Lineare Algebra I/II. Gioele Zardini 2. Juni 2017

Transkript

1 Lineare Algebra I/II Gioele Zardini Juni 7

2 Gioele Zardini Lineare Algebra II FS 7 Vorwort Dieses Skript wurde unter Verwendung meiner Notizen aus der Vorlesung von Professor Hungerbühler Lineare Algebra I/II und meinen Übungsstunden/PVK von 5/6/7 verfasst. Es dient die Möglichkeit, den Stoff der Vorlesung Lineare Algebra I und II zu wiederholen, indem man die wichtigste Konzepte mit den Theorieteilen noch anschauen und viele Beispiele und Übungen lösen kann. Die aktualisierte Version des Skriptes wird immer auf n.ethz.ch/ gzardini/ hochgeladen. Ich kann weder Vollständigkeit noch Korrektheit des Skriptes garantieren: es ist möglich dass kleine Fehler enthalten sind. Ich bin deshalb sehr dankbar, wenn mir diese gemeldet werden, so dass ich sie korrigieren und euch die Qualität des Skriptes garantieren kann. Viel Spass mit Lineare Algebra I und II! Gioele Zardini Versionenupdate Version : Juni 6 Version : September 6 Version 3: Juni 7

3 Gioele Zardini Lineare Algebra II FS 7 Inhaltsverzeichnis Lineare Gleichungssysteme 4. Schreibweisen Explizite Form Matrixschreibweise Lösungen finden: Gaussverfahren Erlaubte Operationen Kochrezept Folgerungen Beispiele Matrizen. Definition Spezielle Matrizen Die Transponierte Rechnen mit Matrizen Addition (m n + m n = m n) Multiplikation mit einem Skalar (α m n = m n) Multiplikation(m n n p = m p) Rechenregeln Die Inverse einer Matrix Berechnung der Inverse: Gauss-Jordan Algorythmus (Kochrezept) Rechnen mit Inversen Folgerungen der Invertierbarkeit Orthogonale Matrizen LR-Zerlegung Kochrezept Determinanten 3. Berechnung Berechnungsfälle Eigenschaften der Berechnung Rechenregeln Graphische Bedeutung Effiziente Berechnung der Determinante Determinante und lineare Gleichungssysteme Zusammenfassung Konzepte Weitere Beispiele Vektorräume Definition Struktur Normierte Vektorräume Das Skalarprodukt Gram-Schmidt Verfahren - Kochrezept

4 Gioele Zardini Lineare Algebra II FS 7 5 Lineare Abbildungen Definition und Beispiele Lineare Abbildungen und Matrizen Eigenschaften Kern und Bild Den Rang Zusammengesetzte Abbildungen Skalarprodukt und lineare Abbildungen Lineare Selbstabbildungen Koordinatentransformation und Basiswechsel Eigenwertproblem Definitionen Eigenwertproblem symmetrischer Matrizen Anwendungen Berechnung von A k x (Kochrezept) Berechnung von Matrixexponential e A (Kochrezept) Die Matrixnorm Die Hauptachsentransformation quadratische Formen Kegelschnitte Lokale Extrema Ausgleichsrechnung: Methode der kleinsten Quadrate 8 7. Normalgleichungen QR-Zerlegung QR-Zerlegung: Kochrezept Lineare Differentialgleichungen Lineare Systeme erster Ordnung Allgemeine Lösung Anfangswertproblem Lineare Systeme zweiter Ordnung Allgemeine Lösung Anfangswertproblem Rückführung von Differentialgleichungen n-ter Ordnung Inhomogene lineare Systeme Singulärwertzerlegung 6 9. Singulärwertzerlegung: Kochrezept Jordansche Normalform 9 Multiple Choice Fragen: 4

5 Gioele Zardini Lineare Algebra II FS 7 Lineare Gleichungssysteme Ein Lineares Gleichungssystem (LGS) ist in der Lineare Algebra eine Menge linearen Gleichungen mit einer oder mehreren Unbekannten, die alle gleichzeitig erfüllt sein sollen.. Schreibweisen Es gibt im Allgemein zwei Schreibweisen für Lineare Gleichunssysteme :.. Explizite Form a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b.. (.) Beispiel. a m x + a m x + + a mn x n = b n x + x = x 3x = (.).. Matrixschreibweise Es gilt wo Beispiel. Ax = b (.3) a a... a n a a... a n A =......, a m a m... a mn x x x =., x n b b b =. b m A = ( ), b = 3 ( ) (.4) Bemerkung. Wir sind in der Lineare Algebra an dieser letzte Schreibweise interessiert, um die Lösungen des LGS zu finden! 5

6 Gioele Zardini Lineare Algebra II FS 7. Lösungen finden: Gaussverfahren.. Erlaubte Operationen Die Erlaubte Operationen sind: Vertauschen von Zeilen oder Spalten (I) Vielfaches einer Zeile/Spalte zu einer anderen Zeile/Spalte addieren (II).. Kochrezept. Bringe das LGS auf Dreiecksform (Zeilenstufenform, ZSF) mit den Operationen (I) und (II). Rückwärtseinsetzen um die Lösungen zu finden 3. Es gibt dann drei verschiedene Fälle: Eindeutige Lösung Unendlich viele Lösungen Keine Lösung Beispiel 3. (Eindeutige Lösung) Lösung. Wir schreiben 6 II+ I III I 3 x x +x 3 = x + x 6x 3 = x x 3 = 3 A = 6, b = III+II 6 3 Jetzt, Rückwärtseinsetzen liefert x 3 =, x =, x =. 6

7 Gioele Zardini Lineare Algebra II FS 7 Beispiel 4. (Unendlich viele Lösungen) Lösung. Wir schreiben 5 4 III I II I 6 6 Ax = b, A = 5 4, b = III II Jetzt, wir müssen ein Parameter einführen: und mit Rückwärtseinsetzen erhalten wir..3 Folgerungen Sei x 3 = t x 3 = t, x = t, x = 3t. Definition. Der erste nichtverschwindenden Term einer Zeile eine in Zeilenstufenform gebrachte Matrix heisst Pivot-Element. Diese Elemente sind extrem nützlich weil wir sie als Bezug für das Gaussverfahren nehmen. Bemerkung. Falls man als Pivot wählt, sind die Rechnungen immer einfacher! 3 7 Beispiel Definition. Eine über einem Pivot Variable x k heisst Pivot-Variable. Alle übrigen Variablen heissen freie Variablen oder freie Parametern. Beispiel 6. ( ), x und x Pivot-Variablen, x 3 freie Parameter Definition 3. Ein LGS heisst homogen, falls b =. Man nennt dann es ein HLGS. Definition 4. r = Rang = Anzahl nichtnullenszeilen/spalten des auf der Zeilenstufenform gebrachtes Matrix. Der Rang einer Matrix kann auch als maximale Anzahl linear unabhängige Zeilen/Spalten der Matrix definiert werden (mehr dazu in nächsten Kapiteln!). 7

8 Gioele Zardini Lineare Algebra II FS 7 Bemerkung. Der Rang ist eindeutig bestimmt und ist für Matrizen und nicht für LGS definiert. Beispiel 7. Sei Es gilt hier 3 A = Rang(A) = r = 3 Definition 5. A m n bedeutet dass A hat: m Zeilen n Spalten Beispiel A 5 =...., A 7 = ( ).. Definition 6. Für A m n gilt immer r m und, falls m = n: r = Anzahl Pivot-Variablen n r = Anzahl freie Variablen Definition b... b b r+...., b m falls b r+ =... = b m =, dann man sagt dass die Verträglichkeitsbedingungen erfüllt sind. Man sagt dass das LGS konsistent, also lösbar, ist. falls irgendeiner b r+,..., b m, dann sind die Verträglichkeitsbedingungen nicht erfüllt und das LGS ist unlösbar. Beispiel 9. Gegeben sei das LGS Ax = b, hier es sollte gelten x 3 = 9, was nie der Fall ist. Das LGS ist unlösbar! 8

