Student Project. Tight Binding Model. verfasst von. Peter WRIESNIK Mat.Nr

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1 Studet Project Tight Bidig Model verfasst vo Peter WRIESNIK Mat.Nr im Rahme der Übuge Molekül- ud Festkörperphysik a der Techische Uiversität Graz ud betreut vo Rolad Resel Istitute of Solid State Physics Graz Uiversity of Techology Graz, August 2011

2 Ihaltsverzeichis 1 Theoretische Grudlage Herleitug der Tight-Bidig-Näherug Awedug der Näherug auf ei kokretes Potetial Numerische Auswertug

3 Kapitel 1 Theoretische Grudlage 1.1 Herleitug der Tight-Bidig-Näherug Dem Tight-Bidig-Modell zur Berechug der Elektroebadstruktur i Festkörper liegt die Idee zugrude dass bei eiem periodische Potetial die Gesamtwellefuktio als Liearkombiatio vo atomare Wellefuktioe φ A geschriebe werde. Es zeigt sich, dass es sivoll ist, diese Eizelwellefuktioe als stark a ihre eigee atomare Potetiale V A gebude azusehe, d.h dass sie weig Wechselwirkug mit dem restliche Kristallpotetial zeige, wodurch die Rechug stark erleichtert wird. Die Gesamtwellefuktio ψ(k, x) muss die Eigewertgleichug 1 Hψ = [ ] 2 2m 2 + V (x) ψ(k, x) = E(k)ψ(k, x) (1.1) erfülle. V (x) stellt hier das periodische Gitterpotetial dar ud ka geschriebe werde als V (x) = N V A (x a) (1.2) =1 wobei N die Azahl der Potetiale ud a de Abstad zwische diese 1 Die gesamte Berechug erfolgt hier i der Ortsraumbasis, d.h. Impulsoperatore sid durch Ableituge ud Ortsoperatore durch die Ortsvektore zu ersetze. Außerdem wird die gesamte Berechug zur Vereifachug 1-dimesioal durchgeführt. Sämtliche Überleguge gelte jedoch i 3 Dimesioe aalog. 3

4 darstellt. ψ(k, x) wird u als Liearkombiatio ψ(k, x) = 1 e ika φ A (x a) (1.3) N agesetzt. Diese Fuktioe erfülle das Bloch-Theorem ud sid somit als Lösuge vo Glg. 1.1 zulässig. Die atomare Wellefuktioe φ A (x) seie bekat oder zumidest durch die atomare Eigewertgleichuge H A ()φ(x) = Eφ A (x) (1.4) mit H A () = 2 2m 2 + V A (x a) (1.5) berechebar. H A () beschreibt hier ei Teilche, für welches das Potetial V A a der Stelle x = a agegebe werde ka. Dieses wird i der hier durchgeführte Berechug die Form eies edlich tiefe Potetialtopfs aufweise. Für die weitere Betrachtug wird das Potetial mittels eier Hilfstrasformatio V (x) = V A (x a) + h (x) (1.6) h (x) = V (x) V A (x a) (1.7) umgeschriebe. h (x) bezeichet die Differez zwische dem -te Atompotetial ud dem Gesamtpotetial a der Stelle x. Somit ka der Gesamthamiltooperator aus Glg. 1.1 geschriebe werde als H = H A () + h (x) = 2 2m 2 + V A (x a) + h (1.8) mit H A () als dem Hamiltooperator für das -te Eizelpotetial. Eisetze dieser Beziehug i Glg. 1.1 ud Verwede vo 1.3 ergibt 4

5 [ ] 2 2m 2 + V A (x a) + h (x) e ik a φ A (x a) = = E(k) e ik a φ A (x a) (1.9) Hier kommt u die grudlegede Idee hiter der Tight-Bidig-Approximatio zum Trage: Die eizele atomare Wellefuktioe φ A (x) sid stark a ihre jeweilige Potetiale gebude, d.h. sie falle ausreiched schell ach auße hi ab. Mathematisch bedeutet dies, dass i der Doppelsumme auf der like Seite vo Glg. 1.9 die Ausdrücke V A (x a) φ(x a) ud h (x) φ(x a) für verschwidet kleie Beitrage aufweise, die verachlässigt werde köe. Dies etspricht eiem Gleichsetze vo =. Nach Subtraktio vo E A e ika φ(x a) erhält ma [ ] 2 2m 2 + V A (x a) E A e ika φ A (x a) = e ika h (x)φ A (x a) + [ ] E(k) E A e ika φ A (x a) (1.10) Die like Seite i Glg verschwidet, da ja jede Wellefuktio φ A eie Eigezustad des atomare Hamiltooperators darstellt. Somit bleibt [ ] E(k) EA e ika φ A (x a) = e ika h (x)φ A (x a) (1.11) Multiplikatio mit φ A (x) ud aschließede Itegratio ergibt E(k) E A = e ika e ika φ A (x)φ A(x a)h (x)dx φ A (x)φ A(x a)dx (1.12) Es ist hier sivoll, die Abkürzuge h() = φ A(x)φ A (x a)h (x)dx (1.13) 5

