5.1. e/m-bestimmung mit dem Fadenstrahlrohr

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1 5.1 e/m-bestimmung mit dem Fadenstrahlrohr e/m-bestimmung mit dem Fadenstrahlrohr Ziel Bestimmung der spezifischen Ladung von Elektronen über die Lorentzkraft bewegter Elektronen in einem homogenen Magnetfeld. Hinweise zur Vorbereitung Die Antworten auf diese Fragen sollten Sie vor der Versuchdurchführung wissen. Sie sind die Grundlage für das Gespräch mit Ihrer Tutorin/Ihrem Tutor vor dem Versuch. Informationen zu diesen Themen erhalten Sie in der unten angegebenen Literatur. Was ist die spezifische Elementarladung? Welche Kräfte wirken auf Elektronen in elektrischen und magnetischen Feldern? Wie ist ein Fadenstrahlrohr aufgebaut? Wozu dienen die einzelnen Komponenten? Auf welche Weise wird in diesem Versuch ein homogenes Magnetfeld erzeugt? Was ist die Zyklotronfrequenz? Was besagt das biot-savartsche Gesetz? Was versteht man unter parallaxenfreiem Ablesen? Wieso sollte das Ablesen parallaxenfrei erfolgen? Zubehör Fadenstrahlrohr mit Wasserstoff-Füllung (1.33 Pa) und indirekt geheizter Oxid- Kathode Netzgerät für Kathoden-Heizstrom (U H = 6.3V, I H 1 A), Kathodenspannung ( U Kathode 300 V zur Beschleunigung der Elektronen), berührungsgeschütze Kabel für die Kathodenspannung, Helmholtzspulenpaar: 130 Windungen je Spule, Spulenradius r S = 150 mm, Spulenabstand a = 150 mm, maximaler Spulenstrom I max =2A Netzgerät für regelbaren Strom durch die Helmholtzspulen Vorrichtung zum parallaxenfreien 1 Ablesen mit Spiegel und Skalenbeleuchtung 1 Als Parallaxe ( grch. παραλλασσω = vertauschen) bezeichnet man die scheinbare Änderung der Position eines beobachteten Objektes durch eine Verschiebung der Position des Beobachters [Wik].

2 Versuche zur Elektrizitätslehre Voltmeter Amperemeter Verdunkelungstuch Grundlagen Versuchsprinzip Aus einer geheizten Kathode werden Elektronen emittiert und durch eine angelegte elektrische Spannung beschleunigt. Diese Elektronen werden in einem homogenen Magnetfeld, dessen Feldlinien senkrecht zur Bewegungsrichtung der Elektronen liegen, auf Kreisbahnen abgelenkt. Der Radius der Bahnen hängt von der Geschwindigkeit der Elektronen, der magnetischen Flussdichte und der spezifischen Elementarladung e/m ab. 2 Um die Bahn der Elektronen sichtbar zu machen, nutzt man Wasserstoffgas unter niedrigem Druck. Die Elektronen regen den Wasserstoff durch Stöße zum Leuchten an. Elektronen im elektrischen Feld In einem elektrischen Feld erfahren Elektronen die Kraft F E = e E. Beim Durchlaufen einer Potentialdifferenz U ändert sich ihre kinetische Energie dadurch um E kin = U e. Geht man davon aus, dass die Geschwindigkeit der Elektronen beim Verlassen der Kathode vernachlässigbar ist, so gilt Hinweis: Relativistische Effekte werden hier vernachlässigt. Elektronen im homogenen magnetischen Feld U e = 1 2 m v2. (5.1.1) Ruhende Elektronen erfahren in einem homogenen Magnetfeld keine Beschleunigung. Auf bewegte Elektronen wirkt hingegen die Lorentzkraft F L = q v B (5.1.2) mit q = Ladung, im Fall eines Elektrons also q = e = Elementarladung, v = Geschwindigkeit des Elektrons, B = magnetische Flussdichte am Ort des Elektrons. 2 Eine begriffliche Feinheit: Die spezifische Elektronenladung ist nicht e/m sondern e/m, weilkonventionsgemäß die Elementarladung e = (63) C mit positivem Vorzeichen notiert wird.[cod98, MT99, MT00]

