Vertiefung Lineare Algebra 1. Ein Skriptum zur Vorlesung im Wintersemester 2017/18. Franz Pauer

Transkript

1 Vertiefung Lineare Algebra 1 Ein Skriptum zur Vorlesung im Wintersemester 2017/18 Franz Pauer c 2017 INSTITUT FÜR MATHEMATIK, UNIVERSITÄT INNSBRUCK

2 KAPITEL 1 Mehr über lineare Funktionen In diesem Kapitel sei K ein Körper. 1. Der Graph einer linearen Funktion Satz 1 : Seien V 1,...,V l Vektorräume über K. Dann wird das kartesische Produkt V 1 V l = {(x 1,...,x l ) x 1 V 1,...,x l V l } mit der komponentenweisen Addition (x 1,...,x l ) + (y 1,...,y l ) := (x 1 + y 1,...,x l + y l ) und der komponentenweisen Skalarmultiplikation c(x 1,...,x l ) := (cx 1,...,cx l ) mit c K ein Vektorraum und heißt der Produktraum von V 1,...,V l. Wenn (v 11,...,v 1n1 ),...,(v l1,...,v lnl ) Basen von V 1,...,V l sind, dann ist ((v 11,0,...,0),...,(v 1n1,0,...,0),......,(0,...,0,v l1 ),...,(0,...,0,v lnl )) eine Basis von V 1 V l, insbesondere gilt dim K (V 1 V l ) = dim K (V 1 ) + + dim K (V l ). Beweis: Es ist leicht zu zeigen, dass V 1 V l mit der komponentenweisen Addition und Skalarmultiplikation ein Vektorraum ist. Wir beweisen daher nur, dass ((v 11,0,...,0),...,(0,...,0,v lnl )) eine Basis von V 1 V l ist. Wir schreiben x 1 V 1,...,x l V l als Linearkombinationen der Basen (v 11,...,v 1n1 ),...,(v l1,...,v lnl ): Dann ist x 1 = n 1 d 1i v 1i,...,x l = n l d li v li. (x 1,...,x l ) = (x 1,0,...,0) + + (0,...,0,x l ) = n 1 d 1i (v 1i,0,...,0) n l d li (0,...,0,v li ),

3 2 1. MEHR ÜBER LINEARE FUNKTIONEN also ((v 11,0,...,0),...,(0,...,0,v lnl )) ein Erzeugendensystem von V 1 V l. Um die lineare Unabhängigkeit zu zeigen, seien c 11,...,c lnl K mit Dann ist also n 1 c 1i (v 1i,0,...,0) + + ( n 1 n 1 c 1i v 1i,..., n l n l c 1i v 1i = 0,..., c li (0,...,0,v li ) = (0,...,0). c li v li ) = (0,...,0), n l c li v li = 0. Da (v 11,...,v 1nl ),...,(v l1,...,v lnl ) Basen von V 1,...,V l sind, folgt c 11 = = c lnl = 0, was zu zeigen war. Satz 2 : Es seien V und W Vektorräume über K. Eine Funktion f : V W ist genau dann linear, wenn der Graph von f ein Untervektorraum des Produktraums V W ist. Wenn f linear ist und und (v 1,...,v n ) eine Basis von V ist, dann hat der Graph von f die Basis ((v 1, f (v 1 )),...,(v n, f (v n ))). Insbesondere ist dim K (Graph( f )) = dim K (V ). Beweis: Nach Definition ist Graph( f ) = {(v, f (v)) v V } V W. Seien u,w V und c K. Wenn f linear ist, dann ist 0 V W = (0 V,0 W ) = (0 V, f (0 V )) Graph( f ), (u, f (u))+(w, f (w)) = (u+w, f (u)+ f (w)) = (u+w, f (u+w)) Graph( f ) und c(w, f (w)) = (cw,c f (w)) = (cw, f (cw)) Graph( f ), also Graph( f ) ein Untervektorraum von V W. Wenn umgekehrt Graph( f ) ein Untervektorraum von V W ist, dann sind (u, f (u)) + (w, f (w)) = (u + w, f (u) + f (w)) Graph( f ) und c(w, f (w)) = (cw,c f (w)) Graph( f ), somit f (u + w) = f (u) + f (w) und f (cw) = c f (w), also f linear. Wenn f linear ist, dann ist auch die Funktion F : V Graph( f ), x (x, f (x)), linear und hat die Umkehrfunktion Graph( f ) V, (x, f (x)) x. Daher ist F ein Isomorphismus und (F(v 1 ),...,F(v n )) eine Basis von Graph( f ). Beispiel 3 : Es sei k eine reelle Zahl und f die lineare Funktion f : R R, z kz. Dann ist Graph(f) = {(z,kz) z R} = {z(1,k) z R} = R(1,k) R R

4 3 1. MEHR ÜBER LINEARE FUNKTIONEN die Gerade durch (0,0) und (1,k). Graph( f ) (0,1) (1,0) (1,k) Beispiel 4 : Es seien k und d reelle Zahlen und h: R R, z kz + d. Dann ist Graph(h) = {(z,kz + d) z R} = {z(1,k) + (0,d) z R} eine Gerade in R 2, aber für d 0 kein Untervektorraum. (0,d) (0,1) (1,0) (1,k) Graph(h)

