Kombiatorik VL 6.1.2009 Bei eiem Sportwettkampf trete acht Sportler gegeeiader a. 1. Wie viele verschiedee Möglichkeite der Platzverteilug gibt es? 2. Wie viele Möglichkeite gibt es die Medaille old, Silber ud Broze zu verteile? 3. Wie viele Möglichkeite gibt es überhaupt die Medaille zu verteile? (Ohe ücksicht auf die eihefolge, bzw. Art der Medaille) Diese ud adere Frage lasse sich mit der Kombiatorik kläre. Die Kombiatorik beschäftigt sich mit de verschiedee Möglichkeite der Aordug vo Elemete (vgl. 1.) ud der Auswahl vo k der Elemete (vgl. 2. ud 3.) Aufgabe: Ei Studet hat drei Hose, zwei Pullover ud drei Jacke. Wie viele Möglichkeite hat er seie arderobe zusammezustelle? Hilfsmittel: Baumdiagramm H1 H2 H3 P1 P2 P1 P2 P1 P2 J1 J2 J3 J1 J2 J3 J1 J2 J3 J1 J2 J3 J1 J2 J3 J1 J2 J3 Es ergebe sich 3 2 3 18 Möglichkeite Multiplikatiosprizip (1. Pfadregel für Baumdiagramme) ibt es k Mege mit je 1, 2, 3,, k verschiedee Elemete, so gibt es isgesamt A 1 2 3 k (, k N) Möglichkeite diese Elemete azuorde Bsp: Ei estaurat bietet zwei Vorspeise, vier Hauptgäge ud drei Desserts a. A wie viel aufeiaderfolgede Tage köe Sie esse gehe, ohe zweimal dasselbe Meü zu esse? Diagramm zeiche! 2 4 3 24 Möglichkeite ei Meü zusammezustelle Sie köe 24 Tage esse gehe, ohe dass sich das Meü wiederholt. Aufgabe: Wie viele verschiedee Möglichkeite gibt es mit drei verschiedefarbige Steie eie Turm zu baue, we alle Steie verwedet werde? Steie sid blau (B), grü () ud rot ()
B 3 Steie zur Auswahl B B 2 Steie zur Auswahl B B 1 Stei zur Auswahl Es ergebe sich 3 2 1 6 Möglichkeite Durch systematisches Probiere erhält ma: 1 Stei 1 Möglichkeit 2 Steie 2 Möglichkeite 2 2 1 3 Steie 6 Möglichkeite 6 3 2 1 4 Steie 24 Möglichkeite 24 4 3 2 1 5 Steie 120 Möglichkeite 120 5 4 3 2 1 etc. (Soderfall des Multiplikatiosprizips, da i jeder Schicht ei Stei weiger zur Verfügug steht, verrigert sich die Azahl der Möglichkeite je Schicht um eie) ( Der Ausdruck!, N wird - Fakultät geat ud ergibt sich als! (-1) (-2) 3 2 1 Es wird festgelegt, dass 0! 1 ud 1! 1 Bemerkug: Wird die Fakultät auf reelle Zahle erweitert ergibt sich die ammafuktio) Tafel der Fakultäte bis 20!!!! 1 2 3 4 5 6 7 1 2 6 24 120 720 5040 8 9 10 11 12 13 14 40320 362880 3628800 39916800 479001600 6227020800 87178291200 15 16 17 18 19 20 130767436800 20922789888000 355687428096000 6402373705728000 121645100408832000 2432902008176640000 Jede mögliche Aordug vo uterschiedliche Elemete, i der alle Elemete verwedet werde, heißt Permutatio (ohe Wiederholug) P dieser Elemete. Es gilt: P! Zur Eigagsfrage1. Bei acht Sportler gibt es P 8 8! 40320 Verschiedee Möglichkeite der Platzverteilug! Eie Strategie zur Lösug wäre systematisches Probiere, güstig hierfür ist die Aordug der Möglichkeite i lexikografischer Ordug (Zahle der röße ach, Buchstabefolge alphabetisch) Bsp: Wie viele ud welche Möglichkeite gibt es, aus a, b, c Wörter zu bilde, we jeder Buchstabe geau eimal verwedet wird?
