KURZSKRIPT DER VORLESUNG MATHEMATIK 1 FÜR GEOWISSENSCHAFTEN UND LIFE SCIENCE

KURZSKRIPT DER VORLESUNG MATHEMATIK FÜR GEOWISSENSCHAFTEN UND LIFE SCIENCE PROF DR CHRISTOPH WALKER INSTITUT FÜR ANGEWANDTE MATHEMATIK LEIBNIZ UNIVERSITÄT HANNOVER WINTERSEMESTER

2 INHALTSVERZEICHNIS Zhlenfolgen 3 2 Reihen 4 2 Grundlgen 4 22 Konvergenzkriterien 4 3 Tylorreihen 6 4 Vektorrechnung 7 4 Vektoren 7 42 Linere Unbhängigkeit & Bsis 8 43 Sklrprodukt 9 44 Projektion 0 45 Vektorprodukt 0 46 Sptprodukt 47 Gerdengleichung 48 Ebenengleichungen 5 Mtrizen 2 5 Grundlgen 2 52 Rechnen mit Mtrizen 2 53 Invertierbre Mtrizen 3 54 Linere Gleichungssysteme: n Gleichungen mit n Unbeknnten 4 55 Guß-Algorithmus 5 56 Linere Abbildungen 7 57 Determinnten 8 58 Eigenwerte 9 6 Integrtion von Funktionen einer Vriblen 20 6 Ds bestimmte Integrl 20 62 Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung 2 63 Ds unbestimmte Integrl 22 64 Integrtionsverfhren 22 65 Uneigentliche Integrle 23 66 Ungleichungen 24 67 Prtilbruchzerlegung 24 Dies ist ein Kurzskript und enthält im Wesentlichen nur die in der Vorlesung verwendeten Definitionen und Sätze Für erläuternde Beispiele sei uf die Vorlesung verwiesen Die ursprüngliche LTeX-Dtei wurde dnkenswerterweise von Stefn Hsselmnn erstellt

3 ZAHLENFOLGEN Eine Zhlenfolge ist eine Abbildung N R, j x j ; dh eine Zhlenfolge besteht us unendlich vielen Zhlen in einer bestimmten Reihenfolge Meist schriebt mn (x j ) j N oder einfch (x j ) Folgen können rekursiv definiert sein wie zb die Fiboncci-Folge (f j ) vermöge f 0 :=, f :=, f j+ := f j + f j für j 0 Eine Zhl x heißt Grenzwert der Folge (x j ), flls für jede gegebene Zhl ε > 0 eine Zhl N N existiert, so dss x x j ε für lle j N gilt; dh lso, dss der Abstnd x x j unendlich klein wird für lle genügend großen j Mn schreibt Nicht-konvergente Folgen heißen divergent x j x für j oder: x = lim j x j Für konvergente Folgen x j x und y j y gelten die Rechenregeln (i) x j + y j x + y, (ii) x j y j xy, (iii) αx j αx für α R, (iv) xj y j x y flls y 0 Eine Folge (x j ) heißt beschränkt, flls eine Zhl M > 0 existiert, so dss x j M für lle j N gilt Offensichtlich gilt: Stz Jede konvergente Folge ist beschränkt Ebenso offensichtlich gilt die Umkehrung des Stzes nicht Dzu brucht es eine zusätzliche Monotonieeigenschft Eine Folge (x j ) heißt wchsend, flls gilt x 0 x x 2 x 3, bzw fllend, flls gilt x 0 x x 2 x 3 Die Folge heißt monoton, flls sie wchsend oder fllend ist ZB ist die geometrische Folge (q j ) wchsend für q, fllend für 0 q und nicht monoton für q < 0 Ferner konvergiert (q j ) gegen 0 flls < q < Stz 2 Jede monotone und beschränkte Folge ist konvergent Beispiel: Betrchte die rekursiv definierte Folge x 0 := 2, x j+ := 2 (x j + 6), j 0 Wir vermuten, dss diese Folge wchsend und beschränkt ist (demzufolge konvergent) und zeigen dies per Induktion Offensichtlich ist x 0 < x und weil die Aussge x j < x j+ die Aussge x j+ < x j+2 impliziert (für beliebiges j N), ist die Folge ttsächlich wchsend Um zu zeigen, dss die Folge beschränkt ist, sei M := 6 Dnn impliziert die Aussge 0 x j 6 die Aussge 0 x j+ 6 (für beliebiges j N) und weil 0 x 0 6 klr ist, ist die Folge ttsächlich wchsend Aus der rekursiven Definition x j+ = 2 (x j + 6) erhlten wir durch Grenzübergng x = 2 (x + 6), lso den Grenzwert x = 6

