Arithmetik Lösungen Lö. Kpitel: Arithmetik. Ergenisse mit und ohne Lösungsweg Zu Aufge.: 7 ist eine rtionle Zhl, d sie sich ls Bruch us zwei gnzen Zhlen (Nenner 0) drstellen lässt: 7 7. 6 Eenso, denn 5? 0 eine ntürliche Zhl, siehe Definition. d) Ein Reltionszeichen ezeichnet eine Größeneziehung: z.b. <, >,,, usw. e) Schwer verständliche Frge! Der Rechenusdruck. + 5 enthält die Zhlen, und 5. Ds sind lles Primzhlen. Zu Aufge.: Euro-Beträge sind im Alltg positive oder negtive Zhlen mit zwei Nchkomm-Stellen für die Cent. Also enötigen wir ls Grundmenge die rtionlen Zhlen. ds heißt er ntürlich nicht, dss^jede rtionle Zhl einen Euro-Betrg drstellt, z.b. lässt sich nicht ekt in Münzen uszhlen. Zu Aufge.: Zu Aufge.: Zu Aufge.5: Zu Knoelufgen git es hier keine Lösungen. Lösungen per E-Mil n mich schicken. keine Primzhl, d nur einen Teiler ht, nämlich sich selst und. ist keine gerde Zhl, die Einer-Ziffer ist ungerde. Dher ist sie durch keine gerde Zhl teilr. ist nicht durch teilr, weil die Quersumme ++ 5 nicht durch teilr ist. ist nicht durch 5 teilr, d die Einer-Ziffer weder 5 noch 0 ist. durch 7 ist 6 Rest, lso nicht teilr durch 7. ist nicht durch 9 teilr, sonst müsste uch durch teilr sein. durch ist 0 Rest, lso nicht durch teilr. Jetzt knn mn ufhören, denn.. Wäre lso durch oder 7 oder. teilr, dnn gälte. z oder 7. q usw., woei z zw. q kleiner ls sein müssten. Von der Idee wie ei. Im Ürigen Knoelufge, lso keine Lösung von mir. Der Politiker Bll Auwei will sgen, dss er mindestens 0% der Stimmen erreichen will. Wenn er nur 8 % ht, dnn wird er ntürlich zuerst seinen Wählern dnken, und dnn vielleicht die Niederlge eingestehen. Sie ls MthemtikerIn würden whrscheinlich sgen, dss sie ds Whlziel erreicht hen, denn ei ergit 0+ 0 + ( ) 8. Lssen wir es dhingestellt, wie in interntionlen Finnztrnsktionen geerechnet wird, d wird mn zuweilen sicher mehr Stellen enötigen.
Lö Murer: Mthemtik Zu Aufge.6: Zu Aufge.7: Um Temperturen, die in Fhrenheit F gegeen sind, in Grd Celsius T umzurechnen, knn mn folgende Formel verwenden: F +,8. T. Also: F ist die Tempertur in Fhrenheit. T ist die Tempertur in Grd Celsius. Welchen Definitionsereich ht F? Bei wie viel Fhrenheit gefriert Wsser? Wie viel Fhrenheit ht der Siedepunkt von Wsser? d) Wie viel Fhrenheit hen wir ei 0 C? e) Der solute Nullpunkt liegt ei etw 7 C. Wie viel Fhrenheit hen wir dort? f) Wie viel Grd Celsius hen wir ei 0 Fhrenheit? g) Woher kommen die Bezeichnungen Celsius und Fhrenheit? Geen Sie jeweils n, um welche Art von Term es sich hndelt: Produkt Quotient Summe d) Produkt e) Differenz f) Quotient g) Qudrt h) Produkt i) Summe j) Quotient k) Summe l) Quotient Zu Aufge.8: + 5 7c 7y + 6 Zu Aufge.9: Zu Aufge.0: Definitionsereich ID IN\{0}. Begründen Sie die Terme jeweils n der Zeichnung. Hier nur für den. Term: n. Term: n + (n ). Term: (n ). Term: n. Term: n + (n ). Term: (n ) + n. Term: 5 n 6 Achtung Fllunterscheidung. Am Muster für n und n hen, wird sie ds nicht üerrschen.. Fll n ungerde:. Term: n + n. Term: 6 n. Fll n gerde:. Term: n + n. Term: 6 n Knoelufge Zu Aufge.: Nch einer von mir soeen kreierten Betonmischung (B) sollen uf 5 Schufeln Snd (S) Schufeln Zement (Z) kommen. Außerdem soll nch jeweils 0 Schufeln Snd eine Schufel Klk (K) zugefügt werden. Schreien Sie diese "Rezept" ls Formel. Welche Vrilen enötigt mn? Nhe liegender Weise verwendet mn ls Einheit Schufel. Zu Aufge.: Knoelufge
