Algebra. Roger Burkhardt Fachhochschule Nordwestschweiz Hochschule für Technik Institut für Geistes- und Naturwissenschaft

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1 Algebra Roger Burkhardt Fachhochschule Nordwestschweiz Hochschule für Technik Institut für Geistes- und Naturwissenschaft FS 2009 Roger Burkhardt Algebra 1/63

2 1 Roger Burkhardt Algebra 2/63

3 1 Einführung Die Unvollkommenheit des Körpers der reellen Zahlen Definition imaginäre Einheit Definition Definition komplexer Zahlen Rechenoperationen Gauss sche Zahlenebene Darstellung komplexer Zahlen Betrag und Argument (Winkel) einer komplexen Zahl Goniometrische Darstellung Potenzen, Wurzeln und Logarithmen Potenzieren - Satz von Moivre I Radizieren - Satz von Moivre II Exponentialform Logarithmieren Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Algebra 3/63

4 Einführung Die Unvollkommenheit des Körpers der reellen Zahlen In der Menge der natürlichen Zahlen N = {1, 2, 3,...} sind sowohl Addition wie Multiplikation uneingeschränkt durchführbar, d.h. zwei natürliche Zahlen addiert (bzw. multipliziert) ergibt wieder eine natürliche Zahl. Will man nun auch noch die Subtraktion einführen, so steht man vor dem Problem, dass es zu zwei natürlichen Zahlen nicht immer eine natürliche Differenz gibt. Um nun auch uneingeschränkt subtrahieren zu können, muss man eine andere Zahlenmenge zugrunde legen. Am besten eine Zahlenmenge in der die Menge der natürlichen Zahlen schon enthalten ist und auf der die alten Operationen weiterhin definiert sind, eine sogenannte Mengenerweiterung. Diese neue Zahlenmenge sind die ganzen Zahlen Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Algebra 4/63

5 Einführung Wie sieht es nun mit der Division - der Umkehrung der Multiplikation - aus? Auch diese ist nicht uneingeschränkt in der Menge der ganzen Zahlen durchführbar. Wieder müssen wir den Zahlenbereich sinnvoll erweitern. Diese Erweiterung findet man in der Menge der rationalen Zahlen Q = { b : b = z n, z Z, n N}. Soweit kamen auch die Pythagoräer (6 Jh.v.Ch.). Sie fanden ihre Zahlen nicht nur schön sondern sahen auch göttliche Absicht in den Zahlen (alles ist Zahl). Doch schon ein Schüler (Hippasos von Metapont) von Pythagoras fand heraus, dass es etwas gibt, das nicht durch rationale Zahlen darstellbar ist (z.b. die Diagonale in einem Quadrat mit der Seitenlänge Eins). Um auch solche Grössen zu beschreiben erweitert man die rationalen Zahlen zu den reellen Zahlen. Hier eine Definition: Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Algebra 5/63

6 Einführung Die reellen Zahlen Definition Eine Zahl heisst reell, wenn sie in Gestalt eines unendlichen Dezimalbruches geschrieben werden kann, also Grenzwert einer Ergänzungsfolge von Dezimalbrüchen ist. Ein grosser Teil (Grenzwerte, Differentialrechnung, Integralrechnung, usw.) der Analysis beruht auf dieser Definition. Können wir uns nun zurücklehnen? Es gibt immer noch Operationen die auf dieser Zahlenmenge nicht uneingeschränkt durchführbar sind (z.b. die Quadratwurzel aus negativen Zahlen). Betrachten wir die folgenden einfachen Gleichungen: x 2 1 = 0 x 2 = 1 x 1,2 = ±1 x = 0 x 2 = 1 x =? Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Algebra 6/63

7 Einführung Definition imaginäre Einheit Die erste Gleichung besitzt reelle Lösungen die zweite Gleichung nicht! Ausgehend von der Gleichung x = 0 definieren wir: Definition Die Zahl i nennen wir imaginäre Einheit. Nun gilt sicher: Potenzen der imaginären Einheit i := 1 (1) i = 1 i 2 = 1 2 = 1 Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Algebra 7/63

8 Einführung Potenzen der imaginären Einheit (Fortsetzung) Oder allgemein: Satz i 3 = i 2 i = ( 1)i = i i 4 = i 2 i 2 = ( 1)( 1) = 1 i 5 = i 4 i = i i k+4n = i k, k, n Z (2) Wir können uns zwar noch nicht allzuviel unter dieser neuen Grösse vorstellen, doch können wir nun alle quadratischen Gleichungen lösen! Betrachten wir dazu zwei Beispiele: Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Algebra 8/63

