9 Riemnn-Integrl für Funktionen einer Vriblen Integrl = (orientierte) Fläche zwischen Funktion f : r, bs Ñ R und der x-achse «ř n px n x n 1 qf pξ n q mit Zwischenpunkten ξ n P rx n 1, x n s x n 1 x n b Alterntive: Lebesgue Integrl durch Zerlegung der y-achse Mthemtik für Physiker 2 9. Riemnn-Integrl für Funktionen einer Vriblen 173 / 1
Definition 9.1 (i) Zerlegung Z des endlichen Intervlls r, bs ist gegeben durch Punkte x 0 ă x 1 ă... ă x N b mit endlichem N P N (ii) Zerlegung Z 1 feiner ls Zerlegung Z (Schreibweise Z ď Z 1 ) ðñ jeder Punkt in Z ist uch in Z 1 (iii) Gegeben Zerlegungen Z und Z 1, entsteht Verfeinerung Z Y Z 1 durch deren Überlgerung (iv) FpZ q mx,...,n x n mit x n x n x n 1 ist Feinheit von Z Z tx 1,...,x N 1 u x 1 x 2 x 3 x 4 x N 1 b Mthemtik für Physiker 2 9. Riemnn-Integrl für Funktionen einer Vriblen 174 / 1
Obersumme O Z pf q b Untersumme U Z pf q b Mthemtik für Physiker 2 9. Riemnn-Integrl für Funktionen einer Vriblen 175 / 1
Definition 9.2 (Riemnn Integrl) f : r, bs Ñ R Funktion und Z Zerlegung von r, bs (i) Untersumme U Z pf q und Obersumme O Z pf q sind U Z pf q x n m n, m n inftf pxq x P rx n 1, x n su O Z pf q x n M n M n suptf pxq x P rx n 1, x n su (ii) Unteres und oberes Riemnn-Integrl: Upf q sup U Z pf q, Z Opf q inf Z O Z pf q (iii) f Riemnn-integrierbr ðñ Upf q Opf q P R. Dnn dx f pxq Upf q Opf q f pxq dx ż r,bs dx f pxq Mthemtik für Physiker 2 9. Riemnn-Integrl für Funktionen einer Vriblen 176 / 1
Bemerkung 9.3 f : r, bs Ñ R unbeschränkt ùñ O Z pf q 8 oder U Z pf q 8 @Z Riemnn-integrierbre Funktionen sind lso immer beschränkt Lemm 9.4 Z, Z 1 Zerlegungen von r, bs ùñ U Z pf q ď O Z 1pf q. Somit Upf q ď Opf q Beweis: Behuptung klr für Z Z 1 Sei zunächst Z ď Z 1 und z.b. x n 1 x 1 j 1 ă x 1 j ă x 1 j`1 x n. Dnn x n m n xj 1 m n ` xj`1 1 m n ď xj 1 m1 j ` xj`1 1 m1 j`1 Somit U Z pf q ď U Z 1pf q. Anlog: x n 1 x 1 (weil inf über kleineres Intervll) O Z pf q ě O Z 1pf q Jetzt Z ď Z Y Z 1 und Z 1 ď Z Y Z 1, so dss U Z pf q ď U Z YZ 1pf q ď O Z YZ 1pf q ď O Z 1pf q j x n Mthemtik für Physiker 2 9. Riemnn-Integrl für Funktionen einer Vriblen 177 / 1 l
