria empirisch ermittelten Indexzahl für 2011, 2012,... abweichen? 18. Der Jahresdurchschnitt des österreichischen VPI ist für verschiedene Jahre angegeben. Die jeweiligen Bezugsjahreszahlen sie ändern sich alle 10 Jahre sind die Jahre 1976, 1986 und 1996 bzw. ab 2000 alle 5 Jahre. Die (echten) Daten sind als Indexprozent angegeben. Jahr VPI in % 155, ,7 105,2 104,9 110,5 109,5 a) Berechnen Sie die Werte des VPI bezogen auf das Basisjahr b) Um wie viel sind die Preise von 1990 auf 2010 insgesamt gestiegen? c) Um wie viel sind die Preise von 1990 auf 2010 im Durchschnitt jährlich gestiegen? Statistik Übungen Blatt 1 9 WS 2015

10 19. Ein Unternehmen bezieht Energie in Form von Strom, Öl und Gas. Die Durchschnittspreise für Öl sind in den angegebenen Jahren folgender Tabelle zu entnehmen: Jahr Preis pro Barrel in EUR 42,7 52,0 52,2 67,9 43,5 56,2 a) Bei den Ausgaben für die verschiedenen Energiearten entfallen auf: Strom 65% Gas 25% Öl 10% Von 2005 bis 2010 stiegen die Stromkosten um 12%, Gas wurde um acht Prozent teurer. Die Preisentwicklung von Öl ist obiger Tabelle zu entnehmen. Um wie viel Prozent sind die Verbrauchsausgaben für alle Energiearten zusammengenommen 2010 teurer als 2005? b) Für den Warenkorb Energie sind folgende Indexzahlen bekannt: Man beachte die Umbasierungen! i. Um wie viel Prozent war Energie für das Unternehmen 2000 teurer als 1973? ii. Um wie viel Prozent war Energie 1986 billiger als 1996? Statistik Übungen Blatt 1 10 WS 2015

11 20. Der Warenkorb zur Bestimmung des Verbraucherpreisindexes (berechnet nach Laspeyres) besteht aus vier Gütern (A, B, C, D). Während die Preise von A, B und C auf dem freien Markt gebildet werden, wird der Preis des Gutes D von der Regierung festgesetzt. In folgender Tabelle sind die aktuellen Preise, die von einem Wirtschaftsforschungsinstitut geschätzte Preisentwicklung der nächsten Periode (für A, B, C), sowie die aktuellen Verbrauchsmengen angegeben: Produkt A B C D aktuelle Menge aktueller Preis geschätzter Preis a) Berechnen sie unter der Annahme, dass der Preis für D mit 12 GE festgesetzt wird, den Preisindex nach Laspeyres. P b) Wie hoch darf die Regierung den Preis von Produkt D maximal festsetzen, damit das wirtschaftspolitische Ziel Inflationsrate von höchstens 3 % in der nächsten Periode nicht verletzt wird? c) Berechnen sie den Umsatzindex (in %) unter der Annahme, dass der Preis für D mit 12 GE festgesetzt wird, und folgende Mengenänderungen eintreten: P i. die Mengen von A und D bleiben gleich, ii. durch die Preisverschiebung erhöht sich die Verbrauchsmenge von C um 10 %, und verringert sich die Verbrauchsmenge von B um 5 %. Die mit P gekennzeichneten Beispiele sind von den Studierenden vorzubereiten und nach Aufruf durch den/die Lehrveranstaltungsleiter/in an der Tafel zu präsentieren! Statistik Übungen Blatt 1 11 WS 2015