mthe online Skripten http://www.mthe-online.t/skripten/ Bruchterme Frnz Emcher Fkultät für Mthemtik der Universität Wien E-mil: frnz.emcher@univie.c.t WWW: http://homepge.univie.c.t/frnz.emcher/ In diesem Skriptum werden die Grundlgen des Rechnens mit Bruchtermen eschrieen. Division und Brüche Früh in der Schule lernen wir, dss die Division die Umkehrung der Multipliktion ist. So ist etw 4 : 8 die Antwort uf die Frge 8 ml wieviel ist 4?. Dnch lernen wir Bruchzhlen (lso Brüche gnzer Zhlen) wie kennen, und später erfhren wir, dss diese Bruchzhlen rtionle Zhlen sind. Ds Bruchrechnen ist er nicht uf gnze Zhlen eschränkt, sodss wir uch Brüche wie oder etrchten können. Git es ei diesen letzten eiden Brüchen π etws zu dividieren, zu erechnen? Ds ist eine Frge, die die Beziehung zwischen dem Dividieren und den Brüchen etrifft, und die wir zunächst einml grundsätzlich klären wollen. Ein Bruch (woei, der Zähler, und, der Nenner, für Zhlen stehen, woei letztere 0 sein soll) ist nur eine ndere (in der Mthemtik ülicherweise evorzugte) Art, : nzuschreien: :. (.) Lesen Sie itte nun itte die folgende Formulierung: Sind und reelle Zhlen, und ist 0, so können wir die Division usführen, und ds Ergenis ist wieder eine reelle Zhl. Einverstnden? So einleuchtend und hrmlos dieser Stz klingt er ist nicht unprolemtisch! Ws genu edeutet es, eine Division uszuführen? Dss hier ein möglicher Stolperstein verorgen liegt, wird sichtr, wenn wir uns vor Augen hlten, dss ein Bruch uf zweierlei Weisen interpretiert werden knn: Ein Bruch knn verstnden werden ls Aufforderung, zu dividieren.
Bruchterme Ein Bruch stellt eine reelle Zhl dr. In gewisser Weise knn mn sgen, dss die Zhl, die ein Bruch drstellt, ds Ergenis einer Division ist. Aer Vorsicht! Sehen wir uns einige Beispiele n: Der Bruch knn ls Aufforderung verstnden werden, durch zu dividieren ds Ergenis dieser Division ist 4. Wenn wir nun einen Bruch uch ls Drstellung einer Zhl kzeptieren, so stellen und 4 die gleiche Zhl dr, und in der Rechnung 4 (.) ist ds Gleichheitszeichen wörtlich gemeint: und 4 ezeichnen diesele Zhl (wenngleich die zweite Drstellung vorteilhfter ist). Bitte interpretieren Sie ein Gleichheits- zeichen wie ds in (.) nicht ls und ds Ergenis ist, sondern ls ist gleich oder ls stellt ds Gleiche dr wie! Der Bruch knn eenflls ls Aufforderung zur Division verstnden werden er ws ist ds Ergenis? Wir hen zwei Möglichkeiten, es nzuschreien: in der Dezimldrstellung ls.4 oder ls Bruchzhl. Erkennen Sie, ws hier vor sich geht? Wenn mn ls Drstellung einer Zhl nsieht, dnn git es hier nichts mehr zu dividieren! In der Mthemtik wird die Drstellung ls Bruch oft der Dezimldrstellung vorgezogen. In diesem Sinn ist der Bruch nicht ls Hndlungsnweisung ( dividiere! ), sondern ls Drstellung einer Zhl nzusehen. Wie sieht es mit dem Bruch 9 us? Wir können ihn in der Form 9 4 4 (.) kürzen und hen dmit ds Gleichheitszeichen wieder wörtlich interpretiert drei Möglichkeiten, ds Ergenis drzustellen: ls (woei mn erechtigterweise nmerken möchte, dss hier noch gekürzt werden knn), ls Bruchzhl 4 oder in der Deziml- 9 drstellung ls.... (ws er nur dnn eine ekte Ange ist, wenn dzu gesgt oder in irgendeiner Weise kenntlich gemcht wird, dss die Ziffernfolge nie