9 Einführung Beispiel x = 0 x 2 = 4 x 1,2 = ± 4 = ± 4 1 = ±2i Beispiel x 2 + x + 1 = 0 ( x + 1 ) 2 = x 1,2 = 1 2 ± 3 4 = ± 2 i Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Algebra 9/63

10 Einführung MATLAB MATLAB kennt die imaginäre Einheit i. So liefert die Wurzel aus 1 in MATLAB: >>sqrt(-1) => ans= i MATLAB kann mit der imaginären Einheit rechnen. Hier einige Potenzen: >>i^5 => ans= i >>i^10 => ans=-1 Neben dem Bezeichner i erkennt MATLAB auch noch j als imaginäre Einheit! Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Algebra 10/63

11 Definition Definition komplexer Zahlen Ausgehend vom Resultat des letzten Beispiels definieren wir: Definition Die Summen z = a + ib mit a, b R aus einer reellen Zahl a und dem Produkt einer reellen Zahl b mit der imaginären Einheit i (kurz der imaginären Zahl ib) heissen komplexe Zahlen. Wir bezeichnen a als Realteil und b als Imaginärteil der komplexen Zahl z. Die Menge der komplexen Zahlen wird mit C bezeichnet. Nun haben wir eine neue Zahlenmenge definiert, doch was nutzen uns diese neuen Zahlen, wenn wir nicht mit ihnen rechnen können? Damit uns die komplexen Zahlen etwas nützen, müssen wir sie in einem ersten Schritt in einen direkten Zusammenhang mit den reellen Zahlen bringen. In einem zweiten Schritt wollen wir dann sinnvolle Rechenoperationen auf C definieren, so dass die Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Algebra 11/63

12 Definition Rechnungen mit reellen Zahlen als Spezialfall des Rechnens mit komplexen Zahlen resultiert. Satz Die Menge der komplexen Zahlen enthält die Menge der reellen Zahlen, es gilt also: R C (3) Dies ist einfach einzusehen, da sich jede reelle Zahl r als komplexe Zahl z = r + i0 schreiben lässt. Bevor wir die Rechenoperationen besprechen betrachten wir noch den folgenden Satz: Satz Zwei komplexe Zahlen z 1 = a + ib und z 2 = c + id (a, b, c, d R) sind genau dann gleich, wenn sie in Real- und Imaginärteil übereinstimmen. Formal: Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Algebra 12/63

13 Definition Addition und Subtraktion Satz (Fortsetzung) a + ib = c + id a = c b = d (4) Um die Rechenoperationen zu definieren, betrachten wir eine komplexe Zahl z als eine abstrakten Term und rechnen einmal so, als wären alles nur reelle Zahlen. So gilt dann für die Addition: s = z 1 + z 2 = (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d) Wir definieren: Definition Man addiert (bzw. subtrahiert) zwei komplexe Zahlen, indem man ihre Real- und Imaginärteile addiert (bzw. subtrahiert). Formal: Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Algebra 13/63

14 Definition Definition (Fortsetzung) (a + ib) ± (c + id) = (a ± c) + i(b ± d) (5) Diese Vorschrift ist einfach zu handhaben und stimmt mit der Addition reeller Zahlen überein. Beispiel (1 + 2i) + (4 + 5i) = (1 + 4) + i(2 + 5) = 5 + 7i (1 2i) + ( 4 + 5i) = (1 4) + i( 2 + 5) = 3 + 3i (1 + 2i) (4 + 5i) = (1 4) + i(2 5) = 3 3i Das Problem der Multiplikation gehen wir analog an: z 1 z 2 = (a+ib)(c+id) = ab+iad+ibc+i 2 bd = (ac bd)+i(ad+bc) Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Algebra 14/63

15 Definition Multiplikation Definition Man multipliziert zwei komplexe Zahlen wie folgt: (a + ib)(c + id) = (ac bd) + i(ad + bc) (6) Betrachten wir einige Beispiele: Beispiel (1+2i)(3 4i) = ((1)(3) (2)( 4))+i((1)( 4)+(2)(3)) = 11+2i (7+i0)( 8+i0) = ((7)( 8) (0)(0))+i((7)(0)+(0)( 8)) = 56 (a + ib)(a ib) = (a 2 i 2 b 2 ) + i(a( b) + ab) = a 2 + b 2 Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Algebra 15/63

16 Definition Da wir nun multiplizieren können, können wir auch potenzieren (allgemeine binom sche Formel): Beispiel (1 + 2i) 5 = 5 k=0 ( 5 k ) 1 5 k (2i) k = 1 + 5(2i) + 10(2i) (2i) 3 + 5(2i) 4 + (2i) 5 = 41 38i Bevor wir die Division betrachten, führen wir noch eine wichtige Grösse ein: Definition Zwei komplexen Zahlen die sich nur im Vorzeichen des Imaginärteils unterscheiden, nennt man zueinander konjugiert komplex. Wir schreiben: Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Algebra 16/63