Stz 9.5 (Riemnnsches Integrbilitätskriterium) f integrierbr ðñ @ ε ą 0 D Zerlegung Z mit O Z pf q U Z pf q ă ε Beweis: ùñ Opf q Upf q ùñ Z, Z 1 mit O Z pf q U Z 1pf q ă ε ùñ O Z YZ 1pf q U Z YZ 1pf q ď O Z pf q U Z 1pf q ă ε (Beweis Lemm 9.4) ðù 0 ď Opf q Upf q ď O Z pf q U Z pf q ă ε für geeignetes Z l Stz 9.6 (Verschärftes Riemnnkriterium) f integrierbr ðñ @ ε ą 0 D δ ą 0 mit O Z pf q U Z pf q ă ε @ Z mit FpZ q ă δ Mthemtik für Physiker 2 9. Riemnn-Integrl für Funktionen einer Vriblen 178 / 1
Beweis: (Argument f in O Z, U Z unterdrückt) ðù klr nch Stz 9.5 ùñ Sei ε ą 0. Nch Stz 9.5 D Zerlegung Z 1 mit O Z 1 U Z 1 ă ε 3 Sei Z beliebige Zerlegung. Behuptung: D von Z unbhängige Konstnte C Cpf, Z 1 q mit O Z O Z YZ 1 ď CFpZ q, Begründung: Seien x n, x n`1 in Z. U Z YZ 1 U Z ď CFpZ q Betrchte zugehörigen Beitrg B n zu O Z O Z YZ 1. Flls kein Punkt von Z 1 in rx n, x n`1 s, ist B n 0. Flls ein Punkt x 1 von Z 1 in rx n, x n`1 s, gilt: B n px n`1 x n q sup px n`1 x 1 q ď FpZ q rx n,x n`1 s sup rx n,x n`1 s sup f inf f r,bs r,bs f px n`1 x 1 q f 2 sup rx 1,x n`1 s f sup rx 1,x n`1 s ` px 1 x n q x n x 1 f px 1 x n q sup rx n,x 1 s f x n`1 sup f sup f rx n,x n`1 s rx n,x 1 s Mthemtik für Physiker 2 9. Riemnn-Integrl für Funktionen einer Vriblen 179 / 1
Flls k Punkte von Z 1 in rx n, x n`1 s, gilt nlog: B n ď FpZ q sup f inf f r,bs r,bs pk ` 1q Summieren über Beitrg zeigt O Z O Z YZ 1 ď CFpZ q. Zweite Behuptung nlog. Somit O Z U Z ď O Z O Z YZ 1 ` O Z YZ 1 U Z YZ 1 ` U Z YZ 1 U Z ď CFpZ q ` ε 3 ` CFpZ q ă ε für FpZ q ă δ ε 3C. l Mthemtik für Physiker 2 9. Riemnn-Integrl für Funktionen einer Vriblen 180 / 1
Definition 9.7 f : r, bs Ñ R beschränkt. Z Zerlegung von r, bs mit Punkten x 0 ă x 1 ă... ă x N Sei ξ n P rx n 1, x n s Zwischenpunkte und setze ξ pξ 1,...,ξ N q Die zugehörige Riemnnsche Zwischensumme ist definiert ls S Z,ξ pf q x n f pξ n q Stz 9.8 (Zwischensummenbeschreibung des Integrls) f : r, bs Ñ R beschränkt. Dnn: ş b dx f pxq I ðñ @ ε ą 0 D δ ą 0 mit S Z,ξ pf q I ă ε @ Z mit FpZ q ă δ und @ ξ Mthemtik für Physiker 2 9. Riemnn-Integrl für Funktionen einer Vriblen 181 / 1
Beweis ùñ Es gilt U Z O Z ď U Z I ď S Z,ξ I ď O Z I ď O Z U Z Somit S Z,ξ I ď O Z U Z ă ε @ FpZ q ă δ (nch Stz 9.6) ðù Zu ε ą 0 sei δ ą 0 so, dss S Z,ξ I ă ε 4 für FpZ q ă δ @ Zwischenpunkte ξ Bestimme ξ und ξ 1 so, dss Dnn S Z,ξ O Z ă ε 4 und S Z,ξ 1 U Z ď ε 4 O Z U Z ď O Z S Z,ξ ` S Z,ξ I ` S Z,ξ 1 I ` S Z,ξ 1 U Z ă ε Schließe mit Stz 9.5 oder 9.6 l Mthemtik für Physiker 2 9. Riemnn-Integrl für Funktionen einer Vriblen 182 / 1