richt). Den Bruch π ls Aufforderung, zu dividieren nzusehen, knn kontrproduktiv sein, denn wie sollte diese Division ussehen? Ihr Ergenis in der Form.70796 oder.70796... nzugeen, ist nicht ekt, und zudem wird dei verschleiert, woher diese Zhl kommt. Bitte kzeptieren Sie, dss die Form π die einfchste und klrste Art ist, dieses Ergenis nzugeen ws de fcto edeutet, den Bruch nicht ls Aufforderung, zu dividieren ufzufssen, sondern einfch ls Drstellung einer estimmten reellen Zhl. Sollte nicht us irgendeinem speziellen Grund ein numerischer Näherungswert von π gefrgt sein, so git es hier nichts zu dividieren! Behlten Sie itte immer im Auge, dss ein Bruch eine reelle Zhl drstellt, und dss ds Dividieren in der Form, wie wir es in der Schule gelernt hen, lediglich in mnchen Fällen dzu dient, die Drstellungsform zu vereinfchen! Eine dritte Möglichkeit, diese Zhl in der Form im Sinn von zwei + zwei Fünftel nzugeen, ist in der Mthemtik eher unülich, d ds Fehlen eines Opertionszeichens gewöhnlich ls Multipliktion gedeutet wird und dmit uch ls zwei ml zwei Fünftel verstnden werden könnte.
Bruchterme Bruchrechnen mit Zhlen Ws edeutet? Wir können es uns vorstellen ls ds Doppelte von oder ls drei Fünftel von. Diese Zhl knn uf verschiedene Arten ngeschrieen werden, die lle ds Gleiche edeuten: 6 6, (.) und schließlich knn uch ihre Dezimldrstellung. ngegeen werden. Alle unterschiedlichen Formen in (.) sind ddurch chrkterisiert, dss die Fktoren und oen stehen, lso zum Zähler gehören, uch wenn sie nicht unedingt oerhl eines Bruchstrichs stehen. Stellen Sie sich einfch ls vor jetzt steht die oerhl eines Bruchstrichs! Bechten Sie weiters, dss ds von in der Formulierung drei Fünftel von uch ls ml verstnden werden knn: Drei Fünftel von ist ds gleiche wie drei Fünftel ml : drei Fünftel von. (.) Ws edeutet? Wir können es uns vorstellen ls die Hälfte von oder ls drei Fünftel von. Auch hier knn ds von ls ml gelesen werden, und uch diese Zhl knn uf verschiedene Arten ngeschrieen werden, die lle ds Gleiche edeuten: 0 0 0, (.) und ihre Dezimldrstellung ist 0.. Alle unterschiedlichen Formen in (.) sind ddurch chrkterisiert, dss die Fktoren und unten stehen, lso zu einem Nenner gehören gleichgültig, o nun ein Bruchstrich verwendet wird oder zwei. Und schließlich knn uch ein Produkt wie in verschiedenen Formen ngeschrieen werden, 7 die lle ds Gleiche edeuten: 7 7 6 7 7..., (.4) woei es noch viele weitere Möglichkeiten git, die wir nicht lle hinschreien. Hier stehen und immer oen, während und 7 immer unten stehen. Die Dezimldrstellung dieser Zhl richt nicht, näherungsweise ist sie durch 0.74 gegeen. Diese Beispiele geen die Regeln n, wie Brüche miteinnder und mit Zhlen, die nicht ls Brüche ngeschrieen sind, multipliziert werden. Lssen Sie die Muster, die durch (.) (.4) usgedrückt werden, uf sich wirken! Sie werden sie ei der Umformung von Brüchen enötigen! Wir kommen nun zur Addition von Brüchen. Sieentel + Sieentel ist gleich Sieentel, 7 + 7 7. (.) Ein Sieentel, symolisch drgestellt durch die Zhl 7 im Nenner, knn hier genuso ls Ojekt ufgefsst werden wie ein Apfel in Äpfel + Äpfel ist gleich Äpfel. Ds durch
