Die Analysis des Regenbogens

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1 7 Klaus Dürrschabel Die Aalysis des Regeboges Der Regeboge ist ei fasziieredes Naturphäome Das Zusammetreffe vo Rege ud Soe führt zu eiem Farbespiel, welches die Welt scho seit der Atike beeidruckt ud mit de verschiedeste Iterpretatioe verbude ist I dem Artikel wird die Etstehug des Naturschauspiels diskutiert Die Frage ach der Farbzerlegug wird ebeso behadelt wie die Bogeform Auch die Tatsache, dass ma machmal eie zweite schwächere Regeboge mit umgekehrter Farbreihefolge sieht, wird besproche Bei der Diskussio all dieser Phäomee spiele Raumgeometrie ud isbesodere Ihalte der Aalysis eie zetrale Rolle, woraus sich auch der Titel erklärt Es werde aber ur solche Hilfsmittel beutzt, die auch ei iteressierter Oberstufeschüler verstehe ka Der Artikel ist ei Vorschlag für ei Mathematik ud Physik verbidedes Projekt ab Begi der Sekudarstufe II 1 Eileitug Der Regeboge ist ei Phäome, das die Meschheit seit alters her beeidruckt ud vielerlei übertragee Bedeutuge bekomme hat So taucht dieses Zeiche bereits im erste Buch der Bibel, im Buch Geesis auf Nach der Sitflut, welche fast die gesamte Meschheit ausgerottet hatte, setzte die Arche Noah ach viele Woche wieder auf der Erde auf Es heißt da, dass Gott versprach, küftig das Lebe icht mehr verichte zu wolle ud als Zeiche des Budes zwische Gott ud de Mesche eie Boge, gemeit ist ei Regeboge, i die Wolke setzte Aber auch i adere Zusammehäge taucht immer wieder der Regeboge als mystisches Zeiche auf I der griechische Sagewelt war der Regeboge das Kezeiche der Götterboti Iris, auf welchem sie zur Erde herieder stieg also auch hier die Versibildlichug des Budes zwische de Götter ud de Mesche Nicht ur im Abedlad, auch i adere Kulturkreise wurde dem Regeboge eie mystische Bedeutug zugemesse So wurde bei de Ikas die Soe als Gottheit verehrt, dere Ausstrahlug sich durch de Regeboge äußerte Mehr och: Der Regeboge wurde selbst als Gottheit verehrt, atürlich der Soe utergeordet Ud i der chiesische Frühliteratur wurde der Regeboge als Regedrache bezeichet, d h auch hier wurde dem Regeboge eie übertragee Bedeutug gegebe Auch heute werde dem Zeiche des Regeboges übertragee Bedeutuge zugemesse Zur Belegug dieser Behauptug seie hier folgede Beispiele stellvertreted für viele weitere geat: Ei i der badische Regio sehr bekater ud viel gehörter Radioseder hat sich de Name Regeboge gegebe Diverse Hilfsorgaisatioe stelle ihre Aktivitäte uter dieses Zeiche Sogar politische Orgaisatioe ehme de Regeboge als Name ud Zeiche für ihre gemeisame Aktivitäte So gibt es die Regebogepartei i Hamburg ud die Regebogefraktio ierhalb des Europäische Parlamets i Straßburg Woher kommt diese Fasziatio des Regeboges? Sei Ursprug liegt atürlich i der Naturerscheiug, die immer da auftritt, we Soe ud Rege zusammetreffe ud ma mit der Soe i die Richtug des Reges blickt Der Ursache dieser Naturerscheiug, die jeder ket ud scho mehrfach gesehe hat, wolle wir jetzt geauer achgehe Der Regeboge erscheit immer i Form eies Boges Die Farbreihelge ergibt sich dabei vo auße ach ie i der Reihefolge rot-orage-gelbgrü-blau-idigo-violett Bei deutlich sichtbare Regeböge erket ma häufig och eie schwächer ausgeprägte zweite Regeboge außerhalb des erste Primärboges Dieser hat da die umgekehrte Farbreihefolge, Mathematikiformatio Nr 48

