(a) Laurentreihe. Dann gilt:a n = 0 n Z mitn<0. (a) Laurentreihe. Dann gilt: (1): k N:a k 0 und (2):

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1 Lösungen ur Funktionentheorie Blatt Ergänendes Material: In der Funktionentheorie gibt drei Arten von isolierten Singularitäten: Hebbare Singularitäten, Pole Polstellen und wesentliche Singularitäten. Dabei gehören die hebbaren Singularitäten und die Polstellen u den außerwesentlichen Singularitäten. Für die Klassifiierung der Art einer Singularität gibt es verschiedene Möglichkeiten:. Hebbare Singularitäten: D C offen, a D, f : D\{a} C holomorph, d.h. a ist eine isolierte Singularität von f. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: a:aist hebbar b: U : Ua D C 0 U : f C Riemannscher Hebbarkeitssat c: ordf,a 0 d: a ist eine außerwesentliche Singularität und kein Pol e: f lässt sich analytisch in a fortseten f: 0 r <r mitr r,r a :{ C r < a <r } D, f a n a n R r,r a Laurentreihe. Dann gilt:a n 0 n Z mitn<0 n d.h. der Hauptteil der Laurentreihe verschwindet identisch. g: w C: lim f w a, D\{a}. Polstellen Pole:D Coffen,a D,f :D\{a} Cholomorph, d.h.aist eine isolierte Singularität von f. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: a:aist ein Pol b: k N : a k f besitt eine hebbare Singularität ina c: ordf,a<0 d: a ist eine außerwesentliche Singularität und nicht hebbar e: 0 r <r mitr r,r a :{ C r < a <r } D, f a n a n R r,r a Laurentreihe. Dann gilt: : k N:a k 0 und : f: n n< k:a n 0, d.h. der Hauptteil der Laurentreihe bricht nachk Gliedern ab. In diesem Fall beeichnet k die Ordnung der Polstelle. lim f d.h. C> 0 δ> 0 D mit 0< a <δ: f C a, D\{a} 3. Wesentliche Singularitäten:D Coffen,a D,f :D\{a} Cholomorph, d.h.aist eine isolierte Singularität von f. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: a: a ist eine wesentliche Singularität b: b C ε>0 D Ua : f b <εd.h. In jeder noch so kleinen punktierten Umgebung vonakommtf jedem beliebigen Wertb C beliebig nahe. c: a ist nicht außerwesentlich d.h. a ist weder eine Polstelle noch eine hebbare Singularität d: 0 r <r mitr r,r a :{ C r < a <r } D, f a n a n R r,r a Laurentreihe. Dann gilt:a n 0 für unendlich viele e: n n Z mitn<0 lim f existiert nicht a, D\{a}

2 Lösungen ur Funktionentheorie Blatt Aufgabe 44 Berechnen Sie die Laurent-Entwicklung von + für > Lösung: Die Funktion f + +i i besitt in den Punkten ±i wei Singularitäten. Die Laurent-Entwicklung soll in R, { C < < } durchgeführt werden.. Schritt: Partialbrucherlegung, PBZ + +i i Wir erhalten die wei Bedingungen :A +B 0 :ib A! A +i + B A +B + B Ai i +i i Da diese wei Gleichungen die LösungenA i undb i besiten, folgt die PBZ + i +i + i i C\{i, i}. Schritt: Laurentreihenentwicklung inr,. Wir führen unächst die Laurent-Entwicklung von + inr, durch. Man beachte dabei, dass wir dar, den Mittelpunkt besitt den Nenner mit± ergänen, ehe wir die geometrische Reihe anwenden: +i + +i +i n +i n +i n n n +i n n n n +i n n n Dabei liegt die Begründung der Anwendung der geometrischen Reihe inr, verborgen, denn es gilt: +i < +i < Auf die selbe Weise erhalten wir: i + i i i n i n n n i n n n n i n n n n

