Mathematik I: Analysis

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1 Hochschule München Fkultät 03 Skript zur Vorlesung Mthemtik I: Prof. Dr.-Ing. Ktin Wrendorf 15. Dezember 2014 Erstversion erstellt von Sindy Engel erweitert von Prof. Dr.-Ing. Ktin Wrendorf

2 Inhltsverzeichnis 1 Mengen Begriffe Mengenreltionen Opertionen Spezielle Mengen Menge der reellen Zhlen Drstellung und Eigenschften Anordnung der Zhlen Intervlle Beschränktheit von Mengen Komplexe Zhlen Grundbegriffe Drstellungsformen von komplexen Zhlen Arithmetische Form Goniometrische/ Trigonometrische Form Exponentilform Umrechnungen Rechnen mit komplexen Zhlen Addition und Subtrktion Multipliktion und Division Reelle Zhlenfolgen Definition von Zhlenfolgen Drstellung Spezielle Folgen Eigenschften von Zhlenfolgen Konvergenz Beschränktheit und Konvergenz Funktionen einer Vriblen Funktionsbegriff Eigenschften von Funktionen Umkehrfunktion Verkettete Funktion

3 4.5 Stetigkeit Arten von Unstetigkeitsstellen Funktionsklssen Gnzrtionle Funktionen Gebrochenrtionle Funktionen Wurzelfunktion Exponentil- und Logrithmusfunktionen Trigonometrische Funktionen Hyperbelfunktionen Differentilrechnung für Funktionen einer Vriblen Differentilrechnung Differentil einer Funktion Differentitionsregeln Mittelwertsätze Regel von l HOSPITAL Funktionsverhlten und besondere Punkte Notwendige und hinreichende Bedingung für Extremwerte und Wendepunkte Newtonitertion zur Bestimmung von Nullstellen Integrlrechnung Bestimmtes und Unbestimmtes Integrl Bestimmtes Integrl Stmmfunktion Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Unbestimmtes Integrl Integrtionsverfhren Prtielle Integrtion Substitution Prtilbruchzerlegung Numerische Integrtion Reihen Unendliche Reihe Einführung Konvergenzkriterien Potenzreihen Einführung Konvergenz und Eigenschften von Potenzreihen Tylor-Reihen Einführung Entwicklung einer Funktion in eine Potenzreihe Anwendungen Tylor-Reihe HS München 3 Fkultät 03

4 1 Mengen 1.1 Begriffe Eine Menge M ist eine Zusmmenfssung wohlunterscheidbrer Objekte. Die Objekte heißen Elemente. x M : x ist Element in M x / M : x ist nicht Element in M Leere Menge: M = = {} Beispiel 1.1 Mengen M 1 = {2, 4, 6} ufzählende Form M 2 = {x (x > 1) (x < 5)} beschreibende Form Mengenreltionen A = B Gleichheit von 2 Mengen (A = B) ( A B) A B A ist in B enthlten (A B) ( A B) A B A ist echt in B enthlten (A B) (A B b B b / A) Opertionen A B Vereinigung von A u. B ( A B) ( A B) A B Schnitt von A u. B ( A B) ( A B) A\B Differenz von A u. B ( A\B) ( A / B) Ā Komplementärmenge bzgl. einer Grundmenge M M : ( Ā) ( / A) 4

5 1.2 Spezielle Mengen Menge der ntürlichen Zhlen: N = {1, 2, 3, 4,... } Menge der gnzen Zhlen: Z = {0, ±1, ±2, ±3,... } Menge der rtionlen Zhlen: Q = { x x =, Z; b Z\ {0}} b x ist ein endlicher oder ein periodischer Dezimlbruch Menge der reellen Zhlen: R = {x x = ein Dezimlbruch} Erweiterung von Q um unendliche, nichtperiodische Dezimlbrüche (π, e,... ) Menge der komplexen Zhlen: C = {x x = + bj,, b R; j 2 = 1} 1.3 Menge der reellen Zhlen 1.4 Drstellung und Eigenschften Zhlengerde Eigenschften:, b R 1. Mögliche Opertionen + b, b, b, b, b 0 2. Kommuttivgesetz + b = b + b = b 3. Assozitivgesetz + (b + c) = ( + b) + c (b c) = ( b) c 4. Distributivgesetz (b + c) = b + c HS München 5 Fkultät 03

6 1.4.1 Anordnung der Zhlen 3 mögliche Beziehungen:, b R < b = b > b Intervlle, b R, < b 1. endliche Intervlle [ ; b ] = {x x b} bgeschlossenes Intervll [ ; b [ = {x x < b} hlboffenes Intervll ] ; b ] = {x x < b} hlboffenes Intervll ]; b[ = {x < x < b} 2. unendliche Intervlle [; [ = {x x < } ]; [ = {x < x < } ]- ; b] = {x - < x b} ]- ; b[ = {x - < x < b} ]- ; 0[ = R ]0; [ = R + [ 0; [ = R + 0 ]- ; [ = R offenes Intervll 1.5 Beschränktheit von Mengen Definition 1.1 Beschränktheit Eine Zhlenmenge M heißt nch oben (unten) beschränkt, wenn eine Zhl S R existiert, so dss gilt x S (x S) ist, für lle x M Jedes S mit dieser Eigenschft heißt obere (untere) Schrnke. HS München 6 Fkultät 03