5 4 1. MEHR ÜBER LINEARE FUNKTIONEN Beispiel 5 : Es seien a,b reelle Zahlen und g die lineare Funktion g : R 2 R, (x,y) ax + by. Dann ist Graph(g) = {(x,y,ax+by) x,y R} = {x (1,0,a)+y (0,1,b) x,y R} = = R(1,0,a) + R(0,1,b) R 2 R die Ebene durch (0,0,0), (1,0,a) und (0,1,b). (0,0,1) (0,1,0) (1,0,0) (1,0,a) (0,1,b) R(0,1,b) R(1,0,a) 2. Bild und Kern einer linearen Funktion In diesem Abschnitt seien V und W Vektorräume über K und f : V W eine lineare Funktion. Definition 6 : Die Menge Bild( f ) := { f (v) v V } W heißt Bild von f und die Menge Kern( f ) := {v V f (v) = 0 W } V heißt Kern von f.

6 5 1. MEHR ÜBER LINEARE FUNKTIONEN Satz 7 : Bild( f ) ist ein Untervektorraum von W, Kern( f ) ist ein Untervektorraum von V. Die Dimension des Bildes von f heißt Rang von f (Schreibweise rg( f )). 0 V Kern( f ) f Bild( f ) 0 W V W Beweis: Da f linear ist, ist 0 V Kern( f ). Für u,v Kern( f ) und c K folgt aus f (u + v) = f (u) + f (v) = 0 W auch u + v Kern( f ), sowie aus f (cu) = c f (u) = 0 W auch cu Kern( f ). Daher ist Kern( f ) ein Untervektorraum von V. Analog zeigt man, dass Bild( f ) ein Untervektorraum von W ist. Satz 8 : Sei A K m n und L(A,0) := {x K n 1 Ax = 0} der Lösungsraum des durch A definierten Systems homogener linearer Gleichungen. Fasst man die Matrix A als lineare Funktion A : K n 1 K m 1, x Ax, auf, dann ist Kern(A) = L(A,0) und Bild(A) = K A 1,...,A n, der Spaltenraum von A. Beweis: Es ist Kern(A) = {x K n 1 Ax = 0} = L(A,0) und Bild(A) = = {Ax x K n 1 } = { n x ia i x 1,...x n K } = K A 1,...,A n. Der nächste Satz beantwortet die Frage, wie einfach die Matrix einer linearen Funktion werden kann, wenn die Basen in ihrem Definitions- und Bildbereich gut gewählt werden.

7 6 1. MEHR ÜBER LINEARE FUNKTIONEN Satz 9 : Seien V,W endlich-dimensionale Vektorräume über K, f : V W eine K-lineare Funktion und r := rg( f ). Dann gibt es eine Basis (v 1,...,v n ) von V so, dass (1) ( f (v 1 ),..., f (v r )) eine Basis von Bild( f ) und (2) (v r+1,...,v n ) eine Basis von Kern( f ) ist. Insbesondere gilt dim K (V ) = dim K (Bild( f )) + dim K (Kern( f )). Ergänzt man die Basis ( f (v 1 ),..., f (v r )) von Bild( f ) zu einer Basis (w 1,...,w m ) von W, dann ist D r := K m n 0... (nur an den Stellen (1,1),...,(r,r) stehen Einsen und sonst Nullen) die Matrix von f bezüglich der Basen (v 1,...,v n ) und (w 1,...,w m ). Beweis: Sei (w 1,...,w r ) eine Basis von Bild( f ). Dann kann man Urbilder v 1,...,v r V von w 1,...,w r unter f wählen. Sei (u 1,...,u s ) eine Basis von Kern( f ). Dann ist (v 1,...,v r,u 1,...,u s ) ein Erzeugendensystem von V, weil für y V aus f (y) = r a i w i = r a i f (v i ) = f ( r a i v i ) folgt, dass z := y r a iv i Kern( f ) ist. Daher ist y = z + r a iv i eine Linearkombination von (v 1,...,v r,u 1,...,u s ). Wir zeigen noch, dass (v 1,...,v r,u 1,...,u s ) linear unabhängig ist. Seien dazu c 1,...,c r,d 1,...,d s K mit r c i v i + s d j u j = 0. j=1 Dann ist 0 = f ( r c iv i + s j=1 d ju j ) = r c i f (v i ) = r c iw i. Da (w 1,...,w r ) linear unabhängig ist, sind alle c i gleich 0. Dann ist s j=1 d ju j = 0, und aus der linearen Unabhängigkeit von u 1,...,u s folgt d 1 = = d s = 0. Also ist (v 1,...,v r,u 1,...,u s ) die gesuchte Basis von V. Insbesondere ist r + s = n.