3 Lösungen ur Funktionentheorie Blatt Auch in diesem Fall liegt die Begründung der Anwendung der geometrischen Reihe inr, verborgen, denn es gilt: i < i < Damit erhalten wir unächst einmal wobei + a n : i +i + i i n n i n n i +i n i n n +i n i n n n { n i +i n i n, fallsn Z mitn 0, fallsn Z mitn>. Für den Zähler schreiben wir wegen des Entwicklungspunktes : a n n +λ +µ, wobeiλ,µ C noch geeignet u wählen sind Multipliieren wir die rechte Seite aus, so erhalten wirλ undµ Die vollständige Laurentreihen-Entwicklung erhalten wir jett aus unseren bisherigen Resultaten und einer Indexverschiebung der Laurentreihe: wobei [ ] + + b n : n a + a n n+ + a n n + n a n n n n n a n n+ a n n a n + a n n a n + a n, fallsn Z mitn<0 a, fallsn Z mitn 0 0, fallsn Z mitn>0 n Aufgabe 45 Bestimmen Sie die Residuen der folgenden Funktionen in 0: b n n R, : + 3 : 4 + 3: e 3 4: sin 4 Lösung: u :. Möglichkeit: Rechenregeln. Rechenregel:U C offen,c U undf :U C meromorph. Dann gilt: f besitt inceinen Pol. Ordnung Res c f lim c c f 3

4 Lösungen ur Funktionentheorie Blatt BetrachteU : C,c : 0 U undf :U C mitf : + ist meromorph aufu denn:f :U\{c} C ist holomorph inu\{c},{c} ist diskret inu undf besitt inceinen Pol. Daf inc0einen Pol. Ordnung besitt, gilt nach der Rechenregel: + lim + lim Bemerkung: Es ist auch möglich, unächst die C-Linearität der Residuumfunktion ausunuten Da die Funktiong : C Cmitg :insbesondere im 0 holomorph ist, folgt 0. Die Funktionh:C Cmith : ist meromorph und besitt in 0 einen Pol. Ordnung. Nun können wir analog wie oben mit Hilfe der Rechenregel Res 0 folgern und erhalten dasselbe Resultat wie bereits uvor.. Möglichkeit: Laurententwicklung, Laurentreihe. Aus + + erhalten wir direkt die Laurentreihe vonf aufr 0, 0 :{ C 0< < } mit Zentrum 0, indem wira n : n Z mitn {, } unda n : 0 n Z mitn/ {, } seten. Es gilt daher + + n a n n Das Residuum erhalten wir jett direkt ausa + a 3. Möglichkeit: Cauchysche Integralformel für Kreisscheiben. BetrachteU : C,f :U C mitf : + holomorph auf C,c : 0 U,B:B ρ 0 :{ C <ρ} offene Kreisscheibe mit Mittelpunktc 0 und Radiusρ>0 beliebig klein,b U,ζ: 0 B. Dann folgt aus der Cauchyschen Integralformel für Kreisscheiben CIF: + πi ρ + d πi B ρ0 + d CIF u :. Möglichkeit: Rechenregeln. Rechenregel:U C offen,c U undf :U C meromorph. Dann gilt: f besitt inceine hebbare Singularität Res c f 0 πi πi 0 + }{{} BetrachteU : C,c: 0 undf : C Cmitf : 3 ist meromorph aufu denn mit der 4 + PolstellenmengeV :{, 4 +i 4, 4 +i 4, 4 i 4, 4 i 4} vonf gilt:f :U\V C ist holomorph inu\v,v ist diskret inu undf besitt in jedem Punkt vonv einen Pol. Daf im Punkt c 0 U\V holomorph ist und dort somit keinen Pol besitt, gilt nach der Rechenregel: Möglichkeit: Laurententwicklung, Laurentreihe.. Schritt: Partialbrucherlegung, PBZ 4 + A B 4 +i 4 D 4 i 4 C 4 +i 4 4 E 4 i 4 f0

