Fachpraktikum Nichtlineare Systeme

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1 Communication Technology Laboratory Wireless Communications Group Prof. Dr. A. Wittneben ETH Zurich, ETF, Sternwartstrasse 7, 8092 Zurich Tel Fax Fachpraktikum Nichtlineare Systeme Versuch KT 30 Stand: 18. Februar 2011 Die theoretischen Fragen im Kapitel 4 müssen vor dem Praktikum gelöst werden. Die praktischen Aufgaben vom Kapitel 5 werden während des Praktikums gelöst. Ausgabe: Frühling 2011

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 2 Eigenschaften von linearen Elementen 2 3 Nichtlineare Systeme Anwendungen von Nichtlinearitäten Frequenzvervielfachung mittels spezieller Kennlinien Mischung und Modulation Zeitvariante Systeme Unerwünschte Nichtlinearitäten Verzerrung eines Signals an einer Nichtlinearität Intermodulation und Kreuzmodulation Theoretische Aufgaben Frequenzvervielfachung Additive Mischung Schaltermodulator Nichtlineare Verzerrungen Praktische Aufgaben Frequenzvervielfachung Additive Mischung Inter- und Kreuzmodulation Nichtlineare Verzerrung Bibliografie 18

3 Kapitel 1 Einleitung Nichtlineare Elemente spielen in der Nachrichtentechnik eine wichtige Rolle. Sie werden einerseits als Systemkomponenten zur Signalaufbereitung eingesetzt, andererseits bewirken sie oft störende Effekte, die es zu bekämpfen gilt. Beide Aspekte - der gezielte Einsatz sowie die Bekämpfung störender Effekte - werden in vorliegendem Versuch behandelt. [1], [2], [3], [4], [5].

4 Kapitel 2 Eigenschaften von linearen Elementen Bevor wir uns mit nichtlinearen Systemen befassen, wollen wir uns zunächst die Eigenschaften von linearen, zeitinvarianten Elementen und Systemen (linear time-invariant systems, LTI-Systeme) in Erinnerung rufen. Abbildung 2.1 stellt ein beliebiges lineares System mit einem Eingangssignal u(t) und einem Ausgangssignal y(t) dar. Sowohl u(t) als auch y(t) seien reell: u(t) lineares System y(t) Abbildung 2.1: Lineares System. Die Tatsache, dass u(t) ein Ausgangssignal y(t) bewirkt, sei folgendermassen notiert [1]: u(t) y(t). (2.1) Wird nun u(t) mit einem konstanten Faktor α multipliziert, so erscheint auch das Ausgangssignal um diesen Faktor erhöht: α u(t) α y(t). (2.2) Diese Eigenschaft eines linearen Systems nennt man Homogenität. Wird die Summe von zwei Signalen u 1 (t) und u 2 (t) mit u 1 (t) y 1 (t) u 2 (t) y 2 (t) (2.3) auf das System gegeben, so erscheint arn Ausgang ebenfalls die Summe der entsprechenden Ausgangssignale: u 1 (t)+u 2 (t) y 1 (t)+y 2 (t). (2.4) Die Gültigkeit dieses Superpositionsprinzips ist von essentieller Bedeutung für die mathematische Behandlung von linearen Systemen im Zeit-und Frequenzbereich (Fourier, Laplace- und Z-Transformation) [2].

5 3 Die Kombination der Eigenschaften (2.2) und (2.4) führt zu folgendem wichtigen Satz: Satz 2.1 Ein lineares System ist ein System mit der Eigenschaft α u 1 (t)+β u 2 (t) α y 1 (t)+β y 2 (t). (2.5) Dabei sind α und β beliebige reelle Konstanten. In diesem Zusammenhang soll auch der häufig auftretende Begriff der Kausalität erklärt werden. Hat das Signal u(t) die Eigenschaft so folgt für ein kausales System die Bedingung u(t) = 0, für t < 0, (2.6) y(t) = 0, für t < 0. (2.7) In Worten ausgedrückt bedeutet dies, dass ein kausales System kein Ausgangssignal liefert, solange kein Eingangssignal angelegt wird. Technisch realisierbare Systeme sind immer kausal. Ein zeitinvariantes System liefert für ein bestimmtes Eingangssignal immer das gleiche Ausgangssignal, unabhängig vom Zeitpunkt der Einspeisung des Signals u(t). u(t τ) y(t τ), < τ < +. (2.8) Satz 2.2 Ein lineares, zeitinvariantes System (und nur ein lineares zeitinvariantes System), welches mit einem beliebigen Eingangssignal gespeist wird, hat die Eigenschaft, dass das Spektrum des Ausgangssignals keine Frequenzkomponenten enthält, die nicht schon im Spektrum des Eingangssignals vorhanden waren.