8 7 1. MEHR ÜBER LINEARE FUNKTIONEN Beispiel 10 : V = W = R 3 1, f : R 3 1 R 3 1, x Ax, wobei A := Eine Basis von Bild( f ): w 1 := 1 1,w 2 := Eine Basis von Kern( f ): v 3 := Eine Basis des Definitionsbereichs: v := v 1 := 1 0,v 2 := 0 0,v 3 = Eine Basis des Bildbereichs: w := w 1,w 2,w 3 := f (v 1 ) = w 1, f (v 2 ) = w 2, f (v 3 ) = 0, also: M( f,v,w) = Systeme linearer Gleichungen in koordinatenfreier Form Definition 11 : Ein System linearer Gleichungen in koordinatenfreier Form ist eine Aufgabe: Gegeben sind eine lineare Funktion f : V W und ein Vektor y W. Gesucht ist eine gute Beschreibung der Menge L( f,y) := f 1 ({y}) = {x V f (x) = y} aller Vektoren x V, für die f (x) = y ist. Die Menge L( f,y) heißt Lösungsmenge des durch f und y gegebenen Systems linearer Gleichungen. Ihre Elemente heißen Lösungen dieses Systems. Das durch f und y gegebene System linearer Gleichungen heißt homogen, wenn y = 0 W ist, ansonsten inhomogen. Die Lösungsmenge eines homogenen Systems linearer Gleichungen ist L( f,0) = Kern( f ). Beispiel 12 : Die Aufgabe Finde eine quadratische Funktion g: R R mit g(1) = 3, g( 1) = 2 und g(5) = 1 ist ein System linearer Gleichungen in koordinatenfreier Form.

9 8 1. MEHR ÜBER LINEARE FUNKTIONEN Wir bezeichnen mit x : R R die identische Funktion von R. Eine quadratische Funktion ist eine Linearkombination c 0 + c 1 x + c 2 x 2, wobei c 0,c 1,c 2 reelle Zahlen mit c 2 0 sind. Gesucht ist g V := {c 0 + c 1 x + c 2 x 2 : R R c 0,c 1,c 2 R } mit f (g) = (3,2,1) R 3 1, dabei ist f : V R 3 die Auswertungsfunktion (in 1, 1 und 5) mit f (h) = (h(1),h( 1),h(5)). Satz 13 : Sei f : V W K-linear, y W und z L( f,y) (insbesondere ist L( f,y) nicht leer). Dann ist L( f,y) = z + Kern( f ) ein affiner Unterraum von V mit Aufpunkt z und parallelem Untervektorraum Kern( f ). Das durch f und y gegebene System lösen bedeutet daher: finde (irgend)ein Urbild z von y unter f und (irgend)eine Basis von Kern( f ). Falls V endlichdimensional ist, gilt weiters dim K (L( f,y)) = dim K (V ) rg( f ). Beweis: Sei v Kern( f ). Dann ist f (z +v) = f (z)+ f (v) = y +0 = y, also z + v L( f,y). Sei x L( f,y). Dann ist f (x z) = f (x) f (z) = y y = 0, also x z Kern( f ) und x = z + (x z) {z + v v Kern( f )}. Nach Satz 9 ist dim K (Kern( f )) = dim K (V ) rg( f ). Beispiel 14 : Fasst man eine Matrix A K m n als eine lineare Funktion auf, dann ist L( f,y) = L(A,y). f : K n 1 K m 1, x Ax, Beispiel 15 : Sei C(R, R) := { f f : R R stetig}, C 1 (R, R) := { f f : R R stetig differenzierbar} und D : C 1 (R, R) C(R, R), f f, wobei f die Ableitung der Funktion f bezeichnet. Dann sind C(R, R) und C 1 (R, R) mit der punktweisen Addition und Skalarmultiplikation Vektorräume über R, und die Funktion D ist R-linear. Der Unterraum Kern(D) besteht aus allen konstanten Funktionen. Eine Funktion f C 1 (R, R) heißt Stammfunktion von g C(R, R), wenn D f = g ist. Wenn f eine Stammfunktion von g ist, dann ist die Menge aller Stammfunktionen von g L(D,g) = f + Kern(D).

10 9 1. MEHR ÜBER LINEARE FUNKTIONEN Beispiel 16 : Sei C(R, R) := { f f : R R stetig}, C 2 (R, R) := { f f : R R 2-mal stetig differenzierbar}, a,b R und D 2 + ad + b : C 1 (R, R) C(R, R), f f + a f + b f, wobei f die zweite Ableitung der Funktion f bezeichnet. Dann sind C(R, R) und C 2 (R, R) mit der punktweisen Addition und Skalarmultiplikation Vektorräume über R, und die Funktion D 2 + ad + b ist R-linear. Den Unterraum Kern(D 2 + ad + b) nennt man die Lösungsmenge der homogenen linearen Differentialgleichung y + ay + by = 0. Wenn f L(D 2 + ad + b,g) ist, dann ist L(D 2 + ad + b,g) = f + Kern(D 2 + ad + b). Definition 17 : Es sei V ein Vektorraum v = (v 1,...,v n ) eine Basis von V und c K n 1 eine Spalte mit n Zeilen. Wir verwenden im Weiteren die Schreibweise vc := n c i v i. Satz 18 : Seien V,W Vektorräume über K der Dimensionen n,m mit Basen v,w, sei f : V W K-linear mit Matrix A := M( f,v,w) K m n und y = wb W. Dann bildet der Koordinaten-Isomorphismus V K n 1, vc c, L( f,y) auf L(A,b) ab und Kern( f ) auf L(A,0). Beweis: Wegen f (vc) = f ( i c i v i ) = i c i f (v i ) = i c i wa i = w(c i A i ) = w(ac) i ist ist vc L( f,y) genau dann wenn w(ac) = wb ist, also c L(A,b) ist. Nach Satz 18 kann für f : V W und y W das System linearer Gleichungen ( f,y) wie folgt gelöst werden: (1) Wähle Basen v,w von V,W. (2) Berechne die Matrix A := M( f,v,w) und die Koordinatenspalte b von y bezüglich w. (3) Berechne die Lösungsmenge L(A,b). Wenn L(A,b) leer ist, dann ist auch L( f,y) leer. Wenn z L(A,b) und (u 1,...,u s ) eine Basis von L(A,0) ist, dann ist vz L( f,y) und (vu 1,...,vu s ) eine Basis von Kern( f ).