5 Lösungen ur Funktionentheorie Blatt Die Lösung dieser Partialbrucherlegung A 3 B 3 4 [ 48 ] [ 5 4 +i + ] C 3 4 [ + 48 ] [ 5 4 +i + ] 3 4 D E [ + ] [ i + ] [ ] [ i + ] 3 4 Der Übersichtlichkeithalber verwenden wir im folgenden Verlauf weiterhin die Beeichnungen A, B, C, D, E.. Schritt: Laurentreihenentwicklung inr 4, 0 Für den Term A A erhalten wir aus der geometrischen Reihe A n A n A n A n n Dabei liegt die Begründung der Anwendung der geometrischen Reihe inr 4, 0 verborgen, denn es gilt: < < Die restlichen vier Terme lassen sich gleichermaßen berechnen. Exemplarisch führen wir dies für den Term B durch. 4 +i 4 B B 4 +i 4 4 +i 4 B 4 +i n 4 n B 4 +i 4 n n B 4 +i n n 4 Dabei liegt die Begründung der Anwendung der geometrischen Reihe inr 4, 0 verborgen, denn es gilt: 4 +i 4 < 4 + Insgesamt erhalten wir die folgende Laurentreihe um n 4 +i 4 < [ A +B 4 +i n 4 +C 4 +i n 4 +D 4 i n ] 4 +E 4 i n 4 n R 4, 0 Multipliieren wir diese mit dem noch fehlenden Term 3, so erhalten wir nach einer Indexverschiebung die gesuchte Laurentreihe um n [ A +B 4 +i n+ 4 +C 4 +i n+ 4 +D 4 i n+ ] 4 +E 4 i n+ 4 n R 4, 0 5

6 Lösungen ur Funktionentheorie Blatt Das Residuum erhalten wir jett direkt ausa 4 + a A +B 4 +i 3 4 +C 4 +i 3 4 +D 4 i 3 4 +E 4 i Möglichkeit: Cauchysche Integralsat für Kreisscheiben. BetrachteU :B ρ 0 offen mitρ<beliebig klein insbesondereρ< undf :U C mitf : holomorph aufu. Da B ρ0 also ρ ein geschlossener Integrationsweg ist, gilt nach dem Cauchyschen Integralsat für Kreisscheiben CIS: CIS 0 u 3:. Möglichkeit: Rechenregeln. Rechenregel:U C offen,c U,m N undf :U C meromorph. Dann gilt: d m f besitt inceinen Polm-ter Ordnung Res c f lim cm f c m! dm BetrachteU : C,c : 0 U undf :U C mitf : e ist meromorph aufu denn:f :U\{c} C 3 ist holomorph inu\{c},{c} ist diskret inu undf besitt inceinen Pol. Daf inc0einen Pol e 3. Ordnung besitt denn für die UmgebungB 0 U vonc0gilt lim k für k {0,, } und e ist aufb 0\{0} beschränkt, gilt nach der Rechenregel: e d 3 3 lim 0 3! d e d 3 lim 0 d e lim 0 e. Möglichkeit: Laurententwicklung, Laurentreihe. Aus der Darstellung der Exponentialreihe erhalten wir direkt die Laurentreihe e 3 3 n! n n! n 3 n 3 Das Residuum erhalten wir jett direkt ausa e 3 a n + 3! n 3. Möglichkeit: Verallgemeinerte Cauchysche Integralformel für Kreisscheiben. BetrachteU : C,f :U C mitf :e holomorph auf C,c : 0 U,B :B ρ 0 :{ C <ρ} offene Kreisscheibe mit Mittelpunktc0und Radiusρ>0beliebig klein,b U,ζ : 0 B und n : N. Dann folgt aus der verallgemeinerten Cauchyschen Integralformel für Kreisscheiben CIF: e 3 e πi ρ 3d πi B ρ0 e CIF 3d πi πi! }{{} e 0 f 0 u 4:. Möglichkeit: Rechenregeln. Rechenregel:U C offen,c U,m N undf :U C meromorph. Dann gilt: d m f besitt inceinen Polm-ter Ordnung Res c f lim cm f c m! dm BetrachteU : C,c: 0 U undf :U C mitf : sin ist meromorph aufu denn:f :U\{c} C 4 ist holomorph inu\{c},{c} ist diskret inu undf besitt inceinen Pol. Daf inc0einen Pol 3. 6