17 Definition Division Definition (Fortsetzung) z = a + ib = a ib (7) Mit dem 3-ten Binom lässt sich ein Nenner reell machen: a + ib c + id = a + ib c id c + id c id = (ac + bd) + i(bc ad) c 2 + d 2 Definition Man dividiert zwei komplexe Zahlen wie folgt: z 1 = z 1z 2 = a + ib z 2 z 2 z 2 c + id ac + bd bc ad = c 2 + i + d 2 c 2 + d 2 (8) Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Algebra 17/63

18 Definition Beispiel Mit der Formel: 1 + 2i 3 4i = (1)(3) + (2)( 4) (2)(3) (1)( 4) (3) 2 + ( 4) 2 + i (3) 2 + ( 4) 2 = i = i 2 5 Beispiel Mit Erweiterung: 1 + 2i 3 4i = 1 + 2i 3 + 4i 3 4i 3 + 4i = (1 + 2i)(3 + 4i) i = (3 4i)(3 + 4i) 25 = 1 5 +i 2 5 Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Algebra 18/63

19 Definition MATLAB MATLAB kennt die komplexen Zahlen. So liefert der solve-befehl bei einer quadratischen Gleichung auch komplexe Lösungen: >>double(solve( x^2+x+1 )) => ans= i, i Eine komplexe Zahl lässt sich direkt eingeben oder mit der Funktion complex erzeugen: >>z1=3+4*i => z1= i >>z2=complex(3,4) => z2= i Mit den Befehlen real und imag lassen sich Real- und Imaginärteil einer komplexen Zahl bestimmen: >>real(z1) => ans=3 >>imag(z1) => ans=4 Roger Burkhardt Algebra 19/63

20 Definition MATLAB Die Berechnungen mit komplexen Zahlen erfolgt mit den normalen Operationszeichen: >>(3+4*i)+(1+2*i)/(-4+3*i) => ans= i >>(1+2*i)^5 => ans= i Mit dem Befehl conj kann die konjugiert-komplexe Zahl bestimmt werden: >>conj(1+2*i) => ans= i >>(1+2*i)*conj(1+2*i) => ans=5 Roger Burkhardt Algebra 20/63

21 Gauss sche Zahlenebene Gauss sche Zahlenebene Jeder komplexe Zahl z = a + ib (a, b R) kann ein geordnetes Zahlenpaar (a, b) R 2 zugeordnet werden. Ein geordnetes Zahlenpaar kann man eindeutig einem Punkt im kartesischen Koordinatensystem zuordnen. Dies ergibt uns die Möglichkeit die komplexen Zahlen im zweidimensionalen, reellen Raum darzustellen. Der komplexen Zahl z = a + ib entspricht dabei der Punkt mit der Abszisse a und der Ordinate b. Satz Es gibt eine Abbildung f : C R 2, a + ib (a, b), welche bijektiv jeder komplexen Zahl z = a + ib C einen Punkt (a, b) R 2 zuordnet. Diese Abbildung liefert uns eine Identifikation zwischen C und dem R 2. Die Bildmenge dieser Abbildung nennt man die Gauss sche Zahlenebene. Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Algebra 21/63

22 Gauss sche Zahlenebene I z b z=a ib a R z MATLAB Mit dem plot Befehl lassen sich komplexe Zahlen in der Gauss schen Zahlenebene darstellen: Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Algebra 22/63

23 Gauss sche Zahlenebene MATLAB >>plot([1+2*i,2-3*i,4-5*i,-3+i,i,-6,-3-2*i], r* ) Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Algebra 23/63

24 Gauss sche Zahlenebene Punkte in einem Koordinatensystem müssen nicht unbedingt in kartesischen Koordinaten angegeben werden. Wir können z.b. auch polare Koordinaten verwenden. Es gilt für die Umrechnung: ϕ = kartesisch polar r = x 2 + y 2 atan ( y ) x x > 0 π + atan ( y ) x x < 0 π 2 x = 0, y > 0 π 2 x = 0, y < 0 polar kartesisch x = rcos(ϕ) y = rsin(ϕ) Somit lässt sich der Punkt (a, b) R 2 auch in Polarkoordinaten (r, ϕ) beschreiben und daher gibt es auch eine Zuordnung zur entsprechenden komplexen Zahl. Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Algebra 24/63

25 Gauss sche Zahlenebene Betrag und Argument (Winkel) einer komplexen Zahl I z b r= z z=a ib =arg z a R z Aus der Darstellung komplexer Zahlen in der Gauss schen Zahlenebene finden wir die Grösse des Betrags und des Arguments einer komplexen Zahl: Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Algebra 25/63

