3. LTI-Systeme im Zeitbereich

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1 SigSys I Zusammenfassung Andreas Biri, D-IE Einteilung der Signale Zeit kontinuierlich diskret Amplitude Kontinuier lich diskret Zeit- & amplitudendiskret -> digital 2. Systemeigenschaften Linearität Homogenität: H(αx) = αhx Additivität: H(x 1 + x 2 ) = Hx 1 + Hx 2 ullraum ( H ) = { x X Hx = 0} Bildraum R( H ) = { y = Hx x X } Superposition H ( α 1 x 1 + α 2 x α n x n ) = α 1 Hx α n Hx n Achtung: gilt bei unendliche Summe nur bei stetiger Funktion! Stetigkeit Zeitinvarianz dann und nur dann, wenn H ( α i x i ) = α i Hx i i=1 zeitliche Verschiebung am Eingang führt zu einer ebenso grossen zeitlichen Verschiebung am Ausgang H( x( τ)) = (Hx)( τ ) Kausalität i=1 x (t) = x( t τ) y(t τ) Ausgangssignal hängt ausschliesslich von vergangenen und/oder momentanen Werten ab x 1 (t) = x 2 (t) t ( Hx 1 )(t) = ( Hx 2 )(t) t BIB0-Stabilität bounded input bounded output 3. LI-Systeme im Zeitbereich y(t) = x(τ)h(t τ)dτ = x h, t = 0 Impulsantwort: h(t) = (Hδ)(t), δ(t) = { 0, t 0 Sprungantwort: ( h σ ) = Faltungseigenschaften h(τ) σ( t τ) dτ t = h(τ) dτ Kommutativ: x 1 x 2 = x 2 x 1 Assoziativ: ( x 1 x 2 ) x 3 = x 1 ( x 2 x 3 ) Distributiv: x 1 ( x 2 + x 3 ) = x 1 x 2 + x 1 x 3 Graphische Faltung 1. h(τ)spiegeln um τ = 0 rechts, t > 0 2. gespiegeltes h(τ) verschieben nach { links, t < 0 3. verschobenes h (τ) mit x(τ) multiplizieren 4. Integrieren ( benütze, dass oft h (τ) x(τ) = 0 ) Zeitinvarianz h LinearimeInvariant System zeitinvariant Kausalität Stabilität bei LI-System, wenn h(t) = 0 t < 0 h L 1, d. h. h(t) dt < BIBO stabil 4. Verallgemeinerte Funktionen estfunktion b x(ξ) = x(t)φ(t)dt a b a Eichvorschrift: φ(t) dt = 1 Funktional (S.24), ξ [a, b] l x (φ) = x(t) φ(t) dt regulär: x(t) stückweise stetig, s. d. singulär: sonst (l + l )(φ) = l(φ) + l (φ) l αx (φ) = (αl x )(φ) = αl x (φ) l x1 x 2 (φ) = (l g)(φ) = l x (φ) = l(φ) l x1 +x 2 (φ) = l x1 (φ) + l x2 (φ) (αl)(φ) = αl(φ) x 1 (t)x 2 (t)φ(t) dt = l x1 (x 2 φ) (xl)(φ) = l(xφ) 1 a t b l ( φ ( )) für g(t) = a t + b a Gerade verallgm. F.: φ: l(φ) = l(θ), mit θ(t) = φ( t) Ungerade ver. F.: φ: l(φ) = l(θ), mit θ(t) = φ( t) 1