6 bzw. I() = φ A(x)φ A (x a)dx (1.14) eiführe. Somit lässt sich Glg als E(k) E A = e ika h() e ika I() (1.15) schreibe. Obiger Ausdruck ka zwar exakt ausgewertet werde, dies ist jedoch icht immer auf aalytischem Wege möglich. Da bei der Tight-Bidig- Approximatio ur Wechselwirkuge zwische ächste Nachbar berücksichtigt werde, werde i de Summe ur Ateile mit 1 berücksichtigt. Falls die atomare Wellefuktioe reellwertig sid, was hier der Fall ist, gilt außerdem h(1) = h( 1) sowie I(1) = I( 1). Aus der Normierug folgt I(0) = 1. Somit ergibt sich E(k) E A = h(0) + h(1) (eika + e ika ) h(0) + 2h(1)cos(ka) 1 + I(1) (e ika + e ika ) = 1 + 2I(1)cos(ka) (1.16) 1.2 Awedug der Näherug auf ei kokretes Potetial Im Folgede soll die kokrete Form vo Glg für eie periodische Aeiaderreihug edlich tiefer Potetialtöpfe besproche werde. I 1.16 trete lediglich die Ausdrücke h 1 (x) ud h 1 (x) auf. Diese sid ach 1.7 h 1 (x) = V (x) V A (x a) (1.17) bzw. h 1 = V (x) V A (x + a) (1.18) 6

7 V A wird hier als ei edlich tiefer Potetialtopf der Breite 2b ageschriebe: V A = { V 0 für x < b 0 sost (1.19) Die Eigefuktioe dieser Potetialtype 2 habe die Form φ a := exp(κ a x) für < x b φ + A = α φ b := exp( κ ab) cos(k a x) b < x < b cos(κ a b) φ c := exp( κ a x) b x < (1.20) als symmetrische Lösug. I der weitere Rechug wird lediglich diese behadelt. Die atisymmetrische Lösug ergibt sich zu exp(κ a x) für < x b φ A = α exp( κ ab) si(k a x) b < x < b si(κ a b) exp( κ a x) b x < (1.21) α diet der Normierug. Im Folgede wird es sivoll sei, diese stückweise defiierte Eigefuktioe mit φ a, φ b ud φ c zu bezeiche. κ a bzw. k a häge vo der Eergie ud Potetialtiefe ab. Es gelte die implizite Beziehuge κ 2 a = 2m E (1.22) 2 k 2 a = 2m 2 (V 0 E ) (1.23) mit V 0 > 0. Zwische k a ud κ a gilt der Zusammehag k a ta(k a b) = κ a. Diese Gleichug lässt sich aalytisch icht löse. Uter Verwedug vo κ 2 a + k 2 a = 2m 2 V 0 ist jedoch eie umerische Behadlug möglich. 2 vgl. hierzu Glg i [Noltig, 2009] 7

8 Eisetze dieser Wellefuktio i die Ausdrücke für h(0), h(1) ud I(1) liefert i ausgeschriebeer Form h(0) = φ A (x) φ A (x)h 0dx = 2 V 0 a+b a b φ a (x) 2 dx } {{ } I 0 (1.24) h(1) = φ A (x) φ A (x a)h 1dx = V 0 b b φ b (x) φ a (x a)dx = h( 1) } {{ } I 1 (1.25) b = 2 b I(1) = φ b (x) φ a (x a)dx + } {{ } I 1 a b b φ A (x) φ A (x a)dx = φ c (x) φ a (x a)dx = I( 1) } {{ } I 2 (1.26) Diese Itegrale ergebe mit der Wellefuktio 3 aus Glg I 0 = α 2 a+b a b e 2κax dx = α 2 (e4bκa 1) e 2κa(a+b) 2κ a (1.27) b I 1 = α 2 b e κab cos(κ a b) cos(k ax) e κa(x a) dx = ( = α 2 e κab cos(κ a b) e κa(a+b) ka (e 2bκa + 1)si(bk a ) + κ a (e 2bka 1)cos(bk a ) ) ka 2 + κ 2 a (1.28) 3 Gelöst wurde diese Itegrale uter Verwedug vo Mathematica. 8

9 I 2 = α 2 a b b e κaa dx = α 2 e κaa (a 2b) (1.29) Mit diese Abkürzuge lässt sich Glg als E(k) = E A + 2V 0I 0 2V 0 I 1 cos(ka) 1 + (2I 1 + I 2 )cos(ka) (1.30) schreibe. 1.3 Numerische Auswertug Nach dieser Vorarbeit ka schließlich die Eergie E(k) i der Tight-Bidig- Näherug berechet werde. Notwedig hierzu sid jedoch och Werte für k a ud κ a. Hierzu wird die Beziehug k a ta(k a b) = κ a ausgeutzt. Aufgrud der umerische Heragehesweise müsse Werte für die Form des Potetialtopfs festgelegt werde. Diese seie a = 0.1m b = 0.02m V 0 = 1eV (1.31) Mit diese Werte ergibt die Gleichug k 2 a ta 2 (k a b) = 2m 2 V 0 k 2 a (1.32) die Näherugslösuge 4 k a = m 1 ud κ a = m 1. Diese köe i Glg eigesetzt werde. Ma erhält E(k) = cos(0.1k) cos(0.1k) (1.33) mit k i m 1 ud E(k) i ev. 4 Diese wurde uter Verwedug vo WolframAlpha bestimmt. 9

10 Abbildug 1.1: Verlauf der Eergie i Abhägigkeit der Wellezahl k 10

11 Literaturverzeichis [Noltig, 2009] Noltig, W. (2009). Grudkurs Theoretische Physik 5/1: Quatemechaik - Grudlage. Spriger-Verlag Berli Heidelberg, 7. editio. 11