7 2 Komplexe Zhlen 2.1 Grundbegriffe Definition 2.1 Imginäre Einheit j Die Definition der Imginären Einheit j, ergibt sich us der Lösung der folgenden Gleichung x = 0 x 2 = 1 x = ± 1 }{{} j Die imginäre Einheit j ist eine Zhl, für die gilt: j 2 = 1 Definition 2.2 Komplexe Zhl Eine komplexe Zhl z ist die Summe us einer reellen Zhl und einer imginären Zhl bj: z = + bj heißt Relteil, b heißt Imginärteil von z. Die Menge der komplexen Zhlen wird ls C bezeichnet. Es gilt C = {Z Z = + bj, j 2 = 1;, b R} 7

8 Guß sche Zhlenebene Der Betrg ergibt sich zu: Z = r = 2 + b 2 Konjugiert komplexe Zhl Definition 2.3 Konjugiert komplexe Zhl Die Zhl Z = bj heißt konjugiert komplex zu Z = + bj. Dies entspricht in der Guß schen Zhlenebene einer Spiegelung n der Re(Z)-Achse. 2.2 Drstellungsformen von komplexen Zhlen Arithmetische Form Z = }{{} Relteil + }{{} b j,, b R Imginärteil HS München 8 Fkultät 03

9 2.2.2 Goniometrische/ Trigonometrische Form Beziehungen: Z = r tn ϕ = b sin ϕ = b r cos ϕ = r = r cos ϕ b = r sin ϕ Z = r (cos ϕ + j sin ϕ), 0 ϕ < 2π bzw. 0 ϕ < Exponentilform Euler sche Formel: e jϕ = cos ϕ + j sin ϕ Z = r e jϕ, 0 ϕ < 2π bzw. 0 ϕ < Umrechnungen rithmetische in goniometrische bzw. in Exponentilform bzw: mit: Z = + bj Z = r (cos ϕ + j sin ϕ) Z = r e j ϕ r = 2 + b 2 ( ) b ϕ = rctn Exponentilform in rithmetische Z = r e j ϕ = r cos (ϕ) b = r sin (ϕ) Z = r cos (ϕ) + j r sin (ϕ) HS München 9 Fkultät 03

10 2.4 Rechnen mit komplexen Zhlen Addition und Subtrktion Definition 2.4 Summenbildung Die Summen und Differenzbildung erfolgt bei komplexen Zhlen, durch Addition bzw. Subtrktion der Komponenten (vgl. Vektorddition) Z 1 = 1 + b 1 j Z 2 = 2 + b 2 j Z 1 + Z 2 = ( ) + j (b 1 + b 2 ) Z 1 Z 2 = ( 1 2 ) + j (b 1 b 2 ) Die Addition und Subtrktion von komplexen Zhlen ist usschließlich in der rithmetischen Form möglich! Multipliktion und Division In rithmetischer Form Multipliktion Z 1 Z 2 = ( 1 + jb 1 ) ( 2 + jb 2 ) Rel- und Imginärteil sortieren = b 2 j + 2 b 1 j b 1 b 2 = ( 1 2 b 1 b 2 ) + j ( 1 b b 1 ) Multipliktion konjugiert komplexer Zhlen Z = + bj Z = bj Z Z = ( + bj) ( bj) = 2 b 2 j 2 = 2 + b 2 es entsteht eine reelle Zhl! HS München 10 Fkultät 03

11 Division Dieser Effekt der Produkte konjugiert komplexer Zhlen, wird usgenutzt zur Bildung des Quotienten zweier beliebiger komplexer Zhlen. Z 1 = 1 + b 1 j Z 2 = 2 + b 2 j Z 1 = 1 + b 1 j Z b 2 j = Z 1 = 1 + b 1 j Z b 2 j 2 b 2 j 2 b 2 j Erweitern mit dem konjugiert komplexen Nenner = b 1 b 2 + ( 2 b 1 1 b 2 ) j b 2 2 = b 1 b b j 2b 1 1 b b 2 2 Goniometrische Form/ Exponentilform Multipliktion Z 1 = r 1 e jϕ 1 Z 2 = r 2 e jϕ 2 in Exponentilform: Z 1 Z 2 = r 1 r 2 e j(ϕ 1+ϕ 2 ) nlog in goniometrischer Form: Z 1 Z 2 = r 1 r 2 (cos (ϕ 1 + ϕ 2 ) + j sin (ϕ 1 + ϕ 2 )) Zwei komplexe Zhlen in goniometrischer bzw. in Exponentilform werden multipliziert, indem mn die Beträge multipliziert, die Winkel jedoch ddiert. Division Z 1 = r 1 e jϕ 1 Z 2 = r 2 e jϕ 2 Z 1 = r 1 e j(ϕ 1 ϕ 2 ) Z 2 r 2 Z 1 = r 1 (cos (ϕ 1 ϕ 2 ) + j sin (ϕ 1 ϕ 2 )) Z 2 r 2 Zwei komplexe Zhlen in goniometrischer bzw. in Exponentilform werden dividiert, indem mn die Beträge dividiert, die Winkel jedoch subtrhiert. Potenzieren und rdizieren HS München 11 Fkultät 03

12 Potenzieren Z 1 = r 1 e jϕ 1 Z n 1 = ( r 1 e jϕ 1 ) n Z n 1 = r n 1 e n jϕ 1 Z n 1 = r n 1 (cos (nϕ 1 ) + j sin (nϕ 1 )) Eine komplexe Zhl in goniometrischer bzw. in Exponentilform wird mit n potenziert, indem mn den Betrg mit n potenziert, den Winkel jedoch mit n multipliziert. Rdizieren 1 = x 2 x = 1 x = 1 1 = x 4 x = 1 x = 1 x = j x = j d: j 4 = ( j 2) 2 = ( 1) 2 = 1 ( j) 4 = ( ( j) 2) 2 = (1) 2 = 1 Für den Ausdruck n x existieren n Lösungen im Abstnd von 360, bei konstnten Beträgen. Für die n-te Wurzel us einer komplexen Zhl Z = + bj = r e jϕ n gilt: Für n 1 Z = r n e j( ϕ 360 +k n n ) k = 0, 1,..., n 1 Die Lösung für k = 0 wird ls Huptwert bezeichnet. HS München 12 Fkultät 03

