Elektromagnetische Verträglichkeit

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1 Elektromagnetische Verträglichkeit Dipl.-Phys. Jörg Petzold, Prof. Dr.-Ing. Ralf Vick Aufgabenheft Inhalt Thematik Aufgabennummer Rechnen in db 1 Gleichtakt und Gegentakt 2, 3 Fourierreihe und Fouriertransformation 4, 5 Elektrische Größe 24 Kopplungen 6, 7, 8, 9, 20, 21 Elektromagnetische Felder 10, 11 Abstandsumrechnung 12, 13 Feldimpedanz 14 Schirmung 15, 16, 17 Filterung 18, 19 Computerübungen 20, 21, 22, 23 Lizenz: c b a CC BY-SA 3.0 (Namensnennung, Weitergabe unter gleichen Bedingungen)

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3 Aufgabe 1: Rechnen in db In der Elektrotechnik und speziell auf dem Gebiet der elektromagnetischen Verträglichkeit werden Messwerte oft als Pegel in db angegeben. Für einen Leistungspegel L gilt die einfache Definition wobei P die Nennleistung und P 0 die Bezugsleistung ist. L P/P0 = 10 log 10 ( P P 0 ) db, (1.1) a) Geben Sie die Leistung 100 W als Leistungspegel in db (mw) an. b) Geben Sie die Spannung 50 nv als Spannungspegel in db (µv) an. c) Geben Sie den Leistungspegel 20 db (mw) als eine Leistung in nw an. d) Wie groß ist der Gesamtleistungspegel, wenn zwei Leistungen mit einem Pegel von 30 db (mw) und 30 db (mw) kombiniert werden? e) Diskutieren Sie die Vor- und Nachteile der Angabe von Messgrößen in db. Aufgabe 2: Gleichtakt- und Gegentaktspannung An einem Ende einer Zweidrahtleitung über einer Masseebene wurde eine Spannung von u 1 (t) = 100 mv cos (ωt + 20 ) zwischen dem Hinleiter und der Masseebene gemessen. Die Spannung zwischen dem Rückleiter und der Masseebene ist am selben Ende u 2 (t) = 120 mv cos (ωt + 30 ). a) Wie groß ist die Gegentaktspannung u dm (t)? b) Wie groß ist die Gleichtaktspannung u cm (t)? Hinweis: Es ist nützlich, 1. die Zeitfunktionen der gegeben Spannungen in komplexe Zeiger umzuwandeln, 2. die gesuchten Spannungen als komplexe Zeiger zu berechnen, und 3. das Ergebnis in den Zeitbereich zurück zu transformieren. Schematische Darstellung einer Zweidrahtleitung über einer Masseebene: 3

4 R L/2 u dm (t) u 1 (t) R L/2 u cm (t) u 2 (t) Aufgabe 3: Gleichtakt- und Gegentaktstrom An einem Ende einer Zweidrahtleitung wurde ein Gegentaktstrom von i dm (t) = 200 ma cos (ωt + 50 ) gemessen. Der Gleichtaktstrom am gleichen Ende beträgt i cm (t) = 25 ma cos (ωt ). Wie groß sind die Ströme i 1 (t) im Hinleiter und i 2 (t) im Rückleiter? Bitte beachten Sie hier ebenfalls die Hinweise aus Aufgabe 2! Schematische Darstellung einer Zweidrahtleitung: i cm (t)/2 i dm (t) i cm (t)/2 i dm (t) Aufgabe 4: Fourierreihe Die Fourierreihe wird genutzt, um eine periodische Funktion als eine Summe aus Kosinusund Sinusfunktionen darzustellen. Eine übliche Definition ist: f(t) = a k=1 a k cos(kω 0 t) + b k sin(kω 0 t). (4.1) Die Kreisfrequenz ist definiert als ω 0 = 2π /T, wobei T die Periodendauer der Funktion ist. 4

