Trainingsaufgaben Teil 2

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1 Traiigsaufgabe Teil 2 Ergebisse Aufgabe 1 Gegebe sid die beide komplexe Zahle z 1 =3+i 1, z 2 = 1+i 2 mit i= 1, i 2 = 1. Bereche Sie a) (z 1 ) 3.16 b) (z 2 ) 2.2 c) z 3 =z 1 +z i 3.0 d) z =z 1 z 2.0 i 1.0 e) z 5 =z 1 z i 5.0 f) z 6 =z i 2.0 g) z 7 = z 1 z i 1. (Zähler ud Neer mit z 2 erweiter!) jeweils i der kartesische Normalform z=a+i b. Aufgabe 2 Stelle Sie die Ergebisse aus Aufgabe 1c 1g) als Zeiger i der komplexe Ebee dar. Aufgabe 3 Die Madelbrotfolge ist defiiert als z k+1 =z k 2 +c, z 0 =0+i 0, c=a+i b, a, b R. Ermittel Sie für c= 1 i 0.5, ob die Folge kovergiert oder divergiert. Hiweis: die Madelbrotfolge divergiert, we ei Folgeglied irgedwa de Betrag aimmt. Nach Durchlauf 5 ist (z 5 ) =2.765, also divergiert diese Folge. (z k ) >2 Aufgabe Bestimme Sie mithilfe des erweiterte Euklidische Algorithmus (soweit möglich) die modulare iverse Zahle d zu : a) (35 d)mod 5 d=17 b) (13 d)mod 31 d=12 c) (21 d)mod 5 es existiert keie Iverse, da ggt(21,5) =3 Tipp: Verwede Sie das Hilfsblatt EA.pdf Auch i ueb_02.pdf mit LV, Aufgabe 3 ud fide Sie ausführliche Verfahresbeschreibuge. Dr.-Ig. Wilfried Dakmeier Seite 1 vo 7

2 Aufgabe 5 Schreibe Sie die folgede biomische Ausdrücke mithilfe der Biomialkoeffiziete als Summe i Lag- ud i Kompaktform a) (z+1) ( 0) z + ( 1) z3 + ( 2) z2 + ( 3) z1 + ( ) z0 =z + z 3 +6 z 2 + z+1 b) (x+y), N 1) x 1 x + ( c) (a+b+c) 2) z 2 y+ ( y ( 1) z1 y 1 + ( ) z0 y (a+b+c) 2 (a+b+c) 2 =(a 2 +b 2 +c 2 +2 ab+2ac+2bc) 2, usw. Aufgabe 6 Gebe Sie das Bildugsgesetz für die Elemete der Folge a: a) A 1 =3, 3 2, 3 3 1, 8, 3... a 10, =3 ( 2) 1 b) A 2 =1, 2, 2 1 2, 2 3, 2 7 8,... a = c) A 3 =3,, 3.3, 3., 3.33, 3.3, 3.333, 3.33,... a = ) 10( 3 d) A =1, 11, 2, 12, 2 1 2, , 2 3, 12 3,... a = Aufgabe 7 Bestimme Sie die Werte der Summe: 3 a) S 1 = ν=1 ν ν+2 b) S 2 = (2 i 1) i= =? (2 1)= 2 (hier i Formelsammlug achsehe) Dr.-Ig. Wilfried Dakmeier Seite 2 vo 7

3 1 c) S 3 = y k k =1 S 3 =y 1 +y 2 =y(1+y) Allgemei: geometrische Reihe bis -1 S =y 1 +y 2 +y y 1 =y (1+y+y y 2 ) S =y y 1 y 1 S 1 3 =y y2 y 1 =y (y+1) (y 1) =y (1+y), s. o. y 1 d) S = μ=1 μ = ( 1) 2 (berühmte Gauß'sche Formel) Aufgabe 8 Ei Regierugschef will für eie Lösugsvorschlag i eiem iteratioale Koflikt werbe, vo dem Staate betroffe sid. Dazu möchte er zuächst Eizelgespräche mit de (-1) adere beteiligte Regierugschefs führe ud lässt sich vo seiem Büro eie zusammehägede Route ausarbeite. Wie viele Möglichkeite gibt es? Vom Start zum erste Ziel gibt es (-1) Möglichkeite, vo jedem weitere der (-1)-Ziele gibt es je (-2) Möglichkeite usw., also isgesamt ( 1)! Möglichkeite. Eie i viele praktische Aufgabestelluge ist es z. B., die kürzeste Gesamtstrecke zu ermittel, eie icht sehr eifache Aufgabe der Optimierug. Aufgabe 9 Gebe Sie mithilfe vo Summe- ud Produktzeiche je eie kompakte Ausdruck für die Polyome a) y 1 =x a 1 x 1 +a 2 x 2 a 3 x a 1 x a 0 y 1 = k=0 ( 1) k a k x ( k ), a =1, N, ugerade a. b) y 2 =(x+x 1 ) (x+x 2 )... (x+x ) y 2 = (x+x k ) k=1 Aufgabe 10 Wie häge beim Polyom i Nullstelleform f (x)=(x+x 1 ) (x+x 2 ) (x+x 3 ) (x+x ) (x+x 5 ) die Nullstelle mit de Koeffiziete des Polyoms i der Koeffizieteform Dr.-Ig. Wilfried Dakmeier Seite 3 vo 7