13 Anwendung: Überlgerung von gleichfrequenten Schwingungen Allgemeine Sinusschwingung: s (t) = A sin (ωt + ϕ) Zusmmenhng zwischen komplexer und reeller Form: s(t) = A (cos (ωt + ϕ) + j sin (ωt + ϕ)) = A e j(ωt+ϕ) = s (t) = Im (s(t)) Zwei gleichfrequente Schwingungen überlgern: s 1 (t) = A 1 sin (ωt + ϕ 1 ) s 2 (t) = A 2 sin (ωt + ϕ 2 ) Gesucht wird die Summenfunktion: s Σ (t) = s 1 (t) + s 2 (t) = A 1 sin (ωt + ϕ 1 ) + A 2 sin (ωt + ϕ 2 ) = A Σ sin (ωt + ϕ Σ ) Gebildet wird zuerst die komplexe Summe, vom Ergebnis wird der Imginärteil bestimmt. Bildung der komplexen Summe: s (t) = s 1 (t) + s 2 (t) = A 1 e j(ωt+ϕ 1) + A 2 e j(ωt+ϕ 2) = A 1 e jϕ 1 e }{{} jωt + A 2 e }{{ jϕ2 } A 1 A 2 = ( ) A 1 + A 2 e jωt }{{} A e jωt Drus ergibt sich folgende Vorgehensweise: 1. Übergng zur komplexen Form s 1 (t) = A 1 e jωt mit A 1 = A 1 e jϕ 1 s 2 (t) = A 2 e jωt mit A 2 = A 2 e jϕ 2 2. Addition der komplexen Amplituden A = A 1 + A 2 3. Rücktrnsformtion: Bildung des Imginärteils der komplexen Sinusschwingung HS München 13 Fkultät 03

14 3 Reelle Zhlenfolgen 3.1 Definition von Zhlenfolgen Definition 3.1 Zhlenfolge Unter einer reellen Zhlenfolge (ZF) versteht mn eine geordnete Menge reeller Zhlen. Jedem n K (meistens K = 0 oder K = 1) n N wird in eindeutiger Weise eine reelle Zhl n zugeordnet. n heißt n-tes Glied der ZF. ( n ) = 0, 1, 2, Drstellung 1. Anlytische Drstellung Ds n-te Folgeglied lässt sich direkt berechnen n = 1 n 2. Rekursive Drstellung Ds n-te Folgeglied berechnet sich us dem (n 1)-ten Folgeglied (ggf. n 2... ) n = 2 n 1 1; 0 = 2 ( n ) = 2, 3, 8, Grphische Drstellung - Zhlenstrhl Bsp. n ) = n

15 4. Grphische Drstellung - Koordintensystem 3.2 Spezielle Folgen 1. Arithmetische Folge Differenz von 2 benchbrten Folgengliedern ist gleich d 0, d R n = n 1 + d rekursive Drstellung mit 0 = 1, d = 2 ( n ) = n = 1, 3, 5, 7... n = nlytische Drstellung 2. Geometrische Folge Quotient von 2 benchbrten Folgengliedern ist gleich q 0, q R n = q n 1 rekursive Drstellung mit 0 = 1, q = 1 2 ( n) = 1 2 n 1 = 1, 1 2, 1 4, n = nlytische Drstellung 3.3 Eigenschften von Zhlenfolgen Konvergenz HS München 15 Fkultät 03

16 Definition 3.2 Konvergenz Eine Zhlenfolge ( n ) heißt 1. konvergent gegen den Grenzwert g R, wenn zu jedem ɛ > 0 ein N N existiert, so dss gilt n g < ɛ, d.h. n U ɛ (g) lim ( n) = g n 2. Nullfolge, wenn lim ( n) = 0 n 3. divergent, wenn sie nicht konvergent ist 4. bestimmt divergent, wenn lim ( n) = n lim ( n) = - n 5. unbestimmt divergent, wenn Sie divergent, ber nicht bestimmt divergent ist. Definition 3.3 Alternierende Zhlenfolge Eine ZF heißt lternierend, wenn benchbrte Folgenglieder unterschiedliche Vorzeichen besitzen. Beispiel 3.1 Einfche lternierende ZF n = (-1) n 1 n, n > ( n ) = -1; 4 ; 1 9 ; HS München 16 Fkultät 03

17 Konvergenz elementrer Folgen 1. Arithmetische Folge n = 0 + n d lim ( n) = n 2. Geometrische Folge n = 0 q n lim ( n) = n, d > 0 bestimmt divergent, d = 0 konvergent, d < 0 bestimmt divergent für q < 1 für q = 1 für q = -1 für q > 1 für q < Gebrochen rtionle Folge c n = p(n) q(n) mit den Polynomen p(n) = k n k + k 1 n k n + 0 q(n) = b l n l + b l 1 n l b 1 n + b 0 vom Grd k bzw l lim (c n) = n 4. 1 lim n n = für k > l, für k > l, für k < l für k = l 5. lim n n =, > 0 6. lim n n n = 7. n lim n n! = Fkultät: n! = n (n 1) (n 2) 1 8. n lim n n! =, R 9. lim n ( n) n = k bl > 0 k bl < 0 HS München 17 Fkultät 03