5 Die Koeffizienten a k und b k sind gegeben durch: a k = 2 T b k = 2 T f(t) cos(kω 0 t) dt, (T ) (T ) f(t) sin(kω 0 t) dt. (4.2a) (4.2b) Als Beispiel soll der folgende Spannungsverlauf einer periodischen Rechteckpulsfolge untersucht werden: u(t) u 0 T τ T τ /2 τ/2 T t a) Berechnen Sie die Koeffizienten a k und b k bei allgemeinem T und τ! b) Vereinfachen Sie die resultierende Fourierreihe für τ /T = 0,5! c) Zeichnen Sie die Grundwelle und die Harmonischen für τ /T = 0,5 bis k = 5! Zeichnen Sie ebenfalls die jeweilige Summe aus der Grundwelle und den Harmonischen! d) Skizzieren Sie das diskrete Frequenzspektrum bis zu k = 10. e) Skizzieren Sie das diskrete Frequenzspektrum für τ /T = 0,2! Was hat sich im Vergleich zu dem Spektrum aus Teil d) geändert? Wie würde sich das Spektrum für noch kleinere Verhältnisse τ /T verändern? Aufgabe 5: Fouriertransformation Die Fouriertransformation wird benutzt, um eine beliebige Zeitfunktion in ihre spektralen Anteile zu zerlegen. Eine übliche Definition lautet: F (ω) = f(t) e jωt dt. (5.1) Hierbei bezeichnet f(t) die Zeitfunktion und F (ω) das dazugehörige Frequenzspektrum. 5

6 Die inverse Fouriertransformation konvertiert das Frequenzspektrum wieder zurück in den Zeitbereich. f(t) = 1 F (ω) e jωt dω. (5.2) 2π Als Beispiel soll ein einzelner Rechteckimpuls untersucht werden: u(t) u 0 τ τ /2 τ/2 t a) Berechnen Sie das kontinuierliche Spektrum U(ω). b) Zeichnen Sie das Spektrum für τ = 1 s, u 0 = 1 V und ωτ = 0 bis 8π. Aufgabe 6: Galvanische Kopplung Zwei Stromkreise teilen sich eine Kupferleitung als Rückleiter. Die Leitung hat einen Radius von r = 1 mm und eine Länge von l = 1 m. Die spezifische Leitfähigkeit von Kupfer beträgt κ = S m. a) Berechnen Sie den Gleichstromwiderstand der Leitung. b) Geben Sie eine Näherung für den durch den Skineffekt hervorgerufenen Wechselstromwiderstand der Leitung an. Dabei soll angenommen werden, dass der Strom nur noch auf einem Kreisring unterhalb der Oberfläche des Leiters fließt. Die Dicke des Rings entspricht der Skintiefe δ = 2 ωκµ. c) Berechnen Sie den Wechselstromwiderstand der Leitung für die Frequenzen f = 50 Hz, 5 khz, 500 khz und 5 MHz mit Hilfe der obigen Näherung und mittels Z approx (jω) = l κπr 1 + jωµκr2. (6.1) 2 4 d) Wie groß ist die, durch die galvanische Kopplung hervorgerufene, im zweiten Stromkreis induzierte Spannung bei diesen Frequenzen, wenn der Strom I = 1 A beträgt? 6

7 Aufgabe 7: Kapazitive Kopplung Die elektrischen Leiter zweier Nachrichtensysteme verlaufen über eine Länge von l = 2 km in einem Abstand von s = 30 cm parallel zueinander. Die Radien der Kupferdrähte betragen jeweils r 0 = 4 mm. Die spezifische Leitfähigkeit von Kupfer ist κ = S. Die Höhe m beider Leiter über der Erde beträgt h = 4 m. Die Erde stellt für beide Nachrichtensystem den Rückleiter dar und soll als unendlich gut leitend angesehen werden. Der erste Leiter wird von einer Spannungsquelle U 1 mit einem Innenwiderstand von R G1 = 600 Ω gespeist. Diese Leitung ist am anderen Ende mit einem Lastwiderstand von R L1 = 600 Ω abgeschlossen. Die Spannung U 1 ist eine Wechselspannung mit einer Frequenz von f = 1 khz. Kapazität einer langen Paralleldrahtleitung: C = πεl ln s r 0 für s r 0 (7.1) Kapazität einer langen Einzelleitung über einer Massenebene: C = 2πεl ln 2h r 0 für h r 0 (7.2) a) Skizzieren Sie ein Ersatzschaltbild und ermitteln Sie alle Ersatzbauelemente. b) Wie groß ist die in den zweiten Leiter kapazitiv eingekoppelte Störspannung U 2 bezogen auf U 1, wenn der Leiter 2 unbelastet ist (d. h. offene Enden an beiden Leitungsenden)? c) Wie groß ist die in den zweiten Leiter kapazitiv eingekoppelte Störspannung U 2 bezogen auf U 1, wenn der zweite Stromkreis analog zum ersten mit R G2 = 600 Ω und R L2 = 600 Ω abgeschlossen ist? Bei den Berechnungen sind begründete Näherungen zulässig Aufgabe 8: Induktive Kopplung In einem ersten Stromkreis fließt ein Störstrom von I 1 = 4 A bei einer Frequenz von f = 10 khz. Dieser erste Stromkreis besteht aus den parallel verlaufenden Leitern 1 und 2, die h = 50 mm voneinander entfernt sind. Ein zweiter Stromkreis, der aus den Leitern 3 und 4 besteht, verläuft über eine Länge von l = 2,5 m parallel zum ersten Stromkreis. Dabei beträgt der Abstand zum ersten Stromkreis s = 50 mm. 1 s 13 3 h s 14 s 23 2 s 24 s 4 7