Bruchterme 4 (.) usgedrückte Muster git n, wie Brüche mit gleichem Nenner ddiert werden. Anlog funktioniert die Sutrktion 7 7 7. (.6) Ws pssiert, wenn wir die größere von der kleineren Zhl ziehen? Gnz einfch: 7 7 7 7. (.7) Die Formen und stellen die gleiche Zhl dr, nämlich die 7 7 Gegenzhl von. Ds 7 ergit sich mit dem durch (.) usgedrückten Muster, wenn wir es uch für negtive Zhlen nwenden: 7 ( ) ( ) 7 7 7. (.8) Und wenn eine negtive Zhl im Nenner eines Bruchs steht? Mit und dem durch (.) usgedrückten Muster ergit sich 7 7 ( ) ( ) ( 7) ( ) 7 7. (.9) Ein Fktor, gleichgültig, o er im Zähler oder im Nenner steht, knn lso ls Minuszeichen vor den Bruch gezogen werden. Bitte merken Sie sich: 7 7 7. (.0) Bei der Addition oder Sutrktion von Brüchen mit verschiedenen Nennern müssen die Brüche zuerst uf gleichen Nenner gercht werden. Dies geschieht in der Regel durch Erweitern. Ein Bruch wird erweitert, indem Zähler und Nenner mit der gleichen (von 0 verschiedenen) Zhl multipliziert werden. Beispielsweise knn der Bruch mit 4 erweitert werden: 9 9 4 9 4 0 6. (.) Die genue Argumenttion, die in der Pris ntürlich nicht so usführlich ngeschrieen wird, sieht so us: 9 9 4 4 4 9 4 0 6, (.) woei lso zunächst 4, ws j gleich ist, eingefügt, und dnch ds durch (.4) drgestellte 4 Muster enutzt wurde. Berechnen wir nun lso die Summe zweier Brüche mit unterschiedlichen Nennern, etw 9 + 7. (.) Ws könnte der gleiche Nenner sein? Die sprsmste Möglichkeit esteht drin, den ersten Bruch mit 4 und den zweiten mit zu erweitern, sodss sich ls gleicher Nenner 6 ergit: 9 + 7 4 9 4 + 7 0 6 + 6 4 6. (.4) Wieso er ist ds die sprsmste Möglichkeit der Erweiterung? Im Rhmen der gnzen Zhlen ist 4 ds kleinste gemeinsme Vielfche der ursprünglichen Nenner 9 und. Ds erkennen wir n der Zerlegung der eiden Nenner in Primzhlen: Für jede reelle Zhl 0 ezeichnen wir ls ihre Gegenzhl.
Bruchterme 9 Ein Fktor ist eiden gemeinsm. Auf ein möglichst kleines gemeinsmes Vielfches fehlt der 9 ein Fktor, lso 4, und der fehlt ein Fktor : 9 4 6 6 Eine ungeschicktere (er eenflls korrekte) Berechnung von (.) esteht drin, jeden Bruch mit dem Nenner des nderen zu erweitern, so dss ls gleicher Nenner ds Produkt der eiden ursprünglichen Nenner (lso 9 08) entsteht: 9 + 7 9 + 7 9 9 60 08 + 6 08 08. (.) Wird nun noch emerkt, dss und 08 eide durch teilr sind, ergit sich durch Kürzen ds gleiche Resultt wie in (.4). mit 4 6 Nun leit noch die Division von Brüchen zu esprechen. Dzu emerken wir, dss der Kehrwert von gleich ist und der Kehrwert von gleich ist. D eine Division durch eine Zhl ls Multipliktion mit ihrem Kehrwert ngesehen werden knn, gilt: Eine Division durch ist ds Gleiche wie eine Multipliktion mit. Hier ein Beispiel: 7 7. (.6) In nloger Weise emerken wir, dss der Kehrwert von gleich ist (und umgekehrt), denn es gilt j 6. Eine Division durch ist dher ds Gleiche wie eine Multipliktion 6 mit. Ein Beispiel: 7 7 7. (.7) Sttt der Zhl 7 im vorigen Beispiel können wir eenflls einen Bruch nehmen: 7 7 7 0. (.8) Dieses Muster zur Berechnung eins Doppelruchs wird mnchml in der Form Produkt der Außenglieder durch Produkt der Innenglieder eingelernt, er für ds Verstehen günstiger ist es, sich vor Augen zu hlten, dss die Division durch einen Bruch ds Gleiche ist wie die Multipliktion mit seinem Kehrwert. Ist 0, so ezeichnen wir ls Kehrwert von.
