Lösungen Dienstg -- VORKURS: MATHEMATIK RECHENFERTIGKEITEN, LÖSUNGEN Dienstg Blok.. - 4 3y 6 3-6y 3-3 y -. - 3y 4 - y 9 - y -93. y 0,,y Sämtlihe Lösungsmethoden liefern hier whre Aussgen. Z. Bsp. «0 0». Bedeutung?! : Die zweite Gleihung ist ds.-fhe der ersten Gleihung und liefert somit «keine neue Informtion». D.h.: Sämtlihe Lösungspre y, die die erste Gleihung erfüllen, erfüllen uh die zweite Gleihung: ;0 0;4-0;... für elieig: 0-. Mit der Additionsmethode sind die Lösungen shnell gefunden. Um etw y heruszufinden, rehnet mn und isoliert dnn y. An erehnet mn. 3. Siehe Lösungen im Theorieskript! Hier sei nur ds Beispiel Nr. 4 vorgerehnet: Sustitution: u und v. Führt zu: 3y u 0 v u 0 v u v u v u v einsetzen in v u, Somit 6 3 3 und y 4.
Lösungen Dienstg --. 49 7 49 7 0 3 3 3 3 6 6 6 d 0 0 0 0 0 0 6. 0 4 443 Beim ersten Shritt: Bsiswehsel! Zweite Lösungsvrinte: d 4 4 7. 8.
Lösungen Dienstg -3- Blok. 0. 4 ; Eponentenvergleih: ; { } 3 8 4 3 3 ; Eponentenvergleih: 4; {.} 3 3 3 7 3 3 3 3 3 ; Eponentenvergleih: 3 ; { } 9 d 6 8 6 4 8 3 4 ; Eponentenvergleih: 3; {/3} 3 Def. 3. 3 0 0 0 0 6 9 0 4 4.36; 0.36 mit Lösungsformel für qudr.gl. gelöst. 3. 4. 3 0.7 rithmieren 4. 3 0. 7 4 0. 7. 0.7 3 4 usklmmern. 0.7 3 4 :. 0.7 3 4 0.49.... 0.7 0 0 0. 8 rithmieren 0. 8 0 0. 8 Mn ehte: 0 0.8 0. 8 0. 8 0.8 0. 8 usklmmern 0.8 0. 8 : 0.8 0.8 0.0884... 0.8 Tipp: Beim Eintippen in den TR genügend viele Klmmern verwenden! 0.8 / 0.8
Lösungen Dienstg -4-9 3 0 3 9 3 usklmmern 3 3 Sustitution: 3 4.464;. 464 Ausmultiplizieren und umformen... 0 Qudrtishe Gleihung für lösen Sustitution rükgängig mhen 3 4.464. 36 3.464 niht def. d Sustitution!: 7 0 7 0 7 0 0, oder : 7 0 0 {} ; 7 7. 0478 4 4 e 99 Tipp: Ausklmmern 4 99 : 4 3 rithmieren und nh uflösen 3 0. 396 4 4. Hier ist nh dem Modell des eponentiellen Whstums zu rehnen: Endzustnd Anfngszustnd Duer Dei ist der sog. Whstumsfktor flls >, respektive der sog. Anhmefktor flls < ist.
Lösungen Dienstg --. 6. 7. 8. 9. 0.
Lösungen Dienstg -6-. Begründung: Wir etrhten ds Dreiek innerhl des Kreissektors mit den Eken 0/0, /0 und P Diese Dreieksflähe eträgt: sin α Grundlinie ml Höhe durh Wir etrhten den Kreissektor egrenzt durh die Rdien der Länge und dem Bogen der Länge α. α Diese Kreissektorflähe eträgt: Bogenlänge ml Rdius durh Wir etrheten ds etws grössere Dreiek egrenzt durh die eiden Ktheten der Länge tnα und. tn α Diese Dreieksflähe eträgt: Kthete ml Kthete durh Nun vergleihen wir diese drei Flähen! Aus der oigen Zeihnung ist klr ersihtlih, dss die folgende Grössenreltion gilt: tn α α sin α > > tn α > α > sin α.