9 Gioele Zardini Lineare Algebra II FS 7 Theorem. Ein LGS hat mindestens eine Lösung g.d.w. entweder: r = m r < m Anzahl freie Variablen Theorem. Ein LGS hat genau eine eindeutige Lösung falls r = n = #Spalten. Theorem 3. Ein LGS hat unendlich viele Lösungen mit n-r freie Parametern, falls r < n. Theorem 4. Ein HLGS ist immer konsistent und besitzt immer die triviale Lösung x =. Ein HLGS besitzt auch nichttriviale Lösungen wenn r < n. Theorem 5. Sei m = n. Ein LGS Ax = b ist genau dann für ein beliebiges b lösbar, wenn das zugehörige HLGS Ax = nur die triviale Lösung besitzt. 9

10 Gioele Zardini Lineare Algebra II FS 7..4 Beispiele Beispiel. (Dimensionsanalyse) Es gilt: Elektronendichte [n] = cm 3 Massendichte [ρ] = g cm 3 Avogadro Zahl [N A ] = mol molare Masse [M] = g mol, und wir wissen dass n = ρ a M b N A c Frage: Finden Sie die Koeffizienten a, b, c. Lösung. Aus Gleichung cm 3 = ( g cm 3 ) a ( g mol )b ( mol )c erhalten wir das LGS Rückwärtseinsetzen führt zu a =, b =, c = und unsere Gleichung ist n = ( ρ N A M ). Bemerkung. Das wird zum Beispiel sehr nützlich in der Vorlesung Fluiddynamik I sein! Beispiel. (Fallunterscheidung) Wir haben hier ein LGS: x + ax +a x 3 = ax + x +a x 3 = a x + ax +x 3 = Frage: Für welche Werte von a hat das LGS eine, keine, unendlich viele Lösungen? Lösung. Wir schreiben unsere LGS mit der Matrixschreibweise und wir bringen es auf Zeilenstufenform: a a a a a a III a I II a I a a a a ( a) ( a) a( a ) a 4 ( a ) a a a a ( a) ( a) a 3 ( a) III a II Jetzt müssen wir eine Fallunterscheidung für a durchführen: a =,, liefert x = x = x 3 = also, x = a

11 Gioele Zardini Lineare Algebra II FS 7 a =,, wir müssen zwei freie Parametern einführen: seien x 3 = t u t, x = u, mittels Rückwärtseinsetzen folgt x = t u, also x = u, t u, t R a =, x = s. 4 Mittels Rückwärtseinsetzen folgt s also x = s, s R, wir müssen nur einen freien Parameter einführen: sei x 3 =, x = s a R\{ ; }, wir führen Rückwärtseinsetzen durch und finden: x 3 = ( a) ( a)(a +a+) = (a +a+), x = ( a) a ( a)x 3 ( a)(+a) =... = (a +a+), x = ax a x 3 =... = (a +a+) Bemerkung. Man sollte eine solche Prozedur immer anwenden: es dient eine komplette und klare Fallunterscheidung zu schreiben, ohne wichtige Lösungsteilen zu vergessen! Beispiel. Gegeben ist: 5 A = 4 4 8b 8b 4 a + 9 Frage: Für welche a, b R liegt x = 4 in Bild(A)? 3 Lösung. Wir schreiben unsere LGS um: b 4 III I II+4 I 8b 4 a III+II 5 4 8b a b 8b 4 a + 4 Wir haben gesehen, dass unseres LGS genau dann lösbar ist, wenn die Verträglichkeitsbedingungen erfüllt sind. Das ist der Fall, wenn a + 4 und also a 4.

12 Gioele Zardini Lineare Algebra II FS 7 Ist der Term 4 8b problematisch? Die Antwort lautet nein, da auch falls 4 8b =, bleiben die Verträglichkeitsbedingungen erfüllt! Die Antwort zur Teilaufgabe lautet also: x = 4 Bild(A) 3 für a 4 Bestimmen Sie den Rang von A in Abhängigkeit von a und b. Lösung. Anhand unsere Definitionen können wir folgendes schliessen: Rang(A) = 3 3 linear unab. Zeilen In ZSF: 3 nichtnullen Zeilen a 4 und b Rang(A) = 3 = freie Parameter In ZSF: eine Nullzeile a = 4 oder b = Rang(A) = 3 = freie Parametern In ZSF: zwei Nullzeilen a = 4 und b =

13 Gioele Zardini Lineare Algebra II FS 7 Matrizen. Definition Definition 8. Sei A m n, dann das Element der Matrix, welches in der i-ten Zeile und in der j-ten Spalte steht, schreiben wir als a ij oder (A) ij. Bemerkung. Falls alle Einträge zweier Matrizen A,B übereinstimmen, dann heissen die Matrizen gleich:. Spezielle Matrizen Definition 9. Eine n n-matrix heisst quadratische Matrix. (A) ij = (B) ij i, j (.) Definition. Sei A m n, falls a ij = für alle i, j, dann heisst A die Nullmatrix. Die Nullmatrix wird normalerweise mit bezeichnet. Definition. Die quadratischen Matrizen R bzw. L heissen obere bzw. untere Dreiecksmatrizen falls { r ij =, i > j (.) l ij =, i < j Beispiel L = 6 7, R = Bemerkung. Falls eine Matrix gleichzeitig R und L ist, dann heisst sie Diagonalmatrix (D) Beispiel 4. D = 3 Bemerkung. Falls d ij = für alle i, j dann heisst sie die Einheitsmatrix (I n ) Beispiel 5. I n = Definition. Eine n -Matrix heisst Spaltenvektor Eine n-matrix heisst Zeilenvektor Beispiel 6. 4 a = 5, b = ( 3 ) 6 3

14 Gioele Zardini Lineare Algebra II FS 7.3 Die Transponierte Definition 3. Mit A T bezeichnen wir die Transponierte von A und es gilt: (i) (a ij ) T = a ji (ii) (A m n ) T = A n m (iii) Falls A T = A man nennt A symmetrisch (iv) Falls A T = A man nennt A antisymmetrisch Beispiel 7. (Berechnung) T 4 7 = Bemerkung. Transponieren kann als Spiegelung um die Diagonale verstanden werden. Beispiel 8. (Symmetrie) T 3 = Rechnen mit Matrizen.4. Addition (m n + m n = m n) Definition 4. Seien A und B zwei m n-matrizen, dann gilt (a + b) ij = (a) ij + (b) ij. (.3) In anderen Worten werden addiert indem man die entsprechende Elemente addiert. (A + B) heisst dann Summe von A und B. Beispiel 9. ( ) ( ) ( ) 3 5 = Multiplikation mit einem Skalar (α m n = m n) Definition 5. Sei A eine m n-matrix, dann gilt α (a) ij = (α a) ij (.4) Beispiel. 6 ( ) = 3 4 ( 6 ) 8 4 4

15 Gioele Zardini Lineare Algebra II FS Multiplikation(m n n p = m p) Definition 6. Sei A eine m n-matrix und B eine n p-matrix, dann gilt (a b) ij = n (a) ik (b) kj. (.5) k= A B heisst dann Produkt von A und B. Um das besser zu verstehen schauen wir die Situation für den D Fall : ( ) ( ) ( ) a a b b a b = + a b a b + a b a a b b a b + a b a b + a b (.6) Bemerkung. Falls wir ein Produkt m n o p durchführen müssen, die Dimensionen n und o müssen übereinstimmen! In anderen Worten muss die Anzahl Spalten der erste Matrix mit der Anzahl Zeilen der zweite Matrix immer übereinstimmen. Beispiel. ( ) = 3 3 ( 9 ) Beispiel. ( ) 3 3 Das existiert nicht!.4.4 Rechenregeln.4.4. Addition und Mutiplikation (i) A + B = B + A (ii) A + B + C = A + (B + C) (iii) (A + B) C = A C + B C (iv) (A B) C = A (B C) (v) α (A + B) = α A + α B, α R (vi) α(β A) = (α β) A, α, β R (vii) Im Allgemein gilt A B B A.4.4. Transponierte (i) (A + B) T = A T + B T (ii) (A T ) T = A (iii) (A B) T = B T A T (iv) I T n = I n ( ) 5 6 5