Bruchterme 6 Bruchrechnen mit Termen Sollen Bruchterme multipliziert, ddiert, sutrhiert und dividiert werden, so müssen wir genu genommen nur die Muster, die im vorigen Aschnitt ufgetreten sind, enutzen, denn Terme stehen j für nichts nderes ls für Zhlen, die sich ergeen, wenn nstelle der Vrilen (der Pltzhlter ) Zhlen eingesetzt werden. Aus diesen Mustern ergeen sich einige llgemeine Regeln der Bruchrechnung, die wir nun zusmmenstellen. Dei setzen wir vorus, dss die Werte der Vrilen stets so gewählt sind, dss im Nenner nie 0 steht. Wie in der Termrechnung ülich, schreien wir den Mlpunkt nur zwischen Zhlen n, nsonsten lssen wir ihn weg. Produkt zweier Bruchterme: y y. (.) In dieser knpp usgedrückten Regel stehen,, und y für elieige Terme. So gilt eispielsweise z + w z + 4 u + w z u (z + w ) (z + ). (.) (4 u + w) z u Als Spezilfll der Regel (.) mit ergit sich y y. (.) Ein Fktor (hier ) knn lso in den Zähler geschrieen werden (und uch wenn mn ds nicht tut, sollte mn ihn sich ls dem Zähler zugehörig vorstellen). Ds Kürzen und ds Erweitern eines Bruchs ergit sich ls Spezilfll von (.) für : y y. (.4) Gekürzt wird, indem ein gemeinsmer Fktor von Zähler und Nenner (hier ) weggelssen wird. Ds wird im Zug einer Rechnung meist in der Form / / y y (.) gekennzeichnet. Erweitert wird, indem Zähler und Nenner den gleichen zusätzlichen Fktor ekommen. Kürzen und erweitern eruhen eide uf der Ttsche, dss ist. Hinweis zur Vermeidung von Fehlern: Bitte echten Sie, dss nur ein gemeinsmer Fktor von Zähler und Nenner gekürzt werden knn! Eine Rechnung wie + / + / + (.6)
Bruchterme 7 ist flsch, d hier kein Fktor von Zähler und Nenner ist! Eine korrekte Kürzung hingegen ist eispielsweise eim folgenden Bruchterm möglich (und wird hier gnz usführlich ngeschrieen): y + y (y + ) (y ) }{{} y + y y + y. (.7) Um Brüche effizient kürzen zu können, sollten Sie versuchen, Zähler und Nenner uf mögliche gemeinsme Fktoren, die nicht uf den ersten Blick ersichtlich sind, zu untersuchen! Hier ein Beispiel: 4 p q p q ( p q) ( p + q) ( p q) p q ( p q) p + q p q. (.8) Hier wurde im Zähler eine inomische Formel ngewndt, um 4 p q in ein Produkt zu zerlegen. Division zweier Bruchterme (Doppelruch): y y y y, (.9) woei,, und y für elieige Terme stehen. Als Spezilfll mit ergit sich drus y y. (.0) Als Spezilfll von (.9) mit y ergit sich. (.) Die Regeln (.9) und (.0) eruhen uf der Ttsche, dss die Division durch ds y Gleiche ist wie die Multipliktion mit y. Die Regel (.) eruht uf der Ttsche, dss die Division durch ds Gleiche ist wie die Multipliktion mit. Regeln für den Umgng mit dem Minuszeichen: und Summe von Brüchen mit gleichem Nenner: Ersetzen wir y durch y, so ergit sich (.). (.) + y + y. (.4) y y. (.)