P3 3! abc bac cab 6 Möglichkeite acb bca cba Was passiert, we eiige Elemete mehrfach verwedet werde? Aufgabe: Wie viele Wörter lasse sich aus A, A, B, C bilde? AABC BAAC CAAB AACB BACA CABA ABAC BCAA CBAA ABCA ACAB ACBA also 12 Möglichkeite We ma ei A markiert, so dass sie uterscheidbar sid gibt es P 4 4! 24 Möglichkeite, da die A aber icht uterscheidbar sid etfalle davo eiige (hier die Hälfte) Jede Mögliche Aordug vo Elemete, bei der alle Elemete verwedet werde ud die Elemete jeweils i der Azahl a 1, a 2, a 3,,a vorkomme, heißt Permutatio mit Wiederholug P oder w P Es gilt! P a! a!... a! 1 2 wobei a 1 + a 2 + a 3 + +a Bsp: Wie viele Möglichkeite gibt es, sechs Bücher azuorde, we vo eiem zwei Exemplare ud vo eiem adere drei Exemplare vorhade sid? 6! P6 1!2!3! 60 Möglichkeite Oft werde icht alle zur Verfügug stehede Elemete verwedet, es wird eie Auswahl getroffe. Z.B. Eigagsfrage 2 Es gibt für die acht Sportler ur drei Medaille! Aufgabe: Wie viele verschiedee Dreier-Türme lasse sich aus vier verschiedefarbige Legosteie baue? Steie sid blau (B), grü (), weiß (W) ud rot () B W W B W B W B W W W B W B W B W B B B Für die erste Schicht vier Möglichkeite, für die zweite drei (ei Stei liegt ja scho), für die dritte och zwei (zwei Steie scho verbraucht) Möglichkeite
Also isgesamt 4 3 2 24 Möglichkeite Allgemei, wie viele Möglichkeite aus Steie k auszuwähle? (-1) (-2) (-(k-1)) Möglichkeite Jede mögliche Auswahl vo k Elemete aus Elemete, bei der die eihefolge berücksichtigt wird ud jedes Elemet ur eimal auftete ka, heißt Variatio (ohe Wiederholug) V k (vo Elemete zur Klasse k). Es gilt: V k!! (-1) (-2) (-(k-1)) ( k)! ( k)! Zur Eigagsfrage 2: V 3 8 8! (8 3)! 8! 5! 8 7 6 336 Möglichkeite die Medaille old, Silber ud Broze zu vergebe Aufgabe: Wie viele eustellige Zahle lasse sich mit de rudziffer 0,1,2,,9 bilde? (Die Ziffer köe mehrfach auftrete, 000000001 zählt auch) 000000000 000000001 000000002 000000009 000000010 000000011 000000012 000000019 999999990 999999991 999999992 999999999 10 9 1 Milliarde Möglichkeite (alle eustellige Zahle) Jede mögliche Auswahl vo k Elemete aus Elemete, bei der die eihefolge berücksichtigt wird ud die Elemete mehrfach auftrete köe, heißt Variatio mit Wiederholug V k oder w V k k). (vo Elemete zur Klasse Es gilt: V k k Bsp: Bei der Brailleschrift für Blide gibt es sechs Stelle, die geprägt oder icht geprägt sid a b c etc. Wie viele Zeiche lasse sich so darstelle?
Es gibt zwei Elemete zur Auswahl (Stelle geprägt oder icht), davo werde sechs ausgewählt (geht, da jede Möglichkeit mehrfach auftrete ka) ud die eihefolge/aordug ist wichtig (da z.b. bei b ud c jeweils zwei Stelle geprägt sid, die Buchstabe aber uterschiede werde, weil es verschiedee Stelle sid) V 6 2 26 64 Möglichkeite i der Brailleschrift. Bsp: Auf wie viele Arte lasse sich i Nucleisäure (DNA ud NA) aus drei vo vier Base Tripletts (Codos) bilde, die Base köe mehrfach auftrete? Base sid i der NA: A (Adei), C (Cytosi), (uai) ud U (Uracil) (Thymi bei der DNA) V 3 4 43 64 Möglichkeite, also mehr als ausreiched um die 20 Amiosäure zu codiere ( bei der Variatio vo ur zwei Base ergebe sich ur 4² 16 Möglichkeite, die icht ausreiche um alle Amiosäure zu codiere. (Eie etsprechede Tabelle fide Sie z.b. bei Wikipedia uter Codo) Bsp: i der Iformatik spielt der ASCII- Code (America Stadard Code for Iformatio Iterchage) eie große olle. Wie viele Stelle sid ötig um mit de Ziffer 0 ud 1 alle Zeiche eier Tastatur (ud och ei paar mehr) zu verschlüssel? V k 2 2k Vorüberlegug: 26 roßbuchstabe, 26 Kleibuchstabe, Ziffer 0 bis 9, math. Zeiche (+-<> etc.), Satzzeiche (!?:, etc.), also 64 Möglichkeite wie im vorige Beispiel reiche icht. Es müsste mid. k 7 sei (da gibt es V 7 2 27 128 Möglichkeite) I der ealität wurde k 8 gewählt (uter aderem aus Symmetriegrüde! 8bit sid 1Byte ud dieses lässt sich i zwei Nibble je 4bit teile) Es gibt also V 8 2 28 256 Möglichkeite Was passiert, we ma die eihefolge icht mehr beachtet? We z.b. bei de Legotürme die Türme B, B ud B etc. als eie Möglichkeit gezählt werde. Aufgabe: Wie viele Möglichkeite gibt es aus vier Buchstabe zwei auszuwähle, we jeder ur eimal verwedet wird ud die eihefolge uberücksichtigt bleibt? Buchstabe sid A, B, C, D