6 Kapitel 3 Nichtlineare Systeme Der Satz (2.2) wird nun für die Definition von nichtlinearen Systemen herangezogen: Satz 3.1 Alle Systeme, die Satz (2.2) nicht erfüllen, sind nichtlinear. Mit dieser Definition werden die zeitvarianten linearen Systeme ebenfalls zu den nichtlinearen Systemen gezählt. Dies ist aber gerechtfertigt, da zeitvariante lineare Systeme oft durch nichtlineare ersetzt werden können und umgekehrt [3]. Reale Systeme sind natürlich immer nichtlinear, da sich das Homogenitätsprinzip (2.2) nie für beliebig grosse Konstanten α anwenden lässt (Begrenzungseffekt). Hingegen kann man nichtlineare Systeme oft in einem linearen Teilbereich betreiben bzw. dort genügend genau als lineares System approximieren. 3.1 Anwendungen von Nichtlinearitäten Folgende Elemente werden zufolge ihrer nichtlinearen Charakteristik für die Signalverarbeitung eingesetzt: Die Gleichrichterdiode: Das wohl bekannteste Beispiel eines spannungsabhängigen Widerstandes. Die Kapazitätsdiode(Varicap): Ein Element mit spannungsabhängiger Kapazität zur elektronischen Abstimmung von Schwingkreisen. Es werden aber nicht nur einzelene Elemente, sondern ganze nichtlineare Systeme eingesetzt, z.b.: Spannungsgesteuerte Oszillatoren(VCO s) in Phasenregelkreisen(PLL s). Multiplikatoren für Modulation und in der Analogrechentechnik (z.b. Doppel-Gate MOS-FET). Schaltungen mit speziellen Kennlinien für Frequenzvervielfachung (Abschnitt 3.1.1) und Mischung (3.1.2).

7 ANWENDUNGEN VON NICHTLINEARITÄTEN Frequenzvervielfachung mittels spezieller Kennlinien In der Nachrichtentechnik ist man häufig mit dem Problem konfrontiert, eine Frequenz zu erzeugen, die ein ganzzahliges Vielfaches einer gegebenen Frequenz beträgt. Dies geschieht häufig dadurch, dass ein harmonisches Signal mit der Frequenz ω 0 auf eine Nichtlinearität eingespeist wird und aus dem entstehenden verzerrten Signal die Komponente mit der gewünschten Frequenz nω 0 ausgefiltert wird. Die Frequenzvervielfachung an einer idealen Diodenkennlinie { u(t), u(t) 0 y(t) = (3.1) 0, sonst soll im folgenden gezeigt werden (Abbildung 3.1): u(t) y y(t) u Abbildung 3.1: Frequenzvervielfachung an der Diodenkennlinie. Das Eingangssignal für diese Nichtlinearität sei u(t) = sinω 0 t. (3.2) Das Ausgangssignal kann nun in eine Fourierreihe zerlegt werden. Diese Zerlegung ergibt [5]: y(t) = 1 π sinω 0t 2 π n=1 cos2nω 0 t 4n 2 1 (3.3) y(t) enthält also neben einem konstanten Term und der Grundwelle alle geradzahligen Harmonischen der Grundwelle. Mit einem Bandpass kann die gewünschte u(t) y y(t) r(t) u ω m = nω 0 Abbildung 3.2: Ausfilterung einer Harmonischen. Harmonische ausgefiltert werden (Abbildung 3.2). Die Amplituden ersten drei erscheinenden Harmonischen ergeben sich zu: A 2 = (2. Harmonische), A 4 = (4. Harmonische),

