Singuläre Matrix: nicht invertierbar Det(A)=0

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1 Lineare Algebra Zusammenfassung Fabian Zwimpfer Lineare Gleichungssysteme Ax=b m= # Zeilen n= # Spalten r=rang (# nicht-0-zeilen)= # Pivots= # lin.unabh. Zeilen/Spalten= dim des aufgespannten Raums Pivotvariable: Variable über Pivot ( ) Nicht-Pivotvariablen=freie Parameter 0 r n,m ; n - r freie Parameter GS mind. eine Lösung: r=m, für beliebige rechte Seiten lösbar r<m, Verträglichkeit ok, nicht für beliebige rechte Seiten lösbar GS eindeutig lösbar: r=n GS keine Lösung: r<m, Vertr. nicht ok GS unendl. Lösungen: r=m < n, freie Parameter Quadratische Matrix: m=n r=m=n für bel. Rechte Seiten lösbar eindeutige Lösung r=m=n für bel. Rechte Seiten lösbar zugehörige homogene GS nur triviale Lösung Homogenes Gleichungssystem: alle rechten Seiten sind 0 r < n nichttriviale Lösung Matrizen Quadratische Matrix: n=m, regulär, für jedes b lösbar, homogenes GS nur triviale Lösung Nullmatrix: Alle Elemente sind 0 Diagonalmatrix: quadratisch, nur in Diagonalen sind Elemente 0: diag(a,b,c) Einheitsmatrix: Elemente diagonal 1, Rest 0 n 1 Matrix: Spaltenvektor Untere/Obere Dreiecksmatrix: Elemente oberhalb/unterhalt Diagonalen sind 0 Orthogonale Matrix: A T A=I n Quadratisch, regulär A ist invertierbar und A -1 =A T A und A -1 sind orthogonal AB ist orthogonal falls A,B orthogonal I n ist orthogonal Ax=b x=a -1 b=a T b Det(A)= ±1 Macht längentreue Abbildungen Skalaprodukt zweier Spalten =0 Singuläre Matrix: nicht invertierbar Det(A)=0 Reguläre Matrix: invertierbar! A -1 A=I n I n ist invertierbar und I -1 n =I n AB ist invertierbar und (AB) -1 =B -1 A -1 AT ist invertierbar und (A T ) -1 =(A -1 ) T Det(A) 0 r=n dim(kern(a))=0 Spalten/Zeilen linear unabhängig Ax=b eindeutig für jedes b lösbar Ax=0 hat nur die triviale Lösung -1 = Gleiche Matrizen: Anzahl und Werte der Elemente gleich Transponierte Matrix: Spiegeln an Diagonalen (A T ) T =A (A+B) T =A T +B T (AB) T =B T A T Rechenregeln m n n p = m p ; = = x + y + z A+B=B+A; (A+B)+C=A+(B+C) (AB)C=A(BC) ; (A+B)C=AC+BC AB BA LR-Zerlegung LR=PA ; P=Permutationsmatrix Gauss: LR=PA PAx=Pb LRx=Pb Lc=Pb nach c auflösen Rx=c nach x auflösen Lösung von Ax=b Determinanten Für n m Matrizen Zeile vertauschen Det wechselt vorzeichen Multiplikation einer Zeile mit a a Det Additionen innerhalb der Matrix egal für Det Det von Matrix mit zwei gleichen Zeilen =0 Eine Nullzeile Det=0 Det von Dreiecksmatrix = Produkt der Diag Det(rA)=r Det(A) Für n n Matrizen Det(A)=0 Ax=0 unendlich viele Lösungen Ax=b unendlich oder keine Lösung Det(A) 0 Ax=0 nur triviale Lösung Ax=b für jedes b eindeutig lösbar Det(A T )=Det(A)