Lösungen Dienstg -7- Blok 3. Anstz: y m q, m- hen wir shon! Wir müssen noh q erehnen, dnn sind wir fertig: C/-3 liegt uf der Gerden. Es gilt deshl: -3 m q. Wir setzen m - ein: - 3-4 q. Jetzt kommt lso nur noh q vor. Nh q ufgelöst ergit ds q. Lösung: y - Die gesuhte Gerde y m q soll prllel zu y - 3 sein. Dies edeutet shon ml: m! Die Aufge lutet lso neu: Gesuht ist die Gerde y q durh R-/: Sie ist lso wie die Aufge zu lösen: Wir setzen den Punkt R in die Gerdengleihung und lösen dnn nh q uf: - q. Nh q ufgelöst ergit sih der Wert q. Die Gesuhte Gerde ht somit die Gleihung: y.. Idee ufwendig!: Mit der Steigungsformel zuerst m erehnen, dnn durh Einsetzen eines Punktes wie ei die Gerdengleihung estimmen, und shliesslih kontrollieren wir durh Einsetzen der Punkte.... Idee: Effizienter und elegnter!: Angenommen die 3 Punkte P, Q und R liegen uf einer Gerden, dnn wären die Steigungen von PQ und PR gleih! Flls dieser Gednke noh niht klr ist, sollte mn es mit einer Skizze versuhen! 6 Also: Steigung von PQ: m Steigung von PR: m 3 Gleihe Steigungen! Deshl gilt: P, Q und R liegen ttsählih uf einer Gerden! d e Die gesuhte Gerde y m q soll norml zu y - 3 sein. Dies edeutet shon ml: m -/! Die Aufge lutet lso neu: Gesuht ist die Gerde y -/ q durh R-/: Wir setzen den Punkt R in die Gerdengleihung und lösen dnn nh q uf: -/ - q. Nh q ufgelöst ergit sih der Wert q0. Die Gesuhte Gerde ht somit die Gleihung: y -/.
Lösungen Dienstg -8-3. ;. ; ; d 3 3; {0; 6} Zum rehnerishen Teil: und werden n gelöst! d Hier sind mehrere Flluntersheidungen ineinnder vershhtelt:
Lösungen Dienstg -9-4. D die Prel den Sheitel im Ursprung 0/0 ht, ergit sih der Anstz: y. 3 Wir setzen den Punkt /3 ein, um zu estimmen: 3. 4 Wir erhlten somit: 3 y 4. Die Prel y verläuft zwishen den Preln y. und y.4, wenn.4 < <. gilt. Dies trifft zu ei den Preln: y 0. ; y 8 ; y 3. 6. 7. 8. Lösung: Zünde ds erste Seil n eiden Enden und ds zweite n einem Ende n. Wenn ds erste gernnt ist, ist eine hle Stunde vorei, in diesem Zeitpunkt zünde ds zweite Seil uh noh m nderen Ende n.
Lösungen Dienstg -0- Blok 4.
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Lösungen Dienstg -- 3.
Lösungen Dienstg -3-4. 0. 4 > 0. Aus der Fktorzerlegung 0. 4 erhält mn die Nullstellen 8; 0 ls Lösungen der Gleihung 0. 4 0. Wegen 0. > 0 ergit sih die folgende Skizze des Grphen: Mn erkennt: Alle Zhlen grösser ls 0, sowie lle Zhlen kleiner ls - 8 ergeen einen Funktionswert f 0. 4 der grösser ist ls Null. An den Stellen 0 und -8 erhlten wir den Wert Null. Diese Zwei Werte sind lso uszushliessen. Die Ungleihung 0. 4 > 0 ht demnh die Lösungsmenge: ]- ; - 8[ ] 0 ; [ Diese Menge knn mn uh umshreien ls: \ [- 8; 0]. 4 3 7 0. Wir estimmen die Nullstellen: D 44;, 3 ± 44 8 3. f 4 3 7 ist somit eine nh oen geöffnete Prel, welhe die -Ahse n den Stellen 3 und -. shneidet. An diesen Stellen ist f 0; zwishen diesen Stellen ist f < 0. Die Lösungsmenge der Ungleihung ist somit [-.; 3]. Die Grenzen gehören dzu, d " " verlngt wird! Zur Vernshulihung sei hier die Skizze des Grphen gegeen: 3 7 < 0. Die Berehnung der Diskriminnte ergit: D 4 3 7 84 < 0. Die Prel f 3 7 ist nh unten geöffnet und shneidet die -Ahse wegen D < 0 niht d keine Nullstellen eistieren. Sie verläuft gnz unterhl der -Ahse; n llen Stellen ist f < 0. Anders formuliert: Jede Zhl erfüllt die Ungleihung 3 7 < 0. Die Lösungsmenge der Ungleihung ist somit
Lösungen Dienstg -4-. 6. 7.