8 Unter der Bedingung, dass die Radien der Leiter klein gegenüber dem Abstand zwischen den Leitern sind, gilt für Gegeninduktivität M = µ ( ) 0l 2π ln s14 s 23, (8.1) s 13 s 24 wobei s nm den Abstand zwischen Punkt n und m bezeichnet. a) Berechnen Sie die Spannung U 2, die durch induktive Kopplung in den zweiten Stromkreis induziert wird. b) Wie groß ist die Amplitude der induzierten Spannung u 2 (t) im zweiten Stromkreis, wenn im ersten Stromkreis während eines Schaltvorgangs eine maximale Anstiegsrate von 100 A µs auftritt? c) Wie groß ist die Entkopplung (als Wert und in db), wenn der Abstand zwischen den zwei Stromkreisen auf s = 100 mm verdoppelt wird? Aufgabe 9: Feldgebundene Kopplung Ein elektronische Schaltung erzeugt eine Störleistung von P = 100 µw bei einer Frequenz von f = 100 MHz. In einer Entfernung von r = 5 m befindet sich eine Rundfunkantenne, die als ein λ /2-Dipol beschrieben werden kann. Wie groß ist die maximale Leerlaufspannung, die in die Antenne eingekoppelt wird, wenn der störende Stromkreis einen Antennengewinn von G = 1,5 aufweist? Aufgabe 10: Reflexion von Wellen Eine ebene elektromagnetische Welle (horizontal polarisiert) fällt auf eine perfekt leitende metallische Ebene ein. Der Winkel zwischen Einfallsrichtung und Ebene beträgt β = 20. Die elektrische Feldstärke der einfallenden Welle hat einen Effektivwert von E = 1 V m. a) Welche Komponenten der Feldstärken (elektrisch, magnetisch) treten in der metallischen Ebene auf? b) Zerlegen Sie die einfallende Leitungsdichte in eine zur Ebene senkrechte und eine parallele Komponente. Wie groß sind diese Komponenten? c) Was passiert mit diesen Komponenten innerhalb der Ebene? Aufgabe 11: Dipol Bestimmen Sie die maximale Ladung, die sich an den Enden eines Hertzschen Dipols einstellt, a) allgemein als Gleichung und b) als Wert für die Parameter l = 1 m, f = 1 MHz und Î = 1 A. 8