2 8 d h die Farbe rot fidet ma am iere ud die Farbe violett am äußer Rad Aufgrud dieses Phäomes ergibt sich eie Reihe vo Frage, die im Folgede beatwortetet werde: Wie kommt es zu der Erscheiug des Regeboges? Warum sieht ma die Farbe? Warum sieht ma eie Boge? Ist vielleicht dieser Boge sogar ei Kreisstück? Die Erklärug, wie sie gere im Physikuterricht gegebe wird (vgl z B [1]), ist hier icht ausreiched Wieso sieht ma bei eiem ausgeprägte Regeboge eie zweite, blassere oberhalb des erste Boges? Warum ist bei diesem zweite Boge die Farbreihefolge umgedreht? Die Farbzerlegug Bekatlich wird Licht beim Eitritt i ei durchsichtiges, optisch dichteres Medium zum Lot hi gebroche Nach dem Brechugsgesetz des SNELLIUS erfolgt die Brechug über die Beziehug si = = cost si Hierbei ist > 1 eie Materialkostate des optisch dichtere Mediums, der sog Brechugsidex 1 Die Wikel ud werde jeweils zum Lot hi gemesse Beim Austritt des Lichtstrahls aus dem Medium sid die Rolle vo Ei- ud Ausgagsstrahl gerade vertauscht, d h hier wird der Strahl vom Lot weg gebroche Der Vollstädigkeit wege soll bemerkt werde, dass a de Grezfläche stets ei geriger Teil des Lichts reflektiert wird, dieser aber sofer ichts aderes gesagt wird im Folgede immer verachlässigt wird Luft Medium Luft Utersucht ma de Brechugsidex geauer, so stellt ma fest, dass dieser Idex icht so kostat ist, wie gerade behauptet wurde, soder leicht vo der Farbe ud damit vo der Welleläge λ des Lichts abhägt So misst ma im Fall vo Wasser abhägig vo der Farbe folgede Werte für de Brechugsidex: Farbe (Welleläge) Brechugsidex rot (λ = 656 m) 1,1 gelb (λ = 589 m) 1, grü (λ = 50 m 1,5 blau (λ = 41 m) 1,41 violett (λ = 97 m) 1,44 Offesichtlich hat für das Medium Wasser das relativ lagwellige Licht rot eie miimal gerigere Brechugsidex als die kurzwellige Farbe violett Demetspreched wird rot beim Eitritt is Wasser icht so stark zum Lot hi gebroche wie violettes 1 Eigetlich lautet das SNELLIUS-Brechugsgesetz si = Medium, si Luft wobei ud die Brechugsidizes gegeüber Vakuum sid Allerdigs uterscheidet sich der Medium Luft Brechugsidex vo Luft ur uwesetlich vo 1, sodass wir problemlos setze dürfe Medium Luft = Medium = : Mathematikiformatio Nr 48

3 9 Nu ist weißes Licht keie eigestädige Farbe, soder setzt sich aus alle Farbe des Spektrums zusamme Dieses Phäome ka mit Hilfe des berühmte Prismeversuchs demostriert werde Beim Eitritt des weiße Lichtstrahls i ei Glasprisma werde die uterschiedliche Welleläge ud damit die uterschiedliche Farbe verschiede stark gebroche Beim Austritt aus dem Prisma werde die uterschiedliche Ablekuge durch die zweite Brechug och verstärkt ud ma ka auf eiem Schirm am Ede das Gaze i die eizele Welleläge zerlegte Farbspektrum auffage Geau das gleiche Phäome tritt wegleich i etwas abgewadelter Form i eiem kugelförmige Regetropfe auf Das weiße Soelicht tritt i de Wassertropfe ei ud wird zum Lot hi gebroche Aufgrud des farbabhägige Brechugsidexes wird hierbei das weiße Licht i die eizele Farbe aufgefächert Am Ede des Regetropfes verlässt uter Brechug ei großer Teil der Strahle wieder de Wassertropfe, ei Teil wird aber auch a der Grezfläche reflektiert Wir betrachte hier ur de reflektierte Ateil, weil ur dieser Ateil is Auge umgelekt werde ka Diese reflektierte Strahle treffe a eier weitere Stelle wieder auf die Begrezug des Tropfes ud werde dort beim Austritt aus dem Wasser abhägig vo der Farbe vom Lot weg gebroche Dabei verstärkt sich die Auffächerug des Lichts Es