16 Gioele Zardini Lineare Algebra II FS 7.5 Die Inverse einer Matrix Definition 7. Eine n n-matrix A heisst invertierbar (oder regulär, nicht singulär) falls es eine matrix B existiert, so dass A B = I n. (.7) Die Matrix B ist dann die Inverse von A und man bezeichnet sie mit A. Falls A nicht invertierbar ist, heisst sie singulär. Bemerkung. A ist eindeutig bestimmt..5. Berechnung der Inverse: Gauss-Jordan Algorythmus (Kochrezept) (I) A und I n nebeneinander schreiben: ( A ) ( I n ) (II) Wir wollen links die Einheitsmatrix bekommen: ZSF links erreichen, mittels bekannte Operationen durch Pivots teilen (um die gesuchte auf die Diagonale zu erhalten) Zeilen vertauschen Was sehr wichtig ist, ist dass alle durchgeführte Operationen müssen beidseitig angewendet werden(links und rechts)! (III) Am Ende erhalten wir ( I n ) ( A ) Beispiel 3. Berechnen sie A Lösung. 3 A = III I II+I 3 III II 4 3 II+III I+3 II ( ) III 3 = A 4 6

17 Gioele Zardini Lineare Algebra II FS 7.5. Rechnen mit Inversen (i) A A = I n (ii) (A ) = A (iii) (A B) = B A (iv) I n = I n (v) (A T ) = (A ) T.5.3 Folgerungen der Invertierbarkeit A ist invertierbar Ax = b is b lösbar Ax = b hat genau eine Lösung Ax = hat nur die triviale Lösung Rang(A) = n A ist singulär Ax = b hat entweder keine oder unendlich viele Lösungen Ax = hat unendlich viele Lösungen Rang(A) < n Beispiel 4. Frage: α B = β α α α β Für welche α, β R ist B singulär? Lösung. B ist singulär B ist nicht invertierbar Ax = hat unendlich viele Lösungen Rang(B) < n Wir bringen B auf die ZSF: α α α β α II I β 4 = β 4 α α β III α I β α (β α) (β + α) Und wir beobachten Rang(B) < n = 3 genau dann wenn β = 4 oder β = ±α Berechnen Sie Rang(B) in Abhängigkeit von α, β., β = 4 und α = ±β = ±4 Lösung. Rang(B)=, β = ±α, β 4 oder β = 4, α = ±β 3, β ±α, β 4 7

18 Gioele Zardini Lineare Algebra II FS 7.6 Orthogonale Matrizen Definition 8. Eine n n-matrix A heisst orthogonal falls es gilt Theorem 6. Seien A, B R n n orthogonal, dann gilt: (i) A ist invertierbar und A = A T (ii) Das Produkt A B ist auch orthogonal A T A = I n (.8) (iii) Die Spalten- bzw. Zeilenvektoren sind normiert (Betrag = ) und liegen senkrecht (Skalarprodukt =) aufeinander. Beispiel 5. (Given s Rotation) Wir bezeichnen die Rotation um die x Achse mit R x (φ) = cos(φ) sin(φ) sin(φ) cos(φ) Um den Effekt der Anwendung dieser Matrix auf Vektoren zu verstehen, wählen wir jetzt zwei Vektoren: a =, b = Es gilt und a neu = R x (φ) a = cos(φ) sin(φ) = sin(φ) cos(φ) b neu = R x (φ) b = cos(φ) sin(φ) = cos(φ) sin(φ) cos(φ) sin(φ) Bemerkung. Man sieht hier, dass a neu genau gleich a bleibt: wir haben eine Rotation um x Achse betrachtet und a liegt schon auf der x Achse, d.h. alles ist erwartet! Wir wollen jetzt die Orthogonalität von R x (φ) überprüfen, indem wir folgende Multiplikation durchführen: R x (φ) T R x (φ) = cos(φ) sin(φ) cos(φ) sin(φ) = = I 3 sin(φ) cos(φ) sin(φ) cos(φ) Also ist R x (φ) orthogonal. 8

19 Gioele Zardini Lineare Algebra II FS 7.7 LR-Zerlegung Motivation: LR-Zerlegung ist eine Alternative zur Berechnung der Lösungen eines LGS und ist sehr nützlich wenn man Ax = b für verschiedene b lösen will. Idee: Man schreibt für eine n n Matrix A die Relation P A = LR, wo L und R Links-bzw. Rechtsdreiecksmatrizen sind und P die Permutationsmatrix ist..7. Kochrezept Es sei Ax = b gegeben (I) Man schreibt I n und A nebeneinander ( I n ) ( A ) (II) Man wendet auf A Gauss an bis man die Zeilenstufenform erreicht hat, indem: Man wählt die Koeffizienten mit den die Pivotzeilen multipliziert werden müssen immer bezüglich die Operation Subtraktion, und nicht Summe! Bemerkung. Also z.b. II + I geht nicht, man muss II ( ) I schreiben und rechnen! Falls man Zeilen- oder Spaltenvertauschungen durchführen muss, macht man sie mit I n mit. (III) Die in ZSF gebrachte Matrix ist schon R Die Matrix L ist wie folgt definiert: (i) L hat Diagonalelemente (ii) Links zu den Diagonalelementen stehen die Koeffizienten aus (II) (iii) Die vertauschte I n ist P (IV) Man löst: Zuerst Lc = P b mit Vorwärtseinsetzen und man findet c Dann Rx = c mit Rückwärtseinsetzen und man findet x, die unsere Lösungsmenge ist. Beispiel 6. (Ohne Permutationen) Gesucht ist die Lösung von Ax = b mit 3 A = 6, b = 7 8 Lösung III ( ) I 4 II 3 I III ( ) II 4 3 9

20 Gioele Zardini Lineare Algebra II FS 7 Die erhaltene Matrix ist R. Falls wir jetzt die für den Gaussverfahren gewählte Koeffizienten betrachten, erhalten wir L = 3 Da wir keine Zeilen-/Spaltenvertauschungen durchgeführt haben P = Wir lösen jetzt Lc = P b, und da P die Identitätsmatrix ist, erhalten wir 3 Mittels Vorwärtseinsetzen erhalten wir Also Wir lösen jetzt Rx = c, und erhalten c =, c = 3, c 3 = 3 c = Mittels Rückwärtseinsetzen erhalten wir die allgemeine Lösung x = 3, x =, x 3 = Also 3 x =

21 Gioele Zardini Lineare Algebra II FS 7 Beispiel 7. (Mit Permutationen) Finde L, R, P so dass LR = P B für 3 B = Lösung I II III I 3 II I III ( 9) II 3 35 Die erhaltene Matrix ist R. Mit den Koeffizienten und den Vertauschungen erhalten wir L =, P = 9 Beispiel 8. Sei A = Frage: Berechnen Sie die LR-Zerlegung von A Lösung a 6 + 5a a 6 + 5a III 3,IV +I 5 5 II I 5 3 6a 4 + 5a IV ( ) I 5 5 III I 3 6a 6 + 5a IV ( a) I a

22 Gioele Zardini Lineare Algebra II FS 7 Die erhaltene Matrix ist R. Wir lesen aus der Operationen die Koeffizienten von L ab und erhalten L = 3 a Da wir keine Permutationen durchgeführt haben, ist die Permutationsmatrix 4.