18 Rechenregeln für konvergente Zhlenfolgen lim ( n) = ; lim (b n ) = b n n 1. lim ( n + b n ) = + b n ( ) 2. lim ( n) c = c n 3. lim ( n b n ) = b n ( ) 4. n lim = b 0 b n 0 n b b n Die Regeln gelten uch für bestimmt divergente Zhlenfolgen, wenn mn definiert: 1. + = ± ± = ± ± ; c > 0 c (± ) = ; c < 0 n.d.; c = 0 c ± = 0 ± = ± - ± = Beschränktheit und Konvergenz Definition 3.4 Beschränktheit Eine Folge ( n ) heißt beschränkt gegen eine obere bzw. untere Schrnke S R, flls für lle Folgenglieder gilt i S bzw. i S, i N. Stz: 1. Jede konvergente Folge ist beschränkt. 2. Jede nch oben bzw. unten beschränkte monoton steigende bzw. fllende Folge ist konvergent gegen ihr Supremum bzw. Infimum. HS München 18 Fkultät 03

19 4 Funktionen einer Vriblen 4.1 Funktionsbegriff Definition 4.1 Funktion Eine Vorschrift f, die jedem Element x D R in eindeutiger Weise ein Element y W R zuordnet, heißt reelle Funktion. f : D W ; y = f(x) Drstellungsmöglichkeiten 1. Verble Drstellung 2. Tbelle von Messwerten 3. Grfische Drstellung 4. Anlytische Drstellung ) Explizite Drstellung y = f(x), y = f(x) = x 2 b) Implizite Drstellung F (x, y) = Eigenschften von Funktionen Definition 4.2 Beschränkung 19

20 Funktionen sind per Definition beschränkt uf den Definitionsbereich D. Eine Funktion f : D W heißt beschränkt, flls ein c > 0 existiert mit f(x) c, x D. Ansonsten heißt die Funktion unbeschränkt. Definition 4.3 Monotonie ˆ monoton wchsend f(x 1 ) f(x 2 ) mit x 1 < x 2 x D ˆ streng monoton wchsend f(x 1 ) < f(x 2 ) mit x 1 < x 2 x D ˆ monoton fllend f(x 1 ) f(x 2 ) mit x 1 < x 2 x D ˆ streng monoton fllend f(x 1 ) > f(x 2 ) mit x 1 < x 2 x D Definition 4.4 Periodizität Eine Funktion f heißt uf D periodisch mit der Periode p 0, wenn gilt: x D x + p D und f(x) = f(x + p) = f(x + k p) HS München 20 Fkultät 03

21 Definition 4.5 Symmetrie ˆ Eine Funktion f heißt uf D gerde, wenn gilt und x D x D f(x) = f( x) Symmetrie zur y-achse (Achsensymmetrie) ˆ Eine Funktion f heißt uf D ungerde, wenn gilt und x D x D f(x) = f( x) Symmetrie zum Koordintenursprung (Punkt oder Drehsymmetrie um den Nullpunkt) 4.3 Umkehrfunktion Es sei y = f(x) eine Funktion x D, d.h. sie ordnet jedem Element us D genu ein Element us W zu. Gilt uch die Umkehrung d.h. zu jedem Element y W gehört genu ein x D, so heißt f eineindeutig und besitzt eine Umkehrfunktion, die mit f 1 bezeichnet wird. D f 1 = W f W f 1 = D f Vorgehensweise zur Bildung der Umkehrfunktion: 1. Auflösen der Gleichung nch x 2. formles Vertuschen von x und y y = f 1 (x) wird nicht ngewndt bei technischen Größen 4.4 Verkettete Funktion Definition 4.6 Verkettete Funktion Es seien y 1 = f(x), x D f und y 1 = g(x), x D g. Funktionen mit der Eigenschft W g D f heißt (f g)(x) = f(g(x)) verkettete Funktion. HS München 21 Fkultät 03

22 4.5 Stetigkeit Definition 4.7 Stetigkeit und Grenzwert 1. Sei f = D W, x 0 D; g R heißt linksseitiger bzw. rechtsseitiger Grenzwert, von f n der Stelle x 0, wenn lim f(x n) = g n für jede von links bzw. rechts gegen x 0 konvergierende Folge (x n ) D gilt. Schreibweise: links: lim f(x) = g x x 0 rechts: lim f(x) = g x x + 0 g = ± heißt uneigentlicher Grenzwert. 2. g heißt Grenzwert von f in x 0 flls g = lim f(x) = lim x x + 0 x x 0 Schreibweise: g = lim x x0 f(x) 3. f heißt stetig in x 0, flls g = lim x x0 f(x) = f(x 0 ) f(x) nsonsten unstetig. f heißt stetig uf D, flls f x D stetig ist. (Grfisch: Grph in einem Zug zeichenbr) Arten von Unstetigkeitsstellen Sprung lim x x 0 f(x) = g 1 g 2 = lim f(x) x x + 0 HS München 22 Fkultät 03

23 Lücke lim x x 0 f(x) = lim f(x) = g x x + 0 Definition 4.8 Stetige Ergänzung Ht f(x) in x 0 eine Lücke, so heißt die durch den Grenzwert der Lücke vervollständigte Funktion, stetig ergänzt. f(x) = { f(x), x x 0 g, x = x 0 Polstelle lim x x 0 f(x) = ±, lim f(x) = ± x x Funktionsklssen Gnzrtionle Funktionen HS München 23 Fkultät 03