8 6 KAPITEL 3. NICHTLINEARE SYSTEME A 6 = (6. Harmonische). Man sieht, dass gerade noch die zweite Harmonische mit einer brauchbaren Amplitude erscheint; eine Diodenkennlinie kann also nur für die Frequenzverdoppelung effizient eingesetzt werden. Anstatt nun eine ganze Reihe unerwünschter Harmonischer zu erzeugen, deren Unterdrückung technisch aufwendig ist - vor allem wenn ω 0 in einem weiten Bereich variiert werden soll - kann man sich fragen, ob es möglich wäre, eine nichtlineare Kennlinie zu finden, die nur die gewünschte Harmonische mit der Frequenz nω 0 liefert. Es ist also eine Nichtlinearität zu suchen, die aus u(t) folgendes y(t) erzeugt: u(t) = cosω 0 t, y(t) = cosnω 0 t. (3.4) Zur Vereinfachung werde u := u(t) und y := y(t) gesetzt und ω 0 t in (3.4) eliminiert: ω 0 t = arccosu, y = cos(narccosu). (3.5) (3.5) ist die trigonometrische Form der sogenannten Tschebyscheffschen Polynome, falls n ganzzahlig ist. Man kann nun dieses Polynom zum Beispiel für n = 3 berechnen. Mit Hilfe der Sätze von Moivre [5] findet man das Ausgangssignal y(t): y(t) = cos3ω 0 t = 4cos 3 ω 0 t 3cosω 0 t. (3.6) Setzt man u = cosω 0 t ein, so erhält man das Tschebyscheffsche Polynom dritter Ordnung: y = 4u 3 3u. (3.7) Das nichtlineare System muss also die Kennlinie y(u) gemäss 3.7 aufweisen. Wie man leicht einsehen kann, wird eine Realisierung der Kennlinie für n > 3 schwierig Mischung und Modulation Eine zweite Möglichkeit zur Erzeugung neuer Frequenzen besteht in der multiplikativen Verknüpfung eines Signals s(t) mit einer harmonischen Schwingung cosω 0 t bzw. ganz allgemein mit einem periodischen Hilfssignal f(t) (Abbildung 3.3). Das periodische Hilfssignal kann geschrieben werden als f(t) = c n e jnω0t. (3.8) n= Es ergibt sich dabei eine Verschiebung des Spektrums S(ω) auf der Frequenzachse (Frequenztranslation) gemäss Abbildung 3.4. Je nach Anwendungszweck wird dieser Vorgang als Mischung oder Modulation bezeichnet. Letzterer Begriff wird vor allem dann angewendet, wenn ein Basisbandsignal in eine Trägerfrequenzlage transportiert wird. Abbildung 3.5 zeigt als Beispiel die spektralen Verhältnisse bei Zweiseitenbandmodulation (Double Sideband Modulation, DSB). Die Frequenzverschiebung kann direkt mit Hilfe eines Multiplikators erfolgen, der das Produkt des Signals s(t) mit dem Signal f(t) = cosω 0 t bildet. In diesem Fall spricht man von einer Produktionsmodulation bzw. von einer multiplikativen Mischung (3.6).

9 3.1. ANWENDUNGEN VON NICHTLINEARITÄTEN 7 s(t) Mischer y(t) f(t) Abbildung 3.3: Mischer. Y(ω), S(ω) S(ω) ω 0 ω 0 ω Y(ω) Abbildung 3.4: Verschiebung des Spektrums s(t) mit einem periodischen Hilfssignal. Die Wirkung der Frequenztranslation durch diese Multiplikation lässt sich folgendermassen zeigen: Zunächst ersetzt man cosω 0 t mit Hilfe der Eu1erschen Beziehung: cosω 0 t = 1 2 Die Multiplikation von s(t) und f(t) ergibt also: y(t) = 1 2 ( e jω 0t +e jω0t). (3.9) ( s(t)e jω 0t +s(t)e jω0t). (3.10) Wird (3.10) in den Frequenzbereich transformiert, so erhält man mit dem Verschiebungssatz der Fouriertransformation [3] den Ausdruck Y(ω) = 1 2 S(ω ω 0)+ 1 2 S(ω +ω 0). (3.11) Die Realisierung von Analog-Multiplikatoren ist aber oft aufwendig und nur in einem beschränkten Frequenzbereich möglich. Ist die Trägerfrequenz sehr viel grösser als die Signalbandbreite, lassen sich darum mit Vorteil andere Methoden verwenden, bei denen zusätzliche unerwünschte Frequenzkomponenten entstehen, die aber zufolge der relativ grossen Frequenzabstände einfach weggefiltert werden können. Ein Beispiel dafür ist der Schaltermodulator. Ein Schaltermodulator kann als halbanaloger Multiplikator aufgefasst werden, der die mu1tiplikative Verknüpfung des analogen Signals s(t) nicht mit einer harmonischen Schwingung, sondern mit einer Schaltfunktion ausführt. Gleichbedeutend ist die Interpretation des Schaltermodulators als zeitvariantes Element (siehe Abschnitt 3.2). In Hochfrequenzgeräten wird häufig die sog. additive Mischung verwendet. Dabei werden die beiden Signale s(t) und cosω 0 t zuerst addiert und anschliessend auf ein nichtlineares Element gegeben (Abbildung 3.7).