23 Gioele Zardini Lineare Algebra II FS 7 3 Determinanten Definition 9. Die Determinante ordnet jeder n n-matrix A eine Zahl zu. Man benutzt die Notation det(a) oder A. 3. Berechnung 3.. Berechnungsfälle Bemerkung. Für,, 3 3 Matrizen gibt es einfache bestimmte Regeln um det(a) zu berechnen. Für die Berechnung für n n Matrizen im Allgemein, gibt es eine allgemeine Methode. Alle diese Verfahren sind mittels diese Fallunterscheidung beschrieben: n =, und Beispiel 9. n =, und Beispiel 3. und n = 3, und A = (a) (3.) det(a) = a (3.) det(35) = 35 ( ) a b A = c d (3.3) det(a) = a d b c (3.4) A = ( ) 3 7 det(a) = 3 7 = a a a 3 A = a a a 3 (3.5) a 3 a 3 a 33 det(a) =? Regel von Sarrus: Man schreibt neben A die erste zwei Spalten von A und man beachte dass det(a) = Σ(P rodukte in Hauptdiagonalrichtung P rodukte in N ebendiagonalrichtung) nämlich det(a) = (a a a 33 + a a 3 a 3 + a 3 a a 3 ) (a 3 a a 3 + a 3 a 3 a + a 33 a a ) 3

24 Gioele Zardini Lineare Algebra II FS 7 Beispiel 3. und 3 A = det(a) = ( ) ( ) = = 3 n beliebig, und + a a + a 3... a n a + a a 3... a n A = a 3 a + 3 a a 3n..... a n a n an3... a nn n det(a) = ( ) k+ a k det(a k ) k= Da diese Formel gar nicht offensichtlich ist, führen wir hier eine Kochrezept ein, die uns das Leben viel vereinfacht: Kochrezept: (I) Suche die Spalte/Zeile mit mehrere Nullen aus, fange mit dem ersten Element an und ßtreicheSZeile und Spalte der Element (II) Berechne die Determinante der Üntermatrix die aus das SStreichenëntsteht : falls die Matrix noch zu grossïst und man nicht die oben genannte Formeln benutzen kann, Schritt (I) wiederholen (III) Multipliziere diese Determinante mit dem Element und dem Vorzeichen (sieh Index links oben in der allgemeine Matrix) (IV) Addiere alle Ergebnisse für alle Elemente der Spalte/Zeile Beispiel 3. Sei 3 A = Um die Determinante zu berechnen, folgen wir die oben definierte Kochrezept: Wir wählen die letzte Zeile, die 3 Nullelemente entählt und setzen die Vorzeichen-Index ein 3 A =

25 Gioele Zardini Lineare Algebra II FS 7 also nach Kochrezept es gilt: det = () det = wo wir die schon berechnete Determinante benutzt haben. 3.. Eigenschaften der Berechnung Für die Berechnung der Determinante einer Matrix stehen uns zu verfügung viele Eigenschaften, die die Berechnung vereinfachen können, nämlich () Vertauscht man zwei Zeilen von A, so wechselt die Determinante das Vorzeichen () Addiert man ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen, so ändert sich die Determinante nicht (3) a a a 3... a n a a a 3... a n α a α a α a 3 α... α a n a a a 3... a n det a 3 a 3 a a 3n = α det a 3 a 3 a a 3n a n a n an3... a nn a n a n an3... a nn In Worten: Multipliziert ein Koeffizient alle Elemente einer Zeile, kann man das Koeffizient rausziehen. (4) Die Determinante einer Matrix mit zwei gleichen Zeilen ist (5) Die Determinante einer Matrix mit einer Nullzeile ist (6) det(α A) = α n det(a) für A n n (7) Die Determinante einer Dreiecksmatrix ist das Produkt der Diagonalelemente Bemerkung. Alle diese Eigenschaften gelten auch für Spalten! Beispiel 33. Sei A = Wir haben hier keine Nullen Elemente und deshalb ist diese Form nicht günstig für die Berechnung. Wir benutzen also Eigenschaft () und wenden Gauss an: 4 8 III I II I,IV I

26 Gioele Zardini Lineare Algebra II FS 7 Jetzt haben wir eine günstigere Zustand erreicht, weil die erste Spalte 3 Nullelemente enthält! Wir setzen also die Vorzeichen-Index ein und erhalten Es gilt also nach Kochrezept det(a) = () det 3 7 () det 3 7 +() det () det Wir sehen leicht dass die letzte drei Terme verschwinden. Wir könnten jetzt mit der Regel von Sarrus weitergehen aber um die neue Methode zu üben, benutzen wir nochmals die Kochrezept, indem wir die erste Zeilen wegen ihrem Null, wählen + det 3 7 = ( ) det Beispiel 34. Sei Man sieht leicht dass man einen Faktor 3 mit Also mit Eigenschaft (6) erhält man ( ) ( ) () det + ( ) det = ( 7 ) (3 ( 9)) = A = rausziehen kann, dann gilt det(a) = det(α B) α = 3 3, B = det(α B) = α n det(b) mit n = 3 da B eine 3x3 Matrix ist. Mit der Regel von Sarrus erhalten wir ( ) 3 3 det(a) = det = 3 7 [( ) ( )] = ( ) ( 99) = 3 6

27 Gioele Zardini Lineare Algebra II FS Rechenregeln Es gibt weitere Regeln die unsere Berechnungen vereinfachen können, nämlich (a) det(a) = det(a T ) (b) det(a B) = det(a) det(b) (c) det(a ) = det(a) Bemerkung. Falls A invertierbar ist, gilt det(a) ( ) A B (d) Falls M = und A,B,C Üntermatrizenßind, dann gilt C Bemerkung. A m m, B m n oder B n m, C n n det(m) = det(a) det(c) Beispiel 35. Seien dann gilt mit Regel (b) und mit Sarrus A = 3 4 6, B = 4 6 det(a B) = det(a) det(b) det(a) = ( ) ( ) = 6 det(b) = ( + + 4) ( ) = Also det(a B) = ( 6) = 7 Kontrolle. Man berechnet jetzt die Determinante der Produkt der zwei Matrizen. Es gilt A B = = und mit Sarrus det(a B) = det = ( ) ( ) = Man fühlt hier die Stärke von Regel (b) : schon mit einer nicht so komplizierte 3x3 Matrix, erhalten wir extrem grosse Zahlen, die die Berechnungen verlangsamen! 7

28 Gioele Zardini Lineare Algebra II FS 7 Beispiel 36. Sei Frage: Berechne det(a T ) Lösung. Es gilt 4 8 A = A T = und mit Sarrus 3 det(a T ) = det 4 4 = ( ) ( ) = 6 = det(a) 8 6 Bemerkung. Diese Gleichheit ist in Regel (a) beschrieben. Beispiel 37. Sei A = Frage: Bestimmen Sie die Determinante von (A T ) Lösung. Falls man Regeln (a) und (b) benutzt, man erhält det((a T ) ) = det(a T ) det(a T ) = det(a T ) = det(a) und da ( ) ( ) det(a) = det = det + det = 3 = gilt Beispiel 38. Sei Frage: Berechne det(a ) Lösung. Es gilt Mit Regel (c) erhalten wir Kontrolle. Es gilt und det(a) = det det((a T ) ) = = 4 A = det(a ) = A = ( ) 3 4 ( ) = 4 6 = 3 4 det(a) = ( 3 ) det(a ) = 3 = 8

29 Gioele Zardini Lineare Algebra II FS 7 Bemerkung. Diese Gleichheit ist in Regel (c) beschrieben. Beispiel 39. (a) Berechne a det(m) = det b c 5 d 4 Lösung. Man könnte alles Rekursiv mit der Kochrezept berechnen, aber es wäre eine ziemlich lange Berechnung. Was hier gefragt ist, ist Regel (d) anzuwenden. Um zu sehen wie diese Regel uns helfen kann, teilen wir die Matrix in 4 Blöcke a b 3 A M = = 7 C 4 7 c 5 d 4 Mit Bezug auf Regel (d) kann man jetzt die Matrizen so definieren mit a 4 7 A =, B =, C = b 3, D = c 5 d 4 7 A 4 4, B 4, C 4, D Bemerkung. Es ist immer gut die Dimensionen den Matrizen zu schreiben, so dass man sehen kann ob die Voraussetzungen der Anwendung der Regel (d) erfüllt sind. In diesem Fall sind sie offensichtlich erfüllt. Mit Regel (d) erhält man a det(m) = det(a) det(d) = det det c b B D