24 Definition 4.9 Gnzrtionle Funktion Eine Funktion der Gestlt p n (x) = n x n + n 1 x n x + 0, 0,..., n R, n 0 heißt gnzrtionle Funktion oder Polynom n-ten Grdes. Stz: Fundmentlstz der Algebr Jedes Polynom lässt sich ufsplten in: p n (x) = n (x x 1 )(x x 2 )... (x x n ) wobei die x n, die (ggf. komplexen) Nullstellen drstellen Gebrochenrtionle Funktionen Definition 4.10 Gebrochenrtionle Funktion Der Quotient zweier Polynome heißt gebrochenrtionle Funktion. f(x) = p m(x) p n (x) = mx m b n x n + + b 0 Sie heißt echt gebrochen, flls m < n, nsonsten unecht. Flls x 0 NS von p m (x) und p n (x) ist, so ht f(x) dort eine Lücke. Flls x 0 nur NS von p n (x), so ht f(x) dort einen Pol Wurzelfunktion f(x) = x m n = n x m Beispiel 4.1 Wurzelfunktion f(x) = 3x 3 2 = 3 2 x 3 D = R + 0 HS München 24 Fkultät 03

25 4.6.4 Exponentil- und Logrithmusfunktionen Definition 4.11 Exponentil- und Logrithmusfunktionen Sei R mit > 0, 0, dnn heißt f(x) = x D = R Exponentilfunktion mit Bsis. x heißt Exponent. Es gilt ferner: f 1 (x) = log x, D = R + Logrithmusfunktion von x zur Bsis. Rechenregeln: 1. x y = x+y 2. x y = x y 3. ( x ) y = x y 4. log (x y) = log x + log y 5. log ( x y ) = log x log y 6. log x y = y log x 7. log x = log b log b x log x log b = log b x (Bsiswechsel) Trigonometrische Funktionen 1. f(x) = sin x, D f = R, W f = [ 1, 1] Periode p = 2π; ungerde Funktion Umkehrfunktion: [ π; ] π 2 2 Definitionsbereich des Sinus zum Finden der Umkehrfunktion [ f 1 (x) = rcsin x D f 1 = [ 1; 1], W f 1 = π 2 ; π ] 2 HS München 25 Fkultät 03

26 2. f(x) = cos x, D f = R, W f = [ 1, 1] Periode p = 2π; gerde Funktion Umkehrfunktion: [0; π] Definitionsbereich des Kosinus zum Finden der Umkehrfunktion f 1 (x) = rccos x D f 1 = [ 1; 1], W f 1 = [0; π] 3. f(x) = tn x = sin x cos x D f = {x x R, x (2k 1) π } 2, k G, W f = R Periode p = π; ungerde Funktion Umkehrfunktion uf: ] π 2, π 2 [ f 1 = rctn x D f 1 = R, W f 1 = ] π 2, π 2 [ 4. f(x) = cot x = 1 tn x D f = {x x R, x k π, k G}, W f = R Periode p = π; gerde Funktion Hyperbelfunktionen 1. sinh x = ex e x D = R, 2 W = R 2. cosh x = ex + e x D = R, W = [ 1; [ 3. tnh x = sinh x cosh x = ex e x e x + e x D = R, W = ] 1; 1 [ 4. coth x = cosh x sinh x = ex + e x e x e x 2 D = R\ {0}, W = R\ [ 1; 1] HS München 26 Fkultät 03

27 5 Differentilrechnung für Funktionen einer Vriblen 5.1 Differentilrechnung Definition 5.1 Differenzierbrkeit Eine Funktion f uf ] ; b [ heißt n der Stelle x 0 (x 0 ]; b[) differenzierbr, flls der Grenzwert des Differenzenquotienten y lim x 0 x = lim f(x) f(x 0 ) x x 0 x x 0 existiert. f (x 0 ) heißt Ableitung von f n der Stelle x 0. f heißt diffenzierbr im Intervll ] ; b [, flls f x ] ; b [ differenzierbr ist. Definition 5.2 Tngente und Normle Tngente: t(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) 27

28 Normle: n(x) = f(x 0 ) 1 f (x 0 ) (x x 0) Differentil einer Funktion Definition 5.3 Differentil Ds Differentil dy = df = f (x 0 ) dx einer Funktion beschreibt den Zuwchs der Ordinte uf der, n der Stelle x 0 errichteten Tngente bei einer Änderung der Abzisse von x = dx. y Zuwchs der Funktionswerte y = f(x 0 + x) f(x) Für kleine x = dx dy y Differentitionsregeln Seien f(x), g(x) Funktionen ˆ Summenregel y(x) = f(x) + g(x) y (x) = f (x) + g (x) ˆ Produktregel y(x) = f(x) g(x) y (x) = f (x) g(x) + f(x) g (x) HS München 28 Fkultät 03

29 ˆ Quotientenregel y(x) = f(x) g(x) y (x) = f (x) g(x) f(x) g (x) g 2 (x) ˆ Kettenregel ˆ y(x) = f(g(x)) = f(x) g(x) y (x) = g (x) f (g(x)) Innere Ableitung ml äußerer Ableitung Ableitung der Umkehrfunktion Sei f : D W umkehrbr und differenzierbr. dnn ht f 1 Ableitung: [ f 1 (x) ] = 1 f (f 1 (x)) : W D die Mittelwertsätze Stz: Stz von ROLLE Eine Funktion f(x) sei uf [, b] stetig und uf ], b [ differenzierbr und sei f() = f(b). Dnn existiert mindestens eine Stelle x 0 [, b] mit f (x 0 ) = 0 Stz: Mittelwertstz der Differentilrechnung HS München 29 Fkultät 03