etsteht ebeso wie beim Prisma das gaze Farbespektrum Treffe u die Soestrahle auf viele Regetropfe, die i Form vo Rege aus de Wolke falle, so etsteht diese Farbzerlegug i jedem Tropfe Diese Farbzerlegug wird da häufig im Rahme des Physikuterrichts als Ursache für die Regebogeerscheiug zitiert (vgl z B [1]): Die rote Strahle werde gegeüber de übrige Farbe icht so stark gebroche ud falle daher uter eiem höhere Wikel is Auge Die grüe Strahle falle wege der stärkere Brechug uter eiem gerigere Wikel is Auge ud die violette uter eiem och gerigere Aus diesem Grud immt ma rot uter eiem höhere Wikel gegeüber grü ud violett wahr Eigetlich habe die Regetropfe keie Kugel-, soder eie Tropfeform Allerdigs stimmt die Tropfeform zu eiem große Teil mit der Kugelgestalt überei Isbesodere spielt der Bereich am obere Ede, der wesetlich vo der Kugelgestalt abweicht, bei usere Überleguge ur eie utergeordete Rolle, weil vo dort ur eie gerige Lichtitesität is Auge umgelekt wird Aus diesem Grud werde wir us bei der achfolgede Argumetatio stets auf die eifacher zu behadelde Kugelgestalt zurückziehe Mathematikiformatio Nr 48

4 40 Allerdigs stellt ma bei geauerem Überlege fest, dass diese Begrüdug icht stichhaltig ist Die Soestrahle treffe ämlich die Tropfe icht ur a eier Stelle, soder i verschiedee Höhe Aufgrud der daraus resultierede uterschiedliche Eifallswikel wird i eiem Tropfe icht ur eie Farbe is Auge umgelekt, soder jede Farbe des Spektrums So wird i eier gewisse Höhe die Farbe rot is Auge umgelekt, währed i etwas größerer Höhe aufgrud des größere Eifallswikels ud der stärkere Brechug die Farbe grü ud och etwas höher die Farbe violett is Auge umgelekt werde Damit ergebe sich Frage, die durch die bisherige Argumete icht erklärt werde köe: Es überlappe sich die is Auge eifallede Farbe Durch diese Überlagerug der Farbe müsste eigetlich im Auge wieder die aus alle Farbe vereiigte Farbe weiß oder etwas Ähliches etstehe Warum immt ma also die Farbauffächerug wahr? Absolut uerklärt bleibt durch diese aive Argumetatio die Bogebildug Warum etsteht am Himmel ei Boge ud warum ist der Regeboge icht eie am Horizot erscheiede gerade Liie? Warum ist der Regeboge ei Boge? Die Erklärugsversuche aus dem klassische Physikuterricht sid offesichtlich icht ausreiched für das Phäome der Regebogebildug Aus diesem Grud betrachte wir de Strahlegag ierhalb eies Tropfes ochmals geauer, wobei wir us zuächst auf de Strahlegag im vertikale Querschitt des Tropfes ud damit i eier Ebee beschräke A O B ϕ C Weißes Soelicht trifft a eier Stelle A auf eie Wassertropfe Der Großteil des Lichts wird gemäß dem Brechugsgesetz zum Lot hi gebroche, wobei im Fall eies kugelförmige Wassertropfes das Lot mit dem etsprechede Radius übereistimmt Wir betrachte jetzt ur och eie Farbateil, z B de rote Farbstrahl Dieser wird am rechte Ede B des Tropfes teilweise reflektiert Wege der Gleichschekligkeit des Dreiecks AOB tritt der Ausfallswikel a der Stelle A auch a der Reflexiosstelle B zum Lot bzw Radius hi auf ud wege des Reflexiosgesetzes auch als Reflexioswikel des zurückgeworfee Strahls Aufgrud der Gleichschekligkeit des Dreiecks BOC tritt dieser Wikel ochmals als Eifallswikel beim Austritt aus dem Wasser a der Stelle C auf Dies bedeutet wiederum, dass sich beim Austritt als Ausfallswikel wieder der ursprügliche Wikel ergibt Mathematikiformatio Nr 48