9 Aufgabe 12: Abstandsumrechnung In einer Entfernung von r 1 = 3 m von einer elektrischen Quelle ist eine elektrische Feldstärke von E 1 = 10 mv bei einer Frequenz von f = 3 MHz gemessen worden. m Wie groß ist die elektrische Feldstärke E 2 in einer Entfernung von a) r 2 = 10 m bzw. b) r 2 = 25 m? Aufgabe 13: Abstandsumrechnung Eine Quelle erzeugt bei einer Frequenz von f = 1 MHz in einer Entfernung von r 1 = 200 m eine elektrische Feldstärke von E 1 = 46 db (µv/m). Es wir vermutet, dass die Quelle eine magnetische Quelle ist. a) Wie groß ist die magnetische Feldstärke H 2 in einer Entfernung von r 2 = 5 m? b) Als Quelle wird eine Signalschleife mit einem Radius von R = 30 cm ausgemacht! Wie groß ist der Effektivwert I des Stromes in dieser Schleife? Aufgabe 14: Feldimpedanz In einer Entfernung von 1 m vor einer Bildschirmoberfläche wurde eine elektrische Feldstärke von E = 83 db (µv/m) bei einer Frequenz von 22,5 khz gemessen. Wir groß ist die entsprechende magnetische Feldstärke, wenn man voraussetzt, dass es sich um eine a) elektrische Quelle oder b) magnetische Quelle handelt? Aufgabe 15: Schirmung Eine elektromagnetische Welle mit einem Effektivwert von E = 1 V und einer Frequenz m von f = 10 MHz trifft senkrecht auf eine Kupferplatte. Die Quelle des Feldes ist r = 10 m von der Platte entfernt. a) Wie groß ist der Reflexionskoeffizient R? b) Wie groß ist der Effektivwert der Stromdichte J 0 auf der Oberfläche der Kupferplatte? 9

10 Aufgabe 16: Schirmung Die Schirmdämpfung einer einzelnen metallischen Wand soll nach der Schirmtheorie von Schelkunoff berechnet werden. Das Material der Wand ist Aluminium mit einer Leitfähigkeit von κ Al = S. Die Dicke t = 15 µm der Wand ist sehr dünn (Aluminiumfolie). m a) Wie groß ist die gesamte Schirmdämpfung (durch Reflexion, Absorption und Mehrfachreflexionen innerhalb des Metalls) im Fernfeld einer weit entfernten Quelle bei einer Frequenz von f 1 = 100 MHz (z. B. ein UKW-Radiosender)? b) Wie groß ist die gesamte Schirmdämpfung, wenn die Frequenz auf f 2 = 2,4 GHz geändert wird (z. B. eine WLAN-Zugangspunkt oder ein Mikrowellenherd)? c) Wie groß ist die gesamte Schirmdämpfung für ein Hochimpedanzfeld bei einer Frequenz von nur f 3 = 4 khz (z. B. als Schaltfrequenz eines Frequenzumrichter für einen drehzahlvariablen Antrieb)? Der Abstand zwischen der Schirmwand und der Quelle beträgt r = 0,35 m. d) Wie groß ist die gesamte Schirmdämpfung für ein Niederimpedanzfeld bei der gleichen Frequenz und dem gleichen Abstand zur Quelle wie in c)? e) Wie groß ist die gesamte Schirmdämpfung für die gleichen Feldbedingungen wie in d), wenn Stahl mit einer Leitfähigkeit von κ Fe = 9, S als Wandmaterial benutzt m wird? Es wird angenommen, dass die relative Permeabilität bei der untersuchten Frequenz µ rel = 300 beträgt. f) Welche Dicke der Schirmwand muss gewählt werden, wenn mit der gleichen Feldund Materialparametern wie in d) und e eine minimale Schirmdämpfung von A min = 50 db erreicht werden soll? Welche Schirmmaterial würden Sie bevorzugen, wenn das Gewicht ein Kriterium ist? Beachten Sie, dass Stahl eine etwa dreimal höhere Dichte als Aluminium besitzt! g) Berechnen Sie die nötige Dicke der Schirmwand für eine Mindestschirmdämpfung von A min = 80 db! Welches Schirmmaterial würden Sie nun wählen? Aufgabe 17: Schirmung Ein Computergehäuse aus Stahl hat die Abmaße 305 mm 244 mm 190 mm und eine Wandstärke von t = 0,6 mm. a) Berechnen Sie die zu erwartende Schirmdämpfung einer einzelnen Gehäusewand bei einer Frequenz von 500 MHz unter Fernfeldbedingungen (exakt und näherungsweise)! b) Was ist der limitierende Faktor für Schirmdämpfungen in der Praxis? c) Wie könnte die Schirmdämpfung gemessen werden? d) Welche Probleme könnten bei höheren Frequenzen während der Messung auftreten? Bei welchen Frequenzen sind solche Probleme zu erwarten? Wie können diese gelöst werden? 10

