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2 Systemeigenschaften Linearität Additivität S { f t f 2 t}=g t g 2 t Homogenität S { f t}= g t Zeitinvarianz S { f t t 0 }=g t t 0 t h t Gedächtnis Ausgangssignal hängt nur vom momentanen Wert f(t) ab Invertierbarkeit an kann jederzeit f(t) durch g(t) berechnen (BIBO-)Stabilität f t B f g t B g Kausalität Der Ausgangszustand hängt nur von LI h t=0 t0 Realisierbare Systeme: LI-Systeme: Analoge estsignale vergangenen &aktuellen Werten ab stabil & kausal linear & zeitinvariant Deltaimpuls t ={ 0 t 0 t=0, tdt= Sprungfunktion t ={ 0 t0 t 0 t Es gilt t = d t= d t dt Funktion x d e t umformen zu x±a t±b und 'von aussen nach innen' analysieren (zuerst Streckung/Spiegelung a betrachten, dann horizontale Verschiebung b) f t= f g t f u t f g t = f g t f u t= f u t f g t = f t f t 2 f Beschreibung analoger linearer Systeme im Zeitbereich Impulsantwort S { t}=h t g t= f ht d = f ht mit Siebeigenschaft t f tdt= f 0 t = u f t f t 2 graphische Faltung: h(τ) spiegeln, h(-τ) verschieben, h(τ-t) mit f(τ) multiplizieren, (h(τ-t) * f(τ)) integrieren Eigenschaften: f ht = h f t f h h 2 t = f h t f h 2 t t t =0 t0 f h h 2 t = f h h 2 t x h t 2=xt 2 h y' =x ' h=x h ' Sprungantwort S { t}=a t a t= t h d = t hd ht = d a t dt Gedächtnis Ein LI-System ist gedächtnislos wenn gilt g t =K f t ht =K t BIBO-Stabilität f t t Kausalität g t h f t d wenn h d setze f =sign h g 0= h signh d = h t=0 t0 g t= g0 h d h f t d = 0 h f t d g Fkt. von f(t-τ) für τ>0 mmueri@ee.ethz.ch V.6 /4

3 Beschreibung analoger linearer Systeme im Frequenzbereich Eigenfunktionen analoger linearer Systeme f t=e j t g t=e j t j he d H j t Die Antwort eines LI-Systems auf ein harmonisches Eingangssignal ist wieder ein harmonisches Signal mit der gleichen Frequenz ω und einer komplexen Amplitude H(jω) Der Frequenzgang H(jω) ist gleich der Fourier-ransformierten der Impulsantwort h(t). f t=e j t ist die Eigenfunktion des LI-Systems, H j =gt / f t f t=e j t der zugehörige Eigenwert. f t=e st s= j g t=e st s h e d Hs Rs={ 0 zeitlich abklingende Einhüllende =0 zeitlich konstante Einhüllende 0 zeitlich anklingende Einhüllende Die Übertragungsfunktion H(s) des LI-Systems ist gleich der Laplace-ransformierten der Impulsantwort h(t) Eigenschaften des Frequenzganges i. H j =H R j H I bei reellwertigen Systemen h(t) gilt die Hermitesche Symmetrie: H R =H R H I = H I ii. Betrag & Phase: H j =A e j bei reellwertigen Systemen gilt A=A = 2k k Z iii. Sinusförmiges Eingangssignal: bei reellwertigen Systemen gilt (wegen (i)) f t=cost 0 = 2 e j t e j 0 2 e j t e j 0 g t = H j cost 0 arg {H j } iv. g t = 2 H j e j t e j 0 2 H j e j t e j 0 Bei stabilen LI-Systemen ist H(jω) beschränkt: H j = h t e j t dt ht dt v. Einschaltvorgang: f t=e j t t g t= g t t e j t H j vi. j t t h g t d =e h e j Der Frequenzgang H(jω) eines stabilen LI-Systems ist gleichmässig stetig in ω. (Unstetigkeit instabil) vii. Kaskadierung von LI-Systemen h t=h h 2 t H j =H j H 2 j Bsp: R-C Serieschaltung: u E t =e j t, u A t =H j e j t u E =RC u A u A e j t = j RC H j H j e j t H j =/ j RC mmueri@ee.ethz.ch V.6 2/4