5 41 Nu betrachte wir die gesamte Umlekug φ des Lichtstrahls im mathematisch egative Si, also im Uhrzeigersi Beim Eitritt i de Tropfe a der Stelle A wird der Lichtstrahl um, a der Reflexiosstelle B um π ud beim Austritt a der Stelle C ochmals um umgelekt Isgesamt ergibt sich als Umlekugswikel ϕ = ( ) + (π ) + ( ) = π + 4 Dabei sid die Wikel ud icht voeiader uabhägig Mit dem SNELLIUS-Brechugsgesetz ergibt sich ämlich der Zusammehag si = si si = arcsi Damit köe wir de Umlekugswikel φ folgedermaße ausdrücke: si ϕ = π + 4 arcsi Offesichtlich ist der Umlekugswikel φ ur vom Eifallswikel abhägig, also eie Fuktio mit der uabhägige Variable Lässt ma sich de Graphe dieser Fuktio φ() im iteressate Bereich π 0 vo eiem Computeralgebrasystem zeiche, so erhält ma das ebestehede Bild Bei eiem Eifallswikel = 0, also eiem zetrale Auftreffe auf de Regetropfe, wird der Lichtstrahl exakt um de Wikel π umgelekt Mit wachseder Höhe ud damit wachsedem Eifallswikel sikt dieser Umlekugswikel zuächst etwas ab, bevor er wieder asteigt Besoders viele Strahle werde i die Richtug des Miimums vo φ umgelekt I der dortige Umgebug ädert sich die Umlekugsrichtug φ weig, d h es gilt äherugsweise ϕ ( ) cost Diese Richtug bestimmt ma dadurch, dass ma die Ableitug der Fuktio φ() ull setzt Es ergibt sich mit Hilfe der Ketteregel: dϕ = 4 d Daraus erhält ma durch elemetares Umforme bzw uter zusätzlicher Ausutzug der Idetität 1 1 si cos = 0 1 cos 1 = si si = 1 cos 1 cos = + cos Durch Quadriere erhält ma 1 cos = ( + cos ) 4 Daraus ergibt sich die quadratische Gleichug cos = 4 4 Mathematikiformatio Nr 48

6 4 für cos Wege π ist cos 0 ud daher 0 Wir habe also ur eie Wikel im Itervall 0 cos = π dϕ 0,, a welchem die Ableitug verschwidet, ämlich d = arccos Ma köte jetzt durch ochmaliges Differeziere achweise, dass a dieser statioäre Stelle die zweite Ableitug positiv ist ud damit tatsächlich ei lokales Miimum des Umlekugswikels φ vorliegt Doch 0 wolle wir auf diese Schritt verzichte, da er zum eie sehr recheaufwädig ud zum adere aufgrud userer Argumetatio auch überflüssig ist Wichtig ist ur, dass i der Umgebug der statioäre Stelle der Umlekugswikel φ äherugsweise kostat ist ud daher besoders viele Strahle um de gefudee Wikel ϕ = ϕ( 0 umgelekt werde ) 0 = π + arccos si 4 arcsi arccos Da der Brechugsidex vo der Welleläge ud damit vo der Farbe des Lichts abhägt, bedeutet dies, dass es für jede Farbe eie adere bevorzugte Umlekugswikel gibt Für die Farbe rot beträgt der Brechugsidex = 1, 1 ud damit der bevorzugte Umlekugswikel rot ϕ = π + arccos 0, rot,40 = ˆ 17,6 1,1 4 arcsi si arccos 1,1 1,1 Was bedeutet dieser bevorzugte Umlekugswikel für de Beobachter am Bode? Dies ist i der ute stehede Skizze demostriert Der rote Ateil des Soestrahls wird bevorzugt um eie Wikel vo 17,6 im Uhrzeigersi umgelekt Das bedeutet, dass dem zurückgeworfee Strahl 4,4 zur vollstädige Umkehr fehle Dieser Wikel tritt als Stufewikel auch beim Beobachter als Exzetritätswikel zur Lichteifallsrichtug auf Soestrahl 4,4 17,6 4,4 Da die Regetropfe äherugsweise kugelförmig sid, tritt diese bevorzugte Umkehrrichtug icht ur i der betrachtete vertikale Richtug soder i jeder Ebeerichtug durch das Kugelzetrum bis hi zur Horizotale ud darüber hiaus auf I jeder Richtug wird der Soestrahl bevorzugt i eier Blickrichtug vo Mathematikiformatio Nr 48