Korollr 9.9 f : r, bs Ñ R Riemnn-integrierbr ùñ ş b dx f pxq lim NÑ8 b N ř N f ` ` n t N pb q @ t P r0, 1s Beweis: Spezielle Zwischensumme mit ξ n ` n t N pb q. l Stz 9.10 Jede stetige Funktion ist (Riemnn-) integrierbr Beweis: D r, bs kompkt, f : r, bs Ñ R gleichmäßig stetig (An 1), d.h. @ ε ą 0 D δ ą 0 so, dss f pxq f px 1 q ă Für Zerlegung Z mit FpZ q ă δ gilt lso ε b @ x x 1 ă δ O Z pf q U Z pf q ă ε x n b ε Schließe mit Stz 9.6 l Mthemtik für Physiker 2 9. Riemnn-Integrl für Funktionen einer Vriblen 183 / 1
Beispiel 9.11 (Berechnung eines Integrls) dx x 2 ` ` n N pb q 2 b lim NÑ8 N b lim NÑ8 N b lim NÑ8 N pb q 2 2 ` n 2 1 N pb q ` pb q 2 n N 2 N 2 ` 2pb q N 2 ` pb q ` 1 3 NpN`1q 2 ` pb q2 N 2 pb q2 pb q 1 3 pb2 ` b ` 2 q 1 3 pb3 3 q Länglich. Bessere Alterntive später (Fundmentlstz). Definition 9.12 f : r, bs Ñ R (Riemnn sche) Treppenfunktion ðñ D Zerlegung Z von r, bs mit f konstnt uf px n 1, x n q @ n NpN`1qp2N`1q 6 Mthemtik für Physiker 2 9. Riemnn-Integrl für Funktionen einer Vriblen 184 / 1
Es gibt unstetige, integrierbre Funktionen: Stz 9.13 Treppenfunktionen sind integrierbr Begrndung: O Z pf q U Z pf q beliebig klein, denn Beitrg der endlich vielen Sprungstellen wird klein l Beispiel 9.14 (Eine nicht Riemnn-integrierbre Funktion) # 1 x P Q X r0, 1s f pxq 0 x P RzQ X r0, 1s Dnn @ Zerlegungen Z gilt O Z pf q 1 ą U Z pf q 0 Aber: f Lebesgue-integrierbr und ş 1 0 dx f pxq 0, weil Q nur dünn, d bzählbr Mthemtik für Physiker 2 9. Riemnn-Integrl für Funktionen einer Vriblen 185 / 1
Stz 9.15 (i) Monotone Funktionen sind integrierbr (ii) f, g integrierbr, λ P R ùñ f `λg und f g integrierbr (d.h. integrierbre Funktionen bilden eine Algebr). (iii) f integrierbr ùñ f integrierbr (iv) f integrierbr, h P CpR, Rq ùñ h f integrierbr Beweis: (i) Sei f monoton steigend. Dnn O Z pf q U Z pf q Letzteres flls FpZ q ă ď FpZ q x n pf px n`1 q f px n qq looooooooomooooooooon ě0 pf px n`1 q f px n qq FpZ qpf pbq f pqq ă ε ε f pbq f pq δ. Mthemtik für Physiker 2 9. Riemnn-Integrl für Funktionen einer Vriblen 186 / 1
(ii) Sei λ ą 0. O Z pf `λgq ď x n sup rx n 1,x ns pf `λgq x n sup f `λ sup g rx n 1,x ns rx n 1,x ns O Z pf q `λo Z pgq Anlog U Z pf `λgq ě U Z pf q `λu Z pgq Somit nch Stz 9.5 O Z pf `λgq U Z pf `λgq ď po Z pf q U Z pf qq`λpo Z pgq U Z pgqq ă ε 2 ` λε 2 Also ist f ` λg integrierbr Fll λ ă 0 nlog, ls Übung. Mthemtik für Physiker 2 9. Riemnn-Integrl für Funktionen einer Vriblen 187 / 1