4 Fourier-ransformation j F j = f te t dt= F { f t} f t = j F j e t d = F {F j } 2 absolut integrierbar und stetig mit endlich vielen inima/axima & Sprungstellen Faltungsbeziehung: g t = f ht G j =H j F j Beweis S.27 Skript Eigenschaften der Fourier-ransformation i. Linearität: a f(t)+ b g(t) a F(jω) + b G(jω) Beweise S.23 Skript ii. Symmetrie: f*(t) F*(-jω) f(-t) F(-jω) für reellwertige f(t) gilt F(jω) F*(-jω) iii. Zeitverschiebung: f(t-t 0) e j t0 F jω iv. Frequenzverschiebung: f t e j 0t F(j(ω-ω 0 )) v. Differentiation: d f t dt jω F(jω) t vi. Integration: f d F j F 0 j vii. asstabsänderung: f(at) a F j a viii. Parseval'sche Relation: f t 2 dt= F j 2 d 2 ix. ultiplikation im Zeitbereich: f t f 2 t Einige Fourier-ransformierte Delta-Funktion: F {t}= t= e j t d 2 Sprungfunktion: F {t }= j Rechteckimpuls: Cosinus: sin F j =2 F {cos0 t}= 0 0 Fourierreihen Harmonische Analyse von Signalen F j ' F 2 j ' d '= 2 F F 2 j Die kürzeste Periodendauer eines periodischen Signals nennen wir fundamentale Periodendauer. Die Funktion hat dann die Grundfrequenz /. Fourierreihe: f t= c k e j k 2 Fourier-Koeffizienten: c k = 0 t = c k e j k 0t 0 = 2 f t e j k 0t dt Integral = (,0)? mmueri@ee.ethz.ch V.6 3/4

5 Eigenschaften der Fourierreihe i. Bedingungen für die Existenz: absolute Integrierbarkeit über das Grundintervall f t dt 0 endliche Anzahl von axima, inima und Sprüngen in jeder Fundamentalperiode ii. Linearität a f t a 2 f 2 t a c,k a 2 c 2, k falls f und f 2 die gleiche Periode besitzen iii. konjugiert komplexe Funktionen f t c k iv. reelle Funktionen c k c k v. Spiegelung f t c k vi. gerade Funktionen f t= f t c k =c k reine Cosinusreihe: f t=c 0 2 c k cosk 0 t (falls f periodisch) k= vii. ungerade Funktionen f t= f t c k = c k reine Sinusreihe: f t=c 0 2 j c k sin k 0 t (falls f periodisch) k = viii. Zeitverschiebung f t t 0 c k e j k 0t 0 ix. Differentiation f ' t j k 0 c k x. Integration f d xi. Periodische Faltung 0 t f f 2 t d xii. ultiplikation im Zeitbereich f t f 2 t xiii. Parseval'sche Relation Periodische Signale an LI-Systemen Spektrum period. Signale: Poissonsche Summenformel: Impulskamm: 0 c k j k 0 c 0 =0 l = f t 2 dt= ck 2 k= c,l c 2, k l c, k c 2, k S Periodische Signale haben ein Linienspektrum f t= c k e j k 0t F j = c k F {e j k 0t }= 2 c k k 0 k= k = k = e j k 0t H j k 0 e j k 0t c k e j k 0t c k H j k 0 j k 0t Das Ausgangssignal ist periodisch mit Fourier-Reihenkoeffizienten c k H j k 0 k = h t k = H j k 0 e j k 0t, k= 0 = 2 Regt man das LI-System periodisch mit δ-impulsen an, so bekommt man äquidistante Abtastwerte des Frequenzgangs ( näherungsweise experimentelle Bestimmung des Frequenzgangs) F { k= t k } = 2 k= k 0 (mit Poissonscher Summenformel) Die Fouriertransformierte eines Impulskammes ist wieder ein Impulskamm mmueri@ee.ethz.ch V.6 4/4