7 Lösungen ur Funktionentheorie Blatt sin Ordnung besitt denn für die UmgebungB 0 U vonc0gilt lim 0 0 k für 4 k {0,,, 3} und sin 0 3 ist aufb 4 0\{0} beschränkt, gilt nach der Rechenregel und der Regel von L Hospital LH: sin d 3 sin 4 lim 0 3! d lim sin cos + sin 0 HR lim 0 3 d 3 d sin cos + sin 3 d 3 d 3 3 lim cos + 4 sin + cos lim 0. Möglichkeit: Laurententwicklung, Laurentreihe. Aus der Darstellung der Sinusreihe erhalten wir direkt die Laurentreihe sin 4 4 n n +! n+ n n +! n 3 d d sin Das Residuum erhalten wir jett direkt ausa, wobeia den Koeffiient von beeichnet d.h. für n : sin 4 a +! 6 Bemerkung: Daa 3 0 a 3 beeichnet den Koefiienten von 3 und allea n 0 fürn Nmitn>3 a n beeichnet den Koeffiiente von n, besitt die Funktion sin in 0 einen Pol 3. Ordnung Möglichkeit: Verallgemeinerte Cauchysche Integralformel für Kreisscheiben. BetrachteU : C,f :U C mitf : sin holomorph auf C,c: 0 U,B:B ρ 0 :{ C <ρ} offene Kreisscheibe mit Mittelpunktc 0 und Radiusρ>0 beliebig klein,b U,ζ: 0 B und n : 3 N. Dann folgt aus der verallgemeinerten Cauchyschen Integralformel für Kreisscheiben CIF: sin 4 sin πi ρ 4 d sin CIF πi B ρ0 4 d πi πi cos0 3! }{{} 6 f 3 0 Aufgabe 46 Bestimmen Sie die Residuen der folgenden Funktionen in : : + : n Lösung: u :. Möglichkeit: Rechenregeln. Rechenregel:U C offen,c U undf :U C meromorph. Dann gilt: f besitt inceinen Pol. Ordnung Res c f lim c c f BetrachteU : C,c: U undf :U C mitf : ist meromorph aufu denn: + f :U\{,, } Cist holomorph inu\{,, },{,, } ist diskret inu undf besitt in 7

8 Lösungen ur Funktionentheorie Blatt jedem Punkt der Menge{,, } einen Pol. Daf inc einen Pol. Ordnung besitt, gilt nach der Rechenregel: Res + lim. Möglichkeit: Laurententwicklung, Laurentreihe. Die Funktion f lim besitt in den Punkten,, drei Singularitäten Polstellen der. Ordung. Die Laurent-Entwicklung wird in R 0, { C 0< <} durchgeführt.. Schritt: Partialbrucherlegung, PBZ Bemerke: Da wir eine Laurententwicklung um vornehmen und die Laurentreihe Terme der Art n aufweist, werden wir den bei der Partialbrucherlegung nicht weiter berücksichtigen. + + Wir erhalten die wei Bedingungen :A +B 0 : A +B! A + + B A +B + A +B Da diese wei Gleichungen die LösungenA undb besiten, folgt die PBZ C\{, }. Schritt: Laurentreihenentwicklung inr 0,. Wir führen unächst die Laurent-Entwicklung von ++ inr 0, durch. Man beachte dabei, dass wir dar 0, den Mittelpunkt besitt den Nenner geeignet ergänen, ehe wir die geometrische Reihe anwenden: n n n n+ Dabei liegt die Begründung der Anwendung der geometrischen Reihe inr 0, verborgen, denn es gilt: < < Auf die selbe Weise erhalten wir: n n n 3n+ 8 3