4 2 REIHEN 2 Grundlgen Sei ( k ) k N eine Folge (reeller) Zhlen Eine Reihe k=0 k ist die unendliche Summe der Zhlen k, dh k := 0 + + 2 + 3 + k=0 Die Reihe k=0 k konvergiert, flls die Folge (s n ) n N der n-ten Prtilsummen n s n := k, n N, k=0 konvergiert Dnn ist s := lim n s n der Wert der Reihe k=0 k Divergiert die Folge (s n ) der n-ten Prtilsummen, so divergiert die Reihe k=0 k Konvergiert die Reihe k=0 k, so gilt notwendigerweise k 0 Andererseits impliziert k 0 k jedoch nicht, dss k=0 k konvergiert Zum Beispiel konvergiert die geometrische Reihe k=0 rk genu dnn, wenn r < Für den Wert der Reihe gilt r k = für r < r Die p-reihe hrmonisch k= k p k=0 divergiert für p und konvergiert für p > Für p = heißt die Reihe Stz 2 Seien k=0 k, k=0 b k zwei konvergente Reihen und α R Dnn gilt: () Die Reihe k=0 ( k + b k ) konvergiert und ( k + b k ) = k + b k k=0 (b) Die Reihe k=0 (α k) konvergiert und k=0 k=0 k=0 (α k ) = α k k=0 22 Konvergenzkriterien Die nchfolgenden Konvergenzkriterien liefern Aussgen, ob eine gegebene Reihe k konvergiert oder divergiert Konvergiert die Reihe, so sgen die Kriterien ber nichts über den Wert der Reihe us Stz 22 (Leibnizkriterium für lternierende Reihen) Ist ( k ) eine fllende Nullfolge (dh gilt 0 2 0 und lim k k = 0), so ist die lternierende Reihe ( ) k k = 0 + 2 3 ± konvergent k=0

Eine Reihe k=0 k konvergiert bsolut, flls die Reihe der Absolutbeträge k=0 k konvergiert Bechte, dss bsolute Konvergenz stärker ls Konvergenz ist, dh us der bsoluten Konvergenz folgt Konvergenz, ber nicht umgekehrt 5 Stz 23 (Vergleichsstz) Sei (b k ) eine Folge nicht-negtiver Zhlen und sei ( k ) eine beliebige Folge Dnn gilt: () Ist k b k für lle bis uf endlich viele k N und konvergiert b k, so konvergiert k bsolut (b) Ist b k k für lle bis uf endlich viele k N und divergiert b k, so divergiert uch k Stz 24 (Quotientenkriterium) () Gilt lim k k+ k <, so konvergiert die Reihe k bsolut (b) Ist lim k k+ k >, so divergiert k (c) Flls lim k k+ k =, so ist keine llgemein gültige Aussge möglich Stz 25 (Wurzelkriterium) () Gilt lim k k k <, so konvergiert die Reihe k bsolut (b) Ist lim k k k >, so divergiert k (c) Flls lim k k k =, so ist keine llgemein gültige Aussge möglich

6 3 TAYLORREIHEN Sind n N, x 0 (, b) und eine n-ml differenzierbre Funktion f : [, b] R vorgegeben, so heißt n f (j) (x 0 ) p n (x) := (x x 0 ) j j! j=0 = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) 2 + + f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n 2 n! ds n-te Tylorpolynom von f um x 0 Also ist p n (x) ein Polynom vom Grd n und besitzt n der Stelle x 0 dieselben Ableitungen bis zur Ordnung n wie f, dh p n (x 0 ) = f(x 0 ), p n(x 0 ) = f (x 0 ),, p (n) n (x 0 ) = f (n) (x 0 ) Tylorpolynome dienen der Approximtion einer gegebenen Funktion Für den entstehenden Fehler gilt: Stz 3 (Fehlerbschätzung) Ist f (n + )-ml stetig differenzierbr und ist p n (x) ds n-te Tylorpolynom von f um x 0, so gilt für den Fehler p n (x) f(x) x x 0 n+ (n + )! mx z zwischen x 0 und x f (n+) (z) Im Idelfll verschwindet der Fehler der Approximtion für n, dh die Tylorreihe f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k k! stellt die Funktion f im Punkt x dr Als Kriterium für diesen Idelfll dient: k=0 Stz 32 (Drstellung mittels Tylorreihen) Existiert eine von n N unbhängige Zhl R = R(x, x 0 ) > 0 so dss so gilt mx f (n+) (z) R(x) für lle n N, z zwischen x 0 und x f(x) = lim n p n(x) = k=0 dh f(x) wird durch die Tylorreihe von f um x 0 drgestellt f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, k! Die Tylorreihendrstellung der Exponentilfunktion f(x) = e x um x 0 = 0 ist e x x k = k!, x R Die Tylorreihendrstellung der Sinusfunktion f(x) = sin x um x 0 = 0 ist sin x = ( ) l x 2l+ (2l + )!, x R Die Tylorreihendrstellung der Cosinusfunktion f(x) = cos x um x 0 = 0 ist cos x = ( ) l x2l (2l)!, x R l=0 l=0 k=0

7 4 VEKTORRECHNUNG 4 Vektoren Unter einem Vektor verstehen wir die Klsse ller Richtungspfeile mit gleicher Richtung und gleicher Länge, jeder Richtungspfeil us dieser Klsse heißt Repräsentnt des Vektors Der Vektor der Länge 0 (ohne Richtung) bezeichnen wir mit 0 Der Vektor mit gleicher Länge wie, ber entgegengesetzter Richtung, bezeichnen wir mit Ortsvektoren sind Vektoren mit fest vorgegebenen Anfngspunkt Es hndelt sich hierbei um spezielle Repräsentnten der Klsse Addition von Vektoren Für beliebige Vektoren, b und c gelten die folgenden Rechenregeln: (i) + b = b + (ii) ( + b) + c = + ( b + c) (iii) + 0 = (iv) + ( ) = 0 Mn schreibt b sttt + ( b) Sklrmultipliktion von Vektoren Im folgenden sei ein Vektor und α R eine Zhl, uch Sklr gennnt Dnn ist α der Vektor, der die α -fche Länge von ht und flls α > 0 dieselbe, flls α < 0 die entgegengesetzte Richtung wie ht Ist α = 0, so 0 = 0 Für Sklre α, β R und Vektoren, b gelten die folgenden Rechenregeln: (v) =, ( ) = (vi) α(β ) = (αβ) (vii) (α + β) = α + β (viii) α( + b) = α + α b Allgemein heißt eine Menge V mit Opertionen + und, welche die Regeln (i)-(viii) erfüllen, ein Vektorrum Koordintendrstellung von Vektoren Im 3-dimensionlen Rum R 3 sei = 0A ein Ortsvektor mit Anfngspunkt im Ursprung 0 und Endpunkt A = (, 2, 3 ) Dnn schreibt mn = 0A = 2 3 und nennt, 2 und 3 die Koordinten des Vektors (bzgl der Stndrdbsis) Speziell heißt 0 0 = 0 0 der Nullvektor Für beliebige Vektoren = 2, 3 b = b b 2 b 3