6 Laplace-ransformation Ein LI-System antwortet auf ein harmonisches Eingangssignal mit der komplexen Frequenz s= j mit einem harmonischen Ausgangssignal der gleichen komplexen Frequenz multipliziert mit der Übertragungsfunktion an der Stelle s: g t =H se st e st s= j sind Eigenfunktionen von LI-Systemen mit den zugehörigen Eigenwerten H(s). Beschreibung von instabilen Signalen und Signalen wo die Fouriertransformation versagt. f t=e st g t= h f t d = h e st e s d =e st h e s d =e st H s Die zu einer Zeitfunktion x(t) korrespondierende Laplace-ransformierte X(s) ist gegeben durch: X s= x t e st dt X j = x t e t e j t dt=f {xt e t } Eigenschaften der Laplace-ransformation Die Laplace-ransformation an der Stelle j ist die Fourier-ransformierte des Signals f te t F s= f t e st dt= f t e j t dt= F j = F { f te t } [ f te t ]e j t dt Die Laplace-ransformierte für s=jω ist die Fouriertransformierte des Signals f(t) F j = f t e j t dt=f j Die Laplace-ransformierte benötigt neben dem algebr. Ausdruck X(s) auch ein Konvergenzgebiet z.b. x t =e a t t X s= e a st t dt= e as t dt= R{s} a 0 as Es muss gelten R{s}a0 da exp at exp j t konvergieren muss Für a 0 existiert die Fouriertransformierte nicht, wohl aber die Laplacetransformierte X(s) ist rational, wenn x(t) eine Linearkombination von komplexwertigen Exponentialfunktionen ist Die Übertragungsfunktion von LI-Systemen spezifiziert durch lineare DGL mit konstanten Koeffizienten ist eine rationale Funktion in s. Gilt X(s)=p(s) / q(s) werden die ullstellen von p(s) mit o, diejenigen von q(s) mit x bezeichnet (=Pole) Doppelte Pole werden mit # bezeichnet, doppelte ullstellen mit zwei Kreisen Liegen ein Pol und eine ullstelle auf einem Punkt, löschen sie sich gegenseitig aus z.b. t t e s /s ROC ist ganz C da X s= ss 2 /2.../s x R x t=x t X s= X s s3 s xxx xxx 3 xxx einfacher! as umformen um Polstellen zu finden! a s mmueri@ee.ethz.ch V.6 5/4

7 Konvergenzgebiet i. Das Konvergenzgebiet (ROC) von X(s) besteht aus jenen Werten s für die xt e t absolut integrierbar ist, d.h. x t e t dt s ROC ii. iii. Für rationales X(s) enthält das Konvergenzgebiet keine Pole: X s= x t e st dt= an einem Pol s. Laplace-Integral konvergiert nicht Für absolut integrierbares x(t) mit endlicher Länge ist das Konvergenzgebiet die gesamte s-ebene: 2 2 x t e st dt mit x t dt iv. Wenn x(t) rechtsseitig ist und die Gerade R{s}= 0 im Konvergenzgebiet liegt, dann sind sämtliche s, für die R{s} 0 gilt, ebenfalls im ROC enthalten. Konvergenzgebiet ist eine rechte Halbebene Beweis: für σ >σ 0 ist x t e t absolut integrierbar: x t e 0t dt x t e 0t dt v. Wenn x(t) linksseitig ist und die Gerade R{s}= 0 im Konvergenzgebiet liegt, dann sind sämtliche s, für die R{s} 0 gilt, ebenfalls im ROC enthalten. Konvergenzgebiet ist eine linke Halbebene vi. Wenn x(t) zweiseitig ist und die Gerade R{s}= 0 im Konvergenzgebiet liegt, dann besteht das ROC aus einem Streifen in der s-ebene der R{s}= 0 beinhaltet. Das zweiseitige Signal x(t) kann in einen rechts- und einen linksseitigen Anteil aufgespalten werden: x t =x r tx L t Streifen Bsp: xt =e b t = e b t t e b t t, b R e b t t sb, R {s} b e bt t s b, R {s}b b0 : R{s} b R{s} b kein gemeinsames Konvergenzgebiet keine L b0 : e b t sb s b = 2b s 2 b s br{s}b Ist ein Signal weder rechts- noch links- noch zweiseitig, existiert keine Laplace-ransformierte. vii. Wenn die Laplace-ransformierte X(s) rational ist, wird das Konvergenzgebiet entweder durch Pole beschränkt oder es erstreckt sich ins Unendliche. Zusätzlich gilt, dass das Konvergenzgebiet keine Pole enthält. viii. Wenn die Laplace-ransformierte X(s) rational und x(t) rechtsseitig ist, dann ist das Konvergenzgebiet die Halbebene rechts desjenigen Pols, der am weitesten rechts liegt. Wenn x(t) linksseitig ist, dann ist das Konvergenzgebiet die Halbebene links desjenigen Pols, der am weitesten links liegt. X H ROC =ROC x ROC H stabil: Rs=0 ROC kausal: s= ROC rechtsseitig antikausal: s= ROC linkss X s kausal Umkehrung der Laplace-ransformation xt e t =F {X j }= X j e j t d xt = X j e j t d 2 2 j x t = X se s t ds 2 j j mmueri@ee.ethz.ch V.6 6/4