10 8 KAPITEL 3. NICHTLINEARE SYSTEME Y(ω), S(ω) S(ω) ω 0 ω 0 ω Y(ω) Abbildung 3.5: DSB-Modulation. s(t) π y(t) f(t) = cosω 0 t Abbildung 3.6: Produkttmodulation bzw. multiplikative Mischung. Die Nichtlinearität sei als Potenzreihe gegeben: y = a 0 +a 1 u+a 2 u 2 +a 3 u (3.12) Mit u = s(t)+cosω 0 t (3.13) erhält man den Ausdruck y(t) = a 0 +a 1 (s(t)+cosω 0 t) +a 2 (s(t)+cosω 0 t) 2 +a 3 (s(t)+cosω 0 t) = a 0 +a 1 s(t)+a 1 cosω 0 t +a 2 s 2 (t)+2a 2 s(t)cosω 0 t+a 2 cos 2 (ω 0 t) +a 3 s 3 (t)+3a 3 s 2 (t)cosω 0 t+3a 3 s(t)cos 2 (ω 0 t) +a 3 cos 3 (ω 0 t) +... (3.14) Nach einem Bandpassfilter mit der Mittenfrequenz ω 0 ergibt sich folgendes Si-

11 ZEITVARIANTE SYSTEME 9 s(t) u(t) y(t) z(t) Σ cosω 0 t Abbildung 3.7: Additive Mischung. gnal: z(t) =a 1 cosω 0 t+2a 2 s(t)cosω 0 t +3a 3 s 2 (t)cosω 0 t+ 3 4 a 3cosω 0 t +... (3.15) Man erkennt, dass also auch bei der additiven Mischung das Produkt s(t)cosω 0 t entsteht. Die zusätzlichen Summanden sind aber unerwünscht, somit eignet sich lediglich die Nichtlinearität y = a 0 +a 2 u 2. (3.16) Bei Empfängern für Amplitudenmodulation mit Träger (AM) und Frequenzmodulation(FM)derTerma 1 cosω 0 tallerdingsnicht,dadieserbeiam-demodulation eine Gleichkomponente und bei FM-Demodulation gar kein Ausgangssignal erzeugt. Deshalb kann auch die Form y = a 0 +a 1 u+a 2 u 2 (3.17) verwendet werden. Für additive Mischstufen werden heute wegen ihrer beinahe quadratischen Kennlinie häufig Feldeffekttransistoren eingesetzt. Im Röhrenzeitalter verwendete man spezielle Mischröhren, deren Kennlinien sich ebenfalls gut durch eine Parabel beschreiben lassen. Bei Mischstufen mit bipolaren Transistoren ist man gezwungen, die Aussteuerung sehr klein zu halten, damit der Einfluss der kubischen und höheren Glieder vernachlässigbar bleibt. Damit wird aber auch das Ausgangssignal klein und der Geräuschabstand des Ausgangssignals schlechter. Bei sehr hohen Frequenzen werden keine aktiven Elemente mehr verwendet. Die Nichtlinearität wird dann durch Dioden oder Kapazitätsdioden gebildet. 3.2 Zeitvariante Systeme Zeitvariante Systeme wie z.b. der Schaltermodulator werden häufig als Ersatz nichtlinearer Systeme verwendet, da sie einfach zu realisieren sind. In Abschnitt wurde erläutert, dass der Frequenzumsetzung eine Multiplikation des Signals s(t) mit einer harmonischen Schwingung zugrunde liegt. Die Verwendung eines Multiplikators (multiplikative Mischung) lässt sich umgehen, wenn Signal und harmonische Schwingung addiert, auf ein geeignetes nichtlineares Element gegeben und dann die unerwünschten Frequenzkomponenten weggefiltert werden (additive Mischung). Eine weitere Möglichkeit ist die Verwendung einer periodischen Funktion, die