26 Gauss sche Zahlenebene Definition Unter dem Betrag einer komplexen Zahl z = a + ib C versteht man den Wert z = zz = a 2 + b 2 R, welcher der Entfernung des Punktes (a, b) R 2 vom Ursprung entspricht. Formal: Definition a + ib = a 2 + b 2 (9) Unter dem Argument (Winkel oder Phasenwinkel) einer komplexen Zahl z = a + ib C versteht man den Winkel arg (z), welcher gegenüber der Polaren gemessen werden kann: atan ( ) b a a > 0 π + atan ( ) b arg (a + ib) = a a < 0 π (10) 2 a = 0, b > 0 π 2 a = 0, b < 0 Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Algebra 26/63

27 Gauss sche Zahlenebene Beispiel 1 2i = (1) 2 + ( 2) 2 = 5 ( ) 2 arg (1 2i) = atan = = Beispiel 2 + i = ( 2) 2 + (1) 2 = 5 ( ) 1 arg ( 2 + i) = π + atan = = Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Algebra 27/63

28 Gauss sche Zahlenebene MATLAB Den Betrag und das Argument (im Bogenmass) einer komplexen Zahl können in MATLAB mit den Befehlen abs und angle berechnet werden: >>z=-2+i => z= i >>betrag=abs(z) => betrag= >>sym(abs(z)) => ans=sqrt(5) >>winkel=angle(z) => winkel= >>winkel_grad=winkel/pi*180 => winkel_grad= Roger Burkhardt Algebra 28/63

29 Gauss sche Zahlenebene Goniometrische Darstellung Aus der Umrechnung kartesische polare Koordinaten finden wir: Definition Jede komplexe Zahl z = a + ib (arithmetische Form) lässt sich eindeutig in der goniometrischen Form schreiben: z = r (cos(ϕ) + isin(ϕ)) = rcis(ϕ) (11) r = z R + 0 ist der Betrag und ϕ = arg(z) [0, 2π) das Argument a (oder Phasenwinkel) der komplexen Zahl z. a Die Einschränkung des Arguments auf ein Intervall macht die Beschreibung eindeutig! Durch die Periodizität der trigonometrischen Funktionen gibt es zu einer komplexen Zahl unendlich viele passende Argumente (ϕ + 2kπ, k Z). Die Beschreibung mit dem Argument im gegebenen Intervall nennt man daher auch den Hauptwert! Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Algebra 29/63

30 Gauss sche Zahlenebene Beispiel z = 1 + 3i z = 2, arg(z) = π 3 z = 2(cos( π 3 ) + isin(π 3 )) = 2cis(π 3 ) Beispiel z = i z = 4, arg(z) = 5π 6 z = 4(cos( 5π 6 ) + isin(5π 6 )) = 4cis(5π 6 ) Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Algebra 30/63

31 Gauss sche Zahlenebene Rechenoperationen in der Gauss schen Zahlenebene Die Addition zweier komplexer Zahlen lässt sich in der Gauss schen Zahlenebene als Summe zweier Pfeile (Vektoren) interpretieren. Wir betrachten dazu ein Beispiel: Beispiel b 1 b 2 I z s=z 1 z 2 = a 1 a 2 i b 1 b 2 b 2 z 2 =a 2 ib 2 b 1 z 1 =a 1 ib 1 R z a 2 a 1 a 1 a 2 Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Algebra 31/63

32 Gauss sche Zahlenebene Bemerkung Die Berechnung der Summe bzw. der Differenz zweier komplexer Zahlen berechnet man immer in arithmetischer Form (die goniometrische Form eignet sich nicht)! Auch für die Multiplikation komplexer Zahlen findet man eine schöne Interpretation in der Gauss schen Zahlenebene. Dazu suchen wir eine Berechnungsmethode in gonimetrischer Darstellungsform: z 1 z 2 = (r 1 (cos(ϕ 1 ) + isin(ϕ 1 )))(r 2 (cos(ϕ 2 ) + isin(ϕ 2 ))) = r 1 r 2 (cos(ϕ 1 )cos(ϕ 2 ) sin(ϕ 1 )sin(ϕ 2 ))+ i(cos(ϕ 1 )sin(ϕ 2 ) + sin(ϕ 1 )cos(ϕ 2 )) = r 1 r 2 (cos(ϕ 1 + ϕ 2 ) + isin(ϕ 1 + ϕ 2 )) = r 1 r 2 cis(ϕ 1 + ϕ 2 ) Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Algebra 32/63