8 Wird selten so angewendet, Resultat sollte von σ unabhängig sein! Rücktransformierung echt gebrochen-rationaler Funktionen X s= ps q s = X s X s... X 2 l s Partialbruchzerlegung! X i s= A 0 s s i r A s s i r... A r s s i s i = ullstellen von q s x t n ROC s n n! e t x t x={ ROC Anwendung der Laplace-ransformation auf LI-Systeme Bei einem System mit Impulsantwort h(t) und Ein-/Ausgangssignal f(t),g(t) gilt: G s=f sh s i. Kausalität h t=0 t0 h(t) ist rechtsseitig Das ROC der Übertragungsfunktion eines kausalen LI-Systems ist eine rechte Halbebene. (Umkehrung gilt i.a.nicht!) gebrochen-rationales H(s) ROC=rechte Halbebene jenseits des am weitesten rechts liegenden Poles. beweis ii. Stabilität Ein kausales LI-System mit gebrochen-rationalem H(s) ist stabil dann und nur dann, wenn alle Pole von H(s) in der linken Halbebene der s-ebene liegen, d.h. alle Pole haben einen negativen Realteil. beweis iii. k d Anwendung auf System-DGL g t d b k = f t a k =0 dt k k b k =0 dt k k s G s= a k s F s k k =0 H s= G s = k =0 F s b k s k bsp. k=0 ak s k k=0 iv. Zusammenschaltung von LI-Systemen parallel h t=h th 2 t H s=h s H 2 s seriell h t=h h 2 t H s=h s H 2 s {ullst. sind Lsg. von k=0 Polst. sind Lsg. von k=0 b k s k ak s k Idealisierte iefpasssysteme Allpass: verzerrungsfreies System mit H j =k e j t 0 g t =k f t t 0 G j =k e j t 0 F j es gilt H j = k =const. = t 0 h t=k t t 0 linear, stabil, kausal & zeitinv. idealisierter iefpass: H j ={ g 0 g = t 0 Impulsantwort: h t= g si g t t 0 x si x:=sin x mmueri@ee.ethz.ch V.6 7/4