30 Eine Funktion f(x) sei uf [, b] stetig und uf ], b [ differenzierbr. Dnn existiert mindestens eine Stelle x 0 [, b] mit f (x 0 ) = f(b) f() (Steigung der Seknte) b Regel von l HOSPITAL Seien f(x), g(x) differenzierbr uf ], b [ und g (x) 0 x ], b [ Weiterhin seien Dnn gilt lim f(x) = lim g(x) = ± oder 0 x x lim = f(x) x g(x) = lim f (x) x g (x) HS München 30 Fkultät 03

31 5.2 Funktionsverhlten und besondere Punkte Monotonie: streng monoton steigend f (x) > 0 monoton steigend f (x) 0 streng monoton fllend f (x) < 0 monoton fllend f (x) 0 Krümmung: f (x) > 0 > 0 < 0 < 0 f (x) > 0 < 0 > 0 < 0 streng monoton steigend streng monoton fllend Linkskurve Rechtskurve Linkskurve Rechtskurve Extremwerte: lokles Mximum: f(x H ) > f(x) U(x H ) lokles Minimum: f(x T ) < f(x) U(x T ) HS München 31 Fkultät 03

32 5.2.1 Notwendige und hinreichende Bedingung für Extremwerte und Wendepunkte Extremwerte: 1. f (x E ) = 0 2. f (x E ) = = f (n 1) (x E ) = 0, f n (x E ) 0 wenn n ungerde bei x E kein Extremwert n gerde: { f (n) (x E ) > 0 f (n) (x E ) < 0 Häufig ist schon f (x E ) 0. Wendepunkte: Änderung des Krümmungsverhltens in x W 1. f (x W ) = 0 Minimum Mximum 2. f (x W ) = = f (n 1) (x W ) = 0, f n (x W ) 0 n gerde kein Wendepunkt n ungerde Wendepunkt Häufig ist schon f (x W ) Newtonitertion zur Bestimmung von Nullstellen t(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) Berechnung von x 1 (Nullstelle von t 0 (x)) Allgemein: 0 = f(x 0 ) + f (x 0 )(x 1 x 0 ) x 1 = f(x 0) f (x 0 ) + x 0 x n = f(x n 1) f (x n 1 ) + x n 1 Konvergenzkriterium für Strtwert x 0 f(x 0 ) f (x 0 ) [f (x 0 )] 2 < 1 HS München 32 Fkultät 03

33 6 Integrlrechnung 6.1 Bestimmtes und Unbestimmtes Integrl Bestimmtes Integrl Rechteck: x k f(x k ) b f(x) dx = lim n n f(x k ) x k k=1 Eigenschften 1. b b f(x) dx = f(t) dt 2. b f(x) dx = f(x) dx 3. f(x) dx = 0 b b c c f(x) dx + f(x) dx = f(x) dx b b b k f(x) dx = k f(x) dx b b b f(x) dx + g(x) dx = (f(x) + g(x)) dx 7. f(x) g(x) uf [, b] = b b f(x) dx g(x) dx 33

34 6.1.2 Stmmfunktion Definition 6.1 Stmmfunktionen F (x) heißt Stmmfunktion von f(x), flls F (x) = f(x). Seien F 1 (x), F 2 (x) zwei Stmmfunktionen von f(x), dnn folgt us F 1 = F 2 = f, dss F 1 F 2 = (F 1 F 2) = 0. Dmit gilt: (F 1 F 2) = C, mit C R. Es ergibt sich lso direkt der folgende Stz. Stz: Stmmfunktion Seien F 1 (x), F 2 (x) zwei Stmmfunktionen von f(x). Dnn unterscheiden sich F 1 (x), F 2 (x) nur um eine dditive Konstnte. F 1 (x) = F 2 (x) + C Sei F (x) eine Stmmfunktion von f(x), dnn gilt: b f(x) dx = F (b) F () Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung stellt den Zusmmenhng zwischen der Differentition und der Integrtion her. Stz: Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Sei f stetig uf einem Intervll I. Für einen beliebigen Punkt I sei (Integrlfunktion) F (x) = Dnn gilt: x f(t)dt. 1. F ist eine Stmmfunktion von f, d.h. F ist in I differenzierbr und es gilt F (x) = f(x). 2. Für jede Stmmfunktion G von f und, b I gilt: b f(x) dx = G(b) G(). HS München 34 Fkultät 03

35 6.1.4 Unbestimmtes Integrl Definition 6.2 Unbestimmtes Integrl Unter f(x) dx versteht mn die Menge ller Stmmfunktionen von f(x). f(x) dx heißt unbestimmtes Integrl. Folgerung: Sei F (x) irgend eine Stmmfunktion von f(x), dnn ist f(x) dx = F (x) + C wobei C lle reellen Zhlen durchläuft. 6.2 Integrtionsverfhren Prtielle Integrtion (u v) = u v + uv u v = (u v) u v b u v dx = b b (u v) dx u v dx b b u v dx = [u v] b u v dx = u v u v dx u v dx Substitution Allgemeines Verfhren zur Lösung von: f(x)dx 1. Aufstellung der Substitutionsgleichung: oder u = g 1 (x) du dx = g 1(x) dx = du g 1(x) x = g 2 (u) dx du = g 2(u) dx = g 2(u) du }{{} Ableitung nch u HS München 35 Fkultät 03