7 4 4,4 zur Soeeistrahlrichtug zurückgeworfe Die rote Farbe fällt also is Auge hauptsächlich auf eiem Drehkegel mit dem Öffugswikel 4,4 ud der Achserichtug der Soeeistrahlrichtug Demetspreched erscheit die rote Farbe bevorzugt auf eiem Kreis Dieser Kreis wird erst durch die Erdoberfläche begrezt Für die übrige Farbe ergebe sich adere bevorzugte Richtuge So ergibt sich im Fall vo violett mit dem Brechugsidex = 1, 44 ei bevorzugter Umlekugswikel vo violett ϕ = π + arccos 0, violett 1,44 4 arcsi arccos 1,44,45 = ˆ 19,5, d h diese Farbe wird vom Betrachter hauptsächlich uter eiem Öffugswikel vo 180 9,5 = 40, 5 zur Lichteifallsrichtug wahrgeomme Isgesamt ergebe sich als Öffugswikel gerade die Ergäzugswikel der bevorzugte Umlekuge φ() zu 180, also Wikel vo 4,4 im Fall vo rot bis heruter zu 40,5 im Fall vo violett Der etstehede bute Kreisboge ist lediglich durch die Erde begrezt Wäre der Bode als Begrezug icht vorhade, würde ma eie gaze Kreis sehe Im Flugzeug oder auf eiem Berggipfel mit freier Sicht ach ute sieht ma demetspreched auch keie Regeboge, soder eie vollrude bute Regekreis si 1,44 4 Wie kommt es zum zweite Regeboge? Es bleibt och die Frage ach dem zweite gegeüber dem erste blassere Regeboge, welcher bei guter Sicht oberhalb des erste Regeboges etsteht Schaut ma sich diese zweite Regeboge geauer a, stellt ma zudem fest, dass die Farbreihefolge gegeüber dem erste Regeboge vertauscht ist Währed ma beim primäre Regeboge auße zuächst die Farbe rot sieht ud ach ie da die Farbe orage-gelbgrü-blau-idigo-violett folge, beobachtet ma beim äußere Boge ie die Farbe rot gefolgt vo de weitere Farbe bis hi zu violett gaz auße Dieses Phäome des zweite Regeboges etsteht durch doppelte Reflexio, also durch de Strahlegag, der zuächst gebroche, da zweimal im Ier des Tropfes reflektiert ud schließlich beim Austritt ochmals gebroche wird, bevor er is Auge trifft ϕ Aufgrud des Itesitätsverlustes durch die jetzt zweimalige Reflexio der größere Teil des Lichtstrahls verlässt ja wieder de Tropfe ist eisichtig, dass der zweite Regeboge gegeüber dem erste schwächer erscheit Die Argumetatio für die Etstehug des Boges erfolgt gaz aalog zu der beim erste Boge Als Mathematikiformatio Nr 48

8 44 Umlekugswikel φ ergibt sich hier ei Wikel i mathematisch positiver Richtug, also etgege dem Uhrzeigersi Wir erhalte ϕ = ( ) + (π ) + (π ) + ( ) = π + 6 bzw uter Ausutzug des SNELLIUS- Brechugsgesetzes si = si si ϕ = π + 6 arcsi Der bevorzugte Umlekugswikel ergibt sich wieder aus der Bedigug ϕ ( ) cost De zugehörige statioäre Eifallswikel erhält ma mit Hilfe der Differeziatio: dϕ = 6 d 1 1 si cos = 0 Mit aaloge Umformuge wie im voragegagee Abschitt erhält ma daraus de statioäre Eifallswikel = arccos 0 Als bevorzugter Umlekugswikel ergibt sich somit 8 1 si arccos 8 ϕ = ϕ ( ) = π + arccos 6 arcsi Nebebei sei bemerkt, dass ma durch ochmaliges Differeziere achweise ka, dass sich i diesem Fall der bevorzugte Umlekugswikel als ei lokales Maximum der mögliche Ablekuge erweist Nach wie vor hägt der Brechugsidex vo der Welleläge des Lichts ud damit vo der Farbe ab Rot hat de kleiste Brechugsidex = 1, 1, währed violett am adere Ede de größte Brechugsidex rot = 1,44 besitzt Damit ergebe sich farbabhägig als statioäre Eifallswikel = 71, 9 bis hi violett rot zu = 71, 5 Die zugehörige bevorzugte Umlekugswikel sid da bei der Farbe rot violett ϕ 0, rot = 0, 4 ud bei der Farbe violett ϕ =,7 0, violett Es soll ochmals bemerkt werde, dass i diesem Fall die Umlekug im mathematisch positive Si ud damit gegeüber der Umlekug beim erste Regeboge mit umgekehrter Orietierug erfolgt Wie wirke sich diese bevorzugte Richtuge auf de Betrachter auf der Erde aus? Die Soestrahle werde bevorzugt für das rote Spektrum um 0,4 umgelekt, d h dass der Betrachter am Bode die rote Farbe hauptsächlich uter eiem Blickwikel vo 0,4 80 = 50, 4 zur Soeeifallsrichtug beobachte ka Mathematikiformatio Nr 48