11 10 1. MEHR ÜBER LINEARE FUNKTIONEN Im Schulunterricht entsprechen Systeme linearer Gleichungen in koordinatenfreier Form gewissen Textaufgaben. Beispiel 19 : ( Interpolation von 3 gegebenen Funktionswerten durch Polynomfunktionen, deren Grad höchstens 4 ist.)wir bezeichnen mit x die identische Funktion von R nach R und mit 1 die konstante Funktion, die jede reelle Zahl auf 1 abbildet. Man kann zeigen, dass die Potenzfunktionen 1,x,x 2,x 3,x 4 linear unabhängig sind. Es sei V der von diesen erzeugte Untervektorraum des Vektorraums aller Polynomfunktionen. Wir suchen alle Polynomfunktionen p V mit Sei W := R 3, p( 1) = 2, p(1) = 1 und p(2) = 1. f : V W, q (q( 1),q(1),q(2)), und y := (2,1,1) W. Die Funktion f ist linear. Wir wählen die Basis v := (1,x,x 2,x 3,x 4 ) von V und die Standardbasis w := (e 1,e 2,e 3 ) von W = R 3. Dann ist A := M( f,v,w) := und b := Man berechnet mit dem Gauß-Verfahren L(A,b) = R R Daher ist L( f,y) = { x x2 + +c( 2 + x + 2x 2 x 3 ) + d( 4 + 5x 2 x 4 ) c,d R}.

12 KAPITEL 2 Interpolation und Regression 1. Interpolationsaufgaben Wir betrachten die folgenden Interpolationsaufgaben: Gegeben sind ganze Zahlen m 2 und n 1, Funktionen f 1,..., f n von R nach R, paarweise verschiedene reelle Zahlen x 1,...,x m R und reelle Zahlen y 1,...,y m R. Gesucht sind reelle Zahlen c 1,...,c n so, dass die Funktion f := n c i f i die Bedingungen erfüllt. f (x 1 ) = y 1, f (x 2 ) = y 2,..., f (x m ) = y m y 3 y 2 y 1 y 4 x 2 x 1 x 4 x 3 Durch die Funktionen f 1,..., f n wird der Typ der Interpolationsaufgabe vorgegeben. Die reellen Zahlen x 1,...,x m heißen Stützstellen, die reellen Zahlen y 1,...,y m (Funktions-)Werte der Interpolationsaufgabe. Die gesuchte Funktion f heißt interpolierende Funktion. Wir suchen also eine Funktion f des vorgegebenen Typs so, dass die Funktionswerte von f in den Stützstellen die vorgegebenen Werte der Interpolationsaufgabe sind. Anders formuliert: Wir suchen Zahlen c 1,...,c n so, dass f 1 (x 1 )c 1 + f 2 (x 1 )c f n (x 1 )c n = y 1 f 1 (x 2 )c 1 + f 2 (x 2 )c f n (x 2 )c n = y 2... f 1 (x m )c 1 + f 2 (x m )c f n (x m )c n = y m 11

13 12 2. INTERPOLATION UND REGRESSION ist. Das ist ein System von m linearen Gleichungen mit n Unbekannten c 1,...,c n. In Matrizenform: f 1 (x 1 )... f n (x 1 ) c 1 y 1 f 1 (x 2 )... f n (x 2 )... c 2. = y 2.. f 1 (x m )... f n (x m ) c n y m y eine Lösung existiert genau dann, wenn 2. ein Element des von y m f 1 (x 1 ) f n (x 1 ) f 1 (x 2 ).,..., f n (x 2 ). erzeugten Vektorraums ist. f 1 (x m ) f n (x m ) y 1 Beispiel 20 : ( Lineare Interpolation ). Wenn f 1 die konstante Funktion 1 (also die Funktion, die jeder Zahl die Zahl 1 zuordnet) und f 2 die Identität (also die Funktion, die jeder Zahl sich selbst zuordnet) ist, dann suchen wir eine Funktion f := c 1 f 1 + c 2 f 2 mit ( f (x i ) =) c 1 + c 2 x i = y i, 1 i n. Die Aufgabe, Zahlen c 1 und c 2 mit den Eigenschaften c 1 + c 2 x 1 = y 1... c 1 + c 2 x m = y m zu finden, ist ein System von m linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten. In Matrizenform 1 x 1 y ( ) 1 1 x 2.. c1 y = 2 c x m y m Beispiel 21 : (Interpolation durch Polynomfunktionen). Für 1 i k sei f i : R R, z z i 1, die (i 1)-te Potenzfunktion. Dann ist die gesuchte Funktion f eine Polynomfunktion f : R R, z c 1 + c 2 z c n z n 1. Wir suchen reelle Zahlen c 1,c 2,...,c n mit der Eigenschaft, dass c 1 + x 1 c x1 n 1 c n = y 1... c 1 + x m c xm n 1 c n = y m