30 Gioele Zardini Lineare Algebra II FS 7 wobei a det = a det b 3 = a ( ) det = a (b 6) b 3 b und Es gilt also c det = c det(m) = a (b 6) ( c) (b) Für welche a,b,c,d ist M singulär? Lösung. M ist genau dann singulär wenn det(m) =, also für a =, b = 6, c = 3

31 Gioele Zardini Lineare Algebra II FS 7 3. Graphische Bedeutung Falls A eine -Matrix ist es gilt det(a) = Fläche des Parallelogramms das die zwei Spalten von A aufspannen (3.6) Falls A eine 3 3-Matrix ist es gilt det(a) = Volumen des Parallelepipeds das die drei Spalten von A aufspannen (3.7) Bemerkung. det(a) = Pyramidenvolumen (3.8) Effiziente Berechnung der Determinante Falls man die LR-Zerlegung einer Matrix hat, nämlich LR = P A, dann gilt det(a) = det(p ) det(r) = ( ) Anzahl Zeilen/Spaltenvertauschungen det(r) (3.9) 3.4 Determinante und lineare Gleichungssysteme det(a) det(a) = Ax = b is b lösbar Ax = b hat genau eine Lösung Ax = b hat entweder keine oder unendlich viele Lösungen Ax = hat nur die triviale Lösung Ax = hat unendlich viele Lösungen Rang(A) = n Rang(A) < n 3.5 Zusammenfassung Konzepte 3

32 Gioele Zardini Lineare Algebra II FS Weitere Beispiele Beispiel 4. Sei Frage: Man berechnet det(a) 3 A = Lösung. und dann V I det 3 3 = det III IV und so gilt 3 det = ( ) det 3 = (4 63 6) = Beispiel 4. Seien 4 3 A =, B = Frage: Gilt es det(a + B) = det(a) + det(b)? Lösung. Es gilt und weiter gilt 4 4 A + B = A = III II IV II 3

33 Gioele Zardini Lineare Algebra II FS 7 also und also weiter gilt det = ( ) III I II I ( ) ( ) det = ( ) det = ( ) 3 = B = IV II I 4 II und 45 5 det = ( ) det 3 6 = ( ) [(+54+5) (9+7+)] = Also gilt det(a) + det(b) = 3 + = 7 Jetzt berechnet man det(a + B) A + B = IV II I II,III II und det 7 9 = ( ) det 7 9 = ( ) 5 8 det 7 9 =... = 73 Man kann also schliessen dass die Gleichung nicht erfüllt ist, weil 7 73! 33

34 Gioele Zardini Lineare Algebra II FS 7 Beispiel 4. Gegeben sei Frage: Berechnen Sie die Determinante von A a b c d A = 3a b 3c d a b c d a b c d Lösung. Wir haben gelernt dass mit dem Gaussverfahren ändert sich die Determinante nicht. Es gilt a b c d a b c d 3a b 3c d III I, IV + I a b c d 5b 6c 5d II+3 I c a b c d 3d Diese Form ist viel günstiger, da wir eine Dreiecksform erreicht haben. Es gilt a b c d det 5b 6c 5d c = 3abcd 3d Beispiel 43. Gegeben sei a b c d b b d b c d d b d a c d b c d c c A = d b c d b b c b d c b d b b b c d d b d a d a c d a b c Frage: Berechnen Sie die Determinante von A Lösung. Panik! Aber warte! Die zweite Zeile und die sechste Zeile sind identisch: es folgt dass. det(a) = 34

35 Gioele Zardini Lineare Algebra II FS 7 4 Vektorräume 4. Definition Definition. Ein reeller Vektorraum V ist eine Menge von Objekten (Vektoren) für die, die Addition + und die Multiplikation mit einem Skalar α definiert sind. Man benutzt die Kürzung VR. Definition. Es gelten folgende Axiome (i) u, w V : u + w = w + u (4.) (ii) u, v, w V : (u + w) + v = u + (w + v) (4.) (iii) O V s.d. u V : u + O = u (4.3) Bemerkung. O heisst Nullvektor (muss nicht unbedingt sein!) (iv) u V u V s.d. (v) α, β R, u V : (vi) α, β R, u, w V : (vii) α, β R, u, w V : (viii) u V : u + ( u) = O (4.4) (α β) u = α (β u) (4.5) (α + β) u = α u + β u (4.6) α (u + w) = α u + α w (4.7) u = u (4.8) Bemerkung. Der Komplexe Vektorraum ist analog definiert und interessiert uns im Moment nicht Beispiel 44. (Der Vektorraum R n ) Beispiel 45. (Der Vektorraum C n ) Beispiel 46. (Der Vektorraum R m n ) x R n = x = x., mit x, x,..., x n R x n x C n = x = x., mit x, x,..., x n C x n R m n = reelle m n Matrizen 35

36 Gioele Zardini Lineare Algebra II FS 7 4. Struktur Definition. Eine nichtleere Teilmenge U eines Vektorraums V heisst Unterraum von V, falls (a) a, b U : a + b U (4.9) (b) a U, α R : α a U (4.) Bemerkung. Ein Unterraum ist selber ein Vektorraum. Das gilt offensichtlich nicht für jede Teilmenge eines Vektorraums! { ( ) } x Beispiel 47. Frage: Ist die Menge U = x = R s.d. x x ein Unterraum von R? Lösung. Man muss die oben definierte Bedingungen überprüfen: Falls wir z.b. Bedingung (a) anschauen, sehen wir sofort dass U kein Unterraum von R ist, weil z.b. mit ( ) ( ) a =, b = gilt aber und x a a = b b = c = a + b = ( ) c c = < Beispiel 48. Sei V = R n und A eine nxn-matrix. Wir betrachten als Teilmenge U von V die Lösungsmenge des LGS Ax =. Frage: Ist U ein Unterraum von V? Lösung. Seien a,b zwei Lösungen von Ax =, dann gilt Man überprüft Bedingung (a) für a+b gilt A a = A b = A (a + b) = A a + A b = Also ist a+b selber eine Lösung von Ax = und (a) ist erfüllt. Man überprüft Bedingung (b) für a+b und α R gilt A (α a) = α A a = α = Also α a ist selber eine Lösung von Ax = und auch (b) ist erfüllt. Da beide Bedingungen erfüllt sind, ist U ein Unterraum von V. 36

37 Gioele Zardini Lineare Algebra II FS 7 Beispiel 49. Frage: Sind folgende Mengen Unterräume von V = R? U = {A V s.d. A T = A} Lösung. Man muss die zwei Bedingungen uberprüfen. Man überprüft Bedingung (a): für U, U U gilt (U + U ) T = U T + U T = (U + U ) Also U + U ist selber in U enthält und deshalb ist Bedingung (a) erfüllt. Man überprüft Bedingung (b) für U, U U, α R gilt (α U ) T = α U T = α ( U ) = (α U ) Also ist α U selber in U enthält und deshalb ist Bedingung (b) erfüllt. Da beide Bedingungen erfüllt sind, ist U ein Unterraum von V. W = {A V s.d. det(a) = } Lösung. Man kann sofort schliessen dass W kein Unterraum von V ist, da det(u + U ) det(u ) + det(u ). Als Beispiele nimmt man und obwohl gilt U = ( ), U = ( ) det(u ) = det(u ) = det(u + U ) = det ( ) = Theorem 7. Seien U, U zwei Unterräume eines Vektorraums V. Dann sind U U = {u V s.d. u U und u U } = Durchschnitt (4.) U + U = {w = u + u V s.d. u U, u U } = Summe (4.) Bemerkung. {} und V sind beide als Unterräume von V zu verstehen. Beispiel 5. Wir definieren zwei Vektorräume x V = R4 mit x R, V = y y R4 mit y, y R Jetzt kann man z.b. die oben definierte Mengen anhand dieses Beispiel so sehen: x V V = R4 mit x R 37