3 5.1 e/m-bestimmung mit dem Fadenstrahlrohr 453 Abbildung : Versuchsaufbau zur Bestimmung der spezifischen Elementarladung e/m mit dem Fadenstrahlrohr [Ley19]. Bewegt sich also ein Elektron mit einer Geschwindigkeit vom Betrag v senkrecht zu den Feldlinien eines homogenen Magnetfeldes der Flussdichte B, sohatdielorentzkraft den Betrag e v B. Sie wirkt stets senkrecht zur Geschwindigkeit des Elektrons als Zentripetalkraft. Der Betrag der Geschwindigkeit wird dadurch nicht verändert, es erfolgt nur eine Änderung der Bewegungsrichtung, so dass sich eine Kreisbahn mit festem Radius ergibt. 3 3 Bei genauer Betrachtung muss diese Aussage etwas modifiziert werden. Es handelt sich nämlich eigentlich um einen relativistischen Effekt einen der wenigen, bei denen Ergebnisse der Relativitätstheorie im Alltag unmittelbar sichtbar sind.[dkv06] Coulomb-Kraft und Lorentz-Kraft sind beide Teil einer verallgemeinerten elektromagnetischen Kraft, die je nach Geschwindigkeit der beteiligten Ladungen etwas unterschiedliche Auswirkungen hat. So beobachtet man bei langsam bewegten Ladungen praktisch nur eine Richtungsänderung im Magnetfeld, während schnell bewegte Ladungen bei der Richtungsänderung auch merklich elektromagnetische Wellen abstrahlen. Letzteres wird zur Erzeugung der sog. Synchrotronstrahlung in Teilchenbeschleunigern ausgenutzt. Dabei werden die geladenen Teilchen (meist Elektronen) durch räumlich wechselnde Magnetfelder in sog. Wigglern ( engl. to wiggle = wackeln) bzw. Undulato-

4 Versuche zur Elektrizitätslehre Abbildung : Schaltbild zur Bestimmung der spezifischen Elementarladung e/m mit dem Fadenstrahlrohr [Ley19]. Durch Gleichsetzen 4 der Lorentzkraft mit der Zentripetalkraft erhält man die Beziehung e v B = m v2 r. (5.1.3) ren ( engl. to undulate =sichschlängeln, wellenförmig bewegen) auf eine periodisch (typischerweise sinusförmig) gekrümmte Bahn gezwungen. 4 Nachdem es an dieser Stelle oft zu Missverständnissen kommt, hier eine Erläuterung: Es ist hilfreich, die Formulierung etwas genauer anzuschauen. Die Aussage Lorentzkraft wirkt als Zentripetalkraft bedeutet eben nicht, dass die beiden Kräfte sich aufheben. Sie addieren sich auch nicht etwa, obwohl sie in die gleiche Richtung zeigen. Es handelt sich schlichtweg um ein und dieselbe Kraft, die Namensgebung soll jeweils nur andeuten, was man gerade beschreibt. Spricht man von der Zentripetalkraft, so beschreibt man den mechanischen Vorgang der Kreisbewegung. Will man hingegen erklären, woher die Zentripetalkraft kommt, so nennt man sie Lorentzkraft, um auf den Zusammenhang mit der magnetischen Flussdichte und der bewegten Ladung hinzuweisen. Noch verwirrender wird es, wenn der Begriff Zentrifugalkraft verwendet wird. Diese ist eine sog. Trägheitskraft, die in der Beschreibung nötig wird, wenn man sich quasi mit dem Elektron mitbewegt, also nicht als außenstehender Beobachter vom ruhenden Labor aus beschreibt. Es ist nicht hilfreich, die Begriffe Zentripetalkraft und Zentrifugalkraft gleichzeitig für einen Vorgang zu verwenden, da sie zu unterschiedlichen Betrachtungsweisen gehören. Bei einem Karussell würde man z. B. entweder sagen das Karussell übt eine Zentripetalkraft auf die Fahrgäste aus und bewegt sie dadurch im Kreis herum oder wenn ich mit dem Karussell im Kreis herum fahre, spüre ich eine Zentrifugalkraft, die mich im Sitz nach außen drückt. Ein Mischen der beiden Aussagen führt bestenfalls zur Verwirrung und sollte daher vermieden werden.