36 2. Durchführung der Substitution: Einsetzen in ds Integrl Integrl, ds nur noch von u bhängt, x muss wegfllen f(x)dx = h(u)du 3. Berechnung des neuen Integrls in Abhängigkeit von u: h(u)du = H(u) + C 4. Rücksubstition: f(x)dx = h(u)du = H(u) + C = F (x) + K Prtilbruchzerlegung Echt gebrochenrtionle Funktion: f(x) = Z(x) N(x), N(x), Z(x) sind Polynome, Nennergrd>Zählergrd, flls nicht zuerst Polynomdivision. Prtilbruchzerlegung einer echt gebrochenrtionlen Funktion: 1. Bestimmung der Nullstellen (Beschränkung hier uf reelle NS) des Nenners mit Vielfchheit. 2. Jeder Nullstelle wird ein Prtilbruch zugeordnet: x 0 : einfche Nullstelle A x x 0 x 0 : Zweifche Nullstelle A 1 x x 0 + A 2 (x x 0 ) 2... x 0 : n-fche Nullstelle A 1 A n + + x x 0 (x x 0 ) n 3. Berechnung der Konstnten A bzw. A i durch Summtion der Brüche, Huptnennerbildung und Einsetzen geeigneter Werte. Berechnung des Integrls f(x)dx: Nch der Prtilbruchzerlegung von f(x), werden die Brüche einzeln integriert. Formeln hierfür: A dx = A ln x x 0 + C x x 0 A i (x x 0 ) dx = A i i (1 i)(x x 0 ) i 1 HS München 36 Fkultät 03

37 6.2.4 Numerische Integrtion Gesucht ist eine (ngenäherte) Lösung von b f(x)dx Dzu wird ds Integrtionsintervll in Teilintervlle eingeteilt. Zerlegung des Integrtionsintervlles [, b] in: = x 0 < x 1 < < x n = b mit der festen Schrittweite: h = b = x n i x i 1 Trpez-Regel (Verfhren 2. Ordnung) Begrenzung durch Polynome 1. Ordnung: Gerdenstücke b ( ) f(x)dx = h n 1 f() + 2 f(x k ) + f(b) + R 2 k=1 Der Rest R lässt sich bschätzen durch: R b 12 h2 mx x b f (x) Simpson-Regel (Verfhren 4. Ordnung) Begrenzung durch Polynome 2. Ordnung: Prbelstücke (gerde Anzhl von Teilintervllen n = 2m) b f(x)dx = h 3 ( f() + 2 m 1 k=1 Der Rest R lässt sich bschätzen durch: R b 180 h4 mx x b f (4) (x) f(x 2k ) + 4 ) m f(x 2k 1 ) + f(b) + R k=1 HS München 37 Fkultät 03

38 7 Reihen 7.1 Unendliche Reihe Einführung Zhlenfolge (geordnete Menge reeller Zhlen): ( n ) = 1, 4, 9, Prtilsumme: s 1 = 1 = 1 s 2 = = = 5 s 3 = = = 14. s k = k Definition 7.1 Unendliche Reihe Die Folge (s n ) der Prtilsummen einer unendlichen Zhlenfolge ( n ) heißt unendliche Reihe. Symbolische Schreibweise: n = k +... n=1 Definition 7.2 Konvergenz und Divergenz einer unendlichen Reihe Eine unendliche Reihe n=1 n heißt konvergent, flls die Folge ihrer Prtilsummen (s n ) = n k=1 k einen Grenzwert besitzt. n lim s n = lim k = s n n k=1 38

39 Symbolische Schreibweise: n = s n=1 Konvergiert die Summe der Beträge n=1 n, so heißt die Reihe bsolut konvergent. Die Reihe heißt divergent, flls sie nicht konvergiert: Ist s = heißt die Reihe bestimmt divergent, sonst unbestimmt divergent Konvergenzkriterien Notwendige Bedingung Für die Konvergenz einer unendlichen Reihe n=1 n mit n > 0 ist die Bedingung lim n = 0 n notwendig!, ber nicht hinreichend (d.h. es existieren Folgen, die die Bedingung erfüllen und trotzdem divergieren). Quotienten- und Wurzelkriterium Erfüllen lle Glieder einer unendlichen Reihe n=1 n die Bedingung: lim n+1 n n = q < 1 bzw. lim n n n = q < 1 so ist die Reihe konvergent. Ist q > 1 so ist die Reihe divergent. Für q = 1 knn keine Aussge getroffen werden (Extruntersuchung notwendig) Rechenregeln für konvergente Reihen 1. Konstnte Fktoren n = s n=1 c n = c n=1 n=1 n = c s HS München 39 Fkultät 03

40 2. Summen konvergenter Reihen n = s b n = t n ± n=1 b n = n=1 n=1 n=1 n=1 n=1 ( n ± b n ) = s ± t 3. Produkte bsolut konvergenter Reihen n = s b n = t n n=1 n=1 seien bsolut konvergent b n = s t = n=1 n=1 w n w n = n b 1 + n b 2 + n b 3 + n b n b k Potenzreihen Einführung Definition 7.3 Potenzreihe Unter einer Potenzreihe versteht mn eine unendliche Reihe vom Typ: (I) (II) oder P (x) = P (x) = n x n = x + 2 x x 3... n=0 n (x x 0 ) n = (x x 0 ) + 2 (x x 0 ) n=0 x 0 heißt Entwicklungszentrum. Für x 0 = 0 erhlten wir die Gleichung (II) in der Form (I). HS München 40 Fkultät 03