33 Gauss sche Zahlenebene Bemerkung Der Betrag des Produktes komplexer Zahlen (in goniometrischer Dastellungsform) ist gleich dem Produkt der Beträge der Faktoren und das Argument des Produktes ist gleich der Summe der Argumente der einzelnen Faktoren! Satz (r 1 cis(ϕ 1 ))(r 2 cis(ϕ 2 )) = r 1 r 2 cis(ϕ 1 + ϕ 2 ) (12) Beispiel Das Produkt der beiden komplexen Zahlen z 1 = 1 + 3i = 2cis( π 3 ) und z 2 = 2 2i = 2cis( 5π 4 ) ergibt: Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Algebra 33/63

34 Gauss sche Zahlenebene Beispiel (Fortsetzung) Beispiel z 1 z 2 = 2cis( π 3 )2cis(5π 4 ) = 2 2cis(π 3 + 5π 4 ) = 4cis(19π 12 ) Das Produkt der beiden komplexen Zahlen z 1 = a + ib = rcis(ϕ) und z 2 = z 1 = a ib = rcis( ϕ) ergibt: z 1 z 2 = rcis(ϕ)rcis( ϕ) = r rcis(ϕ ϕ) = r 2 cis(0) = r 2 Beispiel Das Produkt der beiden komplexen Zahlen z 1 = a + ib = rcis(ϕ) und z 2 = 1cis(α) ergibt: Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Algebra 34/63

35 Gauss sche Zahlenebene Beispiel (Fortsetzung) z 1 z 2 = rcis(ϕ)cis(α) = rcis(ϕ + α) Die Multiplikation des letzten Beispiels entspricht einer Drehung des Pfeils zu z 1 um den Winkel α in der Gauss schen Zahlenebene! I z z 1 z 2 =r 1 cis z 1 =r 1 cis R z Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Algebra 35/63

36 Gauss sche Zahlenebene Bemerkung Wird die komplexe Zahl z = a + ib = rcis(ϕ) als Pfeil (bzw. Zeiger) in der Gauss schen Zahlenebene interpretiert, so bewirkt die Multiplikation dieser komplexen Zahl f = scis(α) eine Drehstreckung des Zeigers z. Der Zeiger wird dabei um den Faktor s gestreckt und um den Winkel α (im gegenuhrzeigersinn) gedreht! Für die Division gilt analog zur Multiplikation: Satz Die Division der beiden komplexen Zahlen z 1 = r 1 cis(ϕ 1 ) und z 2 = r 2 cis(ϕ 2 ) ergibt: z 1 = r 1cis(ϕ 1 ) z 2 r 2 cis(ϕ 2 ) = r 1 cis(ϕ 1 ϕ 2 ) (13) r 2 Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Algebra 36/63

37 Gauss sche Zahlenebene Bemerkung Der Betrag der Division ist gleich der Division der Beträge und das Argument der Division entspricht der Differenz der Argumente. Beispiel Die Division z 1 = 2cis( π 3 ) durch z 2 = 2cis( 5π 4 ) ergibt: z 1 = 2cis( π 3 ) z 2 2cis( 5π 4 ) = 2 2 cis(π 3 5π 4 ) = cis( 11π 12 ) = cis(13π 12 ) Beispiel Die Division z 1 = rcis(ϕ) durch z 2 = 1cis(α) ergibt: z 1 = rcis(ϕ) z 2 cis(α) = r cis(ϕ α) = rcis(ϕ α) 1 Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Algebra 37/63

38 Gauss sche Zahlenebene MATLAB In MATLAB können mit dem Befehl compass komplexe Zahlen in der Gauss schen Zahlenebene auch als Zeiger dargestellt werden: >>compass([1+2*i,2-3*i,4-5*i,-3+i,i,-6,-3-2*i]) Roger Burkhardt Algebra 38/63

39 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen Potenzieren - Satz von Moivre I Als nächstes betrachten wir die Operationen Potenzieren, Radizieren und Logarithmieren. Wir beginnen mit der Potenz einer komplexen Zahl. Da die Multiplikation in der goniometrischen Darstellung einfacher zu berechnen ist, wollen wir die Potenzen ebenfalls in goniometrischer Darstellung betrachten (ansonsten müssten wir mit der binomischen Formel arbeiten). Als einführendes Beispiel betrachten wir das Quadrat einer komplexen Zahl: Beispiel z 2 = (rcis(ϕ)) 2 = (rcis(ϕ))(rcis(ϕ)) = r rcis(ϕ + ϕ) = r 2 cis(2ϕ) Wie wir weiter vorne schon gesehen haben, werden bei der Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Algebra 39/63