8 und Sklre α R gelten = b = b, 2 = b 2, 3 = b 3, sowie + b + b α b = 2 + b 2 = 2 + b 2, α = α 2 = α 2 3 b 3 3 + b 3 3 α 3 Ist n N beliebig, so sind die Vektoren im n-dimensionlen Rum R n von der Form 2 = mit j R, j n n Den Vektor durch zwei Punkte A = (, 2, 3 ) und B = (b, b 2, b 3 ) definieren wir durch AB := 0A + 0B = 2 + b = b 3 Der Betrg eines Vektors = Dnn gilt sowie die Dreiecksungleichung 2 3 ist seine Länge: = b 2 b 3 2 + 2 2 + 2 3 0 α = α, α R, + b + b b 2 2 b 3 3 Ferner ist der Abstnd zweier Punkte A und B die Länge des Vektors AB, lso AB Ein Einheitsvektor ist ein Vektor mit Betrg Ist lso 0 ein beliebiger Vektor, so ist ein Einheitsvektor in Richtung 42 Linere Unbhängigkeit & Bsis Die Vektoren, 2,, m heißen liner bhängig, flls Zhlen α, α 2,, α m existieren, die nicht lle 0 sind, so dss sich der Nullvektor 0 ls Linerkombintion der Vektoren drstellen lässt, dh α + α 2 2 + + α n n = 0 Gibt es keine solchen Zhlen, so heißen die Vektoren liner unbhängig Drei liner unbhängige Vektoren heißen eine Bsis des Rumes R 3 Offensichtlich bilden die drei Vektoren e := 0, e 2 := 0 0 0, e 3 := 0 0, eine Bsis des R 3, die knonische Bsis (oder: Stndrdbsis) Allgemeiner bilden n liner unbhängige Vektoren eine Bsis des Rumes R n, die n-dimensionle knonische Bsis ist dnn nlog definiert

9 Allgemein gilt: Zwei Vektoren, b sind genu dnn liner bhängig, wenn es ein α R gilt mit = α b, dh wenn und b uf einer Gerden liegen Drei Vektoren, b, c bilden genu dnn eine Bsis des R 3, wenn jeder Vektor x eine eindeutige Drstellung der Form x = α + β b + γ c mit α, β, γ R ht Die Zhlen α, β und γ heißen dnn Koordinten bezüglich der Bsis, b, c 43 Sklrprodukt Ds Sklrprodukt b von = 2 und b = b 2 ist definiert ls 3 b 3 b b := b + 2 b 2 + 3 b 3 Entsprechend überträgt mn diese Definition uf den n-dimensionlen Fll Ds Sklrprodukt zweier Vektoren ist eine Zhl Für Vektoren, b, c und Sklre α R gelten die folgenden Rechenregeln: (i) b = b (ii) ( b + c) = b + c (iii) (α ) b = α( b) = (α b) (iv) = 2 0, lso = Geometrische Interprettion des Sklrproduktes Ist ϕ [0, π] der Winkel zwischen den Vektoren 0 und b 0, so liefert der Cosinusstz b 2 = 2 + b 2 2 b cos ϕ zusmmen mit den Rechenregeln des Sklrproduktes Also gilt b = b cos ϕ b > 0 0 ϕ < π 2 b = 0 ϕ = π 2 b < 0 π 2 < ϕ π Zwei Vektoren 0 und b 0 heißen orthogonl, flls b = 0 gilt oder, gleichbedeutend, wenn der Zwischenwinkel π/2 beträgt Mn schreibt dnn b

0 44 Projektion Die Projektion von b in Richtung ist definiert durch Ist ϕ der Winkel zwischen und b, so gilt pr b := b 2 pr b = b b b Die Projektion von b in Richtung ht demnch Länge pr b = cos ϕ b = cos ϕ b und zeigt in Richtung flls 0 ϕ < π 2 bzw in entgegengesetzter Richtung flls π 2 < ϕ π Die Zhl cos ϕ b heißt Komponente von b in Richtung Es gilt 45 Vektorprodukt Für = 2 3 und b = b b 2 b 3 pr b = b 2 = b ist ds Vektorprodukt (oder: Kreuzprodukt) b definiert durch b := 2b 3 3 b 2 3 b b 3 b 2 2 b Ds Vektorprodukt zweier Vektoren ist lso wieder ein Vektor! Für Vektoren, b, c und α R gelten die folgenden Rechenregeln: (i) b = ( b) (ii) (α ) b = α( b) = (α b) (iii) ( b + c) = b + c Geometrische Interprettion des Vektorprodukts Sei ϕ [0, π] der Winkel zwischen und b Dnn ist b der eindeutig bestimmte Vektor, der orthogonl steht uf und b mit Länge b = b sin ϕ und dessen Orientierung durch die Rechte-Hnd- Regel gegeben ist Zum Beispiel gilt für die knonischen Bsisvektoren e, e 2, e 3 e e 2 = e 3, e e 3 = e 2 Die Zhl b = b sin ϕ ist die Fläche des durch und b ufgespnnten Prllelogrmms Also gilt, b liner bhängig b = 0