Arithmetik Lösungen Lö Zu Aufge.: Zu Aufge.: Zu Aufge.5: Zu Aufge.6: Zu Aufge.7: Zu Aufge.8: Zu Aufge.9: 0, 6 5 0 7 8 0, 7 d) 0, 9900 e) 0, 6 0 Knoelufge Knoelufge Welche Werte, drf mn hier für die Vrilen nicht einsetzen? Oder: Wie lutet der mimle Definitionsereich? ;, d.h. ID IR\{} +, lle Zhlen erlut, ID IR ; 0, d.h. ID IR\{0} d) ;, d.h. ID IR\{ } + ;,, d.h. ID IR\{+, } + e) ( )( ) Wiederholungsfrge. Bitte selst nchschuen Schreien Sie usführlich, geen Sie lle Klmmern und sonstige weggelssene Zeichen n. + ( ) ( ) + ( ) Wiederholungsfrge. Bitte selst nchschuen. Für die verle zu entwortende Frge git es keine Musterntwort, es sind viele Formulierungen möglich. Zu Aufge.0: 8 f) 9 9 g) 9 0 d) h) 9 e) 5 5 i) nicht definiert 7 7 Zu Aufge.: 5 5 8 d) 5 0 e) Zu Aufge.: 7 9 5 d) 0 7 Zu Aufge.: Nur und - sind gleich ihrem Kehrwert. Zu Aufge.: 9 8 5 68 5 Zu Aufge.5: 0 d) - 00 5 Zu Aufge.6: 5 6 7 + 90 5 5 + 90 5 57 90 90 5 57 9 0 95 9 9 077
Lö Murer: Mthemtik Zu Aufge.7: ( + 5 + 5 (5y + y) (8y + y ) u (0, v + 0,5 u uv) (0,5 uv 0,v u ) Zu Aufge.8: q 6 y y,75 u - 0, v + 0,5 uv Zu Aufge.9: ( ( + Vorzeichenfehler (Minusklmmer) + Zu Aufge.0: richtig: 6 + ( ) ( ) + + + + 5 + 5 5 + 5 + + ( 5 + + + 9 + + 5 + ( 9 + + 5 ( ) Zu Aufge.:, Mn knn sich die Schverhlte mit Zhleneispielen klr mchen. Bei hilft uch usmultiplizieren. d) Selst im Tet nchsehen. Zu Aufge.: Vernschulichung der. inomische Formel: ( + Zu Aufge.: Die. inomische Formel Vernschulichen Sie die. m folgenden Qudrten. - oder ( + ( (+ ( Zu Aufge.: + ++ d) e) f) + g) ( )( + )( +)( ) ( ) ( +)( + )( ) ( 9) ( ) +6 h) + 6 + 9 i) [( )( + ) ] j) (+) ( ) [( )( + ) ] ( 9) 8 +8 ( ) 8 +6 k) ( 5) 0 + 5
Arithmetik Lösungen Lö 5 Zu Aufge.5: Füllen Sie die Lücken. (d + _e_) d + _de_ + e (_d_ - ) d - d + (7 - ) _9-8 + d) ( - d_) - 6d + 9d e) ( - ) - _6_ + 6 f) (_7_ + y) 9 + _56y_ + 6y g) (_6_ - ) _6 _ - 6 + 9 h) ( + 9 _6 _ + 7c + 8c i) ( + _,6_) +, +,56 j) (,d + _9g_) _,8_ + 9,6dg + _8g _ Zu Aufge.6: 7. (0 ) (0+) 00 9 9. 9 (0+)(0-) 900 899. 8 (0+)(0-) 600 596 Zu Aufge.7: Zu Aufge.8: Beschrieen ist die. inomische Formel! Und wer wr dieser Euklid? Fssen Sie zusmmen: ( ) ( + ) ( ) + 6 ( + ) 7 ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) ( + ) ( 8) ( +6+9) 0 5 Zu Aufge.9: wy + wz y z v v + 8 5 v 0 v d) ( ( + 8) + + 8 8 e) y f) (k + )(k + k 6) k + k k oder (k - ) (k + ) k + k k g) ( 5)( + 8) 6 + 86 0 h) + + i) ( 9) ( + 9) 8 j) yz y 7z Zu Aufge.0: - 9 + 0 - ( - 5 + 6) - + - ( - 7) 8 + 9 y - 0 y - (8 - y - 6 y ) y - y 08 u - uv + 8 v - (8 u +0 uv - 60 v ) u - 8 uv + 08 v d) (5y +y) y (8y+y ) e) + Zu Aufge.: y y f) + y y Zu Aufge.: n Anzhl Apfeläume Anzhl Tnnenäume 8 6 9 6 5 5 0