Bruchterme 8 Summe von Brüchen mit verschiedenen Nennern: Die einzige wirklich llgemeine Regel, die wir zur Berechnung einer Summe von Brüchen mit verschiedenen Nennern ngeen können, lutet + y + y + y. (.6) Hier wurden die Brüche so erweitert, dss der entstehende gleiche Nenner ds Produkt der eiden ursprünglichen Nenner ist. In konkreten Fällen knn es jedoch, nlog zum oigen Beispiel (.4), sprsmere Formen geen, die Brüche uf einen gleichen Nenner zu ringen. Ein Beispiel: + ( + ) + ( ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) + ( ) ( ) ( + ). (.7) Hier muss der erste Bruch nur mit und der zweite nur mit erweitert werden, um einen gleichen Nenner zu erzielen. Wir schreien ihn einheitlich ls ( ) ( + ) und rechnen weiter: (.7) ( + ) ( ) + ( ) ( ) ( + ) ( ) ( + ), (.8) woei nur der Zähler durch Ausmultiplizieren der Klmmern vereinfcht wurde. So können wir ds Ergenis stehen lssen. Es git keinen Grund, den Nenner eenflls uszumultiplizieren! Um Brüche effizient ddieren zu können, sollten Sie versuchen, die uftretenden Nenner uf mögliche gemeinsme Fktoren, die nicht uf den ersten Blick ersichtlich sind, zu untersuchen! Hier zwei Beispiele: + + ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) (.9) und + + + + ( + ) + + ( + ) + + ( + ) + + ( + ) + ( + ). (.0) In (.9) wurde im ersten Nenner herusgehoen, in (.0) wurde eine inomische Formel verwendet, um + + ls Qudrt zu schreien. Der Vollständigkeit hler führen wir noch eine Regel n, die ds Bilden von Potenzen etrifft:
Bruchterme 9 Potenz eines Bruchs: ( ) k k. (.) k Diese Regel gilt zunächst, wenn und eide 0 sind, für elieige gnze Zhlen k und drüer hinus, sofern und positiv sind, uch für elieige rtionle k. Als Spezilfll für k ergit sich. (.) Schließlich noch eine Empfehlung: Vermeiden Sie, wenn möglich, llzu lnge Bruchstriche! So können Sie eispielsweise den Term uch einfcher in der Form + y + y + 7 (.) ( + y + y + 7 ) (.4) nschreien. (Erinnern wir uns: Division durch ist ds Gleiche wie Multipliktion mit!) Ausgerüstet mit diesen Regeln sollten Sie in der Lge sein, Terme, die in elieiger Weise durch die Grundrechnungsrten (einschließlich des Dividierens, lso des Bildens von Brüchen) und ds Wurzelziehen kominiert werden, zu erechnen zw. zu vereinfchen. 4 Üungsufgen Hier eine Auswhl von Üungsufgen, die Sie mit Hilfe des in diesem Skriptum Gesgten ewältigen können sollten: Berechnen Sie: c (c ) Vereinfchen Sie: (c ) s 7 s s (s 7)
Bruchterme 0 Berechnen Sie, indem Sie uf gleichen Nenner ringen: + + Berechnen Sie, indem Sie uf gleichen Nenner ringen: u + u + Berechnen Sie: u, ws ds Gleiche ist wie u y y u (u+) (u ) Etws knifflig, er trotzdem mchr: y y + h h h h h Dieses Skriptum wurde erstellt im Mi 04 im Rhmen des Projekts Entwicklung und Durchführung von Qulitätssicherungsmßnhmen in Brückenkursen (http://www.mthe-online.t/projekte/qulitetssicherungbrueckenkurse.html), einer Koopertion von mthe online (http://www.mthe-online.t/) mit der Fchhochschule Technikum Wien (http://www.technikum-wien.t/). Üerreitet im Novemer 0 unter Mitwirkung von Hrld Stockinger. Die Skripten-Seite finden Sie unter http://www.mthe-online.t/skripten/.