46 Sptprodukt Für Vektoren, b, c ist ds Sptprodukt, b, c definiert durch, b, c := ( b) c Ds Sptprodukt ist eine Zhl Geometrische Interprettion des Sptprodukts Ist ψ der Winkel zwischen den Vektoren b und c, so gilt ( b) c = b c cos ψ Dmit ist, b, c ist ds orientierte Volumen des von, b, c ufgespnnten Prllelflchs (Spts) Es seien, b, c vom Nullvektor verschiedene Vektoren Dnn gilt, b, c liner bhängig, b, c = 0 47 Gerdengleichung Es sei g die Gerde durch den Punkt R 0 mit Ortsvektor r 0 mit Anfngspunkt im Ursprung 0 in Richtung des Vektors v 0 Dnn ist R genu dnn ein Punkt uf g mit Ortsvektor r, wenn R 0 R = r r 0 prllel zu v ist, lso r r 0 = t v für ein t R Dmit lutet die Gerdengleichung g : r(t) = r = r 0 + t v, t R Prllele Gerden hben liner bhängige Richtungsvektoren 48 Ebenengleichungen Prmeterdrstellung Es sei r 0 der Ortsvektor von R 0 und x der Ortsvektor eines beliebigen Punktes X in der Ebene Dnn liegt x r 0 genu dnn in der Ebene, wenn es Zhlen t, s R gibt mit x r 0 = t + s b Die Prmeterdrstellung einer Ebene lutet dher E : x(t, s) = x = r 0 + t + s b, t, s R Ein Punkt X liegt lso genu dnn in der Ebene, wenn sein Ortsvektor x geschrieben werden knn ls r 0 + t + s b mit Sklren t, s R Normlenform einer Ebene Es sei r 0 der Ortsvektor von R 0 und x der Ortsvektor eines beliebigen Punktes X in der Ebene Dnn liegt R 0 X = x r 0 genu dnn in der Ebene, wenn x r 0 n, lso n ( x r 0 ) = 0 Die Normlenform einer Ebene lutet dher E : n x = n r 0, x oder, in Koordintendrstellung mit n = b, x = y und d := n r 0 R, c z E : x + by + cz = d Ein Punkt X = (x, y, z) liegt lso genu dnn in der Ebene, wenn x + by + cz = d

2 5 MATRIZEN 5 Grundlgen Eine (n n)-mtrix A ist ein rechteckiges Zhlenschem mit m Zeilen und n Splten: 2 n 2 22 2n A = ( ij ) i m = j n m m2 mn Mn schreibt A M(m, n) Gilt m = n, so ist A qudrtisch Die Nullmtrix 0 M(m, n) ist 0 0 0 = 0 0 Eine qudrtische Mtrix D M(n, n) heißt Digonlmtrix, flls d 0 0 D = 0 0 =: dig(d,, d n ) 0 0 d n Die Digonlmtrix heißt Einheitsmtrix 0 0 E := E n := dig(,, ) = 0 0 0 0 Ist A M(m, n), so erhält mn die zu A trnsponierte Mtrix A T M(n, m) durch Vertuschen der Zeilen und Splten von A, dh ist A = ( ij ) i m, so gilt j n 2 n A T = ( T ) 2 22 n2 ij i n = j m m 2m nm mit T ij = ji Ist A M(n, n) mit A = A T, so heißt A symmetrisch 52 Rechnen mit Mtrizen Die Summe zweier Mtrizen A = ( ij ) M(m, n) und B = (b ij ) M(m, n) ist definiert durch + b 2 + b 2 m + b m A + B := ( ij + b ij ) = 2 + b 2 n + b n nm + b nm

3 Die Sklrmultipliktion einer Mtrix A = ( ij ) M(m, n) mit einem Sklr α R ist definiert α α 2 α m αa := (α ij ) = α 2 α n α nm Dmit sind A + B und αa wieder (m n)-mtrizen Seien A = ( ij ) M(m, n) und B = (b ij ) M(n, r), dh die Spltenzhl von A stimmt mit der Zeilenzhl von B überein Dnn ist ds (Mtrizen-)Produkt definiert durch c ij := C := (c ij ) := AB M(n, r) n ik b kj, i m, j n k= Der Wert von c ij ist lso ds Sklrprodukt der i-ten Zeile von A mit der j-ten Splte von B Für ds Produkt von Mtrizen gelten die folgenden Rechenregeln (flls der jeweilige Ausdruck sinnvoll ist): (AB)C = A(BC), A(B + C) = AB + AC, AE = A, EB = B Im llgemeinen ist AB BA, selbst wenn beide Produkte definiert sind 53 Invertierbre Mtrizen Eine qudrtische Mtrix A M(n, n) heißt invertierbr (oder: regulär), flls B M(n, n) existiert mit AB = BA = E n Dnn heißt B die zu A inverse Mtrix und mn schreibt B = A Also: A A = AA = E n Die Invertierbrkeit von (2 2)-Mtrizen lässt sich einfch chrkterisieren: Stz 5 Eine (2 2)-Mtrix ( ) b A = c d ist genu dnn invertierbr, wenn det A := d bc 0 Dnn gilt A = ( ) d b det A c Die Zhl det A heißt Determinnte der Mtrix A Stz 52 Seien A und B invertierbre (n n)-mtrizen Dnn gilt: () A ist invertierbr und ( A ) = A (b) AB ist invertierbr und (AB) = B A