2 A orthogonal Det(A)= ±1 A regulär Det(A) 0 und Det(A -1 )= Det(AB)=Det(A) Det(B) r=n Det(A) 0 = ±Produkt der Pivots r<n Det(A) = 0 LR=PA Det(A)=Det(P) Det(R) = (-1) Anzahl Zeilenvertauschungen Det(R) Det(P) Det(A) = (-1) AZ Det(A)= Det(R) Berechnung i. A. Evtl zuerst Gauss: Dreiecksforn oder Erschaffung von erleichternden Nullen in gewissen Spalten Entwicklung nach einer Spalte/Zeile Zeile auswählen und streichen, erstes Element darin wählen, dessen Spalte streichen, Det der übrigen Matrix ausrechnen, mit dem ersten Element multipliziern, wiederholen und addieren/subrahieren nach der Matrix Vektorräume Reeller/Komplexer Vektorraum=Menge von Objekten mit folgenden Eigenschaften: (A1): a+b=b+a (A2): (a+b)+c=a+(b+c) (A3): Es gibt einen Nullvektor 0, es gilt: a+0=a (A4): Zu jedem Vektor gibt s Gegenvektor a, es gilt: a+(-a)=0 (M1): α(βa)=(αβ)a (M2): (α+β)a=αa+βa, α(a+b)= αa+ αb (M3) :1a=a BSP : R 2, R 3, C n, C(a,b), Polynome Unterraum Eine nichtleere Teilmenge von U von V heisst Unterraum falls: 1) a,b und a+b ϵ U 2) a ϵ U und αa ϵ U Nicht alle Teilmengen von Vektorräumen sind wieder Vektorräume A1-M3 überprüfen!! V selbst und der Nullvektor sind immer Unterräume von V. U 1 U 2 und U 1 +U 2 sind Unterräume von V Linearkombination b=x 1 a (1) +x 2 a (2) + +x n a (n) Erzeugendensystem Kann jeder Vektor b eines endlichdimensionalen Vektorraumes V durch die Vektoren a (1) a (n) dargestellt werden, soi st a (1) a (n) ein Erzeugendensystem von V. span(a (1),,a (n) ) Erzeugendensystem V endlichdimensional Basis a (1) a (n) erzeugend und linear unabhängig Gauss: r = # lin.unabh. Vektoren= dim(v) m=zeilen n=spalten/unbekannte r=n: linear unabhängig r<n: linear abhängig mehr Vektoren als Dimension überflüssig, weniger Vektoren als Dimension sind nicht erzeugend r=m: erzeugend r<m: nicht erzeugend r=m=n: Basis Basis konstruieren:

3 Beispiele Weil Spalten mit Pivotvariabeln! Maximumnorm für Funktionen : Basis konstruieren (Unterraum): Betragsmässig grösster Funktionswert Skalarprodukt für Komplexe Vektorräume Matrix-Normen Orthogonalität Zwei Vektoren senkrecht aufeinander, falls (x,y)=0= =cosφ Vektor-Normen Eine Norm (=Länge) ist eine Vorschrift, die jedem Vektor eine reelle Zahl zuordnet, falls: (N1a) 0 (N1b) =0=a (N2) = (N3) + Vektorraum V mit Skalarprodukt Vom Skalarprodukt induzierte Norm Skalarprodukt Vorschrift, die zwei Vektoren (x,y) eine Zahl zuordnet, falls: Orthonormale Basis Paarweise orthogonale Einheitsvektoren in V sind linear unabhängig und bilden eine orthonormale Basis.

4 Eine Basis in n-dimensionalem V lässt sich eine Basis b (1) b (n) in eine orthonormale Basis e (1) e (n) überführen mit folgender Eigenschaft: e (1) ; e (1),e (2) ; e (1),e (2),e (3). Spannen die gleichen Unterräume auf wie b (1) bzw b (1),b (2) bzw b (1),b (2),b (3). Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren Ausgleichsrechnung Methode der kleinsten Quadrate 1. Fehlergleichung: Ax-c=r r: Residuenvektor 2. Normalengleichung: A T Ax=A T c nach x auflösen minimal Beispiel mit Funktion: Sind die Spalten der Koeffizientenmatrix A linear unabghängig, so besitzt die Normalgleichung eine eindeutige Lösung. QR-Zerlegung Bestimmung von Q durch Givensrotationen:

5 Dim( (BildA)=Rang von Ax=b Dim( (BildA)+Dim(KernA)=dim(V n )=n Dim( (BildA)=Dim(BildA T ) RangA=RangA T BildA steht senkrecht auf KernA T (Skalarprodukt =0) Lineare Abbildungen Regeln: b liegt genau dann in Bild(A), wenn GS Ax=b lösbar ist Kern(A)=, Lösungsmenge von Ax=0 und ist Unterraum von V n Bzw F(x)=0 Dim(KernA)= n r Bild(A): und ist Unterraum von V n Bzw y=f(x) Berechnung: Wähle linear unabhängige und erzeugende Spaltenvektoren von A Pivotspalten nach Gauss