Lö 6 Murer: Mthemtik Zhl der Apfeläume A(n) n Zhl der Tnnenäume T(n) 8 n. A(n) T(n) führt zu n 8 n. Mn üerlegt sich, dss n 8 sein muss? d) Die Anzhl der Apfeläume wächst qudrtisch, die der Tnnenäume liner. D.h. die Zhl der Apfeläume wächst viel schneller. Mn sieht ds uch n der Telle. Weitere Erklärungen möglich. Zu Aufge.: Zu Aufge.: Wer smmelt die Lösungen der Mitschüler? Und wozu? Zu Aufge.5: + 7 8 (+9)( ) + 8 (+6)( ) 6 0 ( 5)(+) d) 6 + ( 7)( ) e) +0 ( 5)( ) f) (+9)( ) ( )( ) g) + (+7)( ) h) 0, 09 + 00 00 i) 5z 6 + 80 5(z +)(z ) j) 9 6 5y (7 +5y 6 )( 7 5y 6 ) k) 6 0 8 (+9)( ) l) + + (+)(+) m) 5 + 0,5 (5 0,5) n) + ( +) o), ( +, )(, ) p) 5 56 ( 56) ( +6)( 6) ( +6)( )(+) Zu Aufge.6: 0 ( 7) 6 ( + ) 5 ( + ) d) 8 ( + 5) e) 7 ( 7) f) ( + ) Zu Aufge.7: 6 +6 5 ( 6 +9 ) 7 y 5 y + y y ( 5 y+y ) Zu Aufge.8: 9 + ( 7)( ) + 6 + 5 (+5)(+) + 7 + (+)(+) d) 6 + 5 ( 5)( ) e) 5 ( 7)(+) f) + (+)( ) g) 6 ( )(+) h) + 6 + 9 (+) i) 5 ( 5)(+) Zu Aufge.9: +7 8 ( 7)( ) + 8 (+6)( ) 6 0 (+5)( ) d) 6+ ( 7)( ) e) +0 ( 5)( ) f) ( 7)(+) g) + (+7)( ) h) 5 8 ( 6)(+) i) 7 + 0 ( 5)( ) j) + 9 + 0 ( 5)(+) Zu Aufge.50: Zu Aufge.5: Ich wrte uf Vorschläge. + 5 + 5 + + + 5 + + 5 + + + Zu Aufge.5: ( 6 + 6): ( )
Arithmetik Lösungen Lö 7 Zu Aufge.5: Zu Aufge.5: Zu Aufge.55: Zu Aufge.56: Zu Aufge.57: Zerlegen Sie so weit möglich 9 +6, dividieren Sie zunächst durch ( ) +, dividieren Sie zunächst durch ( ) +5 +7+, dividieren Sie zunächst durch (+) d) + + 7 +, dividieren Sie zunächst durch ( ), ds Ergenis dnn durch ( ) Zerlegen Sie so weit möglich +6 ++6, dividieren Sie zunächst durch (+), dividieren Sie zunächst durch ( ) Zerlegen Sie so weit möglich, dividieren Sie zunächst durch ( ), ds Ergenis dnn durch (+)... + 8, dividieren Sie zunächst durch (+) +, dividieren Sie zunächst durch ( ) d) + (Sehen Sie s?) e) + + 6 + 8 + 8, dividieren Sie zunächst durch (+), ds Ergenis nochmls durch (+) ( ) + + + ( ) ( ) ( + ) ( + )( ) ( + )( ) ( + )( ) + + + + ( + ) d) + 9 ( + )( ) + ( )( ) 9 Bestimmen Sie jeweils den mimlen Definitionsereich D und fssen Sie zusmmen. + + d) + + Zu Aufge.58: Zu Aufge.59: Der Fehler steckt im Kringel. + + + + Fktorisieren und kürzen Sie. + + 8 ( 9) : ( + 9) ( ) ( + )
Lö 8 Murer: Mthemtik Zu Aufge.60: Fktorisieren und kürzen Sie. + ; ; + 6 + 9 Zu Aufge.6: Mimler Definitionsereich D \ {0} ( ) ( - - ) ( + ) - 6 5 + M- Def.: D \ {0}, D y \ {0} 5 y - y 5 + 9y 5y - 0y 8 5 ( ) ( ) ( ) + 8y + 8y 0y 0y 0 y Zu Aufge.6: Zu Aufge.6: Bestimmen Sie nur ei den mimlen Definitionsereich ID und vereinfchen Sie lle Bruchterme + 6 + 0 + + 6 0 0 y 0 y + y + y y + 0 + 5 5 + 5 d) + ( + + e) 9 + 8 + 9 : 5 + 5 0 0 0 + 0 Fssen Sie zusmmen. y : y y + : + + + ( ( + d) + + Zu Aufge.6: + + 5 + 5 + + y y y + y y y + y y y + y y : + y Zu Aufge.65:
Arithmetik Lösungen Lö 9 Aufge.66: Aufge.67: - + + 6 + - 0 ( + ) ( - ) 0 ( )( + ) 5 ( y ) D m \ {± } ( )( ) 0( + )( + ) + ( 6 + - 0) y 0 ( )( + ) + 5 ( + 5 ( ( + 5 ) ( 5 ) ( + 5 ( 5 d) ( ( + ) e) 7 ( + + ) 5 7 0( ) y y y y y : : y y y y y ( y + )( y - ) y + + - - : + ( ) ( ) + + + : - + + ( ( + + ( + : ( )( + ) + ( )( + ) + - - - - - - ( ) ( ) ( ) ( ) + + ( ) - ( - ( - ( - - - + d) + - + - - + - - + ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( + ) ( - ( + + + ( + ( - )( + ) ( - ( + + + + + +