11 Aufgabe 18: Berechnung eines L-C-Filters Das folgende L-C-Filter soll untersucht werden: R L U 1 R C U 2 a) Leiten Sie die Übertragungsfunktion U 2/U 1 der leerlaufenden Filters im Frequenzbereich her. b) Skizzieren Sie die frequenzabhängige Dämpfung A = U 1/U 2 für den Frequenzbereich von f = 10 khz bis f = 100 MHz für einen Widerstand R = 50 Ω, eine Induktivität L = 10 µh und eine Kapazität C = 10 nf in einen logarithmisch skalierten Diagramm (bitte benutzen Sie das leere Diagramm in Abbildung 1) Dämpfung, A in db ,01 0, Frequenz, f in MHz Abbildung 1: Frequenzabhängige Dämpfung des L-C-Filters c) Wie verändert sich die Dämpfung, wenn die parasitäre Kapazität zwischen den Windungen der Spule berücksichtigt wird? Dafür wird eine Kapazität C par = 1,25 pf in Parallelschaltung zu der Spule angenommen. 11

12 Aufgabe 19: Filterung Für eine Thyristorschaltung im Energieversorgungsnetz soll ein Tiefpassfilter entwickelt werden. Folgende Anforderungen sind gegeben: Das Filter soll die Grenzfrequenz f g = 200 Hz besitzen. Das Filter soll bei einer Frequenz von 10 khz eine Dämpfung von mindestens 60 db aufweisen. Die Quellenimpedanz Z G = 1 Ω ist vergleichsweise klein und die Lastimpedanz Z L = 1 kω ist vergleichsweise groß. Die Gleichspannungsverstärkung soll A 0 = 1 sein. Als Filter soll ein Butterworth-Filter verwendet werden. a) Welche Ordnung muss das Filter haben? b) Entwerfen Sie ein Schaltbild des Filters und begründen Sie die Anordnung der Filterelemente! c) Berechnen Sie die Werte der Filterbauelemente! Welche Probleme werden auftreten, wenn das Filter praktisch aufgebaut werden soll? Aufgabe 20: Galvanische Kopplung in MATLAB Die gleichen Berechnungen wie in Aufgabe 6 sollen mit Hilfe einer Numeriksoftware wie MATLAB, Octave oder Python wiederholt werden. a) Definieren Sie Variablen für den Radius des Drahtes (in m), die Länge des Drahtes (in m), die Leitfähigkeit von Kupfer (in S m ) sowie die Permeabilität (in V s A m ) und berechnen Sie den Gleichstromwiderstand (in Ω). b) Berechnen Sie für eine einzelne Frequenz von f = 500 khz die Kreisfrequenz (in 1 s ), die Skintiefe (in m), den Wechselstromwiderstand des Drahtes (in Ω) unter der Annahme, dass der Strom nur in einem Kreisring fließt, und den Wechselstromwiderstand des Drahtes (in Ω) als Realteil der angenäherten Wechselstromimpedanz des Drahtes. 12

13 c) Wiederholen Sie die Berechnungen von Schritt b für 500 logarithmisch gestufte Frequenzen zwischen 50 Hz und 5 MHz. Stellen Sie den berechneten Wechselstromwiderstand als Funktion der Frequenz in einem doppelt-logarithmisch skalierten Diagramm dar. Aufgabe 21: Kapazitive Kopplung in LTspice Die gleichen Berechnungen wie in Aufgabe 7 sollen mit Hilfe eines Netzwerksimulators wie LTspice (von wiederholt werden. a) Zeichnen Sie das Ersatzschaltbild der kapazitiv verkoppelten Leiteranordnung als Schaltkreis in LTspice. Hinweise: Eine ideale Spannungsquelle kann unter Edit, Component und voltage gefunden werden. Die Quellspannung im ersten Kreis kann auf U 1 = 1 V (harmonische Wechselspannung) gesetzt werden. Ein Knoten muss als Masseknoten (ground) gekennzeichnet werden. Der mittlere Knoten des zweiten Stromkreises kann mit einem entsprechenden Label (Taste F4) beschriftet werden. Die Simulation soll als AC Analysis durchgeführt werden. b) Simulieren Sie die in den zweiten Leiter kapazitiv eingekoppelte Störspannung, wenn der Leiter 2 unbelastet ist (d. h. offene Enden an beiden Leitungsenden)! c) Simulieren Sie die in den zweiten Leiter kapazitiv eingekoppelte Störspannung, wenn der zweite Stromkreis analog zum ersten mit R G2 = 600 Ω und R L2 = 600 Ω abgeschlossen ist? d) Wiederholen Sie die Simulation von Schritt c) mit einem logarithmisch gestuften Frequenzdurchlauf von 100 Hz bis 10 khz (z. B. mit 100 Frequenzen pro Dekade)! Stellen Sie die in den zweiten Leiter kapazitiv eingekoppelte Störspannung als Betrag und Phase gegenüber der Frequenz grafisch dar. Wie hängt die kapazitiv eingekoppelte Spannung von der Frequenz ab? Aufgabe 22: Schnelle Fouriertransformation Eine analytische Lösung der Fouriertransformation existiert nur für wenige Funktionen. In der Praxis wird oft auf die numerische schnelle Fouriertransformation (engl. Fast Fourier Transform, FFT) zurückgegriffen. Entsprechende FFT und ifft-funktionen sind in beinahe allen gängigen Numeriksoftware-Umgebungen standardmäßig verfügbar(z. B. in MATLAB, Maple, Mathematica, Octave, SciPy, Sage,... ). Als Beispiel soll der selbe Rechteckimpuls wie bei der analytischen Fouriertransformation in Aufgabe 5 untersucht werden. Die Berechnungen sind mit Hilfe von MATLAB auszuführen. 13