14 13 2. INTERPOLATION UND REGRESSION ist, müssen also ein System von m Gleichungen mit n Unbekannten lösen. In Matrizenform: 1 x 1... x n 1 1 c 1 y 1 1 x 2... x2 n c 2. = y x m... xm n 1 c n y m Ist m = n = 3 ( Interpolation durch eine quadratische Funktion für drei Stützstellen ), dann hat diese Interpolationsaufgabe für jede Vorgabe von y 1,y 2,y 3 genau eine Lösung, weil die Matrix 1 x 1 x x 2 x2 2 1 x 3 x3 2 invertierbar ist (ihre Determinante ist (x 1 x 2 )(x 2 x 3 )(x 3 x 1 )). 2. Systeme linearer Gleichungen ohne Lösung und Regression Es seien A R m n und b R m 1. Das durch A und b gegebene System linearer Gleichungen hat genau dann eine Lösung, wenn es eine Spalte c R n 1 mit A c = b, also n c ia i = b, gibt. Das ist genau dann der Fall, wenn b ein Element des Spaltenraumes von A ist. Wir bezeichnen den Spaltenraum von A mit U, dieser ist ein Untervektorraum von R m 1. Wenn b nicht in U liegt, gibt es keine Lösung. Ist man der Meinung, dass es eine Lösung geben sollte, aber vielleicht b nicht exakt bestimmt wurde (z.b. durch Runden oder durch Messfehler), kann man b durch b U so ersetzen, dass der Abstand von b zu b möglichst klein ist. Wählen wir den durch das Standardskalarprodukt auf R m 1 definierten Abstand, bedeutet das, dass b b 2 = m (b i b i) 2 ( die Summe der Fehlerquadrate ) möglichst klein sein soll. (Für positive reelle Zahlen r und s ist r s genau dann, wenn r 2 s 2 ist. Somit ist der Abstand von b zu b genau dann minimal, wenn sein Quadrat minimal ist). Für b muss daher der Fußpunkt des Lotes von b auf den Untervektorraum U gewählt werden und dann das Gleichungssystem A z = b anstatt von A z = b gelöst werden. Hat man das Gleichungssystem durch eine Interpolationsaufgabe wie im vorigen Abschnitt erhalten und gibt es keine Lösung (also keine interpolierende Funktion des vorgegebenen Typs), dann nennt man die Vorgangsweise wie oben Regression.

15 14 2. INTERPOLATION UND REGRESSION U b 0 b Mit den Bezeichnungen des vorigen Abschnittes ist A i j = f j (x i ) und b i = y i, 1 i m, 1 j n. Für die gesuchte Funktion f = n c i f i soll f (x i ) = b i = y i, 1 i m, sein, also der Abstand ( f (x 1 ), f (x 2 ),..., f (x m )) T (y 1,...,y m ) T von der Spalte der berechneten Funktionswerte zur Spalte der gemessenen Funktionswerte möglichst klein sein. Falls auf R m 1 das Standardskalarprodukt gewählt wurde, ist ( f (x 1 ),..., f (x m )) T (y 1,...,y m ) T 2 = die Summe der Fehlerquadrate. m Bei linearer Interpolation ist U die von x 1 1 := 1. und x :=. 1 x m ( f (x i ) y i ) 2 erzeugte Ebene in R m 1. Wir verwenden die Bezeichnungen y 1 y :=. und y := Fußpunkt des Lotes von y auf U. y m y 0 1 c 11 x y c 2 x