40 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen Multiplikation die Beträge der Faktoren miteinander multipliziert und die Argumente der Faktoren addiert. Beim Quadrieren wird also der Betrag quadriert und das Argument verdoppelt. Allgemein gilt: Satz von Moivre I Für ganzzahlige (n Z) Potenzen gilt: Beispiel z n = (rcis(ϕ)) n = r n cis(nϕ) (14) Wir suchen die 10-te Potenz der komplexen Zahl z = 3 i = 2cis ( ) 7π 6. Gemäss dem Satz von Moivre finden wir: ( ( )) 7π 10 ( z 10 = 2cis = 2 10 cis 10 7π ) ( ) 5π = 1024cis Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Algebra 40/63

41 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen Beispiel (Fortsetzung) = 1024 ( ) i = i MATLAB In MATLAB können mit dem Befehlˆkomplexe Zahlen potenziert werden: >>(-sqrt(3)-i)^10 => ans=5.1200e e+002i Dabei arbeitet MATLAB immer in der arithmetischen Form. Für Betrag und Argument müssen die entsprechenden Umrechnungen noch vorgenommen werden: >>abs((-sqrt(3)-i)^10) => ans=1024 >>angle((-sqrt(3)-i)^10) => ans= Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Algebra 41/63

42 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen Radizieren - Satz von Moivre II Während es im Körper der reellen Zahlen beispielsweise nur zwei Zahlen gibt, deren vierte Potenz gleich Eins ist ( 1 und 1), enthält der Körper der komplexen Zahlen vier solche Werte ( 1,1,i und i). Die Gleichung z 4 = 1 hat im Körper der komplexen Zahlen somit vier Lösungen. Definition Die Lösungen der Gleichung z n = u, z, u C n N heissen komplexe n-te Wurzeln von u. Die Zahl 1 hat also die komplexen vierten Wurzeln 1, i, 1 und i. Beispiel Wir wollen alle komplexen dritten Wurzeln der Zahl u = i = 4cis( 2π 3 ) bestimmen. Wir suchen also eine Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Algebra 42/63

43 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen Beispiel (Fortsetzung) komplexe Zahl z = a + ib = rcis(ϕ), welche in der dritten Potenz u ergibt. Im Satz von Moivre eingesetzt ergibt sich für die dritte Potenz von z: ( ) 2π z 3 = (rcisϕ) 3 = r 3 cis(3ϕ) = 4cis 3 Durch das Vergleichen der beiden Ausdrücke finden wir: r 3 = 4 r = 3 4, 3ϕ = 2π 3 ϕ = 2π 9 Eine der gesuchten drei komplexen Wurzeln lautet somit: z 0 = 3 ( ) 2π 4cis 9 Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Algebra 43/63

44 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen Beispiel (Fortsetzung) Die weiteren beiden Lösungen finden wir mit der Periodizität der goniometrischen Darstellung: ( ) ( ) 2π 2π u = 4cis = 4cis kπ, k Z Der neue Vergleich liefert immer noch den selben Betrag aber wir finden unterschiedliche Argumente: 3ϕ = 2π 3 + 2kπ ϕ = 2π 9 + 2kπ 3 Für k = 0 finden wir die Lösung von weiter oben. Für k = 1 und k = 2 finden wir die beiden weiteren Lösungen: Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Algebra 44/63

45 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen Beispiel (Fortsetzung) z 1 = 3 ( 2π 4cis 9 + 2π ) = 3 ( ) 8π 4cis 3 9 z 2 = 3 ( 2π 4cis 9 + 4π ) = 3 ( ) 14π 4cis 3 9 u= i=4cis z 0 z 1 z Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Algebra 45/63

46 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen Allgemein erhalten wir: Satz von Moivre II Jede von Null verschiedene komplexe Zahl u hat genau n verschiedene komplexe n-te Wurzeln (n N). Der Betrag der n-ten Wurzel von u = rcis(ϕ) ist gleich der n-ten Wurzel aus dem Betrag von u. Die Argumente der komplexen n-ten Wurzeln erhält man, indem man zum Argument der komplexen Zahl u das k-fache k {0, 1, 2,..., n 1} des Vollwinkels addiert und die Summe durch n dividiert. Formal: z k = n u = n ( ) rcis(ϕ) = n ϕ + 2kπ rcis, k {0, 1, 2,..., n 1} n (15) Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Algebra 46/63

47 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen Beispiel Gesucht seien die Quadratwurzeln aus i. Umwandeln in goniometrische Form: i = 1cis ( ) π 2. Nun finden wir mit dem Satz von Moivre: z 0,1 = ( π ) ( π 2 i = cis = cis + 2kπ ) 2 2 ( π ) ( ) 5π z 0 = cis, z 1 = cis 4 4 Beispiel Gesucht seien die komplexen dritten Wurzeln aus 1. Umwandeln in goniometrische Form: 1 = 1cis (0). Nun finden wir mit dem Satz von Moivre: Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Algebra 47/63