14 a) Erzeugen Sie einen Vektor mit den Werten der Zeitfunktion des Pulses für u 0 = 1 V und τ = 1 µs. b) Berechnen Sie das Spektrum der Zeitfunktion mit Hilfe der fft-funktion. c) Plotten Sie das berechnete Amplitudenspektrum und vergleichen Sie mit der analytischen Lösung aus Aufgabe 5. d) Skalieren Sie das Spektrum und erzeugen Sie einen Vektor, der alle Frequenzen enthält. e) Berechnen Sie ein Spektrum mit Hilfe der analytischen Formel für u 0 = 5 V und τ = 1 ms. Transformieren Sie dieses Spektrum in eine Zeitfunktion mit Hilfe der ifft- Funktion. f) Plotten Sie die berechnete Zeitfunktion. Wie muss die Funktion skaliert werden? Erzeugen Sie einen Vektor, der alle Zeitpunkte enthält. g) Diskutieren Sie die Aussage: Die FFT ist das am häufigsten verkehrt genutzte Verfahren in der EMV! Aufgabe 23: Lösung im Zeit- und Frequenzbereich In vielen Fällen ist es einfacher, einen zeitabhängigen Prozess im Frequenzbereich als im Zeitbereich zu untersuchen. Im Zeitbereich müssen häufig Differentialgleichungen gelöst werden, die sich bei einem Übergang in den Frequenzbereich in einfache algebraische Gleichungen umformen lassen. Daher ist es häufig sinnvoll 1. das System im Frequenzbereich zu modellieren, 2. anschließend eine Anregung des Systems durch eine Zeitfunktion mit Hilfe der FFT in den Frequenzbereich zu transformieren, 3. dann die Antwortfunktion durch Multiplikation der Anregung im Frequenzbereich mit der Übertragungsfunktion des Systems zu berechnen, 4. um schließlich die Antwortfunktion in den Zeitbereich zurück zu transformieren. Als Beispiel dient ein einfacher R-C-Kreis (R = 1 Ω, C = 0,2 µf): u 1 (t) R C u 2 (t) Die Anregung soll wieder durch einen Rechteck-Impuls mit u 0 = 1 V und τ = 1 µs beschrieben werden. Die Berechnungen sind mit Hilfe von MATLAB auszuführen. a) Berechnen und plotten Sie die Ausgangsspannung im Zeitbereich durch Lösen der Differentialgleichung im Zeitbereich. b) Berechnen Sie die Übertragungsfunktion für die Spannung U 2/U 1 im Frequenzbereich. 14