16 15 2. INTERPOLATION UND REGRESSION Wir berechnen nun y : y = c 2 x + c 1 1 U und die Gerade durch y und y steht normal auf der von x und 1 erzeugten Ebene U. Also ist c 2 x + c 1 1 y,x = 0 und c 2 x + c 1 1 y,1 = 0. Daraus erhalten wir das folgende System von zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten c 1 und c 2 : c 2 x,x + c 1 1,x = x,y c 2 x,1 + c 1 1,1 = 1,y Als Lösung erhalten wir c 2 = 1,1 x,y 1,x 1,y x,x 1,y 1,x x,y 1,1 x,x 1,x 2 und c 1 = 1,1 x,x 1,x 2. Der Divisor 1,1 x,x 1,x 2 ist nach der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung nicht 0. Denn: 1,x 2 = 1,1 x,x nur dann, wenn x ein Vielfaches von 1 ist, d.h.: x 1 = x 2 =... = x m, was wegen der Annahmen m > 1 und x i paarweise verschieden nicht möglich ist. Wenn, das Standard- Skalarprodukt ist, dann ist x,y = m x iy i, 1,x = m x i, 1,y = m y i, 1,1 = m, x,x = m x2 i und y,y = m y2 i, daher und c 2 = mm x iy i ( m x i)( m y i) m m x2 i (m x i) 2 c 1 = (m x2 i )(m y i) ( m x i)( m x iy i ) n m x2 i (m x i) 2. Wir haben damit die Funktion f : R R, z c 2 z+c 1, so bestimmt, dass der (euklidische) Abstand vom m-tupel der gegebenen (gemessenen oder gerundeten) ungenauen Funktionswerte (y 1,...,y m ) zum m-tupel der berechneten Funktionswerte ( f (x 1 ),..., f (x m )) möglichst klein ist, also m (y i (c 2 x i +c 1 )) 2 möglichst klein ist. Der Graph dieser Funktion heißt Regressionsgerade oder Trendlinie der Punkte (x 1,y 1 ),(x 2,y 2 ),...,(x m,y m ). Man rechnet leicht nach, dass m m f ( 1 i ) = m x 1 y i m ist. Das Paar der arithmetischen Mittel von (x 1,...,x m ) und (y 1,...,y m ) liegt also immer auf der Regressionsgeraden.

17 KAPITEL 3 Mehr über Geometrie 1. Strahlensatz Satz 22 : ( Strahlensatz ) Es seien Z 1, Z 2 zwei verschiedene, einander im Punkt 0 schneidende Geraden in V, v 1, v 2 Punkte auf Z 1 \{0} und w 1, w 2 Punkte auf Z 2 \{0}. Dann gibt es c, d K \ {0} so, dass v 2 = cv 1 und w 2 = dw 1 ist. Mit L 1 bzw. L 2 bezeichnen wir die Geraden durch die Punkte v 1 und w 1 bzw. v 2 und w 2. Dann gilt: (1) L 1 und L 2 sind genau dann parallel, wenn c = d ist. (2) Wenn L 1 und L 2 parallel sind, dann ist v 2 w 2 = c(v 1 w 1 ). Z 1 0 v 1 v 2 w 1 w 2 L 1 L 2 Z 2 Beweis: (1) Der zu L 1 bzw. L 2 parallele Untervektorraum ist K(v 1 w 1 ) bzw. K(cv 1 dw 1 ). Weil die Geraden Z 1 und Z 2 verschieden sind, sind die Vektoren v 1 und w 1 linear unabhängig. Daher ist K(v 1 w 1 ) genau dann gleich K(cv 1 dw 1 ), wenn c = d ist. (2) Wenn L 1 und L 2 parallel sind, ist c = d und v 2 w 2 = cv 1 cw 1 = c(v 1 w 1 ). 16

18 17 3. MEHR ÜBER GEOMETRIE Satz 23 : Es seien V ein Vektorraum über einem Körper K und Z 1 = p 1 + U 1, Z 2 = p 2 +U 2 affine Unterräume von V mit Aufpunkten p 1, p 2 und parallelen Untervektorräumen U 1, U 2. Wenn Z 1 und Z 2 parallel sind, dann ist Z 1 Z 2 oder Z 2 Z 1 oder Z 1 Z 2 = /0. Beweis: Wir nehmen o.e.d.a. an, dass U 1 U 2 ist. Wenn Z 1 Z 2 nicht leer ist, dann gibt es ein p Z 1 Z 2. Daher ist Z 1 = p +U 1 p +U 2 = Z Affine Hülle Es sei K ein Körper und V ein Vektorraum über K. Definition 24 : Es seien I eine endliche Menge und (v i ) eine Familie in V. Eine Linearkombination c i v i von (v i ) heißt affine Kombination von (v i ), wenn c i = 1 ist. Die Menge aller affinen Linearkombinationen von (v i ) heißt affine Hülle von (v i ). Beispiel 25 : Die affine Hülle von zwei Vektoren v 1 und v 2 ist ein Punkt, wenn v 1 = v 2 ist, bzw. die Gerade {c 1 v 1 + c 2 v 2 c 1, c 2 K, c 1 + c 2 = 1} = {v 1 + c(v 2 v 1 ) c K}, wenn v 1 v 2 ist. Satz 26 : (1) Es seien M ein affiner Unterraum von V und (v i ) eine endliche Familie in M. Dann ist die affine Hülle von (v i ) in M enthalten. (2) Die affine Hülle einer Familie (v i ) in V ist ein affiner Unterraum von V. Der dazu parallele Untervektorraum wird von (v i v j ), i j erzeugt, wobei j I beliebig gewählt werden kann. (3) Die affine Hülle von (v i ) ist der (bezüglich Inklusion) kleinste affine Unterraum, der alle v i, i I, enthält. Beweis: (1) Sei p M, U der zu M parallele Untervektorraum und (c i ) eine Familie in K mit c i = 1. Zu v i gibt es u i U so, dass v i = p+u i, i I. Dann ist c i v i = (2) Sei j I und c i (p + u i ) = ( c i )p + M := v j + K v i v j ; i I, i j. c i u i = p +c i u i M.