4 54 Linere Gleichungssysteme: n Gleichungen mit n Unbeknnten Seien x, x 2,, x n die Unbeknnten des Gleichungssystems x + 2 x 2 + + n x n = b 2 x + 22 x 2 + + 2n x n = b 2 n x + n2 x 2 + + nn x n = b n wobei ij, b i vorgegebene Zhlen sind Setze A := ( ij ) i,j n M(n, n), x := x x n, b := b b n M(n, ) Dnn ist ds obige Gleichngssystem äquivlent zur Gleichung A x = b Diese Gleichung heißt homogen flls b = 0 und inhomogen flls b 0 Für die Lösbrkeit des Gleichungssystems von n Gleichungen mit n Unbeknnten gilt: Stz 53 Eine (n n)-mtrix ist genu dnn invertierbr, wenn die Gleichung (ds Gleichungssystem) A x = b für jeden Spltenvektor b (der Länge n) genu eine Lösung x besitzt Dnn gilt: x = A b Offensichtlich besitzt die homogene Gleichung A x = 0 immer die trivile Lösung x = 0 Der Stz besgt flls A invertierbr ist, dss x = 0 die einzige Lösung des homogenen Gleichungssystems A x = 0 ist Zusmmen mit Stz 5 erhlten wir folgende Lösungsformel für zwei Gleichungen mit zwei Unbeknnten: Stz 54 (Crmersche Regel für n = 2) Ds Gleichungssystem x + 2 x 2 = b 2 x + 22 x 2 = b 2 ist genu dnn für lle b, b 2 R eindeutig lösbr, flls ( ) det A := det 2 = 2 22 2 2 0 22 Dnn gilt ( ) ( ) b det 2 b det b 2 22 2 b 2 x =, x 2 = det A det A

5 55 Guß-Algorithmus Der Guß-Algorithmus erlubt zu entscheiden, ob eine gegebene qudrtische Mtrix A M(n, n) invertierbr ist und liefert gegebenenflls die Inverse A Schemtisch lässt sich die Vorgehensweise drstellen ls 0 0 0 0 0 0 }{{} }{{} A E n elementre Umformungen Dbei sind folgende elementre Umformungen erlubt: (U) Vertuschen zweier Zeilen (U2) Multipliktion einer Zeile mit einer Zhl 0 (U3) Addition eines Vielfches einer Zeile zu einer nderen Zeile Beispiel: Bestimme die inverse Mtrix von A = 2 M(3, 3) 2 2 Lösung: Wir schreiben 2 0 0 0 0 2 2 0 0 }{{}}{{} A E 3 Vertuschen der ersten und der zweiten Zeile: (U) 2 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0??? 0 0 0 0 }{{}??? E n }{{} Addition des ( 2)-fchen der Zeile zur 2 Zeile und des 2-fchen der Zeile zur 3 Zeile: (U3) 0 0 0 2 0 0 0 0 2 Vertuschen der 2 und der 3 Zeile: (U) 0 0 0 0 0 2 0 2 0 Addition der 2 zur 3 Zeile: (U3) 0 0 0 0 0 2 0 0 0 A

6 Addition des ( )-fchen der 2 Zeile zur Zeile: (U3) 0 0 0 0 0 2 0 0 0 Addition der 3 Zeile zur Zeile: Es gilt lso (U3) 0 0 0 0 0 } 0 {{ } E 3 0 0 2 0 }{{} A 0 A = 0 2 0 Wir können eine Probe mchen, indem wir nchrechnen dss AA = E 3 = A A gilt Anwendung uf linere Gleichungssysteme Mit dem Gußschen Algorithmus lssen sich uch linere Gleichungssysteme A x = b lösen, schemtisch drgestellt ls n b n b Umformungen elementre 0 22 2n n nn b n 0 0 nn }{{} b n obere Dreiecksmtrix Dieses Verfhren ist uch möglich, flls A nicht invertierbr ist oder für A M(m, n), dh m Gleichungen mit n Unbeknnten Beispiel: Löse A x = b mit 2 7 2 A = 0 0 6 8 6 M(3, 6), 2 0 4 6 Lösung: Wir benutzen den Guß-Algorithmus und schreiben 2 7 2 4 0 0 6 8 6 3 2 0 4 6 2 Addition des ( )-fchen der Zeile zur 3 Zeile: 2 7 2 0 0 6 8 6 4 3 0 0 6 8 5 2 4 b = 3 2