12 10 KAPITEL 3. NICHTLINEARE SYSTEME die gewünschte Harmonische enthält, deren zeitlicher Verlauf aber eine technisch besonders einfach realisierbare Multiplikation ermöglicht. Dies ist bei der Rechteckschwingung p(t) der Fall (Abbildung 3.8). Eine Multiplikation von s(t) mit p(t) entspricht einem periodischen Ein- und p(t) 1 τ 0 T t Abbildung 3.8: Rechteckschwingung. Ausschalten des Signals s(t) (Abbildung 3.9). Deshalb bezeichnet man eine Anordnung, die diese Operation durchführt, als Schaltermodulator. Dabei ist p(t) die sog. Schaltfunktion. Wird p(t) als Fourierreihe angeschrieben, so erhält man s(t) y(t) das Ausgangssignal y(t) zu p(t) Abbildung 3.9: Prinzip des Schaltermodulators. y(t) = n= s(t)c n e jnω0t, ω 0 = 2π T. (3.18) c n sind die komplexen Fourierkoeffizienten der Rechteckschwingung. Die Transformation in den Frequenzbereich erfolgt mit Hilfe des Verschiebungssatzes. Abbildung 3.10 zeigt das Resultat. Mit Hilfe eines Bandpassfilters mit der Charakteristik H(ω) wird nun das gewünschte Frequenzband bei ω 0 herausgefiltert. Eine bekannte Schaltungsanordnung für einen Schaltermodulator ist der Ringmodulator (Abbildung 3.11). Es handelt sich hier um einen sogenannten Gegentakt-Modulator (engl.: balanced modulator). Es wird eine bipolare symmetrische Rechteckschwingung zur Steuerung der Diodenschalter verwendet (Abbildung 3.12). Vorteile dieser Schaltung: Siehe Aufgabe 4.3.

13 3.3. UNERWÜNSCHTE NICHTLINEARITÄTEN 11 S(ω) H(ω) Y(ω) ω 0 2ω 0 ω Abbildung 3.10: Spektren von s(t) und y(t). s(t) y(t) p (t) Abbildung 3.11: Ringmodulator. 3.3 Unerwünschte Nichtlinearitäten In Nachrichtensystemen treten oft Nichtlinearitäten auf, die nicht erwünscht sind, so zum Beispiel dann, wenn ein additiver Mischer nach Abschnitt höhere Nichtlinearitäten als solche zweiten Grades erhält. Aber auch jeder Verstärker weist Nicht1inearitäten auf, da er von einer gewissen Eingangsspannungsgrenze an übersteuert wird Verzerrung eines Signals an einer Nichtlinearität Die Auswirkung einer Nichtlinearität auf eine sinusförmige Schwingung zeigt Abbildung Das verzerrte Signal ist wieder periodisch, enthält aber zusätzliche Frequenzkomponenten. Den Grad der Verzerrung drückt man durch den Klirrfaktor aus. Er ist gleich der Wurzel aus dem Verhältnis der Leistung sämtlicher Oberwellen zu der Wechselstromleistung des Gesamtsignals und wird meistens in Prozent angegeben. Sei A n die Amplitude der n-ten Teilschwingung, so ergibt sich der Klirrfaktor zu A 2 2 k = +A A 2 100%. (3.19) 1 +A

14 12 KAPITEL 3. NICHTLINEARE SYSTEME 1 p (t) T 0 1 t T 2 Abbildung 3.12: Bipolare symmetrische Schwingung. y y = f(u) t 0 u t Abbildung 3.13: Verzerrung eines sinusförmigen Signals an einer Nichtlinearität Intermodulation und Kreuzmodulation Im letzten Abschnitt wurde der Einfluss der Nichtlinearität auf eine einzelne harmonische Schwingung untersucht. Im folgenden soll nun die Wirkung einer Nichtlinearität auf ein Signal, das aus mehreren harmonischen Schwingungen unterschiedlicher Frequenz besteht, untersucht werden. Das Signal u(t) setze sich zunächst aus zwei harmonischen Schwingungen zusammen: u(t) = A 1 cosω 1 t+a 2 cosω 2 t. (3.20)