19 18 3. MEHR ÜBER GEOMETRIE Dann ist (v i ) eine Familie in M und nach (1) ist ihre affine Hülle in M enthalten. Sei umgekehrt (d i ) eine Familie in K. Dann ist v j + d i (v i v j ) = i j i j d i v i + 1 i j d i v j eine affine Linearkombination von (v i ). Daher ist jedes Element von M in der affinen Hülle von (v i ) enthalten. (3) Folgt aus (1) und (2). Definition 27 : Affine Unterräume von V heißen kollinear bzw. koplanar, wenn sie alle in einer Geraden bzw. Ebene in V enthalten sind. Satz 28 : (1) Drei Punkte v 1, v 2, v 3 V sind genau dann kollinear, wenn die Vektoren v 2 v 1 und v 3 v 1 linear abhängig sind. (2) Vier Punkte v 1, v 2, v 3, v 4 V sind genau dann koplanar, wenn die Vektoren v 2 v 1, v 3 v 1 und v 4 v 1 linear abhängig sind. (3) Zwei Geraden p 1 + Kv 1 und p 2 + Kv 2 sind genau dann koplanar, wenn die Vektoren p 1 p 2, v 1 und v 2 linear abhängig sind. Beweis: Die ersten zwei Aussagen folgen aus Satz 26, (2). Der zur affinen Hülle von (p 1, p 2, p 1 +v 1, p 2 +v 2 ) parallele Untervektorraum wird von p 1 p 2, v 1 und v 2 erzeugt. Beispiel 29 : Sind die Vektoren v 1 := 1 0, v 2 := 2 2, v 3 := und v 4 := 1 2 R 3 1 koplanar? 3 Es ist v 2 v 1 = 1 2, v 3 v 1 = 2 1, v 4 v 1 = Wegen det = 4 0 sind v 2 v 1, v 3 v 1, v 4 v 1 linear unabhängig, nach Satz 28 also v 1,v 2,v 3,v 4 nicht koplanar.

20 19 3. MEHR ÜBER GEOMETRIE Satz 30 : Zwei verschiedene koplanare Geraden schneiden einander in genau einem Punkt oder sie sind parallel. Beweis: Seien M 1 und M 2 verschiedene koplanare Geraden und E die Ebene, die beide enthält. Wenn M 1 und M 2 nicht parallel sind, dann ist U 1 U 2 = {0} und U 1 +U 2 = U 1 U 2 ist der zu E parallele Untervektorraum. Wegen p 1, p 2 E ist p 1 p 2 U 1 U 2, daher gibt es eindeutig bestimmte Vektoren u 1 U 1, u 2 U 2 so, dass p 1 p 2 = u 1 + u 2 ist. Somit ist M 1 M 2 = {p 1 u 1 } = {p 2 + u 2 }. 3. Polytope und Schwerpunkte Es seien K = Q oder R und V ein Vektorraum über K. Definition 31 : Es seien I eine endliche Menge und (v i ) eine Familie in V. Eine Linearkombination c i v i von (v i ) heißt konvexe Linearkombination von (v i ), wenn c i = 1 und c i 0 für alle i I ist. Die Menge der konvexen Linearkombinationen von (v i ) heißt konvexe Hülle von (v i ). Die konvexe Hülle zweier Vektoren v 1,v 2 heißt Strecke zwischen v 1 und v 2. v 2 v 1 Die konvexe Hülle dreier nicht kollinearer Punkte v 1,v 2,v 3 heißt Dreieck mit Eckpunkten v 1,v 2,v 3. v 3 v 2 v 1

21 20 3. MEHR ÜBER GEOMETRIE Eine Teilmenge von V heißt Polytop, wenn sie die konvexe Hülle einer endlichen Familie in V ist. Es sei I := {1,...,n}, c 1,...,c n R 0 und c i = 1. Für c n 1 ist ) n c i v i = (1 c n ) ( n 1 c i 1 c n v i + c n v n = (1 c n )w + c n v n, wobei w := n 1 c i 1 c n v i in der konvexen Hülle H von (v 1,...,v n 1 ) liegt. Daraus folgt: Für n 3 ist die konvexe Hülle von (v 1,...,v n ) die Vereinigung aller Strecken zwischen v n und den Elementen von H. v 3 v 1 c 1 c 1 +c 2 v 1 + c 2 c 1 +c 2 v 2 =: w u u = c 1 v 1 + c 2 v 2 + c 3 v 3 = (c 1 + c 2 )w + c 3 v 3 v 2 Beispiel 32 : Eine Teilmenge von R ist genau dann ein Polytop, wenn sie ein abgeschlossenes Intervall ist. Satz 33 : Es seien P die konvexe Hülle einer Familie ( ) w j in V und j J (v i ) eine Familie in P. Dann ist die konvexe Hülle von (v i ) in P enthalten. Beweis: Für alle i I ist der Vektor v i eine konvexe Linearkombination c ji w j von ( ) w j j J j J.