7 Addition der 2 Zeile zur 3 Zeile: 2 7 2 4 0 0 6 8 6 3 0 0 0 0 0 }{{} =:à Aus der Zeilenstufenform der Mtrix à liest mn die Lösungen b: x 6 =, x 5 = s, x 4 = r, x 3 = 3 6r 8s, x 2 = t, x = 4 4s r 2t mit beliebigen Zhlen r, s, t R Der Rng einer Mtrix A ist die Anzhl der liner unbhängigen Zeilen (oder Splten) der Zeilenstufenmtrix In diesem Beispiel ist Rng A = 3 56 Linere Abbildungen Eine Abbildung f : R n R m heißt liner, flls (i) f( x + y) = f( x) + f( y) für lle x, y R n (ii) f(α x) = αf( x) für lle x R n, α R Drstellungsmtrix Der nächste Stz liefert eine einfche Chrkterisierung linerer Abbildungen: Stz 55 Eine Abbildung f : R n R m ist genu dnn liner, wenn eine (n n)-mtrix A f existiert (bezüglich der knonischen Bsis) mit f( x) = A f x für lle x R n Also knn jede linere Abbildung mit einer Mtrix identifiziert werden, und jede Mtrix definiert eine linere Abbildung Die zur lineren Abbildung f : R n R m gehörende Mtrix A f heißt Drstellungsmtrix von f (bzgl der knonischen Bsis) Die Identität id n : R n R n, x x ist liner mit Drstellungsmtrix E n Die Spiegelung n der x-achse ist liner mit Drstellungsmtrix S : R 2 R 2, A S = ( x x 2 ) ( ) 0 0 ( x x 2 ) Die Drehung D ϕ : R 2 R 2 und den Winkel ϕ (im Gegenuhrzeigersinn) ist liner mit Drstellungsmtrix ( ) cos ϕ sin ϕ A ϕ = sin ϕ cos ϕ Linere Abbildungen besitzen wichtige Eigenschften bezüglich Gerden und Ebenen:

8 Stz 56 (Geometrische Eigenschften linerer Abbildungen) Eine linere Abbildung f : R 3 R 3 bildet Gerden (Ebenen) in Gerden (Ebenen) b Hierbei werden prllele Gerden (Ebenen) in prllele Gerden (Ebenen) bgebildet Verknüpfungen Sind f : R n R m und g : R m R l zwei (nicht notwendigerweise linere) Abbildungen, so ist die Verknüpfung g f von f und g definiert durch g f : R n R l, (g f)( x) := g(f( x)) Die Verknüpfung zweier linerer Abbildungen ergibt wieder eine linere Abbildung: Stz 57 (Verknüpfung linerer Abbildungen) Es seien f : R n R m und g : R m R l linere Abbildungen mit Drstellungsmtrizen A f M(m, n) und A g M(l, m) Dnn ist die Verknüpfung g f : R n R l, x g(f( x)) eine linere Abbildung mit der Drstellungsmtrix A g f = A g A f M(l, n) Invertierbre linere Abbildungen Eine Funktion f : R n R n ist invertierbr (oder: bijektiv, oder: umkehrbr), flls eine Umkehrfunktion (oder: Inverse) f : R n R n existiert mit für lle x R n, dh f (f( x)) = x und f(f ( x)) = x f f = id n, f f = id n Bijektive linere Abbildungen lssen sich einfch chrkterisieren nhnd ihrer Drstellungsmtrizen: Stz 58 (Invertierbre linere Abbildungen) Sei f : R n R n liner mit Drstellungsmtrix A M(n, n) Dnn gilt: f invertierbr A f invertierbr In diesem Fll ist f wiederum liner mit Drstellungsmtrix A f = (A f ) M(n, n) Eine qudrtische Mtrix A M(n, n) heißt orthogonl, flls A = A T Also gilt AA T = A T A = E n Linere Abbildungen mit orthogonlen Drstellungsmtrizen erhlten sowohl Winkel wie uch Längen: Stz 59 (Orthogonle Drstellungsmtrizen) Sei f : R n R n eine linere Abbildung mit orthogonler Drstellungsmtrix A f M(n, n) Dnn ist f ist umkehrbr sowie längen- und winkeltreu (dh lle Längen und Winkel bleiben erhlten unter der Abbildung f) 57 Determinnten Wir wissen, dss eine (2 2)-Mtrix ( ) A = 2 2 22 genu dnn invertierbr ist, wenn die Determinnte nicht verschwindet, det A = 22 2 2 0 Für größere qudrtische Mtrizen erhlten wir ds gleiche Invertierbrkeitskriterium indem wir die Determinnte durch Entwickeln nch einer Zeile oder Splte definieren

9 Entwickeln nch der i-ten Zeile Sei A = ( ij ) eine (n n)-mtrix Sei ferner A ij diejenige (n n )-Mtrix, die us A durch Streichen der i-ten Zeile und der j-ten Splte entsteht Dnn ist die Determinnte det A von A definiert durch n det A := ( ) i+j ij det A ij, j= wobei i eine beliebige Zhl us {, 2,, n} ist Die Definition ist unbhängig von i Mn knn lso immer nch der Zeile entwickeln (dhi = ), doch mnchml ist es geschickter, eine ndere Zeile zu wählen mit möglichst vielen Nullen Die in der Definition uftretenden Vorzeichen ( ) i+j sind schchbrettrtig verteilt: + + + + + + + + Die folgenden Eigenschften erleichtern ds Berechnen von Determinnten und beinhlten ds oben gennnte Invertierbrkeitskriterium: Stz 50 (Eigenschften der Determinnte) Es seien A, B M(n, n) Dnn gelten: () det(a T ) = det A, (b) det(ab) = det A det B, (c) A invertierbr det A 0 Dnn gilt: det(a ) = det A (d) Ist A eine Dreiecksmtrix, so ist die Determinnte ds Produkt der Huptdigonlelemente: 0 0 22 0 det 0 = 22 nn nn Insbesondere gilt: det E n = (e) Ht A zwei gleiche Zeilen (Splten) oder eine Nullzeile (Nullsplte), so gilt det A = 0 (f) Orthogonle Mtrizen hben Determinnte oder 58 Eigenwerte Ein Zhl λ heißt Eigenwert der Mtrix A M(n, n), flls ein Vektor v 0 existiert mit A v = λ v Dnn heißt v Eigenvektor zum Eigenwert λ Bechte, dss λ = 0 möglich ist, jedoch immer v 0 gilt Der nächste Stz zeigt, wie mn Eigenwerte bestimmen knn: Stz 5 Die Zhl λ ist genu dnn ein Eigenwert der Mtrix A M(n, n), wenn det(a λe n ) = 0 Ds Bestimmen der Eigenwerte ist lso gleichbedeutend mit dem Finden der Nullstellen des Polynoms det(a λe n ) in λ vom Grd n Die zugehörigen Eigenvektoren v 0 erhält mn durch Lösen des Gleichungssystems (A λe n ) v = 0