AB BC CD BA AB, da eihefolge egal AC BD AD also 6 Möglichkeite Jede mögliche Auswahl vo k Elemete aus Elemete, bei der die eihefolge icht berücksichtigt wird ud jedes Elemet ur eimal vorkommt, heißt Kombiatio (ohe Wiederholug) C k Es gilt: C k k! ( k)! k! (vo Elemete zur Klasse k). Zur Eigagsfrage 3: Hier spielt die eihefolge der Medaille keie olle mehr C 3 8 8 3 8! (8 3)! 3! 56 Möglichkeite (im Vergleich zu Frage 2 weiger Möglichkeite!) Bsp: Beim Lotto 6 aus 49 werde vo 49 ummerierte Kugel 6 ausgewählt. C 6 49 49 6 49! (49 6)! 6! 13983816 Möglichkeite aus 49 Zahle 6 auszuwähle Das aze gibt es atürlich auch och mit Wiederholug, d.h. die eizele Elemete köe mehrfach ausgewählt werde. Jede mögliche Auswahl vo k Elemete aus Elemete, bei der die eihefolge icht berücksichtigt wird ud die Elemete mehrfach vorkomme köe, heißt Kombiatio mit Wiederholug C k oder w C k zur Klasse k). Es gilt: C k + k 1 k (vo Elemete Bsp: Welche Möglichkeite gibt es beim Wurf mit zwei icht utercsheidbare Müze? KK KZ ZZ (KZ ZK, da eihefolge egal ist) C 2 2 + 2 1 2 Elemete K oder Z ud Klasse 2, da zwei Müze 2 2
3 2 3 Möglichkeite Bsp: Wie viele verschiedee Zahlekombiatioe gibt es beim Wurf mit zwei idetische Würfel? 6 Elemete (Würfelauge), Klasse 2, da 2 Würfel C 2 6 + 2 1 6 2 7 2 21 Möglichkeite (Ma köte auch eie Würfel zweimal werfe ud die eihefolge der Würfe icht beachte)
Ohe Wiederholug Übersicht Formel zur Kombiatorik Permutatio Variatio Kombiatio P!! Mit Wieder- P holug a! a! Ka! 1 2 V k! ( k)! k C ( k )! ( k)! k! k k k + k 1 V C ( k ) ( + k 1)! ( 1)! k! Übersicht Formel der Kombiatorik (Uremodell) (aus H. KÜTTIN: Elemetare Stochastik. Spektrum. Heidelberg 1999) Ziehe vo k Kugel aus Kugel mit Berücksichtigug der eihefolge ohe Zurücklege eordete Stichprobe ohe Zurücklege vom Umfag k aus Elemete: (! k)! ; k Möglichkeite. Soderfall: k Permutatio ohe Wiederholug vo Elemete: P! Möglichkeite mit Zurücklege eordete Stichprobe mit Zurücklege vom Umfag k aus Elemete: k Möglichkeite. ohe Berücksichtigug der eihefolge Ugeordete Stichprobe ohe Zurücklege vom Umfag k aus Elemete:! ( k)! k! Möglichkeite. ( k ) ; k Ugeordete Stichprobe mit Zurücklege vom Umfag k aus Elemete: ( +k 1 ) k Möglichkeite.
Werde alle Elemete verbraucht? (Es liegt kei Auswahlproblem vor) Ja Permutatioe Nei Variatioe oder Kombiatioe Trete Elemete mehrfach auf? Ist die Aordug der Elemete zu beachte Ja Permutatioe mit Wiederholug Nei Permutatioe ohe Wiederholug Ja Variatioe Nei Kombiatioe Trete Elemete mehrfach auf? Trete Elemete mehrfach auf? Ja Variatioe mit Wiederholug Nei Variatioe ohe Wiederholug Ja Kombiatioe mit Wiederholug Nei Kombiatioe ohe Wiederholug
Aufgabe zur Kombiatorik II 1) Auf wie viele Arte ka ma aus 6 Fraue ud 10 Mäer eie Ausschuss aus 2 Fraue ud 3 Mäer bilde? 2) I eiem aum gibt es 6 Lampe, die ma jede separat a- us ausschalte ka. Wie viele Möglichkeite gibt es, dass a) geau 4 Lampe bree? b) Midestes 4 Lampe bree? 3) Sechs Läufer ehme a eiem Wettlauf teil. Wie viele Eilauf-Möglichkeite gibt es, we alle zu uterschiedliche Zeite eitreffe? 4) Lehrer Schmidt will vo seie 18 Schüler 3 gleichzeitig müdlich prüfe. Wie viele Möglichkeite hat er? 5) Bei eier Volkszählug wird ach de Merkmale eschlecht mit zwei Merkmalsauspräguge Familiestad mit füf Merkmalsauspräguge Kofessio mit drei Merkmalsauspräguge gefragt. Wie viele uterschiedliche Variate gibt es, um diese drei Frage zu beatworte? 6) Wie viele vierbuchstabige Wörter gibt es a) mit verschiedee Buchstabe? b) mit verschiedee Buchstabe, aber ohe X?