5 5.1 e/m-bestimmung mit dem Fadenstrahlrohr 455 Das biot-savartsche Gesetz Den Beitrag eines Stroms durch ein Leiterelement zu einem Magnetfeld an einer beliebigen Stelle im Raum ( Aufpunkt ) kann man mit Hilfe des biot-savartschen Gesetzes berechnen (siehe auch Abbildung 5.1.3). Es gilt: 5 mit dh = 1 I ( d 4π r ) l r 3 d l = Leiterelement, I = Strom durch das Leiterelement, r = Vektor vom Leiterelement zum sog. Aufpunkt. (5.1.5) Im Vakuum (und in sehr guter Näherung auch in Luft) erhält man daraus die magnetische Flussdichte über mit B = μ 0 H (5.1.6) μ 0 = magnetische Feldkonstante = Permeabilität des Vakuums 7 Vs =4π 10 Am. Die Werte von μ 0 und der Lichtgeschwindigkeit c 0 im Vakuum sind im SI, dem internationalen Einheitensystem, exakt festgelegt, unterliegen also per Definition keinem Messfehler. 5 Zur Definition des Kreuzproduktes zweier Vektoren siehe Gleichung (E.1.4) auf Seite 796. Man kann den Betrag der magnetischen Feldstärke auch ohne das Kreuzprodukt angeben. Für ihn gilt: dh = 1 I dl 4π r 2 sin ϕ (5.1.4) mit dl = d l =Länge des Leiterelementes, I = Strom durch das Leiterelement, r = r = Abstand vom Leiterelement zum sog. Aufpunkt, ϕ =Winkelzwischend l und r. Die Verwendung dieser Schreibweise ist allerdings nicht besonders praktisch, wenn man durch Integration die Beiträge vieler infinitesimal kleiner Leiterstücke zusammenfassen will. Dabei müssendanndie unterschiedlichen Richtungen der Feldstärkebeiträge doch berücksichtigt werden, und die Rechnung wird eher umständlicher.

6 Versuche zur Elektrizitätslehre Abbildung : Zum biot-savartschen Gesetz. Der Strom I durch das infinitesimal kleine Leiterstück d l ruft am Punkt P eine magnetische Feldstärke d H hervor, wobei r der Vektor vom Leiterstück nach P ist. Die Darstellung ist dreidimensional zu verstehen, die drei Vektoren stehen senkrecht aufeinander. Helmholtz-Spulen Zwei im Verhältnis zu ihrem Radius r S kurze Spulen, die parallel zueinander auf der gleichen Achse im Abstand ihres Radius aufgestellt sind, bezeichnet man als Helmholtz- Spulen. In der Mittelebene zwischen den Spulen entsteht ein sehr homogenes Magnetfeld parallel zur Spulenachse. Diese besondere Eigenschaft wird im Aufgabenteil näher behandelt. Fadenstrahlen Die im Versuch verwendete Glaskugel ist mit Wasserstoff unter einem Druck von 1.33 Pa gefüllt. Durch inelastische Stöße regen die Elektronen den Wasserstoff zu Lichtemission im sichtbaren Spektralbereich an. Gleichzeitig entsteht in der unmittelbaren Umgebung der Elektronenbahn eine Raumladung, die zur Bündelung des Elektronenstrahls beiträgt. Man bezeichnet dies als den Fadenstrahl-Effekt. Ohne diesen Effekt würde der Elektronenstrahl schon viel früher nach Verlassen des Elektrodensystems diffus verlaufen. Versuchsdurchführung 1. Bauen Sie die Schaltung entsprechend Abbildung auf. Die beiden Ablenkplatten werden in diesem Versuch nicht benutzt und können auf Anodenpotential gelegt werden. Es stört allerdings auch nicht sehr, wenn sie unbeschaltet bleiben. Hinweise: Verwenden Sie für alle Anschlüsse, die Hochspannung führen (Kathode, Messgerät) ausschließlich berührungsgeschützte Kabel.