9 45 Soestrahl 0,4 50,4 Da die Strahle aufgrud der kugelförmig ageommee Form der Regetropfe icht ur vertikal i der skizzierte Weise abgelekt werde, soder die Ablekug i jeder Richtug erfolgt, ergibt sich wieder ei Drehkegel mit dem etsprechede Öffugswikel zur Soeeistrahlrichtug Die Farbe rot erscheit also wieder auf eiem Kreis Die weitere Farbe ergebe sich etspreched, wobei aber dieses Mal die Wikel mit der Farbreihefolge rot-orage-gelb-grü bis hi zu blau-idigo-violett awachse Bei der Farbe violett ergibt sich ei bevorzugter Öffugswikel vo,7 80 = 5, 7 zur Soeeifallsrichtug Natürlich gilt auch bei dem zweite Regeboge die Bemerkug, dass der Regebogekreis ur aufgrud der Begrezug durch die Erde als halbruder Boge erscheit, i eiem Flugzeug i etsprecheder Höhe aber durchaus als Vollkreis beobachtet werde ka 5 Zusammefassug Der erste Regeboge etsteht durch Brechug, eimalige Reflexio ud ochmalige Brechug, wobei sich hier aufgrud des farbabhägige Brechugsidexes für die eizele Farbe verschiedee bevorzugte Richtuge zur Soelichteifallsrichtug ausbilde So falle im Fall vo rot die Strahle bevorzugt auf eiem Drehkegel mit eiem Öffugswikel vo 4,4 is Auge Im Fall vo violett beträgt der Öffugswikel lediglich 40,5 zur Soeeifallsrichtug Der zweite Regeboge etsteht durch zwei Reflexioe, wobei jeweils ei Großteil der Lichtitesität durch direkte Austritt i die Luft verlore geht Aus diesem Grud muss dieser Regeboge gegeüber dem erste schwächer ausgeprägt sei Als bevorzugte Wikel ergebe sich hier Öffugswikel zur Lichteifallsrichtug vo 50,4 im Fall vo rot bis hi zu 5,7 im Fall vo violett 4,4 50,4 Mathematikiformatio Nr 48

10 46 Die Farbreihefolge rot-orage-gelb-grü-blau-idigo-violett ist beim äußere Regeboge gegeüber dem iere umgekehrt Dies ist darauf zurückzuführe ist, dass beim zweite äußere Regeboge die Ablekug der eifallede Lichtstrahle i umgekehrter Richtug erfolgt Zum Schluss soll och erwäht werde, dass die geschilderte Erkläruge für die Etstehug des Regeboges icht eu sid Bereits Reé Descartes [] ud Isaac Newto [4] kote im 17 Jahrhudert bzw zu Begi des 18 Jahrhuderts das Phäome Regeboge mit der vorgestellte Theorie erkläre Trotzdem sid auch heute och viele Effekte icht vollstädig geklärt, so z B die Frage, warum ei Regeboge icht i jede Richtug gleich stark ausgebildet ist ud warum die Farbe meist uterschiedlich hell bzw klar sichtbar sid Diese Effekte köe mit obiger Theorie icht erklärt werde Auch Modifikatioe dieser Theorie mit Hilfe vo Iterfereze erkläre dieses Phäome ur uzureiched Literatur Bredthauer, Wilhelm u a [1]: Impulse Physik 1 für die Mittelstufe der Gymasie Klett, Stuttgart 1996, Seite Descartes, Reé []: Les Météores 167 Dürrschabel, Klaus []: Mathematik für Igeieure Teuber, Wiesbade 004, Seite Newto, Isaac [4]: Optics or a treatise of the reflectios, refractios, iflectios ad colours of light 1704 Stewart, James [5]: Calculus, Thomso Learig 5 th editio 00, Seite Aschrift des Autors Prof Dr Klaus Dürrschabel Hochschule Karlsruhe Techik ud Wirtschaft Moltkestraße Karlsruhe klausduerrschabel@hs-karlsruhede Mathematikiformatio Nr 48