38 Gioele Zardini Lineare Algebra II FS 7 s V + V = t R4 mit s, t R Definition 3. Seien v, v,..., v n Vektoren in einem Vektorraum V und a, a,..., a n R. Dann heisst n v = a i v i (4.3) i= die Linearkombination der Vektoren v, v,..., v n. Beispiel 5. Seien 3 v =, v =, v 3 =, v 4 = 4 Frage: Ist w = eine lineare Kombination von v, v, v 3, v 4? Lösung. Man muss drei Gleichungen lösen, also ein LGS 3 4 a + a + a 3 + a 4 = Also in Matrixschreibweise 3 4 III I Mit Rückwärtseinsetzen folgt III II Kontrolle. a = 5, a = a 3, a 3 beliebig, a 4 = 7 5 Man wählt z.b. a 3 = und man bekommt = Definition 4. U = { n i= a i v i, a i R} ist ein Unterraum von V, dann heisst der von v, v,..., v n aufgespannte oder erzeugte Unterraum. Notation span{v, v,..., v n }. 38

39 Gioele Zardini Lineare Algebra II FS 7 Beispiel 5. Seien p (x) = x 3 + x, p (x) = x x 4, p 3 (x) = 3x + 4, p 4 (x) = x + 3 Frage: (a) Man schreibe das Polynom x 3 + 3x als Linearkombination von p, p, p 3, p 4 Lösung. Man sieht leicht mit obigen Verfahren dass diese die gesuchte lineare Kombination ist p (x) + p (x) + p 4 (x) (b) Sind p, p.p 3 für P 4 (Polynome von Grad 4) erzeugend? Lösung. Es ist nie möglich durch eine lineare Kombination den obigen Polynomen, den 4-Grad zu beschreiben, da alle Polynome höchstens von Grad 3 sind! (c) Man berechne span{p, p, p 3, p 4 } Lösung. Die erste Idee man hier haben muss, ist dass die gesuchte Menge P 3 ist. Um das zu zeigen, muss man zeigen dass man die Elemente, x, x, x 3 durch die gegebene Polynome darstellen kann. Wenn dass möglich ist, kann man dann alle Polynome von P 3 darstellen. Mittels Koeffizientenvergleich finden wir = 3p 4 p 3 x = 3p 3 4p 4 x = p + 4p 4 p 3 x 3 = p p 4p 4 + p 3 Mit diese Berechnungen haben wir gezeigt dass span{p, p, p 3, p 4 } = P 3 Definition 5. Sei V ein Vektorraum. Dann heissen die Vektoren v, v,..., v n linear unabhängig falls das LGS r x i v i = (4.4) nur die triviale Lösung besitzt. Bemerkung. i= Falls v, v,..., v n nicht linear unabhängig sind, so heissen sie linear abhängig Falls eine Menge den Nullvektor enthält, ist sie linear abhängig, weil = + v v n Falls zwei Vektoren linear unabhängig sind, dann keiner der beiden ist ein Vielfaches den andern! In R linear unabhängig heisst geometrisch Vektoren mit verschiedene Richtungen 39

40 Gioele Zardini Lineare Algebra II FS 7 In R 3 linear unabhängig heisst geometrisch Vektoren die nicht auf dieselbe Ebene liegen Beispiel 53. Seien v =, v =, v 3 = 4 t t Frage: Für welche Werte von t sind diese drei Vektoren linear unabängig? Lösung. Man muss das LGS a v + a v + a 3 v 3 = lösen, und sehen für welche Werte von t es nur die triviale Lösung besitzt: 4 III t II 4 t t t t Es ist jetzt klar, dass für t = und t = das LGS unendlich viele Lösungen besitzt und also die drei Vektoren linear abängig sind. Es folgt also, dass die drei Vektoren genau linear unabängig sind, wenn t R\{, } Beispiel 54. Frage: Sind folgende Vektoren linear unabhängig? (a) sin(x), cos(x) Lösung. Man muss folgendes LGS lösen a sin(x) + b cos(x), x R Das ist der Fall nur wenn a = b =, also die Vektoren sind linear unabängig. (b) sin(x), sin(x + ), cos(x) Lösung. Falls man die Trigonometrie benutzt, man erhält sin(x + ) = sin(x) cos() + sin() cos(x) was genau eine Lineare Kombination von zwei der drei gegebene Vektoren ist. Die Vektoren sind also linear abhängig. Definition 6. Kann man jeder Vektor v eines Vektorraumes V als lineare Kombination der Vektoren v, v,..., v n von V darstellen, also V = span{v, v,..., v n } (4.5) dann nennt man diese Vektoren ein erzeugenden System von V. V heisst dann endlich dimensional. Beispiel 55. Das Vektorraum P von aller Polynome ist unendlich dimensional und es besitzt kein endlichen Erzeugendensystem. Theorem 8. Falls V n-dimensional ist (dim(v ) = n) gilt: (i) Mehr als n Vektoren sind linear abängig (ii) weniger als n Vektoren sind nicht erzeugend (iii) n Vektoren sind genau dann linear unabängig wenn sie erzeugend sind. Sie bilden dann eine Basis von V. 4

41 Gioele Zardini Lineare Algebra II FS 7 Theorem 9. Seien v, v,..., v n R n und A = (v, v,..., v k ) R n k. Sei r = Rang(A). Dann gilt v, v,..., v k erzeugend Ax = b b R n lösbar r = n v, v,..., v k linear unabängig Ax = hat nur die triviale Lösung r = k v, v,..., v k linear abängig Ax = hat nichttriviale Lösungen r < k v, v,..., v k ist eine Basis n = k = r det(a) Definition 7. Sei V ein reelles Vektorraum mit Basis B = {b, b,..., b n }. Dann gilt für jeden Vektor x V : n x = x i b i (4.6) Bemerkung. i= Die Koeffizienten x, x,..., x n heissen Koordinaten von x bezüglich der Basis B Diese Koordinaten hängen von der Wahl der Basis ab Beispiel 56. Sei P der Vektorraum der reellen Polynome vom Grad. Sei eine Basis. Frage: (a) Zeigen Sie dass B eine Basis von P ist. B = {b () =, b () = x, b (3) = 3x } Lösung. Wir haben gesehen dass beim P, die Vektoren einer Basis B sind genau dann erzeugend wenn man, x, x als ihre lineare Kombination schreiben kann. Wir haben hier Glück, weil b (), b () schon, x sind. Für x gilt 3 b() + 3 b(3) = x (b) Schreiben Sie p(x) = x x + in den Koordinaten der Basis B. Lösung. Es muss gelten Mit Koeffizientenvergleich erhält man x x + = a + a x + a 3 (3x ) a = 4 3, a = a 3 = 3 Man schreibt jetzt den Vektor mit den Koordinaten von B 4 3 [p(x)] B = 4 3

42 Gioele Zardini Lineare Algebra II FS Normierte Vektorräume Definition 8. Sei V ein Vektorraum. Eine Norm auf V ist eine Abbildung und muss gelten (I) v V : v und v = v = (II) v V, λ R : λ v = λ v (III) v, w V : v + w v + w (Dreiecksungleichung) Beispiel 57. Beispiele davon sind Die euklidische Norm von v R n, v = nähmlich : V R, v v (4.7) v = v v. v n ist definiert als die Länge des Vektors, v v n Die Maximumsnorm von v R n v, v = ist definiert als. v n Die p-norm ist definiert als Beispiel 58. Sei v = 3. Dann gilt 4 v v = max i n { v i } v p = p v p v p n v = = 6 v 3 = = 3 9 Beispiel 59. Frage: Zeigen Sie, dass die euklidische Norm eine Norm ist. Lösung. Sei v = v v. v n, v = v v n. Man muss die drei Bedingungen v, w R n, λ R überprüfen: 4