9 Lösungen ur Funktionentheorie Blatt Auch in diesem Fall liegt die Begründung der Anwendung der geometrischen Reihe inr 0, verborgen, denn es gilt: 3 < <3 Damit erhalten wir unächst einmal n n+ n n n+ 3 n+ n n n 3n+. Die vollständige Laurentreihen-Entwicklung erhalten wir jett aus unseren bisherigen Resultaten, der Multiplikation mit dem unächst vernachlässigtem Term und einer Indexverschiebung durch n n+ n+ n 3 n+ n+ n n+ 3 n+ n 3 n+ n R 0, n Das Residuum erhalten wir jett direkt ausa, wobeia den Koeffiient von beeichnet d.h. fürn : Res a Möglichkeit: Cauchysche Integralformel für Kreisscheiben. BetrachteU : C,f :U C mitf : ++ holomorph auf C\{, },c: U,B : B ρ :{ C <ρ} offene Kreisscheibe mit Mittelpunktcund Radiusρ>0beliebig klein insbesondereρ<,b U,ζ : B. Dann folgt aus der Cauchyschen Integralformel für Kreisscheiben CIF: Res + πi ρ πi B ρ + + d πi ++ u :. Möglichkeit: Rechenregeln. Rechenregel:U C offen,c U undf :U C meromorph. Dann gilt: ρ ++ d CIF d πi πi }{{} f f besitt inceinen Pol. Ordnung Res c f lim c c f BetrachteU : C,c: U undf :U C mitf : n n N ist meromorph aufu denn: f :U\{e j πi n j 0,...,n } Cist holomorph inu\{e j πi n j 0,...,n },{e j πi n j 0,...,n } ist diskret inu undf besitt in also fürj 0 einen Pol. Daf inceinen Pol. Ordnung besitt, gilt nach der Rechenregel: Res n lim n k0 k lim 9 n k0 k n

10 Lösungen ur Funktionentheorie Blatt. Möglichkeit: Laurententwicklung, Laurentreihe. Wählen N beliebig, aber fest. Die Funktion f n n j0 j besitt in den Punkten j :e j πi n jeweils Singularitäten Polstellen der. Ordung. Definiere R : Rn : min{ j j,...,n } und wähle 0<ρ<Rbeliebig, aber fest. Die Laurent-Entwicklung wird in R 0,ρ { C 0< <ρ} durchgeführt.. Schritt: Partialbrucherlegung, PBZ Für die Laurententwicklung betrachten wir die erneut dien-ten Einheitswureln j :e j πi n mitj N 0 und j 0,...,n. Mit Hilfe einer Partialbrucherlegung erhalten wir Koeffiienten C fürj 0,...,n mit f n n j0 j 0 n j j n j0 j Die Berechnung der s für ein allgemein vorgegebenesn N sei Aufgabe des aufmerksamen Lesers. Es sei lediglich darauf hingewiesen, dassa 0 n stets erfüllt ist.. Schritt: Laurentreihenentwicklung inr 0,ρ Wir bestimmen unächst für jeden dieser Summanden die Laurentreihe. Fürj 0 ist wegen 0 die Laurentreihe schlicht und ergreifend durch A 0 0 A 0 gegeben. Fürj,...,n erhalten wir aus der geometrischen Reihe GR j GR j + j + j j j k j k0 j j k j k k k0 k j k k j N mitj,...,n k0 Dabei liegt die Begründung der Anwendung der geometrischen Reihe inr 0,ρ verborgen, denn es gilt: j < < j e j πi n cos j π j,...,n n Die vollständige Laurentreihen-Entwicklung erhalten wir jett aus unseren bisherigen Resultaten durch: f n n n 0 j j j n k0j k j k k n k+ j k k k } j {{ } :a k k j k k k0 n k j k+ j k k Das Residuum erhalten wir jett direkt ausa, wobeia den Koeffiienten von beeichnet. Res n a A 0 n 0