7 5.1 e/m-bestimmung mit dem Fadenstrahlrohr 457 Die Beschleunigungsspannung ist direkt an der Anode zu messen, nicht am Netzgerät. Sonst führt der Spannungsabfall am Vorwiderstand (ca Ω) zu einem Fehler (z. B. entsprechen 100 V am Netzgerät nur ca. 97.5V an der Anode). Das alte Schaltbild aus dem Datenblatt der Firma Leybold ist in diesem Punkt falsch! 2. Die Kathode braucht eine kurze Vorheizzeit (bei 6.3 V und 1 A), bis die Elektronenemission in ausreichender Stärke erfolgt, um einen gut sichtbaren Strahl zu erzeugen. Für den Fall, dass die Raumhelligkeit zu hoch sein sollte, liegt ein Verdunkelungstuch beim Versuchsaufbau bereit. 3. Wählen Sie eine Kombination von Beschleunigungsspannung U Anode und Helmholtzspulenstrom I Spule, bei der die Kreisbahn gut zu erkennen ist. Messen Sie mindestens fünfmal hintereinander unabhängig den Durchmesser der Elektronenbahn. Hinweise: Den Schieber an der Ablesevorrichtung zwischendurch immer wieder verstellen und dann neu positionieren. Zum Ablesen der Skala ist eine Beleuchtung eingebaut, die durch einen Taster kurzzeitig eingeschaltet werden kann, ohne allzu viel Licht zu machen. Auf diese Weise wird die Dunkeladaption der Augen möglichst wenig gestört. 4. Wiederholen Sie Punkt 3 für insgesamt mindestens zehn Wertepaare. 5. Untersuchen Sie bei abgeschalteten Helmholtzspulen die Wirkung eines starken Permanentmagneten auf die Elektronenbahn. Demonstrieren Sie den Effekt der Reflexion von Elektronenstrahlen an einem Magnetpol. 6 Auswertung 1. Berechnen Sie unter Einbeziehung aller Messwerte den Wert für die spezifische Ladung e/m eines Elektrons. 2. Vergleichen Sie mit Hilfe eines t-tests Ihr Ergebnis mit dem Literaturwert für e/m (siehe Literaturverzeichnis). 6 Dieser Effekt tritt im größeren Maßstab an den Magnetpolen der Erde auf. Von der Sonne kommende hochenergetische geladene Teilchen (der sog. Sonnenwind ) werden vom Magnetfeld der Erde eingefangen und fliegen in sehr schneller Folge zwischen den beiden Magnetpolen hin und her. Bei genügender Intensität erzeugen Sie dabei in den oberen Schichten der Atmosphäre das sog. Polarlicht. Diese Leuchterscheinung tritt deshalb nie allein am Nord- oder Südpol auf, sondern immer nahezu gleichzeitig an beiden Polen.

8 Versuche zur Elektrizitätslehre Fragen und Aufgaben 1. In der Atom- und Molekülphysik werden Energien üblicherweise in der Einheit 1Elektronvolt=1eV gemessen. 7 Drücken Sie die Energie 1 ev in der SI-Einheit 1 J = 1 Ws aus. 2. Leiten Sie den Ausdruck für die Zentripetalbeschleunigung a eines mit konstanter Bahngeschwindigkeit v auf einer Kreisbahn mit dem Radius r umlaufendenm Teilchens der Masse m her: a = v 2 /r. (5.1.7) 3. Berechnen Sie aus Gleichung (5.1.3) die sog. Zyklotronfrequenz, d. h. die Kreisfrequenz ω, mit der ein Elektron auf einer Kreisbahn umläuft. Zeigen Sie, dass ω vom Radius des Umlaufkreises unabhängig ist, solange keine relativistische Massenänderung zu berücksichtigen ist Leiten Sie aus den Gleichungen (5.1.1) und (5.1.3) die folgende Beziehung für die spezifische Elementarladung her: e/m = 2 U B 2 r 2. (5.1.8) 5. Erklären Sie, warum die magnetischen Feldlinien genau in der Mittelebene zwischen den Helmholtzspulen parallel zur Spulenachse verlaufen. 6. Leiten Sie aus Gleichung (5.1.5) die folgenden Ausdrücke für den Betrag B der magnetischen Flussdichte im Mittelpunkt der Helmholtzspulen-Anordnung mit dem Spulenradius r S her (siehe auch Literaturhinweise): B = 2μ 0 r 2 S n I 2 ( r 2 S +(r S/2) 2) 3/2 (5.1.9) = 8μ 0 n I 5 3/2 r S (5.1.10) 7. Im Praktikum kann e/m auch noch im Versuch Zeeman-Effekt bestimmt werden. Nennen Sie weitere Methoden zur Bestimmung der spezifischen Elementarladung (siehe z. B. [Kle61]). 7 Eigentlich wäre die Schreibweise 1 ev also mit dem kursiven e schöner, da die Elementarladung als physikalische Konstante auch mit diesem Zeichen abgekürzt wird. Die Einheit 1 Elektronvolt ( engl. 1 electron volt, im deutschen Sprachraum manchmal auch 1 Elektronenvolt) ist ja nichts anderes als das Produkt aus der Elementarladung e = (63) C und der Einheit 1 V. Meist wird der Begriff jedoch wie eine eigenständige Einheit behandelt, die zwar nicht zum SI gehört, aber doch zusammen mit diesem verwendet werden kann. Daher ist die Schreibweise 1 ev gebräuchlicher. In diesem Text bedeutet e normalerweise die eulersche Zahl e = In einem Synchrotron wird die Energie typischerweise so hoch sein, dass die relativistische Korrektur nicht mehr vernachlässigt werden kann.