43 Gioele Zardini Lineare Algebra II FS 7 (I) (II) (III) v v n, λ v = v v n = v = v =... = v n = λ v λ vn = λ v vn = λ v v + w v + w Die Dreiecksungleichung ist in R n immer erfüllt! Probiere durch Zeichnen eines Dreiecks. Definition 9. Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum, x V, x und x zwei Normen. Dann gilt c x x c x (4.8) Definition 3. Man definiert C[a, b] als die Menge der stetige Funktionen und C [a, b] als die Menge der stetigen einmal differenzierbare Funktionen. Beispiel 6. Beispiele von Normen auf C[a, b] und C [a, b] sind Die Maximumsnorm ist definiert als f = max a x b { f(x) } b f p = p f(x) p dx a Definition 3. Sei {v n } eine Folge V und v V. Dann sagt man dass {v n } gegen v konvergiert, falls lim v v n = (4.9) n Beispiel 6. Aussage: die Folge von Funktionen f n (x) = +(nx) bezüglich der Norm gegen f(x) =. auf [, ] konvergiert Lösung. Es gilt f n = max{f n (x) : x } = max{ : x } = + (nx) Die Antwort lautet also: falsch. 43

44 Gioele Zardini Lineare Algebra II FS Das Skalarprodukt Definition 3. Sei V ein reeller Vektorraum. Eine Abbildung, : V V R, (a, b) a, b (4.) heisst Skalarprodukt wenn x, y, z V, λ R (I) (II) (III) oder x, λ (y + z) = λ x, y + λ x, z x + λ y, z = x, z + λ y, z x, y = y, x x, x, x, x = x = Beispiel 6. Sei A = ( ) 5 Frage: Zeigen Sie dass x, y A = x T Ay ein Skalarprodukt auf R definiert. Lösung. Es gilt x, y A = x T Ay = ( x x ) ( ) 5 Man überprüft jetzt die drei Bedingungen: ( y y ) =... = x y x y x y + 5x y = ( ) x + λx, y A = (x + λx ) T Ay = x T Ay + λx T Ay = x, y A + λ x, y A ( ) = y x y x y x + 5y x = y, x A x, x A EW > Definition 33. Auf (V,, ) definiert man die induzierte Norm als a = a, a (4.) Bemerkung. Nicht jede Norm ist von einem Skalarprodukt induziert. Beispiel 63. Beispiele von Skalaprodukte sind Das Skalarprodukt in R n x, y = x T y = x y cos(φ) Das Skalarprodukt in C[a, b] f, g = b a 44 f(t) g(t) dt

45 Gioele Zardini Lineare Algebra II FS 7 Definition 34. Seien x, y V, (V,, ). Sie heissen dann orthogonal, wenn x, y = (4.) Beispiel 64. Sei Frage: B = {b () =, b () = x, b (3) = 5x 3} Zeigen Sie dass die Vektoren aus B orthogonal sind, bezüglich Lösung. f, g = b (), b () =, x = x3 dx = 4 x4 = f(x) g(x) x dx b (), b (3) =, 5x 3 = 5x4 3x dx = [x 5 x 3 b (), b (3) = x, 5x 3 = 5x5 3x 3 dx = [ 5 6 x6 3 4 x4 Zeigen Sie dass f, g ein Skalarprodukt in P ist. Lösung. Man muss die drei Bedingungen überprüfen. Seien p, q, p, p P. Dann p + λp, q = (p (x) + λp (x))q(x)x dx = p, q = p, p = = p, q + λ p, q p(x)q(x)x dx = = = p (x)q(x)x dx + λ q(x)p(x)x dx = q, p p(x) x dx, p, p = p(x) = Da alle drei die Bedingungen erüllt sind, ist f, g ein Skalarprodukt in P. Theorem. Sei V ein reeller Vektorraum mit Skalarprodukt,, dann gilt: (i) Die Orthogonalprojektion von x V auf y V, y ist z = Bemerkung. Graphisch macht man es in Mechanik I. p (x)q(x)x dx x, y y, y y (4.3) (ii) x, y V : x, y x, x y, y (Cauchy-Schwarz) (4.4) (iii) Falls x und y orthogonal sind, dann gilt x + y = x y = x + y (Pythagoras) (4.5) 45

46 Gioele Zardini Lineare Algebra II FS 7 Beispiel 65. Seien x = ( ) 6, y = ( ) Frage: Berechnen Sie die orthogonale Projektion von x auf y. Lösung. Es gilt z = x, y y, y y = ( ) ( ) 6 ( ) ( ) ( ) ( 8 ) 5 = 4 5 Definition 35. Ein Vektor x V heisst Einheitsvektor falls Beispiel 66. Bezüglich der euklidische Norm ist x = Kontrolle. Es gilt x = x = (4.6) = ein Einheitsvektor. Theorem. Seien e (), e (),..., e (n) paarweise orthogonale Einheitsvektoren in einem reellen n-dimensionalen Vektorraum. Dann sind sie linear unabhängig und bilden sie eine Basis, die Orthonormalbasis. Wir wollen jetzt aus irgendeine Basis eine Orthonormalbasis erhalten:wir brauchen also das Gram-Schmidt Verfahren. Theorem. Sei b (), b (),..., b (n) eine Basis von V. Dann es existiert eine Orthonormalbasis e (), e (),..., e (n) so dass für k n gilt Man findet diese Basis mit den Gram-Schmidt Verfahren: 4.4. Gram-Schmidt Verfahren - Kochrezept (I) e () = b() (einfache Normierung) b () (II) e () = b () b (), e () e () und e () = e() e () (III) e (3) = b (3) b (3), e () e () b (3), e () e () und e (3) = (IV) und so weiter, bis man erreicht die Orthonormalbasis {e (), e (),..., e (n) } e(3) e (3) 46

47 Gioele Zardini Lineare Algebra II FS 7 Beispiel 67. Gegeben sind a () =, a () =, a (3) = Frage: Konstruieren Sie mithilfe des Gram-Schmidt Verfahrens eine Orthonormalbasis e (), e (), e (3) bezüglich das Standardskalarprodukt. Lösung. Es gilt e () = a() a () = = + + e () = a () a (), e () e () durch einsetzen erhält man, = [ 3 ] mit den nötigen Rechnungen erhält man e () = und also e () = e() e () = + + = e (3) = a (3) a (3), e () e () a (3), e () e () durch einsetzen erhält man,, 3 3 [ ] [ 3 ] 3 47

48 Gioele Zardini Lineare Algebra II FS 7 mit den nötigen Rechnungen erhält man e (3) = und also e (3) = e(3) e (3) = = Beispiel 68. Sei auf P 4 p, q = p(x)q(x) dx Frage: Finden sie eine Orthonormalbasis für den Vektorraum span{, 3x 4 } Lösung. Gegeben sind also die zwei Polynome w (x) =, w (x) = 3x 4 Man wendet Gram-Schmidt Verfahren an und man erhält es gilt also es gilt e () = w (x) w (x) = w (x), w (x) = e () = w (x) w (x), w (x) dx = e () = w (x) w (x), e () e () = 3x 4 3x 4 dx also 3x 4 dx = 3 5 e () = 3x und es gilt also e () = e() 3x 4 3 5, 3x4 3 5 = e () = 3x x 4 3, 5 3x x x dx =... = 4 5 e () = 5 4 x