Hilfsmittel lokle Vrition v n pf q sup x,x 1 Prx n 1,x ns f pxq f px 1 q. Dnn: O Z pf q U Z pf q x n sup x,x 1 Prx n 1,x ns f pxq f px 1 q x n v n pf q D f pxqgpxq f px 1 qgpx 1 q pf pxq f px 1 qqgpxq ` f px 1 qpgpxq gpx 1 qq gilt wobei Somit v n pfgq ď }g} 8 v n pf q ` }f } 8 v n pgq }f } 8 sup f pxq xpr,bs O Z pfgq U Z pfgq ď }g} 8 po Z pf q U Z pf qq ` }f } 8 po Z pgq U Z pgqq und fg integrierbr nch obigem Argument. (iii) Vrition erfüllt v n p f q ď v n pf q. Dnn wie in (ii). Mthemtik für Physiker 2 9. Riemnn-Integrl für Funktionen einer Vriblen 188 / 1
(iv) h gleichmäßig stetig uf Kompktum r }f } 8, }f } 8 s (Anlysis 1), d.h. @ ε ą 0 D δ ą 0 mit hpyq hpy 1 q ă ε 2pb q D f integrierbr, wähle Z mit O Z pf q U Z pf q ă Seien ÿ 1 @ y y 1 ă δ ε δ 4}h} 8 und ÿ 2 Summen über Terme mit v npf q ă δ bzw. v n pf q ě δ n n Dnn O Z pf q U Z pf q ě δ ÿ 2 O Z ph f q U Z ph f q n x n, und somit ÿ 2 ď 1 x n v n ph f q ` 1 ε x n 2pb q ` n x n ă ε 4}h} 8. Also 2 x n v n ph f q 2 x n 2}h} 8 ă ε 2 ` ε 2 ε l Jetzt: Aussgen für Ober- und Untersummen gelten für Integrl: Mthemtik für Physiker 2 9. Riemnn-Integrl für Funktionen einer Vriblen 189 / 1
Stz 9.16 (Rechenregeln fürs Integrl) f, g : r, bs Ñ R integrierbr, c P p, bq und λ P R (i) Linerität des Integrls: dxpf pxq ` λgpxqq (ii) Intervlldditivität: (iii) Monotonie: dx f pxq f pxq ď gpxq @ x P r, bs (iv) Stndrdbschätzung: dx f pxq ˇ ˇ ď ż b ż b dx f pxq ` λ dx gpxq ż c dx f pxq ` dx f pxq c ùñ dx f pxq ď dx f pxq ď pb q}f } 8 dx gpxq Mthemtik für Physiker 2 9. Riemnn-Integrl für Funktionen einer Vriblen 190 / 1
Stz 9.17 pf n q ně1 Folge integrierbre Funktionen uf r, bs Folge konvergiere gleichmäßig gegen f (d.h. }f f n } 8 Ñ 0) ş b ùñ f integrierbr und lim nñ8 dx f npxq ş b dx f pxq Entsprechendes gilt für gleichmäßig konvergente Reihen: ř ş ş ř n n Beweis: O Z pf q U Z pf q po Z pf q O Z pf n qq pu Z pf q U Z pf n qq ` O Z pf n q U Z pf n q ď O Z pf f n q U Z pf f n q ` O Z pf n q U Z pf n q (wie oben) ď 2pb q}f f n } 8 ` O Z pf n q U Z pf n q Wähle n mit }f f n } 8 ă ε 4pb q, dnn Z mit O Z pf n q U Z pf n q ă ε 2 Nch Riemnnkriterium ist f lso integrierbr. Mit Rechenregeln dx f pxq dx f n pxq dxpf pxq f n pxqq ˇ ˇ ˇ ˇ ď pb q}f f n } 8 nñ8 ÝÝÝÑ 0 Mthemtik für Physiker 2 9. Riemnn-Integrl für Funktionen einer Vriblen 191 / 1 l