48 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen Beispiel (Fortsetzung) z 0,1,2 = 3 1 = 3 ( ) 2kπ cis(0) = cis 3 Beispiel z 0 = cis (0) = 1 ) = 1 z 1 = cis ( 2π 3 z 2 = cis ( 4π 3 ) = i i Gesucht seien die komplexen vierten Wurzeln aus 16. Umwandeln in goniometrische Form: 16 = 16cis (π). Nun finden wir mit dem Satz von Moivre: z 0,1,2,3 = 4 16 = 4 cis (π) = 4 ( ) π + 2kπ 16cis 4 Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Algebra 48/63

49 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen Beispiel (Fortsetzung) z 0 = 2cis ( ) ( 2 ) π 4 = i = 2 + 2i z 1 = 2cis ( ) ( ) 3π 4 = i = 2 + 2i z 2 = 2cis ( ) ( ) 5π 4 = i = 2 2i z 3 = 2cis ( ) ( 2 ) 7π 4 = i = 2 2i Bemerkung Radizieren und Potenzieren sind Umkehroperationen voneinander: ( n ) ( ) n z = z 1 n n = z (16) Die n-ten Wurzeln von z = rcis(ϕ) liegen auf einem Kreis in der Gauss schen Zahlenebene mit Radius R = n r. Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Algebra 49/63

50 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen Bemerkung (Fortsetzung) Die verschiedenen komplexen n-ten Wurzeln von z = rcis(ϕ) unterscheiden sich nur im Argument. Zwischen zwei benachbarten Wurzeln liegt der Winkel α = 2π n. Die komplexen n-ten Wurzeln lassen sich aus dem Produkt des aus dem Hauptwert gebildeten Wurzel und den n verschiedenen koplexen Einheitswurzeln geschrieben werden: n z = n rcis(ϕ) = n ( ϕ ) ( ) 2kπ rcis cis (17) n n }{{} komplexe Einheitswurzeln Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Algebra 50/63

51 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen MATLAB In MATLAB liefert der Befehlˆ(1/n) eine n-te Wurzel: >>(-sqrt(3)-i)^(1/3) => ans= i Um alle komplexen Wurzeln zu erhalten, muss die entsprechende Gleichung z n = u mit dem solve-befehl gelöst werden: >>double(solve( z^3-(-sqrt(3)-i) )) => ans= i, i, i Mittels compass können die Wurzeln graphisch dargestellt werden: >>compass(double(solve( z^3-(-sqrt(3)-i) ))) => Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Algebra 51/63

52 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen MATLAB (Fortsrtzung) = = 3 R= n r = 2 3 Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Algebra 52/63

53 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen Exponentialform Bevor wir mit dem Logarithmieren starten können benötigen wir noch eine weitere Darstellungsform für die komplexen Zahlen. Dies ist die sogenannte Exponentialform einer komplexen Zahl. Um diese Darstellungsform herzuleiten arbeiten wir mit Potenzreihen: e x = 1 + x + x 2 2! + x 3 3! +... = k=0 x k k! sin(x) = x x 3 3! + x 5 5! x 7 7! +... = ( 1) k x 2k+1 (2k + 1)! k=0 cos(x) = 1 x 2 2! + x 4 4! x 6 6! +... = ( 1) k x 2k (2k)! k=0 (18) (19) (20) Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Algebra 53/63

54 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen Das Argument der Funktionen sei hierbei reell. Doch was geschieht, wenn wir in diesen Potenzreihen eine komplexe Zahl einsetzen? Versuchen wir es einmal: = e ix = 1 + ix + (ix)2 2! + (ix)3 3! +... = (ix) k k=0 = 1 + ix x 2 2! i x 3 3! + x 4 4! + i x 5 5! x 6 6! i x 7 7! +... (1 x 2 2! + x 4 4! x 6 ) 6! i (x x 3 3! + x 5 5! x 7 ) 7! +... = ( 1) k x 2k +i ( 1) k x 2k+1 (2k)! (2k + 1)! k=0 k=0 }{{}}{{} cos(x) sin(x) = cos(x) + isin(x) = cis(x) k! Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Algebra 54/63

55 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen Euler sche Formel Ein sehr erstaunliches Resultat! Dieser Zusammenhang zwischen der komplexen Eponentialfunktion und den reellen trigonometrischen Funktionen nennt man Euler sche Formel: Satz (Eulersche Formel) e ix = cos(x) + isin(x) = cis(x) (21) Wir können nun eine komplexe Zahl auch wie folgt schreiben: Definition Seien r und ϕ der Betrag und das Argument einer komplexen Zahl z = a + ib = rcis(ϕ), so versteht man unter der Exponentialform von z die Darstellung: z = re iϕ (22) Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Algebra 55/63