15 c) Berechnen Sie das Spektrum der Ausgangsspannung mit Hilfe des Spektrums der Eingangsspannung und der Übertragungsfunktion für die Spannung. d) Transformieren Sie das Spektrum der Ausgangsspannung U 2 zurück in den Zeitbereich und vergleichen Sie das Ergebnis mit der direkten Lösung der Differential-Gleichung. Aufgabe 24: Elektrische Größe Eine typische Regel zur Unterscheidung zwischen elektrisch kleinen und elektrisch großen Systemen oder Geräte ist die λ /10-Regel. Wenn für die größte Abmessung eines Gerätes l < λ /10 gilt, so ist das Gerät elektrisch klein. Anderenfalls, für eine größte Abmessung l > λ /10, gilt das Gerät als elektrisch groß. Die Gültigkeit dieser Regel kann auch mit Hilfe der Leitungstheorie gezeigt werden. a) Zeichnen Sie eine Leitung mit der Länge l! Der Anfang der Leitung wird mit dem Index A bezeichnet, das Ende mit dem Index B. Die charakteristische Impedanz der Leitung ist Z 0. Das Ende der Leitung ist mit einer Lastimpedanz Z L abgeschlossen. b) Bestimmen Sie den Strom I an den Stellen A und B in Bezug auf die vor- und rücklaufenden Stromwellen mit den Amplituden I + und I sowie der Phasenkonstante β! c) Berechnen Sie das Verhältnis I /I + aus der Randbedingung am Ende der Leitung. d) Leiten Sie für das Verhältnis der Beträge der Ströme am Anfang und Ende der Leitung den Ausdruck I A = ( ) 2 ZL cos2 (βl) + sin(βl). (24.1) Z 0 her! I B e) Wie groß ist dieser Verhältnis I A /IB für l = λ /10, wenn angenommen wird, dass Z L /Z0 = 2 ist? 15

16 Ergebniskontrolle 1. a) L P/mW = 50 b) L U/µV 26 c) P = 10 µw d) L Ptot/mW 33 e) - 2. a) u dm (t) = 219,2 mv cos (ωt + 25,5 ) b) u cm (t) = 13,8 mv cos (ωt 111,1 ) 3. i 1 (t) = 198,2 ma cos (ωt + 53,6 ) i 2 (t) = 202,6 ma cos (ωt 133,5 ) 4. a) a k = 2u 0 sin ( ) kω 0 τ kπ 2, bk = 0 b) u(t) = u u 0 π [ cos(ω 0 t) cos(3ω 0t) 3 + cos(5ω 0t) 5 cos(7ω 0t) ] c) - d) - e) - 5. a) U(ω) = u 0 τ sin(ωτ /2) ω τ /2 b) - 6. a) R DC = 5,49 mω b) R approx = l 2πκrδ c) d) 7. a) - Frequenz, f R { Z approx } in mω R approx in mω 50 Hz 5,4881 0, khz 5,6932 2, khz 29, , MHz 92, ,8477 Frequenz, f U in mv 50 Hz 5,48 5 khz 5, khz 30,8 5 MHz 94,2 b) U 2 23,4 % U 1 16

17 c) U 2 1,21 % U 1 8. a) U 2 = 87,1 mv b) u 2 (t) = 34,7 V c) Entkopplung: 0,3219 or 9,84 db 9. U rec = 12,8 mv 10. a) - b) Komponente der Leistungsflussdichte parallel zur Ebene: S x = 2,49 mw m 2 Komponente der Leistungsflussdichte senkrecht zur Ebene: S z = 0,91 mw m 2 c) a) Q = Î ω b) Q = 0,159 µc 12. a) E(r 2 ) = 270 µv m b) E(r 3 ) = 42,7 µv m 13. a) H(r 2 ) = 1,93 ma m b) I = 10,7 A 14. a) H = 17,6 na m b) H = 79,5 ma m 15. a) r am 1 b) J = 359 A m a) a S,1 = 101,2 db b) a S,2 = 147,1 db c) a S,3 = 190,9 db d) a S,4 = 9,3 db e) a S,5 0 db f) t 6,Al = 1,66 mm, t 6,Fe = 0,715 mm g) t 7,Al = 6,3 mm, t 7,Fe = 1,23 mm 17. a) a db b) - c) a) U 2 d) f res = 786,7 MHz b) - 1 = ) U 1 1+ (1+j ωω1 (1+j ωω2 ) mit ω 1 = 1 /RC und ω 2 = R /L 17

18 c) a) n = b) a) - c) L = 1,1254 H, C = 0,5627 µf b) - c) - d) - e) I A IB 1,427 3 db 18