2 Deltafolge δ n (t) = { 0, t I n = [a n, b n ] = 0, t I n Deltafunktion Rechenregeln, δ n (t) dt l δ (φ) = δ(t)φ(t) dt = φ(0) Eichvorschrift: δ(t) dt Produkt: = 1 x(t)δ(t) = x(0)δ(t) Siebeigenschaft: δ(t t 0 )φ(t)dt ( δ h )(t) = h(t) = φ(t 0 ) Verschiebung: δ(at + b) = 1 a δ (t + b a ) Gerade Funktion: Faltung verallgemeinerter Funktionen = 1 δ(t) = δ( t), δ(t t 0 ) = δ(t 0 t) ( l x1 l x2 )(φ) = l x1 ( x 2 ( ) φ) ( x φ)(t) = l x ( φ(t )) = l x ( φ t ) ( l δ + l x ) = l x (φ) ( δ x)(t) = x(t) Differentiation verallgemeinerter Funktionen (S.32) Produktregel: Additivität: Dl x (φ) = l x (φ) = l x (φ ) D l(φ) = l (φ) = l(φ ) (xl) (φ) = x l(φ) + xl (φ) ( l + l ) (φ) = l (φ) + l (φ) D n l(φ) = l (n) (φ) = ( 1) n l(φ (n) ) D n l x (φ) = l x (n)(φ) Dx(t) = x (t) + (x(t 0 + ) x(t 0 )) δ( t t 0 ) Deltafunktional: l δ(φ) = φ (0) Sprungfunktion: D σ(t) = δ(t) 5. LI-Systeme im Frequenzbereich LI-System mit absolut integrierbarer Impulsantwort (S.37) stationärer Zustand aus Einschaltvorgang eines sinusförmigen Eingangssignals Fouriertransformation Rechenregeln y(t) t ĥ(f) e 2πift x (f) = ( Fx)(f) = x(t) e 2πift dt x(t) = ( F 1 f )(t) = x (f) e 2πift dt x(u) φ (u) du l x ( F φ) = l F x (φ) = x (u) φ(u) du F l(φ) = l( F φ) F 1 l(φ) = l( F 1 φ) ( F 2 x)(f) = x( f) ( (F 1 ) 2 x )(t) = x ( t) F x = 2πi f x (F(x y))(f) = x (f)y (f) Sprungfunktion transformiert δ(t) = F 1 = e 2πitf df Periodische Signale an LI-Systemen x(t) = c k e 2πikt/ y(t) = k= Poisson sche Summenformel F 1 δ = δ(f)e 2πitf df = 1 c k ĥ ( k ) e2πikt/ k= h(t k) = 1 ĥ (k ) e2πikt/ k= k= Anwendung der Fouriertransformation auf LI-Systeme Absolut integrierbar: ĥ(f) h(t) dt, lim f ĥ(f) = 0 Riemann-Lebesgue: ĥ unstetig h L 1 ICH BIBO stabil Verzerrungsfreies System (formgetreue Übertragung) y(t) = k x( t t 0 ) ; h(t) = k δ(t t 0 ) Idealisierter iefpass (S.46) Frequenzgang Impulsantwort System ist weder kausal noch BIBO-stabil ( H(f) ist unstetig) Sprungantwort - maximale Steigung ist proportional zur Grenzfrequenz - iefpass mit höherer Grenzfrequ. kann Signaländerung schneller folgen Kausal machen: h(t) nach rechts verschieben und für t < 0 zu ull setzen Stabil machen: Kanten von h(t) abschrägen, dh. falten mit Rechteck 2

3 Bandbegrenzte Signale (S.48) Bandbreite von x ist kleinstes W, s.d. ( x h P,W ) (t) = x(t) t x (f) ĥ P,W (f) = x (f) f Kritische Abtastung : f s = 2 f g (iquist) 7. Zeitdiskrete Signale & Systeme x d(θ) = x d [l] e 2πilθ = 1 l= k x (θ ) k= Bernstein-Ungleichung Signale mit kleiner Bandbreite nur langsame Änderungen im Zeitbereich x(t) = W g(f) e 2πift df, g L 1 dx(t) 4πW max dt x(τ) τ R W 6. Abtasttheoreme Periodisches Signal x(t) = c k e 2πikt/, k= x (f) = c k δ (f k ), f 0 = 1 k= c k = 1 x(t) e 2πikt/ dt Abtastung (S.52) Zeitliches Abtasten ergibt ein periodisches Spektrum, das durch periodische Wiederholung des ursprünglichen Spektrums F(f) entsteht im Zeitbereich x(t) δ (t) = x(k) δ(t k) k= ( F(x δ )) = 1 x (f k ) Im Spektrum/Frequenzbereich x s (f) = x (f) δ (f k ) k= 0 = x ( k ) δ ( f k ) k= x s (t) = (x δ( k) ) (t) = x(t k) k= k= Überabtastung : f s > 2 f g Unterabtastung : f s < 2 f g ( Aliasing) Rekonstruktion mit idealem iefpassfilter Shanon-heorem H P Grenzfrequenz f g, Ampitude Ein fg-bandbegrenztes Signal kann aus seinen Abtastwerten eindeutig rekonstruiert werden, falls f s 2 f g. Abtastfrequenz : f s = 1 iquistrate: f s = 2 f g Rekonstruktion möglich, falls x(t) = 0 t > 2 Interpretation als Interpolation (S.55) sin ( π ( t k)) y(t) = x(t) = x(k) π ( t k) k= Zeitdiskrete Fouriertransformation x d(θ) = x d [n] e 2πinθ, θ = f = f [0,1] f s n= Rücktransformation: 1 x d [n] = x d(θ) e 2πinθ dθ 0 Zeitdiskretes System ist LI, falls Linearität: H(x 1 + x 2 ) = Hx 1 + Hx 2, H(αx) = αhx Zeitinvarianz: H(x[ n 0 ]) = (Hx)[ n 0 ] Impulsantwort x[n] = x[k] δ[ n k] k= y[n] = x[k] h[n k] k= Differenzengleichung (S.60) a k y[n k] = b m x[n m] k=0 M m=0 1, n = 0, δ[n] = { 0, sonst y[n] = a k y[n k] + b m x[n m] a 0 k=1 M a 0 m=0 3