6 Zusammensetzung von linearen Abbildungen Zusammensetzung von linearen Abbildungen ist wieder linear Umkehrbare Abbildungen, lineare Selbstabbildung Ähnliche Matrizen Zwei quadratische Matrizen sind ähnlich falls gilt: B=T -1 AT A und B haben dieselben Eigenwerte. Orthogonale Abbildungen: Längetreu Winkeltreu Die Spalten von A bilden eine orthonormale Basis A T A= =I n, A T =A -1, 2=1 Geometrische Interpretation von Abbildungen Koordinatentransformation: x=ty Eine Koordinatentransformation ist eine umkehrbare lineare Abbildung. In den Spalten von T stehen die n linear unabhängigen neuen Basisvektoren Die neue Abbildungsmatrix B erhält man aus AT=BT Tb (1) =(AT) (1), Geometrische Interpretation von Matrizen

7 Berechnung einer Abbildungsmatrix Das Eigenwertproblem Eigenwert: λ ist Eigenwert einer Matrix A falls Ax=λx (bzw (-A)x= (-λ)x) eine Lösung hat. Det(A- λi)=0 Eigenwerte von A Berechnung: Eigenvektor: Der Vektor x von Ax=λx heisst Eigenvektor der Matrix A zum Eigenwert λ. Eigenvektor= Lösung von (A- λ 1 I)x=0 Eigenraum: E λ : Eigenvektoren zu einem Eigenwert spannen den Eigenraum auf. E λ : Menge aller Lösungen von (A- λ 1 I)x=0 Dim(E λ )=Anzahl n-r freie Parameter = geometrische Vielfachheit Algebraische Vielfachheit: Vielfachheit eines Eigenwerts. P A (λ) ist das charakteristische Polynom n-ten Grades der Matrix A. Die Eigenwerte sind die Nullstellen dieses Polynoms und müssen nicht zwingend verschieden sein. Eigenbasis Eigenvektoren von verschiedenen Eigenwerten sind linear unabhängig. Anzahl linear unabhängiger Vektoren = Summe der geom. Vielfachheiten der Eigenwerte Eine Basis von Eigenvektoren einer Matrix A nennt man eine Eigenbasis. Diese existiert genau dann, wenn die Summe aller geom. Vielfachheiten einer n n-matrix gleich n sind, dh: wennn für jeden Eigenwert alg. Vielfachheit=geom. Vielfachheit. Speziellee Matrizen: Matrizen, zu denen eine Eigenbasis existiert, sind von besonderer Bedeutung. Quadratische Matrix ist einfach, falls jeder Eigenwert alg. Vielfachheit 1 hat (und somit auch geom. Vielfachheit 1). Quadratische Matrix ist halbeinfach, falls für jeden Eigenwert alg. Vielfachheit=geom. Vielfachheit. einfache Matrizen sind auch halbeinfach zu jeder einfachen/halbeinfachen Matrix gibt es eine Eigenbasis jede einfache/halbeinfache Matrix ist diagonalisierbar Diagonalisierbarkeit: Matrix A ist diagonalisierbar falls es eine reguläre Matrix T gibt, so dass die Matrix D=T -1 AT eine Diagonalmatrix ist. D: In der Diagonalen stehen Eigenwerte von A T: Spalten von T bilden Eigenbasis zu A Anwendung: Lineare Abbildung besonders einfach, wenn Matrix Diagonalgestalt hat. D ist dann neue Abbildungsmatrix.

8 Zusammenhänge: Jede quadratische Matrix hat mindestens einen Eigenwert. Jede n n-matrix hat höchstens n Eigenwerte. Für jeden Eigenwert λ gilt: 1 alg. Vielfachheit n 1 geom. Vielfachheit alg. Vielfachheit Jede n n-matrix hat genau n Eigenwerte, wenn man sie mit ihrer Vielfachheit zählt. Für das charakteristische Polynom einer n n- Matrix gilt immer: Für jeden Eigenraum ist die geometrische Vielfachheit 1 aber geometrischen Vielfachheit des Eigenwertes. Ähnliche Matrizen haben dasselbe P A (λ) und somit dieselben Eigenwerte mit denselben algebraischen Vielfachheiten. Ist B=T -1 AT und ist x ein Eigenvektor von A zum Eigenwert λ, so ist y=t -1 x ein Eigenvektor von B zum selben Eigenwert λ. Det(A)= Hat die Matrix A den Eigenwert λ, so hat die Matrix A k den Eigenwert λ k Ist A invertierbar (also regulär) so ist 1/ λ ein Eigenwert von A -1. Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind linear unabhängig Eigenwertproblem symmetrischer Matrizen: Ist die Matrix A reell und symmetrisch, dann gilt: A T =A Alle Eigenwerte von A sind reell Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten stehen senkrecht aufeinander A ist halbeinfach (alg. Vielf.=geom. Vielf.) und somit diagonalisierbar Es gibt eine orthonormale Eigenbasis zu A (Schmidt-Verfahren) Es gibt eine orthogonale Matrix T, so dass T T AT=D diagonal ist. Eigenwerte in Diagonalen von D, Spalten von T entsprechende Eigenvektoren von A. Berechnung von y=a k x: 1. Bestimme EW und EV von A und die Matrizen T und D, so dass T -1 AT=D. 2. Löse das LGS Tz=x nach z auf. 3. Berechne D k (A k x=td k T -1 x), dann w:=d k z. 4. Berechne y=tw. Achtung! Ist A symmetrisch, dann T orthogonal und es gilt A k =TD k T T, kein LGS nötig. Matrixexponentialfunktionen: e D =diag( (e λ1,,e λn ) e A =Te D T -1 e A e B =e A+ +B AB=BA A= Eigenwerte λ 1 =1, λ 2 =0 e A = Kondition einer Matrix: κ(a)= κ(a)= κ(a)= - - falls A symmetrisch Anwendungen zum Eigenwertproblem Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung: Detailliertes Verfahren zur Lösung eines Anfangswertproblems 2. Ordnung:

9 Harmonischer Oszillator: Beispiel : Beispiel2: Lineare Differentialgleichungssysteme 1. Ordnung: Anfangswertproblem: (t)=ay(t), y(0)=y 0 Lösen des Eigenwertproblems von A T=(u (1),,u (n) ) Eigenvektoren von A T -1 AT= =D=diag(Eigenwerte von A) y(t)=tx(t) (t)=dx(t) Transformation, System entkoppelt 0 Tx(0)=y Allgemeine Lösung: Lösen von Tc=y 0 mit LR Zerlegung oder falls T orthogonal mit Multiplikation mit T T

10 Behandlung komplexer Eigenwerte: Matrixexponentialfunktionen: y(t)=e ta y 0 y (t)=ae tat y 0 =Ay(t) y(t)=te td T -1 y 0 Dann gleiche allgemeine Lösung wie bei Differentialsystemen 1. Ordnung.

11 Kurven 2. Ordnung: Ellipse/Hyperbel allgemein dargestellt durch quadratische Gleichung: a 11 x a 12 x 1 x 2 +a 22 x 2 2 =1 Wählt man deren Hauptachsen als Koordinatenachsen entfällt der gemischte Term. Symmetrische Matrix A x T Ax=1 Transformation mit T: orthogonal x=tx x T (T T AT)x =1 Standardform T T AT=D=diag(Eigenwerte von A) Gleichung in transformierten Koordinaten: x T Dx =1 bzw. λ 1 x 1 2 +λ 2 x 2 2 =1 Orthonormale Eigenvektoren von A (in T)bestimmen die Richtungen der Hauptachsen. Die Eigenwerte von A bestimmen die Hauptachsenkoordinaten. Positive Koeffizienten Ellipse Unterschiedliche Vorzeichen Hyperbel Flächen 2. Ordnung: Normalformen Normalform von Matrix Matrix hat möglichst einfache Gestalt BSP: eine halbeinfache Matrix besitzt eine Diagonalmatrix als Normalforn ( lineare Abbildungen!!) Symmetrische Matrizen: Inverse: Wurzel : 1/v : Division : A^(-1), oder inv(a) sqrt(x) v^(-1) A/B Rückdivision : B\A LGS : Ax=b x=a\b LR-Zerlegung : A= b=[ ] [L,R,P]=lu(A) y=l\(p*b) x=r\y QR-Zerlegung : [Q,R]=qr(A) 1. x Zeilen und y Spalten: R0=R[1:x,1:y] Eigenwerte: [T,D]=eig(A), wobei EV in T und EW in Diagonalen von D T=[.1:.1:1] erzeugt Spaltenvektor in 0.1er Schritten von 0.1 bis 1 14 Nachkommastellen: format long Diagonalmatrix: Einheitsmatrix: diag[ ] eye(n) Rest siehe Anhang Analog zu Kurven: Transformation über x T Ax=1, x=tx, x T Dx =1 Orthonormale Eigenvektoren von A (in T)bestimmen die Richtungen der Hauptachsen. Positive Koeffizienten Ellipsoid Unterschiedliche Vorzeichen Hyperboloid MATLAB-Befehle: Matrix: A=[1 2;3 4] Multiplikation: A*B Determinante: det(a) Transponierte: A, oder transpose(a)