20 6 INTEGRATION VON FUNKTIONEN EINER VARIABLEN 6 Ds bestimmte Integrl Wir wollen die Fläche F zwischen dem Grphen einer Funktion f : [, b] R und der x-achse sowie den senkrechten Gerden x = und x = b berechnen Dzu pproximieren wir F folgendermßen durch kleinere bzw größere Flächen Wir zerlegen ds Intervll I = [, b] in n N Teilintervlle I,, I n der Länge n = b n Für jedes j =, 2, n sei m j (n) := min f(x) x I j ds Minimum und mx f(x) x I j ds Mximum von f im Teilintervll I j Ferner sei c j I j ein beliebiger Punkt Dnn ist A (n) j := n m j (n) = b n m j(n) die Fläche des größten Rechtecks im Teilintervll I j, ds vollständig unter dem Grphen von f liegt und B (n) j := n M j (n) = b n M j(n) die Fläche des kleinsten Rechtecks im Teilintervll I j, ds vollständig über dem Grphen von f liegt Mit C (n) j := n f(c j ) gilt A (n) j C (n) j Für die Fläche ller Rechtecke zusmmen erhlten wir U n (f) := O n (f) := R n (f) := n j= n j= n j= A (n) j = B (n) j = C (n) j = n j= n j= n j= B (n) j b n m j(n) (n-te Untersumme) b n M j(n) (n-te Obersumme) b n f(c j) (n-te Riemnnsumme) Offenbr gilt U n (f) R n (f) O n (f) und U n (f) F O n (f) Die Approximtion von F durch U n (f) und O n (f) wird besser, je größer n gewählt wird (dh je kleiner die Teilintervlle werden) Konvergieren die Folgen der Untersummen (U n (f)) n N und Obersummen (O n (f)) n N gegen denselben Grenzwert F, so heißt die Funktion f : [, b] R integrierbr (uf [, b]) Die Zhl f(x)dx := F := lim n U n(f) = lim n O n(f) = lim n R n(f) heißt (bestimmtes) Integrl von f in den Grenzen bis b Die Definition des bestimmten Integrls f(x)dx ist uch dnn sinnvoll, flls die Forderung f 0 nicht gilt Dnn ist f(x)dx ein orientierter Flächeninhlt Nicht lle Funktionen integrierbr, obwohl folgende Aussge richtig ist:

2 Stz 6 Ist f : [, b] R stückweise stetig oder monoton, so ist f integrierbr Im Folgenden verwenden wir die Konvention f(x)dx := 0, f(x)dx := b f(x)dx 62 Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Die Berechnung von f(x)dx nhnd der Definition ist sehr mühsm Dher stellen wir eine Methode zur bequemeren Berechnung von bestimmten Integrlen vor Eine Funktion F heißt Stmmfunktion der Funktion f, flls F differenzierbr ist mit Ableitung F = f Stz 62 (Differenzierbrkeit nch der oberen Grenze) Sei f : [, b] R stetig und Dnn ist F differenzierbr, und es gilt Also ist F eine Stmmfunktion von f F (t) := t F (t) = d dt f(x)dx, t [, b] t f(x)dx = f(t) Ist F eine Stmmfunktion von f und c R, so ist uch F + c eine Stmmfunktion von f Sind F und F 2 zwei Stmmfunktionen von f, so gilt (F F 2 ) = F F 2 = f f = 0, lso existiert ein c R so dss F (x) = F 2 (x) + c für lle x Drus schließen wir: Die Stmmfunktion einer Funktion f ist bis uf eine dditive Konstnte eindeutig Es sei nun f : [, b] R stetig und F eine beliebige Stmmfunktion von f Nch Stz 62 definiert G(t) := t f(x)dx ebenflls eine Stmmfunktion von f Dher existiert ein c R mit F (t) = G(t) + c Einsetzen von t = und t = b ergibt den Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung: Stz 63 (Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung) Ist f : [, b] R stetig und F eine beliebige Stmmfunktion von f, so ist f(x)dx = F (b) F () =: F (x) b Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung reduziert die Berechnung von f(x)dx uf ds Finden einer Stmmfunktion von f