22 21 3. MEHR ÜBER GEOMETRIE Sei d i v i eine konvexe Linearkombination von (v i ). Dann ist d i v i = j J mit d i c ji 0, für alle j J, und ( j J Daher ist d i v i P. d i c ji ) = ( d i c ji w j = j J d i ( j J d i c ji )w j ) c ji = d i = 1. Definition 34 : Es sei (v i ) eine endliche Familie in V. Der Schwerpunkt von (v i ) ist 1 #(I) v i. Der Schwerpunkt von (v 1,v 2 ) heißt Mittelpunkt der Strecke zwischen v 1 und v 2. Satz 35 : Es seien u,v,w drei nicht kollineare Punkte in V. Die Gerade durch u bzw. v bzw. w und den Mittelpunkt der Strecke zwischen den anderen zwei Punkten heißt Schwerlinie des Dreiecks mit Eckpunkten u, v, w durch u bzw. v bzw. w. Die drei Schwerlinien sind paarweise verschieden und schneiden einander im Schwerpunkt 1 3 (u + v + w) von (u,v,w). u 1 2 (u + v) w 1 2 (u + w) 1 2 (v + w) v Beweis: Da u,v,w nicht kollinear sind, sind nach Satz 28 die Vektoren v u und w u linear unabhängig. Also sind auch 1 v u und 2 (v u) (w u) = 1 (v + w) u 2

23 22 3. MEHR ÜBER GEOMETRIE linear unabhängig, nach Satz 28 sind daher u,v, 1 2 (v + w) nicht kollinear. Somit liegt v nicht auf der Schwerlinie durch u. Daher sind die Schwerlinien durch u und durch v verschieden und die drei Schwerlinien haben höchstens einen Schnittpunkt. Wegen 1 3 (u + v + w) = 1 3 u + 2 ( ) 1 (v + w) = v + 2 ( ) 1 (u + w) = 3 2 = 1 3 w + 2 ( ) 1 (u + v) 3 2 liegt der Schwerpunkt auf allen Schwerlinien. 4. Affine Räume Definition 36 : Es seien (G, ) eine Gruppe mit neutralem Element e und M eine Menge. Eine Funktion G M M, (s,m) s m, ist eine Operation der Gruppe G auf der Menge M, wenn gilt: für alle m M ist e m = m und für alle s,t G und alle m M ist (s t) m = s (t m). Beispiel 37 : Die Funktion S n {1,2,...,n} {1,2,...,n}, (σ,i) σ(i), ist eine Operation der Permutationsgruppe S n auf der Menge {1,2,...,n}. Definition 38 : Sei V ein Vektorraum über einem Körper K, A eine Menge und V A A, (v,a) v a, eine Operation der Gruppe (V,+) auf A. (Also: Für alle a A, v,w V ist 0 a = a und (v + w) a = v (w a). A zusammen mit dieser Operation ist ein affiner Raum über V, wenn es für alle Elemente a,b A genau einen Vektor v V gibt mit v a = b. Die Elemente von A heißen dann Punkte, die Elemente von V Vektoren des affinen Raums. Satz 39 : Sei A ein affiner Raum über V und a A. Die Funktion V A, v v a, ist bijektiv. (Nach Wahl eines Nullpunktes kann ein affiner Raum als Vektorraum betrachtet werden). Beweis: Folgt aus der Definition.

24 23 3. MEHR ÜBER GEOMETRIE Beispiel 40 : Sei V ein Vektorraum, p V und U ein Untervektorraum von V. Dann ist der affine Unterraum p +U mit U (p +U) p +U (v, p + u) p + (u + v), ein affiner Raum über U. Insbesondere ist jeder Vektorraum ein affiner Raum (über sich selbst). Beispiel 41 : Sie E die Zeichenebene oder der Anschauungsraum und T (E) der Vektorraum der Translationen von E. Dann ist E mit T (E) E E, (t,x) t(x), ein affiner Raum über T (E). Möchte man in der Zeichenebene keinen Nullpunkt wählen, kann man sie als affinen Raum betrachten. Dann muss man zwischen Punkten ( E) und Vektoren ( T (E)) unterscheiden. Punkte können dann nicht addiert werden, aber Vektoren können addiert werden und auf Punkten wirken. Sind P und Q Punkte von E und P Q, dann gibt es genau eine Translation in T (E), die P auf Q abbildet. Sie wird häufig mit PQ bezeichnet. Q Graph( PQ) P Die Menge {t PQ t R} T (E) ist die Gerade durch 0 T (E) = id E und PQ in T (E). Die Gerade durch P und Q in E ist dann als {(t PQ)(P) t R} E definiert. Wegen ( PQ)(P) = Q und (0 PQ)(P) = id E (P) = P sind P und Q Punkte dieser Geraden. Die Translation PQ wird als Richtungsvektor dieser Geraden bezeichnet. Gerade durch 0 T (E) und PQ im Vektorraum T (E) ( PQ)(P) 0 T (E) = id E PQ PQ 2 PQ P Gerade durch P und Q in E Q (2 PQ)(P) = PQ(Q)