9 Sprungantwort: at = weder kausal noch stabil (H ist unstetig) die ersten 'Überschwinger' erreichen ca 20% des Hauptanteils (unabh. von ω g) t h=h h 2 h d = 2 Si t t Si x:= t sinu g 0 0 du u a= maximale Steigung ist endlich f g = g /2 Ein iefpass mit einer höheren Grenzfrequenz kann der Signaländerung rascher folgen Der erste Überschwinger überschreitet den Endwert um 9% (Gibbsches Phänomen) Um den iefpass kausal zu machen muss h(t) nach rechts verschoben und für t<0 zu ull gesetzt werden. h kaus t=h id t t 0 t H kaus j = 2 e j t 0 H j j Um den iefpass stabil zu machen dürfen keine unendlichen Steigungen vorkommen: H stab j =H id H gl j h stab t =h id t h gl t= 2 si t t si' t 2 g g 0 g t t 0 t dabei hat H gl j den Betrag /2' g für ' g ' g g h stab ist absolut integrierbar Der ideale Cosinustiefpass Im Durchlassbereich werden Schwankungen zugelassen: H j ={ab cos n g = t 0 H j =2 g ab 2 e j n n j g b 2 e g p [ g, g ] e j t 0 { g 0 g /2 g g 0 sonst Parallelschaltung von idealen P: { H,} : {a, t 0 } {b/2, t 0 n / g } {b /2, t 0 n/ g } Impulsantwort: h t= b 2 h i t n g a h i t b 2 h i t n g h i t= g si g t t 0...hat ein voreilendes Echo bei t=t 0 n und ein nacheilendes bei t=t 0 n g g Der Hauptwert hat Betrag a g /, die Echos b g / 2 Idealisierter iefpass mit Phasenverzerrungen = b n sin n n= g Fourier-Reihe der Phase im Intervall [ g, g ] : aylor-entwicklung: e j j b n sin n = n= g n= b n 2 e j n g b j n 2 e n g g h t=h id t e j Beliebige Betragsschwankungen (Dämpfungsschwank.) im Frequenzgang führen in der Impulsantwort zu symmetrisch liegenden vor- und nacheilenden Echos von gleicher Amplitude und gleichem Vorzeichen. Kleine Phasenschwankungen im FG führen in der IA zu... gleicher Grösse mit verschiedenen Vorzeichen. mmueri@ee.ethz.ch V.6 8/4

10 Abtasttheoreme Übergang von analogen zu digitalen Signalen Abtastung durch Dirac-Kamm t= k= t k : F j = F { f t t}= 2 F j j f t f t t= k= f k t k = f t mit j = F {t} (siehe Impulskamm auf S.4) und F j 0 =F j 0 ergibt sich F j = k= F j 2 k Die Zeitliche Abtastung des Signals ergibt ein periodisches Spektrum, das durch periodische Wiederholung des ursprünglichen Spektrums F j entsteht. 2 periodisch Die Originalfunktion f t lässt sich durch einen idealen P mit der Grenzfrequenz g und der Passbandamplitude aus f t ohne Verzerrungen wiedergewinnen falls die Abtastfrequenz grösser ist als 2 mal die höchste im Originalsignal vorkommende Frequenz, d.h. f s 2 f g da 2/ g g Ist die Abtastfrequenz zu klein (Unterabtastung) tritt eine Überfaltung (Aliasing) der verschobenen Spektren ein) und eine verzerrungsfreie Rekonstruktion des Originalsignals ist nicht mehr möglich. kritische Abtastung Überabtastung Unterabtastung Interpretation als Interpolation =/2 f g /2 f g /2 f g Aliasing Ist f t bandbegrenzt mit Bandbreite g und das Abtasttheorem erfüllt ist 2/ 2 g kann f t durch eine iefpass-filterung eindeutig aus seinen Abtastwerten rekonstruiert werden. g t = f t t h P t = f t k = f t= g t k h P t= k = k= f k sin g t k g t k f k t k h P t= k = 2 2 g f k h P t k Bei kritischer Abtastung hat h P t ulldurchgänge bei ganzzahligen Vielfachen der Abtastperiode. f l = f k sin g l k = f k [l k ]= f l k= g l k k= abgetastete sint/t Funktion 2 f = = = 2, f s = 2 s s Halteglieder Kreieren eine approximierte Funktion aus den diskreten Werten Halteglied 0.Ordnung: t t reppenfunktion Halteglied.Ordnung: t t t t t t x t= xn h 0 t n mmueri@ee.ethz.ch V.6 9/4