49 Gioele Zardini Lineare Algebra II FS 7 5 Lineare Abbildungen 5. Definition und Beispiele Definition 36. Seien V,W zwei Vektorräume. Eine Abbildung F : V W, x F (x) (5.) heisst linear wenn: (i) x, y V : (ii) x V, α R : F (x + y) = F (x) + F (y) F (α x) = α F (x) (5.) Beispiel 69. Sei V = R n, W = R m, A R m n. Die Funktion F : V W, x A x ist linear. Kontrolle. und F (x + y) = A (x + y) = A x + A y = F (x) + F (y) F (α x) = A (α x) = α A x = α F (x) Beispiel 7. Seien V,W beliebig. F = Nullabbildung, F : V W, x ist linear. Beispiel 7. Seien V,W beliebig. F : V W, x x + a, a ist nicht linear. Kontrolle. und F (x + y) = x + y + a (x + a) + (y + a) = F (x) + F (y) F (α x) = α x + a α (x + a) = α F (x) Beispiel 7. (Aufgabe 5 - Basisprüfung Winter ) Frage: Sind die folgende Abbildungen linear? (a) F : P 3 P 3, p(x) p(x) + Lösung. Seien p(x), q(x) P 3. Dann gilt F (p(x) + q(x)) = p(x) + q(x) + [p(x) + ] + [q(x) + ] = F (p(x)) + F (q(x)) Also ist F nicht linear. (b) F : P 3 P 3, p(x) x p (x) + p() Lösung. Seien p(x), q(x) P 3. Dann gilt F (p(x)+q(x)) = x [p(x)+q(x)] +[p()+q()] = x [p (x)+q (x)]+p()+q() = F (p(x))+f (q(x)) und Also ist F linear. F (α p(x)) = x [α p(x)] + (α p)() = α [x p (x) + p()] = α F (p(x)) Definition 37. Ist A R n n und a R n, dann heisst F : R n R n, x A x + a eine affine lineare Abbildung. 49

50 Gioele Zardini Lineare Algebra II FS 7 5. Lineare Abbildungen und Matrizen Theorem 3. Jede lineare Abbildung F : V W lässt sich durch eine m n-matrix A beschreiben. Seien B = (b,..., b n ) eine Basis von V, C = (c,..., c n ) eine Basis von W, x. x n = [x] B der Koordinatenvektor von x bezüglich B und = [y] C der Koordinatenvektor von y = F (x) bezüglich C. Dann gilt x. x n y. y n = A A heisst dann Darstellungsmatrix von F bezüglich der Basen B und C. x. x n y. y n (5.3) Beispiel 73. Sei V = P und W = P. Wir wissen schon dass V durch die Basis B = (, x, x ) beschrieben ist und dass W durch die Basis C = (, x) beschrieben ist. Sei F : V W, p(x) p (x) + p (x) Frage: Man findet die Darstellungsmatrix A der Abbildung F. Lösung. Man muss F (b i ) für die verschiedene Basisvektoren von V berechnen und dann sie in der Basis von W darstellen. Es gilt ( ) F (b ) = () + () = [F (b )] C = Also gilt ( ) F (b ) = (x) + (x) = [F (b )] C = ( ) F (b 3 ) = (x ) + (x ) = x + [F (b 3 )] C = A = ( ) Kontrolle. Falls man hier richtig berechnet hat, solltet man jetzt anstatt die Operationen p (x)+ p (x), einfach A benutzen. Wählt man als Beispiel das Polynom p(x) = x + x + 4 Mit den Koordinaten von B ist dann 4 [p(x)] B = man weisst dass was mit den Koordinaten von C ist F (p(x)) = x + + = x + 3 [F (p(x)] C = 5 ( ) 3

51 Gioele Zardini Lineare Algebra II FS 7 aber falls man jetzt Matrix A benutzt erhält man ( ) 4 = Also ist A richtig berechnet. ( ) 3 Definition 38. Seien V = R n und W = R m. Sei F : V W, x y = Ax eine lineare Abbildung. Dann gilt (i) Die Menge aller Vektoren, welche auf Null abgebildet werden, heisst Kern der Matrix A (ii) Die Menge aller Bildvektoren, heisst Bild der Matrix A 5.. Eigenschaften Kern und Bild Ker(A) = {x V : Ax = } (5.4) Im(A) = {y W : y = Ax} (5.5) Definition 39. Sei A = (a (),..., a (n) ) eine m n-matrix. Dann gilt (a) b im(a) Ax = b ist ein lösbares LGS. Es gilt dann b = span{a (),..., a (n) } (b) x ker(a) x ist Lösung von LGS Ax = (c) ker(a) ist ein Unterraum von R n (d) im(a) ist ein Unterraum von R m (e) Es gilt dim(ker(a)) + dim(im(a)) = n (f) Es gilt dim(ker(a)) = dim(im(a T )) Beispiel 74. Sei F : R R, (x, x ) T x x Frage: Finden Sie Kern und Bild der linearen Abbildung. Lösung. Man schreibt die Abbildung mit der Matrix A A = ( ) Man weisst dass ker(f ) die Lösungsmenge des LGS Ax = ist. Hier sieht man leicht, dass diese Lösungsmenge durch x = x beschrieben ist, also ( ) ker(f ) = {(x, x ) T R ; x = x } = {t, t R} weiter es gilt im(f ) = R 5

52 Gioele Zardini Lineare Algebra II FS 7 Beispiel 75. Sei A = 4 3 Frage: Man berechnet Basen für Kern(A) und Bild(A) und deren Dimensionen. Lösung. Es gilt also Ker(A) = {x R 4 : Ax = } 4 3 II+ I III I 3 3 Man wählt x 4 = s und x 3 = t und nach die üblichen Berechnungen es ergibt sich x = 3 (s t) und x = (t 3s) 4 also es gilt 3 ker(a) = { 6, 6 4 } 4 Für Bild(A) man muss einfach die zwei linear unabhängige Spalten aus dem Gaussverfahren nehmen und ihre ursprsüngliche Werte schreiben. Hier wären z.b. die ersten zwei Spalten und nämlich Bild(A) = { 4, } 5.. Den Rang Definition 4. Den Rang von A ist definiert als Rang(A) = dim(im(a)) und es gilt 5..3 Zusammengesetzte Abbildungen Definition 4. Rang(A) = Rang(A T ) (5.6) Die Zusammensetzung von linearen Abbildungen ist wieder linear. Seien und dann ist F : R n R m, x Ax G : R m R p, y Bx G F = H : R n R p, x BAx (5.7) 5

53 Gioele Zardini Lineare Algebra II FS Skalarprodukt und lineare Abbildungen Theorem 4. Seien F : R n R m, x Ax und G : R m R n, x A T x. Dann gilt (i) im(a) und ker(a T ) spannen R m auf. (ii) z R n, y R m : Az, y = z, A T y (5.8) (iii) im(a) ist senkrecht zu ker(a T ) (iv) dim(im(a)) + dim(ker(a T )) = m Theorem 5. (Fredholm Alternative) Das LGS Ax = b ist genau dann lösbar, wenn b senkrecht zu allen Lösungen des LGS A T y = steht. 5.4 Lineare Selbstabbildungen Definition 4. Sei F : V V, x F x linear. Dann heisst F invertierbar falls y V! x V s.d. F x = y (5.9) Definition 43. Ist F invertierbar, so heisst F : V V, y x die Umkehrabbildung von F. Theorem 6. (a) F : R n R n, x Ax ist genau dann invertierbar, wenn A regulär ist. (b) F ist invertierbar = F : R n R n, y A y ist linear und A ist die Inverse. (c) F ist invertierbar = F F = F F = I d wobei I d : R n R n, x x Koordinatentransformation und Basiswechsel Die Schwierigkeit eines Problems ist von der Wahl der Basis abängig. Deswegen, ist es sehr nützlich zu kennen, welche Zusammenhänge zwischen verschiedene Basen entstehen und wie man leicht von einer Basis zu einer anderen springen kann. Theorem 7. Seien B und B zwei verschieden Basen. Seien dann [v] B = v. v n, [v] B = v. v n (5.) Es gilt [v] B = v. = ( [b ] B... [b n ] B ) [v]b = T [v] B (5.) v n wobei T die Übergangsmatrix von B zu B ist. Umgekehrt gilt [v] B = ( ) [b ] B... [b n] B [v]b = S [v] B (5.) woberi S die Übergangsmatrix von B zu B ist. Es gilt T = S (5.3) 53