11 Lösungen ur Funktionentheorie Blatt 3. Möglichkeit: Cauchysche Integralformel für Kreisscheiben. BetrachteU : C,f :U C mitf : holomorph auf C,c : U,B:B n ρ :{ C k0 k <ρ} offene Kreisscheibe mit Mittelpunktc und Radiusρ>0 beliebig klein mit ρ< e πi π n cos n π + sin n B U,ζ: B. Dann folgt aus der Cauchyschen Integralformel für Kreisscheiben CIF: Res n πi ρ πi ρ n d πi ρ n k0 k d πi B ρ n Aufgabe 47 Berechnen Sie die folgenden Integrale mit Hilfe des Residuensates: : : i e 4 d d k0 kd n k0 k CIF d n k0 }{{ k } f n πi πi Lösung: Erinnerung: Residuensat: U C offen, β nullhomologer Integrationsweg d.h. β geschlossener Integrationsweg, Spβ U und intβ U,A U diskret inu d.h.abesitt keine Häufungspunkte inu und A Spβ,f :U\A C holomorph. Dann gilt: :M :A intβ besteht aus endlich vielen Punkten : fd πi Ind β c Res c f β c M Rechenregel :U C offen,c U,m N undf :U C meromorph. Dann gilt: d m f besitt inceinen Polm-ter Ordnung Res c f lim cm f c m! dm u : Betrachte U : C offen. Für den Integrationsweg n β : B i : [0, π] C mitβt :i + eit - dieser ist gleichbedeutend mit i - gilt offenbar, dassβ geschlossen ist denn:β0 βπ +i, Spβ U denn: Spβ { C i } C und intβ U denn: intβ { C i < } C. Betrachte die MengeA :{,, i,i} aller Polstellen der Funktion f 4 + i +i Offenbar gilt, dassadiskret inu ist denn: Jede endliche Menge ist diskret und die BedingungA Spβ erfüllt ist denn:{,, i,i} { C i }. Desweiteren ist die Funktion f : C\{,, i,i} Cmitf : holomorph auf C\{,, i,i} bw.f : C Cmeromorph 4

12 Lösungen ur Funktionentheorie Blatt auf C. Der Residuensat liefert uns unächst, dass die MengeM :A intβ aus endlich vielen Punkten besteht denn:m :{,, i,i} { C i < } {i} und weiter folgt aus ihm B i 4 d πi Ind B ii Res i 4 πi i 4 Ind B ii π Z }{{} Z Hierbei erhalten wir den Wert des Residuums aus der obigen Rechenregel. Der Vollständigkeit und ur Übung berechnen wir alle 4 Residuen vonf: Daf in den Punkten,, i,i jeweils Pole erster Ordnung besitt gilt nach der obigen Rechenregel mit m Res 4 Res 4 lim Res i 4 Res i 4 lim i i lim + 4 lim 4 lim lim i +i 4 lim i 4 lim i u : Betrachte U : C offen. Für den Integrationsweg β : B 0 : [0, π] C mitβt : e it i +i + i +i + i + +i i i 4 i 4 4i i 4 i 4i i 4 - dieser ist gleichbedeutend mit - gilt offenbar, dassβ geschlossen ist denn:β0 βπ, Spβ U denn: Spβ { C } C und intβ U denn: intβ { C <} C. Betrachte die Menge A :{0}, die die einige Singularität der Funktion f e enthält. Offenbar gilt, dass A diskret in U ist denn: Jede endliche Menge ist diskret und die Bedingung A Spβ erfüllt ist denn:{0} { C }. Desweiteren ist die Funktionf : C\{0} C mitf e holomorph auf C\{0} bw. f : C C meromorph auf C. Der Residuensat liefert uns unächst, dass die MengeM :A intβ aus endlich vielen Punkten besteht denn:m :{0} { C <} {0} und weiter folgt aus ihm e d πi Ind B 00 e πi 0 Ind B 00 0 B 0 }{{} Z Hierbei erhalten wir den Wert des Residuums wie folgt: Zunächst besitt die Funktion e in 0 weder einen Pol noch eine hebbare Singularität, sondern eine wesentliche Singularität, da für die ugehörige Laurentreihe um 0 e n n! n! n n! }{{} :a n für unendlich vielen Z mitn<0 die Bedingunga n 0 erfüllt ist. Damit erhalten wir das Residuum ausa e a 0 n