22 63 Ds unbestimmte Integrl Die Menge ller Stmmfunktionen einer Funktion f heißt ds unbestimmte Integrl von f und wird symbolisch mit f(x)dx + c, c R, bezeichnet Ds unbestimmte Integrl ist eine Menge von Funktionen während ds bestimmte Integrl eine Zhl ist In der folgenden Tbelle sind die Stmmfunktionen einiger gängigen Funktionen ufgelistet: f(x) f(x)dx 64 Integrtionsverfhren x r, r r+ xr+ x, x > 0 ln x e rx r erx x, > 0, ln x cos x sin x cos 2 x = + tn2 x +x 2, x < sin x cos x tn x = sin x cos x rcsin x +x 2 rctn x Wir wollen Verfhren kennen lernen, die die Berechnung von Stmmfunktionen f(x)dx für komplizierte Funktionen ermöglicht Stz 64 (Linerität des Integrls) Seien f, g : [, b] R integrierbr, λ R und < c < b Dnn gilt: (i) (ii) (iii) (f(x) + g(x)) dx = λf(x)dx = λ f(x)dx = c f(x)dx f(x)dx + f(x)dx + c f(x)dx g(x)dx Die Aussgen (i) und (ii) gelten uch für ds unbestimmte Integrl Prtielle Integrtion Seien u, v : [, b] R differenzierbr Dnn ist wegen der Produktregel uv eine Stmmfunktion von (uv) = uv + u v Mit dem Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung folgt (u(x)v (x) + u (x)v(x)) dx = (u(x)v(x)) dx = u(x)v(x) b Durch Umstellen dieser Gleichung erhlten wir die Methode der Prtiellen Integrtion:

23 Stz 65 (Prtielle Integrtion) Seien u, v : [, b] R differenzierbr mit stetigen Ableitungen u und v Dnn gilt: u(x)v (x)dx = u(x)v(x) b u (x)v(x)dx Für eine formle Merkregel knn mn die Beziehungen du dx = u und dv dx = v umformen zu du = u dx und dv = v dx Ds ergibt udv = uv b vdu Substitution Sei F eine Stmmfunktion von f und sei g eine weitere Funktion Mit der Kettenregel der Differentilrechnung erhlten wir d dx F (g(x)) = F (g(x))g (x) = f(g(x))g (x), lso ist F g eine Stmmfunktion von f(g(x))g (x) Mit dem Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung folgt dnn f(g(x))g (x)dx = F (g(x)) g(b b = F (y) y=g(b) = f(y)dy y=g() Somit erhlten wir die Substitutionsregel der Integrlrechnung: g() Stz 66 (Substitutionsregel) Sei g : [, b] [c, d] stetig differenzierbr (dh g ist stetig) und f : [c, d] R stetig Dnn gilt f(g(x))g (x)dx = g(b g() f(y)dy Als formle Merkregel knn mn y = g(x) substituieren, ws dy dx = g (x) bzw dy = g (x)dx liefert 65 Uneigentliche Integrle Wir betrchten die Funktion f : (0, ] R, x x D f in x = 0 nicht definiert ist und zudem lim x 0 f(x) = gilt, ht jede Obersumme von f den Wert O n (f) =, und die Definition des bestimmten Integrls us Abschnitt 6 ist nicht nwendbr Wegen definieren wir ds uneigentliche Integrl h x dx = 2 x h = 2 2 h h 0 2, 0 := lim x h 0 h x dx = 2 Anlog sieht die Definition für unbeschränkte Integrtionsintervlle us Ist f : (, b) R eine beliebige Funktion, so konvergiert (oder: existiert) ds uneigentliche Integrl f(x)dx, flls folgende Grenzwerte existieren: f(x)dx := lim c c f(x)dx, flls f stetig uf (, b]

24 c f(x)dx := lim f(x)dx, flls f stetig uf [, b) c b c f(x)dx := f(x)dx + f(x)dx, flls f stetig uf [, c) und (c, b] c f(x)dx := lim f(x)dx, flls f stetig uf [, ) b f(x)dx := lim f(x)dx, flls f stetig uf (, b] c f(x)dx := f(x)dx+ f(x)dx mit c R beliebig, flls f stetig uf (, ) Andernflls ist f(x)dx divergent Es ist wichtig, ein uneigentliches Integrl ls solches zu erkennen! 66 Ungleichungen c Im Folgenden seien f, g : (, b) R stetig, wobei möglicherweise = oder b = Stz 67 Sind f, g integrierbr und f(x) g(x) für x (, b), so gilt f(x)dx g(x)dx Stz 68 Sei g(x) 0, x (, b) und g(x)dx < konvergent Gilt für lle x (, b) die Ungleichung f(x) g(x), so konvergiert f(x)dx und es gilt f(x)dx g(x)dx 67 Prtilbruchzerlegung Zur Integrtion rtionler Funktionen, dh Funktionen der Form Polynom Polynom, dient ds Prinzip der Prtilbruchzerlegung: Stz 69 (Prtilbruchzerlegung) Mn knn jede rtionle Funktion f(x) = P (x) Q(x) mit Polynomen P und Q ls eine Summe schreiben von einem Polynom und von rtionlen Funktionen, die jeweils von einem der folgenden Typen sind: A (x + b) p, Ax + B (x 2 + bx + c) p Um ds Integrl der rtionlen Funktion des zweiten Typs zu berechnen wenn x 2 + bx + c keine (reelle) Nullstelle ht, dient folgender Stz:

25 Stz 60 Ht ds qudrtische Polynom x 2 +bx+c keine reelle Nullstelle, dh gilt D := b 2 4c < 0, so besitzt die Funktion f(x) = x 2 + bx + c die Stmmfunktion F (x) = 2 ( ) 2x + b rctn, D D beziehungsweise die Funktion die Stmmfunktionen g(x) = G(x) = 2 log(x2 + bx + c) x x 2 + bx + c b ( ) 2x + b rctn D D