41 7.2.2 Konvergenz und Eigenschften von Potenzreihen Definition 7.4 Konvergenzbereich Die Menge ller x-werte für die eine Potenzreihe konvergiert heißt Konvergenzbereich der Potenzreihe. Konvergenzverhlten: Zu jeder Potenzreihe n=0 nx n bzw. n=0 n(x x 0 ) n gibt es eine positive Zhl r, Konvergenzrdius gennnt, mit den folgenden Eigenschften: 1. Die Potenzreihe konvergiert für x < r bzw. x x 0 < r 2. Sie divergiert für x > r bzw. x x 0 > r 3. An den Rndpunkten x = r bzw. x x 0 = r knn keine Aussge getroffen werden hier müssen Extruntersuchungen durchgeführt werden Berechnung des Konvergenzrdius Der Konvergenzrdius r einer Potenzreihe n x n n=0 bzw. n (x x 0 ) n n=0 knn nch folgenden Formeln berechnet werden: r = lim n oder r = lim r n+1 Eigenschften von Potenzreihen 1 r n n 1. Eine Potenzreihe konvergiert innerhlb ihres Konvergenzbereiches bsolut. 2. Eine Potenzreihe drf innerhlb ihres Konvergenzbereiches gliedweise differenziert und integriert werden. Die neuen Potenzreihen besitzen den gleichen Konvergenzrdius wie die Ausgngsreihe. HS München 41 Fkultät 03

42 3. Zwei Potenzreihen dürfen innerhlb ihres gemeinsmen Konvergenzbereiches (Durchschnitt) gliedweise ddiert und subtrhiert werden. Sie dürfen uch miteinnder multipliziert (Cuchy-Produkt: usmultiplizieren) werden. Die neuen Potenzreihen konvergieren mindestens im gemeismen Konvergenzbereich der Ausgngsreihen. HS München 42 Fkultät 03

43 7.3 Tylor-Reihen: Entwicklung einer Funktion in eine Potenzreihe Einführung Ziel: Funktion f (x) ls Potenzreihe drstellen f (x) = n x n oder Zweck: ˆ ˆ ˆ ˆ f (x) = n=0 n ( x 0 ) n n=0 Annäherung einer Funktion durch ein Polynom Herleitung von Näherungsformeln Integrtion durch Potenzreihenentwicklung Näherungsweises Lösen von trnszendenten Gleichungen Beispiel: Geometrische Reihe p (x) = x n = 1 + x + x 2 + x konvergiert für x < 1 n=0 = 1 1 x = f (x) HS München 43 Fkultät 03

44 7.3.2 Entwicklung einer Funktion in eine Potenzreihe Mc Lurinsche Reihe Annhme: 1. Entwicklung von f (x) in eine Potenzreihe vom Typ f (x) = x + 2 x ist möglich und eindeutig 2. f (x) ist in einer Umgebung von x = 0 beliebig oft diefferenzierbr. d.h. f (0), f (0), f (0)... können berechnet werden Ableitungen: für x = 0: f (x) = x x x f (x) = x x f (x) = x +... f (0) = 0 f (0) = 1 f (0) = = f (0) 2 f (0) = = f (0) 6 f (n) (0) = n! n n = f n (0) n! = f (0) 2! = f (0) 3! Entwicklung in eine Mc Lurinsche Reihe: Unter bestimmten Vorussetzungen lässt sich f (x) in eine Potenzreihe der Form f (x) = f (0) + f (0) 1! f (x) = entwickeln. n=0 f (n) (0) n! x + f (0) x ! x n (mit0! = 1) Symmetrieeigenschften: Ist f (x) eine gerde Funktion, so ist die Reihenentwicklung gerde (d.h. es treten nur gerde Exponenten uf: x 0, x 2, x 4, x 6,... Ist f (x) eine ungerde Funktion, so ist die Reihenentwicklung uch ungerde (d.h. es treten nur ungerde Exponenten uf: x 1, x 3, x 5, x 7,... HS München 44 Fkultät 03

45 Tylorsche Reihe Entwicklung in Tylorreihe: f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 ) 1! = n=0 f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n n! mit dem Entwicklungszentrum x 0 (x x 0 ) + f (x 0 ) 2! (x x 0 ) 2 + f (x 0 ) (x x 0 ) ! Für x 0 = 0 ergibt sich die McLurinsche Reihe Konvergenzbereich: x x 0 < r Anwendungen Tylor-Reihe 1. Näherungspolynome Mc Lurinsche Reihe: f(x) = f(0) + f (0) x + f (0) x f n (0) x n + f (n+1) (0) } 1! 2! {{ n! } (n + 1)! x(n+1)... }{{} T n(x) Restglied R n(x) f(x) = T n (x) + R n (x) Tylorsche Formel T n (x): Mc Lurinsches Polynom vom Grde n R n (x): Restglied, bestimmt die Größe des Fehlers, R n (x) = 0 für n Der Fehler wird bgeschätzt mit Hilfe des Restglieds nch Lgrnge: R n (x) = f (n+1) (xθ) x (n+1) 0 < θ < 1 (n + 1)! HS München 45 Fkultät 03

46 Geometrische Deutung der Näherungspolynome Näherungspolynom erster Ordnung (Linerisierung von f(x)): T 1 (x) = f(0) + f (0) x Steigung von f(x) stimmt in 0 mit T 1 (x) überein. Näherungspolynom zweiter Ordnung: T 2 (x) = f(0) + f (0) x + f (0) x 2 2 Krümmung von f(x) stimmt in 0 mit T 2 (x) überein. Weitere Näherungspolynome lssen sich entsprechend mit der llgmeinen Tylor- Entwicklung bilden. 2. Integrtion nch Reihenentwicklung 3. Lösen von Trnszendenten Gleichungen HS München 46 Fkultät 03