15 3.3. UNERWÜNSCHTE NICHTLINEARITÄTEN 13 Die Nichtlinearität sei wieder als Potenzreihe (3.12) gegeben. Für das Ausgangssignal y(t) erhält man nach einigen Berechnungen den Ausdruck y(t) = a 0 +a 1 (A 1 cosω 1 t+a 2 cosω 2 t) +a 2 (A 1 cosω 1 t+a 2 cosω 2 t) 2 +a 3 (A 1 cosω 1 t+a 2 cosω 2 t) = a 0 +a 1 A 1 cosω 1 t+a 1 A 2 cosω 2 t +a 2 { A 2 1 +A A2 1 2 cos2ω 1t+ A2 2 2 cos2ω 2t } +A 1 A 2 cos(ω 1 +ω 2 )t+a 1 A 2 cos(ω 1 ω 2 )t +a 3 { A cos3ω 1t+ A3 2 4 cos3ω 2t A 1(A A 2 2)cosω 1 t+ 3 4 A 2(2A 2 1 +A 2 2)cosω 2 t A 1A 2 2cos(ω 1 +2ω 2 )t+ 3 4 A 1A 2 2cos(ω 1 2ω 2 )t A2 1A 2 cos(2ω 1 +ω 2 )t+ 3 } 4 A2 1A 2 cos(2ω 1 ω 2 )t +... (3.21) y(t) enthält offensichtlich Anteile an harmonischen Schwingungen, deren Frequenzen Linearkombinationen von Vielfachen der beiden Grundfrequenzen ω 1 und ω 2 sind. Die Kombinationen, die sowohl ω 1 als ω 2 enthalten, bezeichnet man als Intermodulationsfrequenzen. Besteht das Eingangssignal aus drei harmonischen Schwingungen, so enthält das Ausgangssignal ebenfalls eine Vielzahl neuer Frequenzkomponenten. Eine Möglichkeit, diese darzustellen, zeigt Abbildung Die auftretenden Frequenzkomponenten werden auf einer Pyramide eingetragen. Die Vielfachen der Grundfrequenzen befinden sich auf den Kanten der Pyramide. Die Intermodu1ationsfrequenzen aus je zwei der Grundfrequenzen liegen auf den Seitenflächen. Jede Schnittebene der Pyramide entspricht einem Grad der Nichtlinearität. Besonders interessant sind nun die Terme, die alle drei Frequenzkomponenten enthalten; sie liegen innerhalb der Pyramide und treten erst vom dritten Grad an auf. Die drei Frequenzen seien ω 1, ω 2 und ω 3 = ω 2 ± ω Dann erhält man unter anderem die Frequenzkombination ω 1 ω 2 +ω 3 = ω 1 ± ω. (3.22) Dies hat nun folgende Konsequenz: Besteht ein Signal aus einem amplitudenmodulierten Signal mit Träger ω 1 und einem zweiten Träger ω 2, so übernimmt dieser zweite Träger die Modulation des ersten! Diesen Effekt bezeichnet man als Kreuzmodulation. Sind beide Träger amplitudenmoduliert, so übernehmen die Träger gegenseitig die Modulation des andern.

16 14 KAPITEL 3. NICHTLINEARE SYSTEME 0 n = 0 ω 3 n = 1 ω 1 ω 2 2ω 3 ω 3 ±ω 1 ω 2 ±ω 3 n = 2 2ω 1 ω1 ±ω 2 2ω 2 3ω 3 ω 3 ±2ω 1 2ω 3 ±ω 1 2ω 3 ±ω 2 n = 3 ω 3 ±ω 2 ±ω 1 ω 3 ±2ω 2 3ω 1 2ω 1 ±ω 2 ω 1 ±2ω 2 3ω 2 Abbildung 3.14: Intermodulations- und Kreuzkorrelationskomponenten.

17 Kapitel 4 Theoretische Aufgaben 4.1 Frequenzvervielfachung Man berechne die Tschebyscheffschen Polynome, die eine Frequenzverdoppelung und eine Frequenzvervierfachung bewirken. 4.2 Additive Mischung Es soll eine möglichst gute quadratische Kennlinie für additive Mischung gefunden werden. Unter möglichst gut sei maximale Amplitude des Ausgangssignals y(t) verstanden. Es sei die Normierung u(t) < 1 und y(t) < 1. gegeben. Man suche nach Bedingungen, die diese Kennlinien erfüllen soll und finde daraus heuristisch je die optimalen Kennlinien für die Fälle Siehe auch (3.16) und (3.17). a 1 = 0 und a Schaltermodulator a) Man berechne die Fourierkoeffizienten der Schwingung p(t) (Abbildung 3.8) und p (t) (Abbildung 3.12). Warum gibt man der Schwingung p (t) den Vorzug? b) Der Ringmodulator nach Abbildung 3.11 führt eine Multiplikation mit p (t) durch. Man erkläre seine Funktionsweise.