56 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen Logarithmieren Die Exponentialform beinhaltet wie die goniometrische Darstellung den Betrag und das Argument der komplexen Zahl (also keine neuen Informationen), doch können nun bestimmte Rechnungen einfach einfach ausgeführt werden: Beispiel Wir suchen den natürlichen Logarithmus der komplexen Zahl z = 5 + 5i = 5 2cis ( ) 3π 4 = 5 2e i 3π 4. Wir wenden den Logarithmus auf z in der Exponentialform an: ( ln(z) = ln 5 ) 2e i 3π 4 Der Logarithmus eines Produktes ist gleich der Summe der Logarithmen der einzelnen Faktoren. Wir haben in der Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Algebra 56/63

57 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen Beispiel (Fortsetzung) Exponentialform das Produkt aus dem Betrag der komplexen Zahl mit der komplexen Exponentialfunktion z = re iϕ. Also finden wir: ( ln(z) = ln 5 ) ( ) 2 + ln e i 3π 4 Im zweiten Summanden (ln ( e iϕ) ) heben sich Logarithmus und Exponentialfunktion gegenseitig auf (Umkehrfunktionen): ( ln(z) = ln 5 ) 2 + i 3π 4 Definition Der komplexe Logarithmus einer komplexen Zahl z 0 ist wieder eine komplexe Zahl. Dabei ist der Realteil des Resultats gleich dem Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Algebra 57/63

58 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen Definition (Fortsetzung) Logarithmus des Numerus re ( ln ( re iϕ)) = ln(r) und der Imaginärteil gleich dem Argument des Numerus (plus ein ganzzahliges Vielfaches von 2π) re ( ln ( re iϕ)) = (ϕ + 2kπ), k Z. Also gilt: ln(z) = ln ( re iϕ) = ln(r) + i(ϕ + 2kπ), k Z (23) Beispiel ln( 1) =? - Den Numerus z = 1 in Exponentialform umwandeln: z = 1 = 1e iπ = e iπ. Nun kann der Logarithmus berechnet werden: ( ln( 1) = ln e i(π+2kπ)) = i(π + 2kπ) Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Algebra 58/63

59 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen Beispiel (Fortsetzung) ln( 10i) =? - Wieder den Numerus in die Exponentialform umwandeln: z = 10i = 10e i 3π 2. Logaritmieren: ( ln( 10i) = ln 10e i( 3π +2kπ)) ( ) 3π 2 = ln(10) + i 2 + 2kπ log 2 ( 2 2i) =? - Es gilt: z = 2 2i = 2e i 7π 4. Um die Aufgabe zu lösen, muss nun auch noch ein Basiswechsel vorgenommen werden: ( ) log 2 ( 2 ) ln 2e 2i) = log 2 (2e i 7π i 7π 4 4 = = ln(2) Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Algebra 59/63

60 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen Beispiel (Fortsetzung) = ln(2) + i ( 7π 4 + 2kπ) 7π 4 = 1 + i + 2kπ ln(2) ln(2) Bemerkung Neben dem Logarithmieren liefert die Exponentialform eine Möglichkeit des Potenzierens mit der komplexen Zahl im Exponenten. Wir wollen e z = e a+ib berechnen. Nun gilt: e z = e a+ib = e a e ib = }{{} e a cis( }{{} b ) (24) e z arg(e z ) Beispiel e 1+iπ =? - Direktes Berechnen liefert: Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Algebra 60/63

61 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen Beispiel (Fortsetzung) e 1+πi = e 1 e iπ = ecis(π) = e 2 i =? - Hier muss ein Basiswechsel vorgenommen werden: 2 i = e (ln(2i )) = e iln(2) = cis(ln(2)) ( i) i =? - Analog zum letzten Beispiel: ( ) ( i) i = e ln(( i) i ) = e iln( i) = e iln e i 3π 2 = e i 2 ( 3π 2 +2kπ) = e ( 3π 2 +2kπ) Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Algebra 61/63

62 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen MATLAB In MATLAB können die letzten Beispielaufgabe einfach berechnet werden: >>log(-1) => ans= i >>log(-10*i) => ans= i >>log2(sqrt(2)-sqrt(2)*i) => ans= i >>exp(1+i*pi) => ans= i >>2^i => ans= i >>(-i)^(-i) => ans= Achtung: Wenn es mehrere Lösungen gibt, liefert MATLAB bei der direkten Ausrechnung immer nur eine Lösung!! Roger Burkhardt Algebra 62/63

63 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen Berechnungen in den verschiedenen Darstellungsformen Bemerkung arithmetische Form z = a + ib goniometrische Form z = rcis(ϕ) Exponentialform z = re iϕ ln( ) ( ) a Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Algebra 63/63