4 f (x)=x 5 +a x +a 3 x 3 +a 2 x 2 +a 1 x+a 0 zusamme? Siehe Satz vo Vieta (Skript!): 5 a 0 = x k, k=1 a 1 x 2 x 3 x +x 1 x 2 x 3 x a 2 x 2 x 3 +x 1 x 2 x +... a 3 x 2 +x 1 x 3 +x 1 x +x 1 x 5 +x 2 x a = x k k=1 a 5 =1 (Summe aller Vierer-Produkte) (Summe aller Dreier-Produkte) (Summe allerzweier-produkte) (Summe) Siehe auch ueb_03.pdf, Aufgabe Aufgabe 11 Welcher Betrag x steht bei moatlicher Eizahlug vo k Euro ud eiem jährlich verrechete Zissatz p ach Jahre zur Verfügug? Nach Jahr 1: x 1 =12k+(k k k K ) p=12k ( 12 2 ) k p=12 k+11 2 k p (Die moatliche Teilbeträge werde jeweils ateilig auf das Jahr verzist) Nach Jahr 2: x 2 (1+p)+x 1 (2+p) (Betrag aus Jahr 1 + Zise + verzister Betrag aus Jahr 2) Nach Jahr 3: x 3 =x 2 (1+p)+x 1 (2+p)(1+p)+x 1 (3+3p+p 2 ) Nach Jahr : x =x 3 (1+p)+x 1 (3+3p+p 2 ) (1+p)+x 1 (+6p+p 2 +p 3 ) Nach Jahr 5: x 5 =x (1+p)+x 1 (+6p+p 2 +p 3 ) (1+p)+x 1 (5+10p+10p 2 +5p 3 +p ) Bestimme Sie u selbst das Bildugsgesetz. Tip: Die Koeffiziete i de Klammer köte Biomialkoeffiziete sei. Aufgabe 12 Eie Bak bietet ihre Sparkude bei eier Eilage vo 100 Euro über x Jahre folgede drei Alagevariate a: I. Die klassische Ziseszis-Versio mit eiem jährliche Zissatz p II. Keie direkte Verzisug, aber jährlich gibt es 50 Euro dazu III. Im erste Jahr 5 Euro, im zweite 10 usw. Dr.-Ig. Wilfried Dakmeier Seite vo 7

5 a) Gebe Sie allgemei de Edwert jeder Variate ach x Jahre a. I: S xi =100 (1+p) x II: III: S xii = x S xiii =100+( x) 5=100+ x (x+1) 5= (x2 +x+0) b) Welche Variate ist die güstigste ach x=10 Jahre (p=2.5% für Variate I) Variate II c) Welche ach x=0 Jahre? Variate III d) Welche ach x= 60 Jahre? Variate I Lagfristig ist Ziszis-Verzisug alle adere übliche Verfahre überlege. Aufgabe 13 Gegebe sid die Mege A={1, 2, 3,, 5, 6, 7, 8, 9, 10} B={ 2, 3,, 5, 6 } C={ 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 }. Bestimme Sie a) A B {1,2,3,,5,6,7,8,9,10} b) A C {1,2,3,,5,6,7,8,9,10,11,12,13} c) A B {2,3,,5,6} d) A B {1,7,8,9,10} e) bis k) selbst löse e) A C f) A (B C) g) (A B) C h) A (B C) i) A (B C) j) A ( A C) (vergleiche mit A) k) (A C) C Dr.-Ig. Wilfried Dakmeier Seite 5 vo 7

6 Aufgabe 1 Gegebe sid die Mege R={d, e, f } ud Q={ m, }. Gebe Sie a) die Potezmege P(R) ud P(Q) P(R)={Ø, d, e, f, {d,e}, {d,f}, {e,f}, {d,e,f}} P(Q) selbst löse b) e) selbst löse b) R x R=R 2 c) R x Q d) Q x R e) Q x R x Q a. Selbst löse Aufgabe 15 Zeige Sie, dass für die Mege S={ d, e, f }, T={ d, f, g} ud U={ f, g, h } die beide Distributivgesetze a) S (T U)=(S T) ( S U) b) S ( T U)=(S T) ( S U) gelte. Selbst löse (Klammer-Vorrag beachte!) Aufgabe 16 Gegebe ist die Dezimalzahl Stelle Sie diese a) im Zweiersystem b) im Dreiersystem c) als Oktalzahl = d) Im 16-er System 2F1 16 dar. Aufgabe 17 Stelle Sie die Hexadezimalzahl als Dezimal-, Oktal- ud Biärzahl dar , = Dr.-Ig. Wilfried Dakmeier Seite 6 vo 7

7 Aufgabe 18 Gegebe sid die beide Dezimalzahle x=77 10 ud y=9 10. Bilde Sie im Zweiersystem uter Verwedug des Zweierkomplemetverfahres die Differeze a) y-x b) x-y Selbst löse, orietiere Sie sich a ueb_03 mit LV, Aufgabe 1a) -1e). Aufgabe 19 Bestimme Sie das Produkt der beide Zahle x=59 10 ud y=37 10 im Dualsystem. Der Ablauf muss klar ersichtlich sei. Selbst löse Dr.-Ig. Wilfried Dakmeier Seite 7 vo 7