18 16 KAPITEL 4. THEORETISCHE AUFGABEN 4.4 Nichtlineare Verzerrungen Das Signal werde an der Nichtlinearität u(t) = Acosω 0 t y = u3 A 2 verzerrt. Man berechne den Klirrfaktor von y(t).

19 Kapitel 5 Praktische Aufgaben Man beachte die am Versuchsplatz aufliegenden Bedienungshinweise für die programmierbare Nichtlinearität und den Frequenz-Multiplexer und-demultiplexer. 5.1 Frequenzvervielfachung Es soll eine Frequenzvervielfachung an den Tschebyscheffschen Polynomen T 2, T 3 und T 4 vorgenommen werden. a) Man stelle die Koeffizienten des Polynoms an der programmierbaren Nichtlinearität ein. Für x werde ein Sinussignal von 1 khz verwendet, wobei x max = 1 ( Ansprechen der Uebersteuerungsanzeige) sei. Mittels der Klirrfaktormessbrücke sollen nun die Koeffizienten solange variiert werden, bis der Klirrfaktor des Ausgangssignals minimal ist. Man stelle die Polynome auf dem Kathodenstrahl-Oszillographen dar. b) Man untersuche qualitativ den Einfluss der Variation der Koeffizienten der Nichtlinearität auf das Ausgangssignal sowohl im Zeit- als auch im Frequenzbereich. c) Man untersuche den Einfluss der Variation der Amplitude des Eingangssignals auf das Ausgangssignal sowohl im Zeit- als auch im Frequenzbereich. d) Man wähle für das Eingangssignal ein Sinussignal der Frequenz 10 khz. Warum wird das Ausgangssignal schöner? 5.2 Additive Mischung Als Eingangssignal für die Nichtlinearität soll das Summensignal aus einem 3 khz- und einem 10 khz-signal verwendet werden. Wie kann dieses Summensignal mit den zur Verfügung stehenden Mitteln realisiert werden? Man stelle die in Aufgabe 4.2 gefunden Polynome an der Nichtlinearität ein. Man betrachte das Ausgangssignal im Frequenzbereich und im Zeitbereich und untersuche den Einfluss des Koeffizienten a 1.

20 18 KAPITEL 5. PRAKTISCHE AUFGABEN 5.3 Inter- und Kreuzmodulation a) Das in 5.2 verwendete Summensignal wird wieder auf die Nichtlinearität gegeben. Man variiere nun alle Koeffizienten der Nichtlinearität und verifiziere das Erscheinen der in Abbildung 3.14 angegebenen Frequenzkomponenten. b) Um die Kreuzmodulation zu untersuchen, werde folgendes Experiment gemacht: ω 2 sei der zur Verfügung stehende 10kHz-Träger, ω moduliert ω 2 und sei ein Musiksignal (an IN2 ), ω 1 sei null (Gleichstrom). Man verzerre das Summensignal nun durch eine geeignete Nichtlinearität. Ohne Verzerrung wäre am Ausgang OUT1 nichts vorhanden. Mit Verzerrung sollte ein unverständliches Signal bei Intermodulation und zusätzlich ein verständliches Signal bei Kreuzmodulation zu hören sein. Man untersuche den Einfluss der Variation des Koeffizienten a 3 und des Gleichstrom-Pegels an IN1 auf eben diesen verständlichen Anteil. Warum verschwindeternicht,auchdannnicht,wenna 3 unddergleichstrom-pegel null sind? 5.4 Nichtlineare Verzerrung Man verifiziere die in 4.4 ausgeführte Berechnung.

21 Literaturverzeichnis [1] M. Schnetzen, Linear Time-Invariant Systems. Wiley-IEEE Press, [2] Institut für Kommunikationstechnik ETH, Harmonische Signalanalyse, GLF Versuch. [3] H. Bölcskei, Signale und systeme I, Vorlesung an der ETH Zürich, D- ITET, [4] A. Wittneben, Communication systems, Vorlesung an der ETH Zürich, D-ITET, [5] I. Bronstein and K. Semendjanew, Taschenbuch der Mathematik. 6.Auflage, Verlag Harri Deutsch, 2005.