9 5.1 e/m-bestimmung mit dem Fadenstrahlrohr Bei Kenntnis der spezifischen Elektronenladung e/m und der Elementarladung e kann die Masse m des Elektrons berechnet werden. Nennen Sie Messverfahren zur Bestimmung der Elektronenmasse, die nicht auf eine e/m-messung zurückgreifen. 9. Beschreiben Sie ausgehend vom Inhalt dieses Versuchs zur e/m-bestimmung, wie man a) ein einfaches Spektrometer für Betastrahlen, b) ein einfaches Massenspektrometer bauen könnte. Ergänzende Informationen Relativistische Elektronen Der in Gleichung (5.1.1) angegebene Ausdruck für die kinetische Energie der Elektronen setzt voraus, dass die Elektronen nicht mit so hohen Spannungen beschleunigt werden, dass relativistische Korrekturen notwendig sind. In größeren Teilchenbeschleunigern (Betatron,Synchrotron,...)musshingegenfür die Energie der Elektronen der relativistische Ausdruck verwendet werden: mit Literaturhinweise E kin = m c 2 m 0 c 2 (5.1.11) m 0 = Ruhemasse des Elektrons, c = Lichtgeschwindigkeit im Vakuum, m 0 m = = bewegte Masse des Elektrons. 1 v2 /c2 Den jeweils aktuellen Literatur der Elementarladung e und der Elektronenmasse m finden Sie z. B. auf den Webseiten von CODATA und des NIST [COD98]. Standardlehrbücher, z. B. [Rai99, Mes04, TM04]. Speziell zum biot-savartschen Gesetz z. B. [TM04] oder auch [Gre86] (Achtung: cgs- System). Verfahren zur e/m-bestimmung: [Kle61]. Biot-savartsches Gesetz und Helmholtz-Spulen: [Dem06]. Literaturverzeichnis [COD98] CODATA (Committee on Data for Science and Technology), NIST (National Institute of Standards and Technology): http: //

10 Versuche zur Elektrizitätslehre www. codata. org/, http: // physics. nist. gov/ cuu/ Constants/, Datenbank für Fundamentalkonstanten usw. [Dem06] Demtröder, Wolfgang: Experimentalphysik 2 Elektrizität und Optik. Springer-Verlag, Berlin, 4. Auflage, [DKV06] Dobrinski, Paul, Gunter Krakau und Anselm Vogel: Physik für Ingenieure. B. G. Teubner Verlag, Wiesbaden, 11. Auflage, [Gre86] Greiner, Walter: Klassische Elektrodynamik, Band 3 der Reihe Theoretische Physik. Verlag Harri Deutsch, Thun Frankfurt am Main, 4. Auflage, [Kle61] Klemperer, Otto: Electron physics: the physics of the free electron. Butterworths, London, Repr. Nachdr. d. Ausg [Ley19] [MT99] [MT00] [Rai99] [TM04] Leybold-Heraeus GmbH & Co. KG: Fadenstrahlröhre. Technischer Bericht /58/59, Leybold, 19?? Mohr, Peter J. and Barry N. Taylor: CODATA recommended values of the fundamental physical constants: Journal of Physical and Chemical Reference Data, 28(6): , CODATA 1998 recommended values. Mohr, Peter J. and Barry N. Taylor: CODATA recommended values of the fundamental physical constants: Reviews of Modern Physics, 72(2): , CODATA 1998 recommended values. Raith, Wilhelm: Bergmann-Schaefer Lehrbuch der Experimentalphysik, Band II: Elektromagnetismus. Walter de Gruyter, Berlin, 8. Auflage, Tipler, Paul A. und Gene Mosca: Physik für Wissenschaftler und Ingenieure. Elsevier GmbH, München, 2. Auflage, (2. Auflage der deutschen Übersetzung 2004 basierend auf 5. Auflage der amerikanischen Originalausgabe 2003). [Wik] Wikipedia: http: // de. wikipedia. org/ wiki/ Hauptseite.