11 Zeitdiskrete Fouriertransformation f [n]= f n t f [n]= j F e e j n d Beweis S.6 2 Zeitdiskrete Fouriertransformation: F e j = n= mit Umkehrformel: f [n]= 2 f [n ]e j n F e j e j n d Eigenschaften der zeitdiskreten Fourier-ransformation i. Existenz n= f [n] F j e = n= mit relativer Frequenz = =2 f f s es muss gelten f s 2 f f 2 2 f [n] e j n n= f [n ] e j n ii. 2π-Periodizität Das Spektrum F e i ist 2π-Periodisch: F e i 2 =F e i Der Bereich unterscheidbarer Frequenzen ist bei zeitdiskreten Signalen streng auf ein Intervall der Länge 2π beschränkt. iii. Spektrum F e j = F a j 2 k 2 f k = Das Spektrum eines abgetasteten Signals setzt sich zusammen aus der Überlagerung verschobener Versionen des Spektrums eines kont. Signals. iv. ultiplikation f [n]=x [n] y[n] F e j = X e j Y e j d 2 Ausgewählte Signale und deren zeitdiskrete Fourier-ransformierte Delta-Funktion [n ]={ n=0 0 sonst Sprungfunktion [n ]={ n 0 0 sonst [n ] [n ] e j k= 2 k= e j 2 f s Jedes zeitdiskrete Signal lässt sich als eine gewichtete Summe von verschobenen Deltafolgen darstellen: f [n]= f [k ] [n k ] k= Sinussignale e j 0n sin 0 n j 2 0 j 2 0 (period. Faltung) Beweis S.64 2π-periodisch cos 0 n Spezialfall: cos0 n= 2 2 mmueri@ee.ethz.ch V.6 0/4

12 Zeitdiskrete Systeme S { f [n ]=g [n]} Systemeigenschaften i. Linearität S { f [n] f 2 [n]}=s { f [n]}s { f 2 [n]}=g [n]g 2 [n] ii. Zeitinvarianz S { f [n n 0 ]}=g [n n 0 ] n 0 Z iii. Gedächtnis & Invertierbarkeit wie bei analogen Systemen iv. Stabilität Falls das Ausgangssignal bei jedem beliebigen beschränkten Eingangssignal f [n] immer beschränkt bleibt ist das System BIBO-stabil: f [n ] F g [n] G v. Kausalität & Realisierbarkeit wie bei analogen Systemen Zeitdiskrete LI-Systeme Impulsantwort: h [n]=s {[n ]} f [n]= f [k ] [n k ] g [n]=s { f [n]}= f [k ]S {[n k]} mit Linearität k= k= = f [k ]h[n k ] mit Zeintinvarianz k= Im Frequenzbereich gilt G e j = F e j H e j Sprungantwort: Parallelschaltung: h [n]h 2 [n ] Serienschaltung: Stabilität: a [n]= [k ]h [n k ] [n ]=[ n] [n ] h [n]=a [n] a [n ] k = h h 2 [n] Zeitdiskrete LI-Systeme sind stabil dann und nur dann, wenn die Impulsantwort absolut summierbar ist: h [n] n= Kausalität: Ein zeitdiskretes LI-System ist kausal, wenn h [n]=0 n0 Beschreibung von LI-Systemen über Differenzengleichungen Eine wichtige Klasse von zeitdiskreten LI-Systemen kann durch Differenzengleichungen (DGL in t) der Form k =0 Bsp: a k g [n k ]= b m f [n m] beschrieben werden. n g [n ]= m=0 f [ k ] g[n ]= f [n ]g [n ] rekursives System Dieses System ist nicht BIBO-stabil, da z.b. für f [n]=[n ] die Funktion g [n ] nicht beschränkt ist Implementierung zeitdiskreter LI-Systeme und digitale Filterstrukturen Durch Verwendung der Elemente: + Addition x [n]x 2 [n ] a ultiplikation a x[n] z Zeitverzögerung x [n ] und einer Schaltung mit einem nichtrekursiven und einem rekursiven eil erhalten wir folgende Funktionalität: g [n ]= k= a k g [ n k ] k = b m f [n k ] x[n-] mmueri@ee.ethz.ch V.6 /4