4 8. Diskrete Fouriertrafo (DF) 9. Fast Fourier ransformation (FF) 10. Good to know / Verschiedenes Für ein Signal der Länge muss das Spektrum mal abgetastet werden x ( k ) = x[n] e 2πikn/ x [k], k = 0,1,, 1 DF- Matrix: [F n ] k,n = ω kn Komplexitäten Faltung direkt: O( 2 ) DF: O( 2 ) FF: O( log ) Cooley & ukey: max. Komplexität von 4 log 2 () Idee: Divide et impera : n = log mal halbieren Laplace Sin / cos Y(s) = H(s) X(s) sin(z) = ei z i z e 2i F H F = I = F F H 10. Hilberträume cos(z) = ei z i z + e 2 e i z = cos(z) + i sin (z) Diskrete Fouriertransformation (DF) x [k] = x[n] e 2πikn/, x [k + ] = x [k] x[n] = 1 x [k] e2πink/, x[n + ] = x[n] k=0 x = F x, x = 1 F H x Zyklische Faltung x 3 [l] = x 1 [n] x 2 [l n], x 3[k] = x 1[k] x 2[k] Lineare Faltung -> Zyklischer Faltung (S.66) 1. Zero-padding : Auffüllen der Signale auf P + L 1 Hilbertraum: linearer Raum, der mit einem inneren Produkt ausgestattet und vollständig ist OS: Orthonormalsystem Abtastreihe (S.79) Raum der 2 f g bandbegrenzten Signale: sin ( π ( t k)) x(t) = x(k) π (t k) k= Dann bilden folgende Funktionen ein OS: Φ l (t) = 1 sin ( π ( t l)) sin ( π ( t l)) π = ( t l) π ( t l) Verschiedenes n y[n] = x[k] = x[n] + x[n 1] + k= h(t) = { 1 1 < t < 1 + t 1 2 beliebig setze = 0 Fouriertransformiert: sin ( ) e 2πif 1 ω /2 = e 2πi / 2 = (e 2πi / ) 2 = ( ω ) 2 2. Berechnen der -Punkt DFs, d.h. x 1 u. x 2 3. Berechnen des Produkts x 3[k] = x 1[k] x 2[k] 4. Inverse DF, wobei Signale periodisch x 3[l] = x 1[n] x 2[l n] 4

5 11. abellen Additionstheoreme Reihenentwicklungen i = 1 = e i π 2 tan x = 1 + tan 2 x sin 2 x + cos 2 x = 1 cosh 2 x sinh 2 x = 1 cos(z) = cos(x) cosh(y) i sin(x) sinh (y) Doppelter und halber Winkel sin(z) = sin(x) cosh(y) + i cos(x) sinh (y) Umformung einer Summe in ein Produkt Summe der ersten n-zahlen Umformung eines Produkts in eine Summe Geometrische Reihe 5

6 Fourier-Korrespondenzen Laplace- Korrespondenz Winkel - Werte Eigenschaften der Fourier-ransformation Eigenschaften der Laplace-ransformation Partialbruchzerlegung (PBZ) Reelle ullstellen n-ter Ordnung: A 1 (x a k ) + A 2 (x a k ) Paar komplexer ullstellen n-ter Ordnung: A n (x a k ) n B 1 x + C 1 (x a k )(x a k ) + + B n x + C n [(x a k )(x a k )] n + (x a k )(x a k ) = (x Re) 2 + Im 2 6

7 Ableitungen Stammfunktionen Standard-Substitutionen 7