13 Die z -ransformation FIR finite impulse response: BIBO-stabil IIR infinite impulse response Z {x [n]}= X z= x[n] z n z C Interpretation als Fourier-ransformation: z=r e j für r= erhalten wir X z=x e j Konvergenzgebiet Die Werte von z, für die X(z) konvergiert, d.h. x[n n ]r n= Konvergiert X z für z=z, so konvergiert X z für alle z mit z = z. beidseitiges Signal ROC = Kreisring mit 0 R z R 2. rechtsseitiges Signal ROC = Kreisring mit R 3. linksseitiges Signal ROC = Kreisscheibe mit R =0 4. Signal endlicher Länge ROC = gesamte Ebene (evtl. Ausnahmen: z ={0, } Eigenschaften i. Linearität Z {a x[ n]b y [ n]}=a X zb Y z ROC ROC x ROC y ii. Zeitverschiebung Z {x[n n 0 ]}= z n0 X z iii. Faltung y[n]=x [n] h [n] Y z= X z H z iv. Umkehrformel x [n ]= X z z n dz 2 j C Berechnen der Übertragungsfunktion k =0 a k g [n k ]= b m f [n m] G z H z= m=0 bm z m Z k a k z G z= b m z k=0 m=0 = m=0 H e j m=0 = F z a k z k a k e j k k =0 k =0 bm e j m m F z Die Impulsantwort erhält man durch Rücktransformation: h [n]=z {H z} Zur eindeutigen Festlegung von h[n] benötigt man: Kausalität rechtsseitiges h [n] ROC{H(z)} ausserhalb des Poles mit dem grössten Betrag Stabilität Einheitskreis liegt im Konvergenzgebiet h [n] h[n] n z z = n= n = Bestimmung der Impulsantwort für Systeme mit rationalem H(z) betrachte nur Systeme mit Polen der Vielfachheit H z= H z= B r z r r =0 falls k =0 k= A k d k z kausal b k z k h[n]={ b n 0 n 0 sonst h [n]= r =0 B r [n r ] A k d n k [n] k = Zusammenschaltung von LI-Systemen, Beschreibung über H(z) Serienschaltung: H z=h z H 2 z Parallelschaltung: H z=h zh 2 z Rückkopplung: F zh 2 zg z H z=g z H z H z= H z H 2 z mmueri@ee.ethz.ch V.6 2/4

14 Anhang I f(t) F(jω) F(s) F(z) kausal h t=0 t0 rechtsseitig, s= ROC stabil ROC ausserhalb des Poles mit grösstem Betrag mehr Pole als ullstellen h d stetig & beschränkt Rs=0 ROC z = ROC Gedächtnislos nur aktueller Wert! LI: h t=c t Eigenfkt. xt =e t C yt= H xt auch x=sin t x=cos t R xt =e s t yt= H s x t H z=konstant x[n ]=z n y[n]=h z x[n] Eigenfunktion (Bsp): x[n ]=2 n y[n]= h[n ] x[n k ]= h[n] 2 n k =2 n h[n] 2 k 2 ROC = 2 n H 2 ransformationen F j F e j : = F j F s: s= j F z F e j : z=e j Wandlung D/C e t= d [k ] t k E j = d [k ]e j k =De j k= k= Abtastung k = k = p t k = p t t k P j k = 2 f k p t k = p t k = P j 2 F j 2 k= 2 k f k t k = p t f t k= 2 k 2 = k = k= = P j k = t k F j 2 k P j 2 k 2 k Anhang II sin k =[k ] k Geometrische Reihe: Partialbruchzerlegung: q n = qn n=0 q falls q : n=0 q n = q s = A s 2 s s B s C 2 s H s =C s= H s 2 s= =B H mmueri@ee.ethz.ch V.6 3/4

15 Anhang III Expander x 2 [n ]={ x [ n/2] n gerade 0 sonst X 2 e j = x 2 [n]e j n = n= k= n /2 =k x 2 [2k ]=x [k ] x 2 [2k ]e j 2k = x [ k]e j 2k =X e j 2 n= falls X = /2 X 2 = 2 / 2 / 4 mit iefpass: X e j2 H P/ 4 /4 2 /2 Phase arg A B=arg AargB, arg j = arctan mmueri@ee.ethz.ch V.6 4/4